高中数学选修坐标知识点总结

坐标系与参数方程知识点

1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

设点P（X,y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换

0：r'：心"（2>0）的作用下，点P（x,y）对应到点p（yy）,称夕为平面

y（〃>0）

直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.

2.极坐标系的概念

（1）极坐标系

如图所示F,在平面内取一个定点。，叫做极点，自

极点。引一条射线Ox,叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单

位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个

极坐标系.

注：极坐标系以角这一平面图形为几何背景，而平面直角坐标系

以相互垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能

建立一一对应的关系，而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐

标系都是平面坐标系.

（2）极坐标

设M是平面内一点,极点。与点M的距离10M1叫做点M的极径,记

为"；以极轴Ox为始边，射线。加r为终边的角ZxOM叫做点M的极角，

记为氏有序数对（P⑼叫做点M的极坐标,记作

一样地,不作特别说明时,我们认为。可取任意实数.

特别地，当点加在极点时,它的极坐标为(0,e)(6GR).和直角

坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.

如果规定2>0,04。<2〃，那么除极点外，平面内的点可用唯独的

极坐标(4。)表示；同吐极坐标(p,O)表示的点也是唯独肯定的.

3.极坐标和直角坐标的互化

(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为

极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示：

(2)互化公式：设/是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是

(x,y),极坐标是(p,。)(020),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:

点M直角坐标(x,y)极坐标3。)

p2=X2+）2

fx=pcosO

互化公式<

[y=夕sin。tan9=2（％w0）

在一样情形下，由tan。肯定角时，可根据点/所在的象限最小正

角.

4.常见曲线的极坐标方程

曲线图形极坐标方程

圆心在极点，

p-r(0<0<2万)

半径为厂的圆

圆心为（厂,0）,

P-2rcose(一.Kev乡

半径为「的圆

圆心为（「,（）,

p2rsin6(048<»)

半径为「的圆

OX

(1)

过极点，倾斜0-a{pEE)或。=〃+a{peR)

角为a的直线⑵

0=a{p>0)和0=7i+a{p>0)

过点（a,0）,与

极轴垂直的直•1pcosO=a(-^-<

()(a.O)x

线

Kv

过点（咤），与％)_____

极轴平行的直夕sine=〃(O<e<〃)

0：;

线

注：由于平面上点的极坐标的表示情势不唯独，即

（夕,9）人p,2兀+。）,（-P，1兀+。）,都表示同一*点的坐标,这与点的直

角坐标的唯独性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示

情势，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方

程0=。,点/（三二）可以表示为（工3+2乃）或（2二-2»）或（-工，笆）等多种

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情势,其中，只有（王二）的极坐标满足方程0=0.

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二、参数方程

1.参数方程的概念

一样地,在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都

是某个变数，的函数/⑺①,并且对于/的每一个答应值，由方程组

）=g«）

①所肯定的点M（x,y）都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的

参数方程,联系变数的变数f叫做参变数,简称参数,相对于参数方

程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.

2.参数方程和普通方程的互化

（1）曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同情势，一样地

可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.

（2）如果知道变数中的一个与参数/的关系，例如x=/⑺，把它

代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系y=g«）,那么f⑺就

是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中，必须使的取

值范畴保持一致.

注：普通方程化为参数方程，参数方程的情势不一定唯独。运用

参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，

那么所求得的曲线的参数方程的情势也不同。

3.圆的参数

如图所示，设圆。的半径为「，点/从初始位置％动身，按逆时

针方向在圆。上作匀速圆周运动，设则为参数）。

y=rsinff

这就是圆心在原点0,半径为厂的圆的参数方程，其中。的几何意

义是。区转过的角度。

圆心为（a,。），半径为r的圆的普通方程是（x-a）?+（y-Z>）2=r,

它的参数方程为：[x=a+'c°se（e为参数）。

4.椭圆的参数方程

以坐标原点。为中心，焦点在X轴上的椭圆的标准方程为

・+2~=l（o>b〉0）,其参数方程为「：C°S'（0为参数），其中参数0称为

ab[y=bsm（p

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离心角；焦点在y轴上的椭圆的标准方程是4+{=1（。〉。〉0）,其参数

ab

方程为厂=反°s々0为参数），其中参数夕仍为离心角，通常规定参数cp的

y=asmcp

范畴为06[0,2万）。

注：椭圆的参数方程中，参数0的几何意义为椭圆上任一点的离

心角，要把它和这一点的旋转角a区分开来，除了在四个顶点处，离

心角和旋转角数值可相等外（即在0到2%的范畴内），在其他任何一

点，两个角的数值都不相等。但当04a/时，相应地也有0"得，

在其他象限内类似。

5.双曲线的参数方程

以坐标原点。为中心，焦点在X轴上的双曲线的标准议程为

22[_

--七=1（。〉0,。〉0）,其参数方程为\X"sec。（0为参数）,其中

ab[y=btan（p

0e[0,2幻且夕w合夕w

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焦点在y轴上的双曲线的标准方程是3-・=l（a〉0,A〉0）,其参数

ab

方程为「为参数，其中0e（O,2%）e且0工乃.

y=acsc（p

以上参数夕都是双曲线上任意一点的离心角。

6.抛物线的参数方程

以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线=2px（p〉0）的参数方程

为卜=2p厂.为参数）.

y=2pf

7.直线的参数方程

经过点%.（%,%）,倾斜角为口口力争的直线/的普通方程是

y-%=tana（x-尤0）,而过此。,均）,倾斜角为a的直线/的参数方程为

[x=x°+/cosa«为参数）。

y=%+/sin。

注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点M°（x°,y。），倾斜角

为a的直线/的参数方程为1%/cos。。为参数），其中/表示