专题10整式乘法(热考题型)-原卷版+解析

专题10整式的乘法【思维导图】◎考点题型1单项式的乘法概念：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.【注意】（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.例．（2022·四川成都·四川省成都市七中育才学校校考模拟预测）下列运算中，正确的是（

）A． B．C． D．变式1．（2023春·全国·七年级专题练习）计算（），正确的结果是（）A．16 B．42 C． D．变式2．（2022春·安徽滁州·七年级校联考期末）下列计算正确的是（

）A． B．C． D．变式3．（2021·陕西咸阳·统考一模）下列运算正确的是（

）A． B．C． D．◎考点题型2利用单项式的乘法求字母或者代数式的值例．（2023春·七年级课时练习）若，则（

）A．8 B．9 C．10 D．12变式1．（2023春·七年级课时练习）若(mx4)·(4xk)＝－12x12，则适合条件的m，k的值分别是()A．m＝－3，k＝8 B．m＝3，k＝8C．m＝8，k＝3 D．m＝－3，k＝3变式2．（2022秋·八年级课时练习）若，则（

）A．， B．， C．， D．，变式3．（2023春·七年级课时练习）若，则的值分别为（）A．32 B．2，3 C．3，3 D．2，2◎考点题型3单项式与多项式相乘的运算法则概念：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即.【注意】（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.例．（2020秋·四川广元·八年级统考期末）下列计算正确的是（

）A． B． C． D．变式1．（2019·上海闵行·七年级校考阶段练习）下列运算正确的是（

）A． B．C． D．变式2．（2019·七年级单元测试）下列各式中计算错误的是（

）A．B．C．D．变式3．（2022春·江苏·七年级专题练习）下列各题中，计算正确的个数是（

）①（a-3b）（-6a）=-6a2+18ab；②（-x2y）（-9xy+2）=3x3y2+2；③（-4ab）（-a2b）=2a3b2；④（-ab）（-ab2-2ab）=ab2-2ab．A．1 B．2 C．3 D．4◎考点题型4单项式乘多项式的应用例．（2023春·七年级课时练习）8张如图1的长为，宽为（）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示，如果左上角与右下角的阴影部分的面积始终保持相等，则满足（

）A． B． C． D．变式1．（2023春·全国·七年级专题练习）某些代数恒等式可用几何图形的面积来验证，如图所示的几何图形的面积可验证的代数恒等式是（

）A． B．C． D．变式2．（2022秋·全国·八年级专题练习）正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，正方形ABCD的边长为5，则△DEK的面积为（

）A．16 B．9 C．10 D．25变式3．（2022秋·全国·八年级专题练习）6张长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，S始终保持不变，则a，b满足（

）A．a＝b B．a＝2b C．a＝3b D．a＝4b◎考点题型5利用单项式乘多项式求字母的值例．（2023春·全国·七年级专题练习）已知边长分别为a、b的长方形的周长为10，面积4，则ab2+a2b的值为（）A．10 B．20 C．40 D．80变式1．（2022秋·重庆·九年级西南大学附中校考阶段练习）对于五个整式，A：2x2；B：x+1；C：﹣2x；D：y2；E：2x-y有以下几个结论：①若y为正整数，则多项式的值一定是正数；②存在实数x，y，使得A+D+2E的值为-2；③若关于x的多项式(m为常数)不含x的一次项，则该多项式M的值一定大于-3．上述结论中，正确的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3变式2．（2023春·全国·七年级专题练习）要使(x3+ax2-x)·(-8x4)的运算结果中没有含x6的项，则a的值应为（

）A．8 B．-8 C． D．0变式3．（2016秋·海南海口·八年级统考期中）若的积不含x的一次项，则a的值为A．3 B．-3 C． D．◎考点题型6多项式与多项式相乘的运算法则概念：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.【注意】多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并。特殊的二项式相乘：.例．（2023春·七年级课时练习）已知，则的值是（

