河南省洛阳市2024-2025学年高二数学下学期期末质量检测试题理含解析

PAGE21-河南省洛阳市2024-2025学年高二数学下学期期末质量检测试题理（含解析）本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.第I卷1至2页，第I卷3至4页.考试时间120分钟.第I卷（选择题，共60分）留意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上.2.考试结束，将答题卡交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知a是实数，是实数，则的值为（）A. B. C.0 D.【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由虚部为0求得值，代入得答案．【详解】解：是实数，，即．．故选：A．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查三角函数值的求法，属于基础题．2.已知命题，，下列形式正确的是（）A.，使得 B.，使得C.， D.，【答案】B【解析】【分析】全称命题的否定是特称命题，否定量词，否定结论.【详解】否定量词，否定结论，即，使得.故选：B.【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于基础题.3.设某高校的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，依据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回来方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是A.y与x具有正线性相关关系B.回来直线过样本点的中心（，）C.若该高校某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD.若该高校某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg【答案】D【解析】依据y与x的线性回来方程为y=0.85x﹣85.71，则=0.85＞0，y与x具有正的线性相关关系，A正确；回来直线过样本点的中心（），B正确；该高校某女生身高增加1cm，预料其体重约增加0.85kg，C正确；该高校某女生身高为170cm，预料其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg，D错误．故选D．4.已知向量，，且.若x，y满意不等式，则取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，得到，画出满意条件的平面区域，通过图象读出即可．【详解】解：，，又，，即，画出满意条件的平面区域，如图示：由得：，明显：直线过原点是最小是0，直线过时，最大是3，所以故选：D．【点睛】本题考查了向量垂直的性质，考查简洁的线性规划问题，属于基础题．5.以双曲线的右焦点F为圆心，a为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切，则该双曲线的离心率为（）A. B. C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】依据圆和渐近线的垂直关系建立方程条件进行求解即可．【详解】解：由题意知圆心，双曲线的渐近线为，不妨设其中一条为，圆与渐近线相切，圆心到渐近线的距离，即即离心率，故选：A．【点睛】本题主要考查双曲线离心率的计算，依据直线和圆的相切关系建立方程是解决本题的关键，属于基础题．6.的绽开式中常数项为（）A.30 B.15 C.－15 D.30【答案】B【解析】【分析】写出通项，然后令的指数为0，即可求出常数项．【详解】解：绽开式的通项为：．令解得，可得常数项为．故选：B．【点睛】本题考查二项式定理，通项法探讨绽开式中特定项的问题，属于基础题．7.已知，，，则的最大值为（）A. B. C.4 D.8【答案】B【解析】【分析】利用对数的运算法则以及二次函数的最值化简求解即可．【详解】解：，，，则．当且仅当时，函数取得最大值．故选：B．【点睛】本题考查对数运算法则以及函数的最值的求法，考查计算实力，属于中档题．8.设随机变量听从正态分布，若，则函数没有极值点的概率是（）A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8【答案】C【解析】【分析】首先利用导数求出的范围，再利用正态分布的对称性即可得到答案.【详解】，因为函数没有极值点，所以，解得或.因为听从正态分布，所以的分布关于对称，所以.故函数没有极值点的概率为.故选：C【点睛】本题主要考查正态分布的对称性，同时考查了函数的极值点定义，属于中档题.9.若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设，依据，由求解.【详解】设，所以，，所以，解得，即.故选：A【点睛】本题主要考查定积分的基本运算，还考查了运算求解的实力，属于基础题.10.回文数是从左到右与从右到左读都一样的正整数，如2，11，242，6776，83238等，设n位回文数的个数为（n为正整数），如11是2位回文数，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依据回文数的特点，依据分步计数原理，依次写出满意条件的，，，的值，推断选项.【详解】2位回文数包含11，,22,33，…,99，共9个，所以3位回文数，第一位和第三位有9种方法，中间有10种方法，依据分步计数原理可知，共个，故，4位回文数，第一位和第四位有9种方法，中间两位有10种方法，依据分步计数原理可知有种方法，故5位回文数，第一位和第五位有9种方法，中间以为有10种方法，其次位和第四位有10种方法，依据分步计数本原理可知有种，故.故选：C【点睛】本题考查分步计数原理，关键是读懂新定义数字问题的理解和运用，属于中档题型.11.已知函数满意，当时，，若，，，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先利用导数求出的单调区间，再利用指数函数和对数函数的性质得到，从而得到的大小关系.【详解】由题知：，设，，所以在为减函数，又因为，所以，，即，为增函数，，，即，为减函数.又因为函数满意，所以为偶函数..因为，，即，所以，即.故选：D【点睛】本题主要考查利用导数探讨函数的单调区间，同时考查了指数，对数的比较大小和偶函数的性质，属于中档题.12.已知点P在抛物线上，过点P作抛物线的切线，，切点分别为M，N，若，且，则C的准线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】设，利用导数写出切线的方程，联立求出交点坐标，又由，知为三角形的重心，代入重心坐标公式，利用已知条件可求出的坐标为再代入抛物线方程,求出，进而求C的准线方程.【详解】设，由，得，则，则即同理直线的方程为，联立的方程可得，则，又由，得为三角形的重心,则，，得，则，又抛物线上，得，即，准线方程为.故选：A.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的相切问题，三角形重心的坐标公式以及抛物线的性质，考查了推理实力与计算实力，属于难题.