第五章-正弦稳态电路分析

目录

§5-1正弦量

§5-2正弦量的相量表示法

§5-3电阻、电感和电容元件的交流电路

§5-4复阻抗、复导纳及其等效变换

§5-5正弦稳定电路的功率

§5-6正弦稳态电路的计算

§5-7功率因数的提高

§5-8串联电路的谐振§5-1正弦量

按正弦规律变化的电流、电压、电动势统称为正弦交流电，在电路分析中常简称为正弦量(sinusoid)。正弦电流和电压的波形(waveform)如图5-2所示。0u，it图5-2正弦交流电

正弦量的三要素Im、ω、φi三个常数称为正弦量的三要素，三要素是决定正弦量的三个基本参数，有了这三个要素就能唯一确定一个正弦量(sinusoid)。§5-1正弦量5.1.1最大值与有效值

Im称为正弦电流i的振幅(amplitude)，它是正弦电流所能达到的最大值，Im、Um及Em分别表示电流、电压及电源电动势的最大值。有效值是以电流的热效应来规定的。变化的电流还是直流，只要它们在相等的时间内通过同一电阻而两者的热效应相等，就把它们的安培值看作是相等的。这个周期性变化的电流的有效值在数值上就等于这个直流。§5-1正弦量5.1.1最大值与有效值综上所述，可得由此可得出周期电流i的有效值或同理§5-1正弦量5.1.2频率与周期正弦量变化一次所需的时间称为周期T(period)，单位为秒(s)。每秒内正弦量变化的次数称为频率f(frequency)，单位为赫兹(Hz)，简称赫。在我国和大多数国家都采用50Hz作为电力标准频率，有些国家(如美国、日本等)采用60Hz。Hz这种频率在工业上应用广泛，习惯上也称为工频。高频炉的频率是200～300kHz；中频炉的频率是500～8000Hz；高速电动机的频率是150～2000Hz；无线电工程上用的频率则高达104～30×1010Hz。§5-1正弦量5.1.3初相位和相位差正弦量随时间变化的核心部分是ωt+φi

，它反映了正弦量的变化进程，称为正弦量的相角或相位(argument)。

t=0时的相位称为初相位或初相(initialphase)，即初相位的单位可以用弧度或度来表示。通常在|φi|≤π的主值范围内取值。初相角的大小和正负与计时起点的选择有关。对任一正弦量，初相允许任意指定，但对于一个电路中的多个相关的正弦量，它们只能相对于一个共同的计时起点确定各自的相位。§5-1正弦量5.1.3初相位和相位差如果最近的一个从负到正的零点，则φi=0；A点位于0点的左侧，A点位于0点右侧，则-π<φi<0。=00A(a)>00A(b)<00(c)Aφiφiφiωtωtωtφiφi图5-4初相角§5-1正弦量5.1.3初相位和相位差

最大值、频率和初相位称为正弦量的三要素。相位间的差别称为相位差(phasedifference)电压u的相位超前(leading)电流的相位一个角度φ，说明电压u比电流i先达到正的最大值(或零值)。反过来说明电流i滞后(lagging)电压u一个角度φ。§5-1正弦量5.1.3初相位和相位差相位差为零，则称为同相位(简称同相)，这时两个正弦量同时到达正的最大值，也同时通过零值，如果它们之间的相位差为π/2(或90°)，则称它们为相位正交，相位差为π

(或180°)，则称它们为反相位。0(a)u,iiu?tu0iui?t?t(b)(c)u,iu,i(a)同相；(b)正交；(c)反相图5-6电压、电流的相位关系§5-2正弦量的相量表示法5.2.1复数的表示方法及其四则运算一个复数(complexnumber)

A可以用几种形式来表示。用代数形式(rectangularform)时，有称为虚单位(imaginaryunit)(它在数学中用i代表，而在电工中，i已用来表示电流，故改用j代表)。三角函数形式