）A． B．10 C． D．2变式1．（2023春·七年级课时练习）化简求值，其中，时，结果正确的是（

）．A． B． C． D．变式2．（2023春·全国·七年级专题练习）若，则（

）A．， B．， C．， D．，变式3．（2022秋·全国·八年级专题练习）小轩计算一道整式乘法的题：，由于小轩将第一个多项式中的“+2m”抄成“-2m”，得到的结果为．则m的值为（

）A．4 B．5 C．6 D．7◎考点题型7已知多项式乘积不含某项求字母的值例．（2022秋·广西钦州·八年级校考阶段练习）若的积中不含的二次项，则常数的值为（）A．0 B． C． D．变式1．（2022秋·四川乐山·八年级统考期中）若的展开式中不含，则的值（

）A． B． C． D．变式2．（2022秋·八年级课时练习）若与的积不含常数项，则m＝（

）A． B．1 C． D．2变式3．（2023春·全国·七年级专题练习）如与的乘积中不含的一次项，则的值为（

）A． B．3 C．0 D．1◎考点题型8多项式乘多项式的化简求值例．（2023春·七年级课时练习）先化简，再求值，其中，满足代数式：变式1．（2023春·全国·七年级专题练习）先化简，再求值：，其中变式2．（2023春·七年级课时练习）已知代数式化简后，不含有项和常数项．(1)求，的值．(2)求的值．变式3．（2023·全国·九年级专题练习）先化简，再求值：，其中，．◎考点题型9多项式乘多项式与图形面积例．（2023秋·山西长治·八年级统考期末）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．其中是等腰三角形，四边形是长方形，若的底边为米，它的高为米，长方形的长为米，宽为x米，用含x的式子表示该配电房的面积，并求出当时，该配电房的面积为多少平方米．变式1．（2022秋·河南南阳·七年级校联考阶段练习）如图，长为50cm，宽为xcm的大长方形被分割为8小块，除阴影A、B外，其余6块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为acm．(1)从图可知，每个小长方形较长一边长是_____cm（用含a的代数式表示；(2)求图中两块阴影A、B的周长和（可以用x的代数式表示）；(3)若cm时用含x的代数式分别表示阴影A、B的面积，并比较A，B的面积大小．变式2．（2023春·全国·七年级专题练习）挖去长为，宽为的小长方形铁片．(1)求剩余部分的面积；(2)求出当，时剩余部分的面积．变式3．（2023春·河南南阳·八年级统考期中）如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地，规划部门将阴影部分进行绿化，中间将修建一座边长为米的正方形水池．(1)试用含，的式子表示绿化部分的面积（结果要化简）；(2)求出当是满足不等式的所有整数的和，是的整数部分时的绿化面积．◎考点题型10多项式乘法中的规律问题例．（2022春·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考阶段练习）若一个只含字母的多项式的项数是偶数，用该多项式去乘，若该多项式的项数是奇数，则用该多项式去乘，称这为第一次操作；若第一次操作后所得多项式的项数是偶数，用该多项式去乘，若该多项式的项数是奇数，则用该多项式去乘称这为第二此操作，以此类推．①将多项式以上述方式进行2次操作后所得多项式项数是5；②将多项式以上述方式进行3次操作后，多项式的所有系数和为0；③将多项式以上述方式进行4次操作后，当时，所得多项式的值为243；④将多项式以上述方式进行次操作后所得多项式为；四个结论错误的有（

）A．0 B．1 C．2 D．3变式1．（2022春·江西景德镇·七年级统考期中）观察下列各式：①

②③……根据以上规律，试求出的值为（

）A． B． C． D．变式2．（2023春·全国·七年级专题练习）若定义表示，表示，则运算÷的结果为（）A． B． C． D．变式3．（2023春·全国·七年级专题练习）若，则，的值分别为(

