新教材适用高中数学第7章复数测评新人教A版必修第二册

第七章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知a,b∈R,则“a=b”是“(a-b)+(a+b)i为纯虚数”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析:(a-b)+(a+b)i为纯虚数的充要条件是实数a,b满意a-b=0,a+b≠0,即结合题意知充分性不成立,必要性成立,故选C.答案:C2.若(1+i)+(2-3i)=a+bi(a,b∈R,i是虚数单位),则a,b的值分别等于()A.3,-2 B.3,2C.3,-3 D.-1,4答案:A3.已知复数z=-1+i1+i-1,在复平面内z所对应的点在 (A.第一象限B.其次象限C.第三象限D.第四象限解析:z=(-1+i)i(1+i)i-1=(-答案:B4.设复数z=-1-i(i为虚数单位),z的共轭复数是z,则2-zzA.-1-2i B.-2+iC.-1+2i D.1+2i解析:由题意可得2-zz=2答案:C5.已知在复平面内,向量AB,BC,AD对应的复数分别为-2+i,3-i,1+5i,则A.-6i B.6iC.5i D.-5i解析:∵CD=CB∴CD对应的复数为-(3-i)-(-2+i)+1+5i=5i答案:C6.已知复数z1=2+ai(a∈R),z2=1-2i,若z1z2为纯虚数,则|z1|A.2 BC.2 D.解析:由于z1z2=2+ai1-2i=(2+ai答案:D7.若z=cosθ+isinθ(i为虚数单位),则使z2=-1的θ值可能是()A.π6 B.π4解析:∵z2=(cosθ+isinθ)2=cos2θ+isin2θ=-1,∴∴2θ=2kπ+π(k∈Z).∴θ=kπ+π2(k∈Z),令k=0知选D答案:D8.设△ABC的两个内角A,B所对的边分别为a,b,复数z1=a+bi,z2=cosA+icosB,若复数z1·z2在复平面内对应的点在虚轴上,则△ABC是()A.等腰三角形或直角三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形D.直角三角形解析:z1·z2=(a+bi)(cosA+icosB)=(acosA-bcosB)+(acosB+bcosA)i,∵z1·z2在复平面内对应的点在虚轴上,∴acosA-bcosB=0,即sinAcosA-sinBcosB=0,∴sin2A=sin2B,∴2A=2B或2A+2B=π,∴A=B或A+B=π∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.答案:A二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知(x+i)(1-i)=y,则下列说法正确的是()A.若x,y为实数,则x=1,y=2B.若x,y为实数,则|x+yi|=3C.若x为实数,y为纯虚数,则x=-1,y=2iD.若x为实数,y为纯虚数,则复数x+yi为实数解析:A项中,∵(x+i)(1-i)=(x+1)+(1-x)i,∴(x+1)+(1-x)i=y.∴x+1=y,B项中,由A项知,x+yi=1+2i,所以|x+yi|=5,故B不正确.C项中,设y=bi(b∈R),∵(x+i)(1-i)=(x+1)+(1-x)i,∴(x+1)+(1-x)i=y=bi.∴∴x=-1,y=2i,故C正确.D项中,由C项知,x+yi=-1+2i×i=-1-2=-3,故D正确.答案:ACD10.已知i为虚数单位,a为实数,复数z=(1-2i)(a+i),则下列说法正确的是()A.若复数z为实数,则a=1B.若复数z为纯虚数,则a=-2C.若复数z在复平面内对应的点在第四象限,则a>1D.若复数z的共轭复数为z,且zz=10,则a=1解析:z=(1-2i)(a+i)=(a+2)+(1-2a)i,A项中,∵z为实数,∴1-2a=0,a=12B项中,∵z为纯虚数,∴a+2=0,且1-2a≠0,∴a=-2,故B正确;C项中,∵z对应的点在第四象限,∴a+2>0,且1-2a<0,∴a>12D项中,∵zz=|z|2=(a+2)2+(1-2a)2=5a2+5=10,∴a=±1,故D不正确.答案:ABC11.已知z1=1+2i,z2=m+(m-1)i(m∈R),则下列说法正确的是()A.复数z2对应的点不行能在其次象限B.若复数z2的模与复数z1的模相等,则m=2C.若z1z2的实部和虚部为相等的正数,则m=3D.若z1z2为纯虚数,则m=1解析:A项中,若复数z2对应的点在其次象限,则m<B项中,∵|z1|=5,∴|z2|=m2+(m-C项中,z1z2=(1+2i)[m+(m-1)i]=(m-2m+2)+(2m+m-1)i=(2-m)+(3m-1)i,则有2-m=3m-1,得m=34D项中,由C项知,z1z2=(2-m)+(3m-1)i,则2-m=0,且3m-1≠0,得m=2.故D不正确.答案:AC12.设z1,z2是复数,则下列说法正确的是()A.若|z1+z2|=0,则zB.若z1=z2,则z1C.若|z1|=|z2|,则z1·z1=zD.若|z1|=|z2|,则z解析:对于A,若|z1+z2|=0,则z1+z2=0,z1=-z2,故z1=z2不正确;对于B,若z1=z2,则z1和z2互为共轭复数,故z1=z2;对于C,设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1,b1,a2,b2∈R),若|z1|=|z2|,则a12+b12=a22+b22,z1·z1=a12+b12,z2·z2=a2答案:BC三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知复数z=(3+i)2(i为虚数单位),则|z|=.