§5-2正弦量的相量表示法5.2.1复数的表示方法及其四则运算欧拉公式(Euler’sidentities)指数形式(exponentialform)极坐标形式(polarform)复数的相加或相减，应使用复数的代数形式来进行，同时也可以在复平面上应用平行四边形法则进行。复数的乘和除的运算，用指数形式或极坐标形式来进行较为方便，相乘时，模相乘，辐角相加；相除时，模相除，辐角相减。§5-2正弦量的相量表示法5.2.2旋转因子§5-2正弦量的相量表示法5.2.3正弦量的相量表示法可以通过数学的方法，把一个实数范围的正弦时间函数与一个复数范围的复指数函数一一对应起来，而其复常数部分则把正弦量的最大值和初相结合成一个复数表示出来。

Im就表示正弦电流的最大值相量，上面加的小圆点代表相量，用来区别普通复数。§5-2正弦量的相量表示法5.2.3正弦量的相量表示法在正弦交流电路分析中，经常使用的是正弦量的有效值，因此可把最大值相量换为有效值相量，即其模就是给定正弦量的有效值I，其辐角就是该正弦量的初相φi。相量也可以在复平面上用向量来表示。这种表示相量的图称为相量图(phasordiagram)。0+jI+1.?i图5-11电流相量§5-2正弦量的相量表示法5.2.4基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式，即为上面两式说明：在正弦交流电路中，任一节点处各电流相量的代数和等于零；任一回路中各个电压相量的代数和等于零。这就是相量形式和基尔霍夫定律，是分析正弦交流电路的重要依据。§5-3电阻、电感和电容元件的交流电路5.3.1电阻元件1.电压、电流间的关系如果选择电流i为参考正弦量，则代入上式，得比较电压

u和电流i的表达式，可以看出：(1)和为同频正弦量；(2)二者的相位相同，波形图如图5-14(a)所示；0i(a)upωtu,i,p§5-3电阻、电感和电容元件的交流电路5.3.1电阻元件1.电压、电流间的关系

(3)由于二者的最大值符合欧姆定律，即Um=RIm

，因此二者的有效值之间也符合欧姆定律，即

如用相量表示电压、电流间关系，则为§5-3电阻、电感和电容元件的交流电路5.3.1电阻元件2.功率(power)在交流电路中，由于电压和电流的大小和方向随时在变动，为了计算功率，引入了瞬时功率的概念。电路在某一瞬间吸收或发出的功率称为瞬时功率(instantaneouspower)，以小写字母来表示。瞬时功率的值一般说来是时间的函数，它可以用该瞬间电压、电流的瞬时值来计算，即§5-3电阻、电感和电容元件的交流电路5.3.1电阻元件2.功率(power)通常所说的电路中功率是指瞬时功率在一个周期内的平均值，称为平均功率(averagepower)，以大写字母来表示：平均功率(averagepower)有时也称为有功功率(activepower)，习惯上常把“平均”或“有功”二字省略，而直接称为功率。§5-3电阻、电感和电容元件的交流电路5.3.2电感元件1.电压、电流间的关系电感两端的电压u和电流i取关联参考方向。Liu+-图5-15电感中的正弦电流和电压比较电压和电流的表达式，可以看出：

(1)通过电感的电流和电感两端的电压为同频正弦量。

(2)电压在相位上超前于电流，其波形图如图5-16(a)所示。0uipωt(a)u,i,p§5-3电阻、电感和电容元件的交流电路5.3.2电感元件1.电压、电流间的关系

(3)由式可见，电压与电流的最大值成正比，即

电感的电抗(reactance)，简称感抗(inductivereactance，单位为欧姆。§5-3电阻、电感和电容元件的交流电路5.3.2电感元件2.功率瞬时功率p是一个幅值为U

I，并以2ω的角频率随时间而变化的交变量。

平均功率因为在交流电路中纯电感不消耗电能，只是不断地进行着电能的“吞吐”(或“交换”)。§5-3电阻、电感和电容元件的交流电路5.3.2电感元件2.功率通常用交变的瞬时功率的最大值来表示电感在交流电路中占用电功率的大小，即形式上与电阻平均功率公式P=I2R相似，但QL代表着一种不被消耗的电功率，与有着本质的区别，故称之为感性无功功率(reactivepower)。而在电阻上消耗的平均功率P，则称为有功功率。为区别起见，无功功率的单位不用瓦(W)，而用乏(var)或千乏(kvar)。§5-3电阻、电感和电容元件的交流电路5.3.3电容元件1.电压、电流间的关系取电压和电流为关联参考方向，如图5-17所示，并设电压为参考正弦量，即Ciu+-图5-17电容中的正弦电流和电压比较电压和电流的表达式，可以看出：