)A．3，2 B．2，2 C．2，3 D．3，1◎考点题型11单项式除以单项式法则概念：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.【注意】（1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式.（2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，单项式除以单项式的结果仍为单项式.例．（2022春·广东茂名·七年级校考阶段练习）如图，墨迹污染了等式中的运算符号，则污染的是（

）A．＋ B．－ C．× D．÷变式1．（2023春·七年级课时练习）如果一个单项式与的积为，则这个单项式为（

）A． B． C． D．变式2．（2023秋·河南南阳·八年级统考期末）已知长方形的面积是，一边长是，则它的邻边长是（

）A． B． C． D．变式3．（2022秋·云南曲靖·八年级统考期末）计算的结果正确的是（

）A． B． C． D．◎考点题型12多项式除以单项式法则概念：多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即【注意】（1）由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实质是将它分解成多个单项式除以单项式.（2）利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化.例．（2020春·七年级统考课时练习）计算的结果是（

）A． B． C． D．变式1．（2019春·湖南长沙·八年级校考开学考试）计算5m15mn20m5m

结果正确的是（

）A．13mn4m B．13m4mC．4m3mn1 D．4m3mn变式2．（2022春·全国·七年级专题练习）下列计算正确的是（

）A． B． C． D．变式3．（2020秋·四川眉山·八年级校考阶段练习）下列计算正确的是（）A． B．C． D．专题10整式的乘法【思维导图】◎考点题型1单项式的乘法概念：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.【注意】（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.例．（2022·四川成都·四川省成都市七中育才学校校考模拟预测）下列运算中，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分别根据同底数幂的乘法，整式的加减，积的乘方，单项式乘单项式判断即可．【详解】A．，计算错误，故不合题意；B．和不是同类项，不能合并，故不合题意；C．，计算正确，故符号题意；D．，计算错误，故不合题意；故选C．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，整式的加减，积的乘方，单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．变式1．（2023春·全国·七年级专题练习）计算（），正确的结果是（）A．16 B．42 C． D．【答案】D【分析】首先根据单项式乘以单项式法则进行运算，再根据积的乘方运算的逆用，即可判定．【详解】解：，故选：D．【点睛】本题考查了单项式乘以单项式法则，积的乘方运算的逆用，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键变式2．（2022春·安徽滁州·七年级校联考期末）下列计算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】运用同底数幂的乘法，积的乘方，单项式乘单项式，合并同类项的运算法则分别对各项进行运算，即可得出结果【详解】解：A、，故A不符合题意；B、，故B不符合题意；C、，故C不符合题意；D、，故D符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，积的乘方，单项式乘单项式，合并同类项，解答的关键是对这些知识点的运算法则的掌握与应用．变式3．（2021·陕西咸阳·统考一模）下列运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方、单项式乘法的运算方法，利用排除法求解．【详解】解：A、，故本选项错误；B、，故本选项错误；C、，故本选项正确；D、，故本选项错误．故选：C．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的性质，单项式的乘法法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．◎考点题型2利用单项式的乘法求字母或者代数式的值例．（2023春·七年级课时练习）若，则（

）A．8 B．9 C．10 D．12【答案】D【分析】先根据单项式乘以单项式，确定m，n的值，即可解答．【详解】[解析]∵，∴，，∴，，∴，故选D．【点睛】本题考查了单项式乘以单项式，解题的关键是确定m，n的值．变式1．（2023春·七年级课时练习）若(mx4)·(4xk)＝－12x12，则适合条件的m，k的值分别是()A．m＝－3，k＝8 B．m＝3，k＝8C．m＝8，k＝3 D．m＝－3，k＝3【答案】A【分析】等式左边先利用单项式乘单项式法则计算，然后根据等式的性质左右对比求得m、k的值.【详解】∵(mx4)·(4xk)=4mx4+k，又∵(mx4)·(4xk)＝－12x12，∴4m=-12，4+k=12，∴m=-3，k=8，故选A.【点睛】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的法则是解题的关键.变式2．（2022秋·八年级课时练习）若，则（