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线在点处的切线的方程为__________．【答案】【解析】【分析】对求导，带入得到斜率，通过点斜式得到切线方程，再整理成一般式得到答案.【详解】带入得切线的斜率，切线方程为，整理得【点睛】本题考查导数的几何意义，通过求导求出切线的斜率，再由斜率和切点写出切线方程.难度不大，属于简洁题.14.我国古代数学名著《九章算术》记载：“勾股各自乘，并之，为弦实”，用符号表示为a2＋b2＝c2(a，b，c∈N*)，把a，b，c叫做勾股数．下列给出几组勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；9,40,41，以此类推，可揣测第5组勾股数的其次个数是________．【答案】60【解析】【分析】由前四组勾股数可得第5组的第一个数为11，其次、三个数为相邻的两个整数，可设为，列出方程，即可求解.【详解】由前四组勾股数可得第五组的第一个数为11，其次、三个数为相邻的两个整数，设其次、三个数为：，所以，解得，所以第5组勾股数的三个数依次为，故答案为.【点睛】本题主要考查了合情推理的应用，其中解答中仔细审题，合理进行归纳、列出方程计算是解答的关键，着重考查了推理与计算实力，属于基础题.15.在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威逼，为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取只小鼠进行试验，得到如下联表：感染未感染总计服用未服用总计参考公式：参照附表，在犯错误的概率最多不超过__________（填百分比）的前提下，可认为“该种疫苗由预防埃博拉病毒感染的效果”．【答案】【解析】【详解】由题意可得，，参照附表，可得：在犯错误的概率不超过的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”，故答案为.【方法点睛】本题主要考查独立性检验的应用，属于中档题.独立性检验的一般步骤：（1）依据样本数据制成列联表；（2）依据公式计算的值；(3)查表比较与临界值的大小关系，作统计推断.（留意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）16.已知函数，下面四个结论：①函数在其定义域上为增函数；②对于随意的，都有；③有且仅有两个零点；④若在点处的切线也是的切线，则必是的零点，其中全部正确的结论序号是________.【答案】②③④【解析】【分析】利用特别值法可推断①的正误;推导出当时从而可推断②的正误；对函数，化简得，定义域为，利用函数单调性的性质，得到函数的单调性，结合零点存在定理可推断③的正误;利用导数的几何意义得到，进而可推断④的正误.【详解】，，所以，函数在其定义域上不是增函数，①错；当时，，，则，②正确；函数，化简得，定义域为，由函数单调性的性质，知函数在，单调递增；即函数在区间上有且仅有1个零点所以，函数区间上有且仅有1个零点.因此，函数有且仅有两个零点，③正确；在点处的切线的方程，即，又也是的切线,设切点为，则，即，则且，化简得，则,则，故必是函数的零点，④正确；故答案为：②③④.【点睛】本题考查了函数单调性、零点个数以及不等式的推断，同时也考查了导数的几何意义，考查了推理实力，属于中等题.三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求角C；（2）若，的面积为，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）首先依据正弦定理得到，再代入计算即可得到答案.（2）首先利用正弦定理面积公式得到，再利用余弦定理计算即可.【详解】（1）因，由正弦定理得，即，由余弦定理得.因为，所以.（2）因为，面积为，所以，即，解得.由余弦定理得，所以.【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，同时考查正弦定理角化边公式和面积公式，属于基础题.18.已知数列的前n项和为，，若数列是公比为2的等比数列.（1）求数列的通项公式；（2），求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由数列是公比为2的等比数列求得，再由求数列的通项公式；（2）把（1）中求得的通项公式与前项和代入，然后裂项相消求数列的前项和．【详解】解：（1）∵，∴.∵数列是公比为2的等比数列，∴，∴.当时，，∴.明显适合上式，∴.（2）由（1）知，，∴，∴.【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查由数列的前项和求数列的通项公式，训练了裂项相消法求数列的前项和，属于中档题．19.在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，，M是的中点，，.（1）求证：；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）先由面面，可证得平面，证得，再证得平面，证得；（2）建系设点，用空间坐标分别求面和面的法向量，求得二面角的余弦值.【详解】（1）∵，是的中点，∴.∵平面平面，面，面面，∴平面，又∵平面，∴.∵是矩形，M是的中点，，，∴，又，∴平面.∵平面，∴.（2）由（1）知平面，过点M作，交于N，则，，两两垂直.以M为坐标原点，以，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间坐标系，则，，，，.，，.设平面的法向量为，则，∴，令，得.设平面的法向量为，则，∴，令，得.∴，又二面角是钝二面角，故二面角余弦值为.【点睛】本题考查了面面垂直，线面垂直，线线垂直的判定与性质，用向量坐标求二面角的余弦值，属于中档题.20.已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，斜率为k的直线l过点且与椭圆交于C，D两点.（1）求椭圆的方程；（2）设，分别为直线，的斜率，当k变动时，是否为定值？说明理由.【答案】（1）；（2）是定值；答案见解析.【解析】【分析】（1）设椭圆的半焦距为c.依据离心率为，点在椭圆上由求解.（2）设直线l的方程为，由，得，设，，依据，得到，，然后相乘，并将韦达定理代入求解.【详解】（1）设椭圆的半焦距为c.∵椭圆的离心率为，点在椭圆上，∴.解得，，.∴椭圆的方程为.（2）当k变动时，为定值－2.证明如下：设直线l的方程为.由，得.设，，则，.因为，所以，，所以，，.【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法以及直线与椭圆的位置关系，定值问题，还考查了运算求解的实力，属于中档题.21.某制造企业依据长期检测结果，发觉生产产品的一项质量指标值听从正态分布，并把质量指标值在内的产品称为优等品，质量指标值在内的产品称为一等品，其余范围内的产品作为废品处理.优等品与一等品统称为正品，现从该企业生产的产品中随机抽取1000件，测得产品质量指标值的样本数据统计如下图：（1）依据频率分布直方图，求样本平均数；（2）依据大量的产品检测数据，得出样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率；参考数据：若随机变量听从正态分布，则：，，.（3）假如企业包装时要求把3件优等品5件一等品装在同一个箱子甲