(1)充、放电电流；与电容两端电压为同频正弦量。

(2)电流在相位上超前于电压，波形如图5-18(a)所示。0uiu,i,ppωt(a)§5-3电阻、电感和电容元件的交流电路5.3.3电容元件1.电压、电流间的关系或称做电容的电抗，简称容抗，单位为欧姆。如果用相量表示电压、电流间关系，则为§5-3电阻、电感和电容元件的交流电路5.3.3电容元件2.功率瞬时功率是一个幅值为，并以的角频率随时间而变化的交变量。在一个周期内电容中的平均功率在交流电路中是不消耗电能的。但由于存在着电能的“吞吐”(或“交换”)而占用一定电功率，给电源造成一定的负担。瞬时功率的最大值为

称做容性无功功率，单位也是乏(var)或千乏(kvar)。§5-4

复阻抗、复导纳及其等效变换5.4.1复阻抗及RLC串联电路1.复阻抗(impedance)复数称为复阻抗，它等于电压相量和电流相量的比值，即单一电阻、电感及电容的复阻抗分别为§5-4

复阻抗、复导纳及其等效变换5.4.1复阻抗及RLC串联电路1.复阻抗(impedance)复阻抗的模|

Z|和R及X构成一个直角三角形(righttriangle)。电路的阻抗(impedance)，φZ则称为阻抗角。所以复阻抗的意义是：它的模是电压与电流有效值之比，它的辐角是电压和电流的相位角。X|Z|

àzR图5-20阻抗三角形§5-4

复阻抗、复导纳及其等效变换5.4.1复阻抗及RLC串联电路2.

RLC串联电路

XL>XC，则φZ>0，全电路呈感性(ininductive)。若XL<XC，则φZ<0，全电路呈容性(incapacitive)。若XL=XC，则φZ=0，全电路呈电阻性(inresistive)，这是串联电路的一种特殊工作状态，称为串联谐振，将在后面章节中分析。由U、UR和UX组成的三角形称为电压三角形。若将此三角形各边同除以电流I，阻抗三角形。UUxUR?z§5-4

复阻抗、复导纳及其等效变换5.4.2

复导纳及RLC并联电路1.

RLC串联电路对于这种并联电路，应用所谓复导纳分析比较方便。对于单个电阻的电路来说，有图5-24RLC并联电路§5-4

复阻抗、复导纳及其等效变换5.4.2

复导纳及RLC并联电路1.

RLC串联电路称为复导纳，实部是电导G

(conductance)，虚部是容纳BC(capacitivesusceptance)与感纳(inductivesusceptance)之差，即§5-4

复阻抗、复导纳及其等效变换5.4.2

复导纳及RLC并联电路1.

RLC串联电路复导纳是电流相量与电压相量之比，而它的辐角φY是电流超前于电压的相位角，|Y|又称为电路的导纳(admittance)。§5-4

复阻抗、复导纳及其等效变换5.4.2

复导纳及RLC并联电路2.

RLC并联电路若BC>BL，则φY>0，全电路呈容性。若BC<BL，则φY<0，全电路呈感性。若BC=BL，则φY=0，全电路呈电阻性，这是并联电路中的一种特殊情况，称为并联谐振。§5-4

复阻抗、复导纳及其等效变换5.4.3

复阻抗的串并联电路

1.复阻抗的串联是全电路的等效复阻抗(equivalentimpedance)，它等于串联复阻抗之和。U1U2U3U..Z1...UII.Z2Z3Z(a)(b).+-+-+-+-+-图5-28复阻抗的串联§5-4

复阻抗、复导纳及其等效变换5.4.3

复阻抗的串并联电路

2.复阻抗(复导纳)的并联各并联复导纳分别为Y1、Y2及Y3。若外施电压相量为U，则各支路的电流相量分别为·如果有n个复导纳并联，则等效复导纳为§5-4

复阻抗、复导纳及其等效变换5.4.3

复阻抗的串并联电路

2.复阻抗(复导纳)的并联当两个复阻抗Z1与Z2并联时，由上式(i=2)可得再根据分流公式，可得§5-5

正弦稳态电路的功率5.5.1

有功功率

功率一般并不等于电压与电流有效值的乘积，它还与电压、电流之间的相位差φ有关。当一端口内部不含独立电源时，λ(=cosφ)称为该一端口的功率因数(powerfactor)，φ又称为功率因数角(powerfactorangle)。λ