）A．， B．， C．， D．，【答案】C【分析】根据积的乘方计算后，再用单项式乘单项式法则计算，最后根据相同字母的指数分别相同列方程求解即可．【详解】∵=，∴，解得：m=2，n=1．故选C．【点睛】本题考查了单项式乘法．掌握单项式乘法法则是解答本题的关键．变式3．（2023春·七年级课时练习）若，则的值分别为（）A．32 B．2，3 C．3，3 D．2，2【答案】B【分析】利用同底数幂的乘法法则将原式变形为，从而得到7n=14，2+k=5，可得结果．【详解】解：∵，∴7n=14，2+k=5，∴n=2，k=3，故选B．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是掌握运算法则．◎考点题型3单项式与多项式相乘的运算法则概念：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即.【注意】（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.例．（2020秋·四川广元·八年级统考期末）下列计算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、单项式乘多项式、幂的乘方进行逐一计算．【详解】解：A、不是同类项，不能合并，故A错误；B、是同底数幂的乘法，应底数不变，指数相加，所以，故B错误；C、是单项式乘多项式，即，故C错误；D、是幂的乘方，应底数不变，指数相乘，所以，故D正确．故选：D．【点睛】本题综合考查了整式运算的多个考点，包括合并同类项、同底数幂的乘法、单项式乘多项式、幂的乘方，需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错．变式1．（2019·上海闵行·七年级校考阶段练习）下列运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】A.利用单项式乘多项式法则计算B.利用合并同类项法则计算C.利用同底数幂法则计算D.利用负整指数幂法则计算【详解】A.,故此项错误B.不是同类项，不能合并，故此项错误C.，故此项正确D.，故此项错误【点睛】掌握单项式乘多项式法则、合并同类项法则计算、同底数幂法则、负整指数幂法则是解答此题的关键.变式2．（2019·七年级单元测试）下列各式中计算错误的是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加计算即可．【详解】A、2x-（2x3+3x-1）=，故A错误；B、，故B正确；C、-x（2x2-2）=-x3+x，故C正确；D、，故D正确；故选：A．【点睛】此题考查单项式与多项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键，计算时要注意符号的处理．变式3．（2022春·江苏·七年级专题练习）下列各题中，计算正确的个数是（

）①（a-3b）（-6a）=-6a2+18ab；②（-x2y）（-9xy+2）=3x3y2+2；③（-4ab）（-a2b）=2a3b2；④（-ab）（-ab2-2ab）=ab2-2ab．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据单项式乘以多项式、单项式乘以单项式分别求出每个式子的值，再判断即可．【详解】∵（a-3b）（-6a）=-6a2+18ab，∴①正确；∵（-x2y）（-9xy+2）=3x3y2-x2y，∴②错误；∵（-4ab）（-a2b）=2a3b2，∴③正确；∵（-ab）（-ab2-2ab）=a2b3+a2b2，∴④错误；即正确的有2个，故选B．【点睛】此题考查单项式乘以多项式，单项式乘以单项式，能正确求出每个式子的值是解此题的关键．◎考点题型4单项式乘多项式的应用例．（2023春·七年级课时练习）8张如图1的长为，宽为（）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示，如果左上角与右下角的阴影部分的面积始终保持相等，则满足（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】用代数式表示出左上角与右下角部分的面积，根据面积相等求出a与b的关系式．【详解】解：如图，左上角阴影部分的长为AE=AD-a，宽为AF＝4b，右下角阴影部分的长为PC=BC-4b=AD-4b，宽为CG=a，四边形AEHF的面积为：，四边形QPCG的面积为：，∵左上角与右下角的阴影部分的面积始终保持相等，∴，∴，即，故选：C．【点睛】此题考查了整式的混合运算的应用，用代数式表示出两个阴影部分的面积是解本题的关键．变式1．（2023春·全国·七年级专题练习）某些代数恒等式可用几何图形的面积来验证，如图所示的几何图形的面积可验证的代数恒等式是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据各个部分的面积与总面积之间的关系可得答案．【详解】解：整体是长为2a，宽为a+b的长方形，因此面积为2a（a+b），四个部分的面积和为，因此有2a（a+b）=2a2+2ab．故选:A．【点睛】本题考查单项式乘以多项式的几何背景，掌握单项式乘以多项式是正确解答的前提，用代数式表示各个部分的面积是得出正确答案的关键．变式2．（2022秋·全国·八年级专题练习）正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，正方形ABCD的边长为5，则△DEK的面积为（

