高考总复习文数（北师大版）讲义第2章第03节函数的奇偶性与周期性

第三节函数的奇偶性与周期性考点高考试题考查内容核心素养函数的奇偶性2017·全国卷Ⅱ·T14·5分求函数值数学运算2014·全国卷Ⅰ·T5·5分判断函数的奇偶性逻辑推理数学运算2014·全国卷Ⅱ·T3·5分求函数值函数的周期未单独考查命题分析函数的奇偶性的判断及应用、周期性及应用是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，与函数概念、图像、其他性质等综合考查.1．函数的奇偶性已知y＝f(x)，x∈A，则f(x)奇偶性定义见下表：类别定义奇函数偶函数图像定义图像关于原点对称的函数叫作奇函数图像关于y轴对称的函数叫作偶函数语言定义任意x∈A，满足f(－x)＝－f(x)任意x∈A，满足f(－x)＝f(x)2.函数的周期性(1)周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期．提醒：(1)函数奇偶性的重要结论①如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.②如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．③既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．④奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．⑤在公共定义域内，有下列结论成立“奇函数±奇函数＝奇函数”，“偶函数±偶函数＝偶函数”；“奇函数×奇函数＝偶函数”，“偶函数×偶函数＝偶函数”，“奇函数×偶函数＝奇函数”．(2)函数周期性的重要结论①周期函数的定义式f(x＋T)＝f(x)对定义域内的x是恒成立的，若f(x＋a)＝f(x＋b)，则函数f(x)的周期为T＝|a－b|.若在定义域内满足f(x＋a)＝－f(x)，f(x＋a)＝eq\f(1,fx)，f(x＋a)＝－eq\f(1,fx)(a>0)．则f(x)为周期函数，且T＝2a为它的一个周期．②对称性与周期的关系：a．若函数f(x)的图像关于直线x＝a和直线x＝b对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期．b．若函数f(x)的图像关于点(a,0)和点(b,0)对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期．c．若函数f(x)的图像关于点(a,0)和直线x＝b对称，则函数f(x)必为周期函数，4|a－b|是它的一个周期．1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.()(2)偶函数的图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点．()(3)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．()(4)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．()(5)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数答案：(1)√(2)×(3)√(4)√(5)√2．(教材习题改编)若函数f(x)＝ax2＋bx＋c是定义在R上的奇函数，则系数a，b，c需满足()A．a＝0 B．c＝0C．a＝c＝0 D．b＝0解析：选C当a＝c＝0时，f(x)＝bx，有f(－x)＝－bx＝－f(x)．3．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是A．－eq\f(1,3) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)解析：选B依题意b＝0，且2a＝－(a－1)，∴a＝eq\f(1,3)，则a＋b＝eq\f(1,3).4．下列函数中为偶函数的是()A．y＝x2sinx B．y＝x2cosxC．y＝|lnx| D．y＝2x解析：选B选项A，f(－x)＝(－x)2sin(－x)＝－x2sinx＝－f(x)，所以为奇函数；选项B，f(－x)＝(－x)2cos(－x)＝x2cosx＝f(x)，所以为偶函数；选项C，f(－x)＝|ln(－x)|，f(－x)≠f(x)，f(－x)≠－f(x)，所以非奇非偶函数；选项D非奇非偶函数．判断函数的奇偶性[明技法]判断函数奇偶性的常用方法(1)定义法：即根据奇、偶函数的定义来判断；(2)图像法：即利用奇、偶函数的对称性来判断；(3)性质法：即利用在公共定义域内奇函数、偶函数的和、差、积的奇偶性来判断．[提能力]【典例】(1)(2018·肇庆模拟)下列函数为偶函数的是()A．y＝sinx B．y＝ln(eq\r(x2＋1)－x)C．y＝ex D．y＝lneq\r(x2＋1)(2)(2014·全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数解析：(1)选D由函数奇偶性的定义知D项为偶函数．(2)选Cf(x)为奇函数，g(x)为偶函数，故f(x)g(x)为奇函数，|f(x)|g(x)为偶函数，f(x)|g(x)|为奇函数，|f(x)g(x)|为偶函数，故选C．[刷好题]1．(金榜原创)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上递增的函数为()A．y＝x3 B．y＝|log2x|C．y＝－x2 D．y＝|x|解析：选Dy＝x3是奇函数；函数y＝|log2x|的定义域(0，＋∞)不关于原点对称，所以是非奇非偶函数；y＝－x2在(0，＋∞)上单调递减；函数y＝|x|是偶函数，且在区间(0，＋∞)上递增，∴D正确．2．下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是()A．y＝－eq\f(1,x) B．y＝x3＋3x－3－xC．y＝log3x D．y＝ex解析：选B选项A，y＝－eq\f(1,x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，但其在定义域上不是单调递增函数；选项B，y＝f(x)＝x3＋3x－3－x在其定义域R上是增函数，又f(－x)＝－x3＋3－x－3x＝－(x3＋3x－3－x)＝－f(x)，所以y＝f(x)为奇函数；选项C，y＝log3x的定义域为(0，＋∞)，是增函数但不是奇函数；选项D，y＝ex在其定义域R上是增函数，但为非奇非偶函数．