>0时，表明该网络吸收有功功率；λ

<0时，表明该网络发出有功功率。§5-5

正弦稳态电路的功率5.5.2

无功功率

在正弦交流电路中，除了有功功率，无功功率也是一个重要的量，特别是电力系统的正常运行与无功功率有着密切的关系，它反映了电路内部与外部往返交换能量的情况。无功功率用来表示，其定义为§5-5

正弦稳态电路的功率5.5.3

视在功率

如果把电压与电流的有效值直接相乘，则其乘积也具有功率的量纲，但却不等于有功功率，而称之为视在功率(apparentpower)，用表示，即有功功率与视在功率的比值就是功率因数，即§5-5

正弦稳态电路的功率5.5.3

视在功率

视在功率、有功功率和无功功率之间有如下关系

P、Q及S组成了一个直角三角形，称为功率三角形(powertriangle)，与前面提及的电压三角形、电流三角形都是相似三角形。φSPQ图5-38功率三角形§5-5

正弦稳态电路的功率5.5.4

复功率

电路中的P、Q、S组成了一个直角三角形，因此为了计算上的方便，我们把有功功率作为实部，无功功率作为虚部而组成复数§5-5

正弦稳态电路的功率5.5.4

复功率

若已知某一复导纳Y§5-6正弦稳态电路的计算

【例5-12】试用网孔法求图5-42中所示电路的各支路电流和各个电压源发出的复功率。已知IaIb....I1I3I2C.RUs1Us2..L图5-42例5-12图§5-6正弦稳态电路的计算§5-6正弦稳态电路的计算

【例5-14】在图5-44(a)中，I1=I2=10

A，U=100V而且U与I同相，试求I、R、XC和XL

。··(a)(b)U.ULU2.II2...I1-jXL45I1I2.°..UU2..R-jXcI..UL图5-44例5-14图

解：设U2为参考正弦量，作出相量图，如图5-44(b)所示。由相量图中的电流三角形可得·§5-6正弦稳态电路的计算§5-6正弦稳态电路的计算图5-45例5-15图§5-6正弦稳态电路的计算在实际问题中，有时需要研究负载在什么条件下能获得最大功率。这类问题可以归结为一个一端口网络向负载输送功率的问题。根据戴维宁定理，最终可以简化为图5-47所示的电路来进行分析。图中Uoc为一端口的开路电压，Zeq=R1+jX1为戴维南等效电路的复阻抗，ZL=R2+jX2为负载的等效复阻抗。根据图5-46的等效电路，负载吸收的功率为·图5-46例5-15的戴维宁等效电路UOC.ZeqZL§5-6正弦稳态电路的计算§5-7功率因数的提高5.7.1

功率因数的实质

电压与电流间的相位差φ和电路中的无功功率Q之间存在着一定的内在联系。φ越大，cosφ越小，说明在电路总的视在功率S中，无功功率Q所占比例较大，而有功功率P所占比例较小；反之，φ越小，cosφ越大，则说明电路中无功功率Q的比例较小，而有功功率P的比例较大。§5-7功率因数的提高5.7.2

提高功率因数的意义

由于发电机、变压器等电气设备都有一定的额定电压和额定电流值，工作电压和电流都不允许超过其额定值，而电源的工作应当是将尽可能多的电能输送给负载，其所能输出的有功功率P=UNINcosφ。电路的cosφ越低，电源的电容越得不到有效的利用。1.电源的容量不能充分利用§5-7功率因数的提高5.7.2

提高功率因数的意义

提高功率因数一方面可使电源得到更为有效的利用，即能输出更多的有功功率；另一方面可以减少电源及线路上的功率损耗，从而提高输电效率。因此，提高电网的功率因数对国民经济的发展有着极为重要的意义。2.增加线路和电源内阻的功率损耗§5-7功率因数的提高5.7.3

提高功率因数的方法

提高功率因数的实质是设法减小电路中无功功率。常用的方法就是与电感性负载并联一个具有合适电容值的电容元件。(a)(b).R.UI...Lff1IIC