）A．16 B．9 C．10 D．25【答案】A【分析】设正方形ABCD的边长为a，正方形PFRK的边长为c，可得三角形DEK的面积=正方形ABCD的面积+正方形BEFG的面积+梯形EKPF的面积-三角形ADE的面积-三角形DCG的面积-三角形GPK的面积，再列式进行计算即可．【详解】解：设正方形ABCD的边长为a，正方形PFRK的边长为c，则三角形DEK的面积=正方形ABCD的面积+正方形BEFG的面积+梯形EKPF的面积-三角形ADE的面积-三角形DCG的面积-三角形GPK的面积，故选：A【点睛】本题考查的是利用割补法求解图形面积，同时考查的是整式的乘法运算，加减运算，理解题意列出正确的运算式是解本题的关键．变式3．（2022秋·全国·八年级专题练习）6张长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，S始终保持不变，则a，b满足（

）A．a＝b B．a＝2b C．a＝3b D．a＝4b【答案】D【分析】表示出左上角和右下角部分的面积，求出它们的差，根据它们的差与BC无关即可求出a与b的关系式．【详解】解：如图，设S1的长为x，则宽为4b，S2的长为y，则宽为a，则AB＝4b+a，BC＝y+2b，∵x+a＝y+2b，∴y﹣x＝a﹣2b，∴S＝S2﹣S1＝ay﹣4bx＝ay﹣4b（y﹣a+2b）＝（a﹣4b）y+4ab﹣8b2，∵S始终保持不变，∴a﹣4b＝0，则a＝4b．故选：D．【点睛】本题主要考查整式的混合运算的应用，解题的关键是弄清题意，列出面积差的代数式及整式的混合运算顺序与运算法则．◎考点题型5利用单项式乘多项式求字母的值例．（2023春·全国·七年级专题练习）已知边长分别为a、b的长方形的周长为10，面积4，则ab2+a2b的值为（）A．10 B．20 C．40 D．80【答案】B【分析】直接利用矩形周长和面积公式得出ab，a+b，进而利用提取公因式法分解因式得出答案.【详解】解：由边长分别为a、b的长方形的周长为10，面积4，.则2（a+b）=10，ab=4，则a+b=5，故ab2+a2b=ab（b+a）=4×5=20.故选B.【点睛】本题主要考查了提取公因式法以及矩形的性质应用，正确分解因式是解题关键.变式1．（2022秋·重庆·九年级西南大学附中校考阶段练习）对于五个整式，A：2x2；B：x+1；C：﹣2x；D：y2；E：2x-y有以下几个结论：①若y为正整数，则多项式的值一定是正数；②存在实数x，y，使得A+D+2E的值为-2；③若关于x的多项式(m为常数)不含x的一次项，则该多项式M的值一定大于-3．上述结论中，正确的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根据整式的四则运算法则逐个运算即可判断．【详解】解：对于①：，显然当时代入化简后的式子中结果为负数，故①错误；对于②：时，整理得到：，显然当时代入化简后式子中满足，故②正确；对于③：，∵不含x的一次项，∴，解出，此时，即M的值一定大于等于-3，故③错误；故选：B．【点睛】本题考查了整式的四则运算，属于基础题，熟练掌握整式的四则运算法则是解题的关键．变式2．（2023春·全国·七年级专题练习）要使(x3+ax2-x)·(-8x4)的运算结果中没有含x6的项，则a的值应为（