解析:(方法一)∵z=(3+i)2,∴|z|=|(3+i)2|=|3+i|2=10.(方法二)∵z=(3+i)2=9+6i+i2=8+6i,∴|z|=82+6答案:1014.i为虚数单位,设复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,若z1=2-3i,则z2=,z1z2=解析:∵点(2,-3)关于原点的对称点是(-2,3),∴z2=-2+3i.∴z1z答案:-2+3i-1*15.在复平面内,将复数1+i对应的向量OM绕点O按逆时针方向旋转π4,得到的向量为OM1,那么OM1解析:OM1对应的复数是(1+i)cosπ4+isinπ4=22(1+i)2=答案:2i16.若关于x的方程x2+(2-i)x+(2m-4)i=0有实数根,则纯虚数m=.

解析:设m=bi(b∈R,且b≠0),则x2+(2-i)x+(2bi-4)i=0,化简得(x2+2x-2b)+(-x-4)i=0,即x解得x故m=4i.答案:4i四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知复数z1满意(z1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位),复数z2的虚部为2,z1·z2是实数,求z2.解:(z1-2)(1+i)=1-i⇒z1=2-i.设z2=a+2i(a∈R),则z1z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i.∵z1z2∈R,∴a=4,∴z2=4+2i.18.(12分)已知复数z1=m+(m2-2m)i,z2=1+(-m2+3m-1)i,其中m∈R.(1)若复数z1为实数,求m的值;(2)求|z1+z2|的最小值.解:(1)由复数z1为实数,则m2-2m=0,解得m=2或m=0.(2)因为z1+z2=(m+1)+(m-1)i,所以|z1+z2|=(m故当m=0时,|z1+z2|的最小值为219.(12分)已知复数z=(2+i)m2-6m1-i-2(1-i).求实数解:因为m∈R,所以复数z=(2+i)m2-3m(1+i)-2(1-i)=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i.(1)当2m2-3m-(2)当m2-3m+2≠0,即m≠2,且m≠1时,z为虚数.(3)当2m2-3m-2=0(4)当2m2-3m-2=-(m2-3m+2),即m=0或m=2时,z是复平面内其次、四象限平分线上的点对应的复数.20.(12分)已知z是复数,z+2i,z2-i均为实数(i为虚数单位),且复数(z+ai)2在复平面内对应的点在第一象限,求实数解:设z=x+yi(x,y∈R),∵z+2i=x+(y+2)i是实数,∴y=-2.∵z2-i=x-2i2-i=15(∴x=4,∴z=4-2i.∵(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i,依据条件,可知12+4解得2<a<6.∴实数a的取值范围是(2,6).21.(12分)已知复数z满意|z|=2,z2的虚部是2.(1)求复数z;(2)设z,z2,z-z2在复平面上的对应点分别为A,B,C,求△ABC的面积.解:(1)设z=a+bi(a,b∈R),由已知条件得,a2+b2=2,①∵z2=a2-b2+2abi,∴2ab=2.②由①②解得a=b=1或a=b=-1,即z=1+i或z=-1-i.(2)当z=1+i时,z2=(1+i)2=2i,z-z2=1-i,即点A(1,1),B(0,2),C(1,-1),得S△ABC=12|AC|·1=12×2×当z=-1-i时,z2=(-1-i)2=2i,z-z2=-1-3i.即点A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),得S△ABC=12|AC|·1=12×2×1故△ABC的面积为1.22.(12分)已知复数z1=cosα+isinα,z2=cosβ-isinβ,且z1+1z2=12+32解:由z1+1z2=12+3