函数的周期性[明技法]函数周期性的判定与应用(1)判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．[提能力]【典例】定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2018)＝()A．335 B．338C．339 D．340解析：选C由f(x＋6)＝f(x)可知，函数f(x)的周期为6，所以f(－3)＝f(3)＝－1，f(－2)＝f(4)＝0，f(－1)＝f(5)＝－1，f(0)＝f(6)＝0，f(1)＝1，f(2)＝2，所以在一个周期内有f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2018)＝f(1)＋f(2)＋336×1＝1＋2＋336＝339.[母题变式]本例中若将条件“f(x)满足f(x＋6)＝f(x)”改为“f(x)满足f(x＋3)＝－f(x)”，其他条件不变，则结果又是什么？解：∵f(x＋3)＝－f(x)，∴f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)．∴f(x)的最小正周期为6.∴f(－3)＝f(3)＝－1，f(－2)＝f(4)＝0，f(－1)＝f(5)＝－1，f(0)＝f(6)＝0，f(1)＝1，f(2)＝2，故在一个周期内有f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2018)＝f(1)＋f(2)＋336×1＝1＋2＋336＝339.[刷好题](2018·阜阳检测)设定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2019)＝________.解析：∵f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)的周期T＝2.又当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，∴f(0)＝0，f(1)＝1，∴f(0)＝f(2)＝f(4)＝…＝f(2018)＝0，f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2019)＝1.故f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2019)＝1010.答案：1010函数性质的综合[析考情]函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．多以选择题、填空题形式出现．[提能力]命题点1：已知函数的奇偶性求参数【典例1】(2015·全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝xln(x＋eq\r(a＋x2))为偶函数，则a＝________.解析：由题意得f(x)＝xln(x＋eq\r(a＋x2))＝f(－x)＝－xln(eq\r(a＋x2)－x)，所以eq\r(a＋x2)＋x＝eq\f(1,\r(a＋x2)－x)，解得a＝1.答案：1命题点2：利用函数的奇偶性求值【典例2】(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________.解析：方法一令x>0，则－x<0.∴f(－x)＝－2x3＋x2.∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)＝2x3－x2(x>0)．∴f(2)＝2×23－22＝12.方法二f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.答案：12命题点3：利用函数性质解不等式【典例3】已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，若f(a)≥f(2)，则实数a的取值范围是________．解析：∵y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，∴函数y＝f(x)在[0，＋∞)上是增函数．∴当a>0时，由f(a)≥f(2)可得a≥2，当a<0时，由f(a)≥f(2)＝f(－2)，可得a≤－2.所以实数a的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞)命题点4：函数单调性、奇偶性与周期性的综合【典例4】(2018·烟台月考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则()A．f(－25)＜f(11)＜f(80)B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C．f(11)＜f(80)＜f(－25)D．f(－25)＜f(80)<f(11)解析：选D∵f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，∴f(x－8)＝f(x)，∴函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．∵f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，∴f(x)在区间[－2,2]上是增函数，∴f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．[悟技法]函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图像的对称性．(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．[刷好题]1．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝()A．－eq\f(1,2) B．－eq\f(1,4)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,2)解析：选A由题意得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(5,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－eq\f(1,2).2．(2018·哈尔滨质检)定义在R上