）A．8 B．-8 C． D．0【答案】D【分析】原式利用单项式乘多项式法则计算，根据结果中不含x6的项，即可求出a的值．【详解】（x3+ax2-x）•（-8x4）=-8x7-8ax6+8x5，∵运算结果中不含x6的项，∴-8a=0，解得：a=0．故选D．【点睛】此题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．变式3．（2016秋·海南海口·八年级统考期中）若的积不含x的一次项，则a的值为A．3 B．-3 C． D．【答案】B【详解】试题解析：（-x+a）（x-3）=-x2+（a+3）x-3a，∵式子中不含一次项，∴a+3=0，∴a=-3．故选B．◎考点题型6多项式与多项式相乘的运算法则概念：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.【注意】多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并。特殊的二项式相乘：.例．（2023春·七年级课时练习）已知，则的值是（

）A． B．10 C． D．2【答案】B【分析】根据多项式乘以多项式展开得出，的值，然后代入求解即可．【详解】解：，，，故选：B．【点睛】本题主要考查多项式的乘法及求代数式的值，熟练掌握多项式乘法法则是解题关键．变式1．（2023春·七年级课时练习）化简求值，其中，时，结果正确的是（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根据多项式乘以多项式、多项式除以单项式、去括号法则、合并同类项运算对代数式先化简，再将，代入化简结果求值即可得到答案．【详解】解：，当，时，原式，故选：B．【点睛】本题考查代数式化简求值，涉及多项式乘以多项式、多项式除以单项式、去括号法则、合并同类项运算、有理数混合运算等知识，掌握相关运算法则是解决问题的关键．变式2．（2023春·全国·七年级专题练习）若，则（

）A．， B．， C．， D．，【答案】C【分析】计算多项式乘多项式，利用对应项对应相等，进行求解即可．【详解】解：，则：，解得：；故选C．【点睛】本题考查多项式乘多项式中的恒等问题．熟练掌握多项式乘多项式的运算法则，是解题的关键．变式3．（2022秋·全国·八年级专题练习）小轩计算一道整式乘法的题：，由于小轩将第一个多项式中的“+2m”抄成“-2m”，得到的结果为．则m的值为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】由题意得：，把等式左边利用多项式乘多项式进行计算，合并同类项后与等式右边对比，即可得出m的值；【详解】解：由题意得：，∴，∴12m=72，∴m=6，故选：C【点睛】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的法则是解决问题的关键．◎考点题型7已知多项式乘积不含某项求字母的值例．（2022秋·广西钦州·八年级校考阶段练习）若的积中不含的二次项，则常数的值为（）A．0 B． C． D．【答案】C【分析】根据多项式乘多项式和的积中不含x的二次项，可以求得m的值，本题得以解决．【详解】解：，∵的积中不含x的二次项，∴，解得，，故选：C．【点睛】本题考查多项式乘多项式，解答本题的关键是明确不含x的二次项，说明多项式乘多项式的展开式中二次项的系数为零．变式1．（2022秋·四川乐山·八年级统考期中）若的展开式中不含，则的值（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】运用多项式乘法法则展开原式，合并化简后，观察项的系数，要使不含项即该项系数为0，即可求出的值．【详解】解：要使结果中不含项，即，解得，故选：D．【点睛】本题考查了多项式乘法法则运用，关键要正确的展开多项式乘以多项式后合并同类项并理解“不含”就意味着该项系数为0．变式2．（2022秋·八年级课时练习）若与的积不含常数项，则m＝（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，根据积不含常数项，确定出m的值即可．【详解】解：（x-m-1）（x+）=x2+x-mx-m-x-=x2+（-m-）x+（-m-），因为积不含常数项，所以，-m-=0，解得：m=-1，故选：A．【点睛】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则、和常数项的定义是解本题的关键．变式3．（2023春·全国·七年级专题练习）如与的乘积中不含的一次项，则的值为（

