2024-2025学年上海市浦东新区高桥中学高三（上）第一次段考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年上海市浦东新区高桥中学高三（上）第一次段考数学试卷一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为(

)A.y=lnx B.y=tanx C.y=x3+x2.如图，直角坐标系中有4条圆锥曲线Ci(i=1,2,3,4)，其离心率分别为ei.则4条圆锥曲线的离心率的大小关系是A.e2<e1<e4<e3.下列命题错误的是(

)A.两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1

B.设ξ～B(n,p)，若E(ξ)=30，D(ξ)=20，则n=90

C.线性回归直线y​=b​x+a​一定经过样本点的中心(x−,y−)

D.一个袋子中有4.现定义如下：当x∈(n,n+1)时(n∈N)，若f(x+1)=f′(x)，则称f(x)为延展函数.现有，当x∈(0,1)时，g(x)=ex与ℎ(x)=x10均为延展函数，则以下结论(

)

(1)存在y=kx+b(k,b∈R；k，b≠0)与y=g(x)有无穷个交点

(2)存在y=kx+b(k,b∈R；k，b≠0)与A.(1)(2)都成立 B.(1)(2)都不成立 C.(1)成立(2)不成立 D.(1)不成立(2)成立二、填空题：本题共12小题，共54分。5.若集合A={0,2,4}，B={1,2,3}，则A∪B=______．6.抛物线y2=8x的准线方程是________。7.已知tanα=3，则tan(α−π4)=8.在某项测量中，其测量结果ξ服从正态分布N(3,σ2)(σ>0)，且P(ξ>4)=15，则9.已知a、b∈R，方程x2−ax+b=0的一个根为3−i(i为虚数单位)，则a=______．10.△ABC的内角A、B、C所对边长分别为a、b、c，面积为S，且a2+b2−11.已知向量a=(1,1)，b=(2,−1)，则b在a方向上的投影向量为______．12.若直线x+y+a=0与曲线y=x−2lnx相切，则实数a的值为______．13.在数列{an}中，a1=2，且a14.盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的商品盒子.已知某盲盒产品共有3种玩偶，小明购买4个盲盒，则他能集齐3种玩偶的概率是

．15.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F1，左焦点为16.a1=2，a2=4，a3=8，a4=16，任意b1，b2，b三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知sin2A+sin2C=sin2B+sinAsinC．

(1)求角B的大小；

(2)若△ABC18.(本小题14分)

如图，在三棱锥P−ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AC=BC，PA=PB，且点C在以点O为圆心AB为直径的半圆AB上．

(1)求证：AB⊥PC；

(2)若AC=2，且PC与平面ABC所成角为π4，求点B到平面PAC的距离．19.(本小题14分)

跑步是人们日常生活中常见的一种锻炼方式，其可以提高人体呼吸系统和心血管系统机能，抑制人体癌细胞生长和繁殖.为了解人们是否喜欢跑步，某调查机构在一小区随机抽取了40人进行调查，统计结果如下表．喜欢不喜欢合计男12820女101020合计221840(1)根据以上数据，判断能否有95%的把握认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关？

附：χ2=n(ad−bc)P(0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828(2)该小区居民张先生每天跑步或开车上班，据以往经验，张先生跑步上班准时到公司的概率为23，张先生跑步上班迟到的概率为13对于下周(周一～周五)上班方式张先生作出如下安排：周一跑步上班，从周二开始，若前一天准时到公司，当天就继续跑步上班，否则，当天就开车上班，且因公司安排，周五开车去公司(无论周四是否准时到达公司).设从周一开始到张先生第一次开车去上班前跑步上班的天数为X，求X的概率分布及数学期望E(X)20.(本小题18分)

阿基米德(公元前287年—公元前212年，古希腊)不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系中，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的面积等于2π，且椭圆C的焦距为23.点P(4,0)、Q(0,2)分别为x轴、y轴上的定点．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)点R为椭圆C上的动点，求三角形PQR面积的最小值，并求此时R点坐标；

(3)直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，已知A关于y轴的对称点为M，B点关于原点的对称点为N21.(本小题18分)

已知函数f(x)=eax−x−1

(1)当a=1时，求函数f(x)的极值；

(2)求函数f(x)的单调区间；

(3)若对任意的实数k，b，函数y=f(x)+kx+b与直线y=kx+b总相切，则称函数f(x)为“恒切函数”.当a=1时，若函数g(x)=ex2参考答案1.C

2.C

3.D

4.D

5.{0,1,2,3,4}

6.x=−2

7.128.45

9.6

10.π411.(112.−2

13.4

14.4915.516.48

17.解：(1)由正弦定理得a2+c2=b2+ac，

又由余弦定理得cosB=a2+c2−b22ac=ac2ac=12，

因为B是三角形内角，所以B=π3；18.解：(1)证明：连接OP，OC，

∵PA=PB，AC=BC，∴AB⊥OP，AB⊥OC，

∵OP∩OC=O，∴AB⊥平面OPC，

∵PC⊂平面OPC，∴AB⊥PC．

(2)由(1)得，∵AB⊥OP，且平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，

∴OP⊥平面ABC，∴PC与平面ABC所成角为∠PCO=π4，∴OC=OP，

∵点C在以点O为圆心，AB为直径的半圆AB上，AC=BC=2，

∴OC=OP=OA=OB=2，PA=AC=PC=2，

设点B到平面PAC的距离为ℎ，

∵VP−ABC=VB−PAC19.解：(1)假设H0：人们对跑步的喜欢情况与性别无关，

根据题意，由2×2列联表中的数据，

可得χ2=40×(12×10−8×10)220×20×22×18=4099≈0.4040<3.841，

因为P(χ2≥3.841)=0.050，不能推断假设H0不成立，

所以没有95%认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关联；

(2)X的所有可能取值分别为1，2，3，4，X1234P1248所以E(X)=1×1320.(1)解：由题意知，椭圆的面积知abπ=2π，

得ab=2，

又2c=23，

所以ab=2c=3a2=b2+c2，

解得a=2b=1，

所以椭圆C的方程为x24+y2=1；

(2)由题意得，直线PQ方程为x4+y2=1，

即x+2y−4=0，

设R(2cosθ,sinθ)(θ为参数)，

则点R到直线PQ的距离为d=|2cosθ+sinθ−4|5=|22sin(θ+π4)−4|5，

当sin(θ+π4)=1，

即θ+π4=π2，

即θ=π4时，d取得最小值，且最小值为4−225，

所以△PQR的面积的最小值为Smin=12d|PQ|=12⋅4−225⋅25=4−22，

此时R(2,22)．

(3)设直线l：x=my+t，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

则M(−x1,y1)，21.解：(1)函数f(x)=eax−x−1，f′(x)=aeax−1，

当a=1时，f′(x)=ex−1，

∴f′(0)=0，当x<0时，f′(x)<0，f(x)单调递减，

当x>0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

故f(x)有极小值f(0)=0，无极大值．

(2)由f(x)=eax−x−1，得f′(x)=aeax−1，

当a>0时，aeax−1=0，eax=1a，x=ln1aa=−lnaa，

∴f′(−lnaa)=0，且f′(x)=aeax−1为增函数，

∴x>−lnaa时，f′(x)>0，f(x)在(−lnaa,+∞)单调递增；

x<−lnaa时，f′(x)<0，f(x)在(−∞,−lnaa)单调递减；

当a≤0时，f′(x)=aeax−1≤−1，f(x)在