）A． B．3 C．0 D．1【答案】A【分析】先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积，并且把看作常数合并关于的同类项，令的系数为0，得出关于的方程，求出的值．【详解】解：，又与的乘积中不含的一次项，，解得．故选：A．【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，根据乘积中不含哪一项，则哪一项的系数等于0列式是解题的关键．◎考点题型8多项式乘多项式的化简求值例．（2023春·七年级课时练习）先化简，再求值，其中，满足代数式：【答案】，【分析】先根据多项式乘以多项式的计算法则，单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，再根据非负数的性质求出a、b的值，最后代值计算即可．【详解】解：，∵，，∴，∴，∴，∴原式．【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，非负数的性质，正确计算是解题的关键．变式1．（2023春·全国·七年级专题练习）先化简，再求值：，其中【答案】，【分析】先根据多项式乘以单项式，单项式乘以单项式的计算法则去括号，然后合并同类项，再根据非负数的性质求出m、n的值，最后代值计算即可．【详解】解：，∵，，∴，∴，∴，∴原式．【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，正确计算是解题的关键．变式2．（2023春·七年级课时练习）已知代数式化简后，不含有项和常数项．(1)求，的值．(2)求的值．【答案】(1)0.5；(2)【分析】（1）先算乘法，合并同类项，即可得出关于、的方程，求出即可；（2）先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．【详解】（1）解：，∵代数式化简后，不含有项和常数项．，∴，，∴，；（2）∵，，∴．【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能正确运用整式的运算法则进行化简是解此题的关键，难度适中．变式3．（2023·全国·九年级专题练习）先化简，再求值：，其中，．【答案】；【分析】先根据整式的乘法法则算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．【详解】解：，当，时，原式．【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．◎考点题型9多项式乘多项式与图形面积例．（2023秋·山西长治·八年级统考期末）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．其中是等腰三角形，四边形是长方形，若的底边为米，它的高为米，长方形的长为米，宽为x米，用含x的式子表示该配电房的面积，并求出当时，该配电房的面积为多少平方米．【答案】平方米；18平方米【分析】求出三角形面积和长方形的面积和即可．【详解】解：配电房面积为平方米；当时，该配电房的面积为（平方米），答：该配电房的面积为18平方米．【点睛】本题考查了多项式的加减乘除法的实际应用，解题关键是理解题意，能列出表示面积的代数式，能化简代数式，能代入数值进行计算．变式1．（2022秋·河南南阳·七年级校联考阶段练习）如图，长为50cm，宽为xcm的大长方形被分割为8小块，除阴影A、B外，其余6块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为acm．(1)从图可知，每个小长方形较长一边长是_____cm（用含a的代数式表示；(2)求图中两块阴影A、B的周长和（可以用x的代数式表示）；(3)若cm时用含x的代数式分别表示阴影A、B的面积，并比较A，B的面积大小．【答案】(1)(2)4x(3)，，【分析】（1）从图可知，每个小长方形较长一边长是大长方形的长小长方形宽的3倍；（2）从图可知，的长的宽，的宽的长，依此求出两块阴影、的周长和；（3）根据长方形的面积长宽即可表示阴影、的面积，然后比较大小即可．【详解】（1）解：由图可知：每个小长方形较长一边长是．故答案为；（2）解：由图可知：的长的宽cm，的宽的长cm，∴、的周长和（的长的宽）(的长的宽)（的长的宽）(的长的宽)cm；（3）解：，，，，．【点睛】本题考查列代数式解决实际问题．根据题意，正确的列出代数式，熟练掌握整式的加减运算，是解题的关键．变式2．（2023春·全国·七年级专题练习）挖去长为，宽为的小长方形铁片．(1)求剩余部分的面积；(2)求出当，时剩余部分的面积．【答案】(1)(2)13【分析】（1）首先利用大长方形的面积减去小长方形的面积列出整式，然后化简，即可得出结果；（2）根据（1）中算出的结论，把，代入并计算，即可得出结论．【详解】（1）解：剩余部分的面积为：．（2）解：当时，原式．【点睛】本题考查了多项式乘多项式与图形面积、代数式化简求值，解本题的关键在正确列出代数式并计算．变式3．（2023春·河南南阳·八年级统考期中）如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地，规划部门将阴影部分进行绿化，中间将修建一座边长为米的正方形水池．(1)试用含，的式子表示绿化部分的面积（结果要化简）；(2)求出当是满足不等式的所有整数的和，是的整数部分时的绿化面积．【答案】(1)绿化部分的面积是平方米(2)【分析】（1）分别求出长方形的面积和小正方形的面积，即可得出答案；（2）把，的值代入求出即可．【详解】（1）绿化部分的面积：，∴绿化部分的面积是平方米．（2）∵，∴．∵，∴．∴不等式的所有整数解为：－1、0、1、2，∴．（或者∵满足的所有整数值为－1、0、1、2，∴）因为，所以，所以，∴当，时，．【点睛】本题考查了整式的混合运算的应用，解此题的关键是能根据题意列出算式．◎考点题型10多项式乘法中的规律问题例．（2022春·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考阶段练习）若一个只含字母的多项式的项数是偶数，用该多项式去乘，若该多项式的项数是奇数，则用该多项式去乘，称这为第一次操作；若第一次操作后所得多项式的项数是偶数，用该多项式去乘，若该多项式的项数是奇数，则用该多项式去乘称这为第二此操作，以此类推．①将多项式以上述方式进行2次操作后所得多项式项数是5；②将多项式以上述方式进行3次操作后，多项式的所有系数和为0；③将多项式以上述方式进行4次操作后，当时，所得多项式的值为243；④将多项式以上述方式进行次操作后所得多项式为；四个结论错误的有（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据题意，计算出进行2次操作后所得多项式，即可判定①；根据题意，计算出以上述方式进行3次操作后所得多项式，即可判定②；根据题意，计算出进行4次操作后所得多项式，再把代入计算即可判定③；根据题意，总结归纳出进行次操作后所得多项式规律，即可判定④．【详解】解：第1次操作后，得，第2次操作后，得，∴第2次操作后所得多项式项数是4，故①错误；第1次操作后，得，第2次操作后，得，第3次操作后，得，∴将多项式以上述方式进行3次操作后，多项式的所有系数和为故②正确；第1次操作后，得，第2次操作后，得，第3次操作后，得，第4次操作后，得，当a=2时，，故③正确；第1次操作后，得，第2次操作后，得，第3次操作后，得第4次操作后，得…第n次操作后，得，故④错误；综上，错误的有①④共2个，故选：C．【点睛】本题考查多项式乘多项式，数式规律探究，熟练掌握多项式乘多项式法则是解题的关键．变式1．（2022春·江西景德镇·七年级统考期中）观察下列各式：①

②③……根据以上规律，试求出的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据题意，表示出规律为，再利用规律进行计算即可．【详解】观察题目，可得规律为：，，故选：D．【点睛】本题考查了整式的规律探索和运算，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．变式2．（2023春·全国·七年级专题练习）若定义表示，表示，则运算÷的结果为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据定义列出代数式，然后再利用积的乘方、单项式除法解答即可．【详解】解：由题意可得：==．故选A．【点睛】本题主要考查了整单项式除法运算，根据新定义列出整式是解答本题的关键．变式3．（2023春·全国·七年级专题练习）若，则，的值分别为(

)A．3，2 B．2，2 C．2，3 D．3，1【答案】C【分析】直接利用积的乘方运算法则化简，再利用整式的除法运算法则得出关于m，n的等式，进而得出答案．【详解】解：，则，，解得：，．故选：C【点睛】此题主