高中数学讲义微67 圆锥曲线的性质

微专题67圆锥曲线的性质

一、基础知识

（一）椭圆：

1、定义和标准方程：

（1）平面上到两个定点耳,B的距离和为定值（定值大于|耳耳|）的点的轨迹称为椭圆，其中

耳,工称为椭圆的焦点，比与|称为椭圆的焦距

（2）标准方程：

①焦点在x轴上的椭圆：设椭圆上一点P（九,y）,大（-c,0）,耳（c,0）,设距离和

22

附|+附|=2a,则椭圆的标准方程为：号+%=1,其中（4＞匕＞0万="一。2）

②焦点在y轴上的椭圆：设椭圆上一点P（x,y）,片（0,—c）,用（O,c）,设距离和

22

\PF\+\PF^=2a,则椭圆的标准方程为：号+今=1,其中（。＞〃＞0万="一°2）

焦点在哪个轴上，则标准方程中哪个字母的分母更大

22

2、椭圆的性质：以焦点在x轴的椭圆为例：=+==1（。〉6〉0）

ab

（1）«：与长轴的顶点有关：4（—a,0），4（a，°），|A4|=2a称为长轴长

b：与短轴的顶点有关：4（0,—外为似方），|4周=2）称为短轴长

c：与焦点有关：耳（—c,0）,与（c,0），寓B|=2c称为焦距

（2）对称性：椭圆关于x轴，y轴对称，且关于原点中心对称

（3）椭圆上点的坐标范围：设P（Xo，yo）,则一。＜。,一沙＜%＜6

（4）通径：焦点弦长的最小值

①焦点弦：椭圆中过焦点的弦

2房

②过焦点且与长轴垂直的弦归。|=—

说明：假设PQ过6（―G。），且与长轴垂直，则尸（―c,%）,Q（—G—%），所以

h22h2

4+》=1“：=与可得为=一。则|尸。|=——

aa

(5)离心率：e=—,因为c<a,所以ee(O,l)

a

(6)焦半径公式：称P到焦点的距离为椭圆的焦半径

①设椭圆上一点则归制=a+exo，|?6|=a—ex0(可记为“左加右减”)

②焦半径的最值：由焦半径公式可得：焦半径的最大值为a+c,最小值为a-c

,0

(7)焦点三角形面积：S,p空■,=btan,(其中。=/「耳鸟)

证明：\pflF2=1|P^|-|P^|sin^

且闺闻2Tp闻2+|尸阊2—2俨闻归闾COS平谯

=(附|+归闾)2—2附忖用(l+cosKM)

.'.4c2=4片—2忸行疗阊(1+cosE%)

2a2一2c22"

••.I叫闸|=

l+cos「Pg1+cos^PZ^

i[0刀2

SinF1PF2

久畔=5比卜附曲片学=i-1+cosP^

Ws“23ali也

1+cosF^PF^2

因为IP再后=g-2c-%=c-%,所以A?tan鸟=。，由此得到的推论:

①ZFyPF2的大小与为之间可相互求出

p

②NFiPF2的最大值：F}PF2最大oS最大oy0最大o为短轴顶点

(二)双曲线：

1、定义：平面上到两个定点片，耳距离差的绝对值为一个常数(小于闺耳|)的点的轨迹称

为双曲线，其中耳,心称为椭圆的焦点，⑶8|称为椭圆的焦距；如果只是到两个定点片，月距

离差为一个常数，则轨迹为双曲线的一支

2、标准方程：

①焦点在x轴：设双曲线上一点P（x,y）,£（-0,0）,6亿0）,设距离差的绝对值

22

||尸耳|—|P闾1=2。，则双曲线标准方程为：三―2=1,其中（。＞0力＞0万=。2-〃）

②焦点在y轴：设双曲线上一点p（x,y）,E（0,—c）,耳（O,c）,设距离差的绝对值

22

||尸耳|—|尸闾1=2。,则双曲线标准方程为：二-亳=1,其中（。＞04＞0万=02-。2）

焦点在哪个轴上，则对应字母作为被减数

22

2、双曲线的性质：以焦点在x轴的双曲线为例：%=1（。〉0力〉0）

（1）«：与实轴的顶点有关：A（—a，o），4（a，°），|A4|=2a称为实轴长

b；与虚轴的顶点有关：4（0,—3也（0⑼，忸］图=2》称为虚轴长

C：与焦点有关：E（—c,0）,耳（c,o），I耳阊=2c称为焦距

（2）对称性：双曲线关于x轴，y轴对称，且关于原点中心对称

（3）双曲线上点坐标的范围：设则有/＜一。或/2a,y0^R

（4）离心率：e=—,因为c＞a,所以ee（l,+c。）

（5）渐近线：当xf”或xfTo时，双曲线在向两方无限延伸时，会向某条直线无限靠

近，但不相交，则称这条直线为曲线的渐近线。

①双曲线渐近线的求法：无论双曲线的焦点位于哪条轴上，只需让右侧的1变为0,再解出y

2222

关于x的直线即可。例如在——当=1（。＞0/〉0）中，求渐近线即解：2r=0,变

abab

bb

形为y=±—%,所以y=±—%即为双曲线的渐近线

aa

②渐近线的几何特点：直线x=Q,x=-〃,y=Z?,y=-人所围成的矩形，其对角线即为双曲线

的渐近线

③渐近线的作用：一是可以辅助作出双曲线的图像；二是渐近线的斜率也能体现凡反。的关

系。

（6）通径：

①内弦：双曲线同一支上的两点连成的线段外弦：双曲线两支上各取一点连成的线段

2h2

②通径：过双曲线焦点的内弦中长度的最小值，此时弦无轴，\pQ\=—

（7）焦半径公式：设双曲线上一点。（%,%），左右焦点分别为耳,工，则

①忸制=1+绮|,|尸闾=心一气|（可记为“左加右减”）

②由焦半径公式可得：双曲线上距离焦点最近的点为双曲线的顶点，距离为c-a

n

（8）焦点三角形面积：设双曲线上一点尸（后,%）,则凡两居=/cotw（其中e=NP£g）

（三）抛物线：

1、定义：平面内到一定点的距离等于到一条定直线（定点不在定直线上）的距离的点的轨迹

为抛物线

2、抛物线的标准方程及焦点位置：

（1）焦点在x轴正半轴：y1=2/?x（p>0）,焦点坐标

⑵焦点在x轴负半轴：_/=—2px（p>0）,焦点坐标[go]

（3）焦点在y轴正半轴：%2=2py（p>0）,焦点坐标

（4）焦点在y轴负半轴：/=—2py（p>0）,焦点坐标

小结：通过方程即可判断出焦点的位置与坐标：那个字母是一次项，则焦点在哪条轴上；其

坐标为一次项系数除以4,例如：必=4>，则焦点在y轴上，且坐标为（0,1）

3、焦半径公式：设抛物线y2=2px（p>0）的焦点为尸，A（x,y）,则|衣卜x+g

4、焦点弦长：设过抛物线y2=2px（p>0）焦点的直线与抛物线交于人（七,乂）,3（々，%），

则|AB|=%+&+P（|AB|=|AF|+|BF|,再由焦半径公式即可得到）

二、典型例题：

22

例L已知双曲线?方=1的右焦点与抛物线上⑵的焦点重合，则该双曲线的焦点到

其渐近线的距离等于（

A.A/5B.472C.3D,5

思路：先从常系数方程入手，抛物线V=12X的焦点为（3,0）,即双曲线中的c=3,所以

/?2=c2—a2=5,从而双曲线方程为：——2―=1,其渐近线方程：y=+-^-x,由对称

452

性可得焦点到两渐近线的距离相等，不妨选择2y=0,右焦点区（3,0）,所以

答案：A

小炼有话说：（1）一道题含多个圆锥曲线方程，往往以某些特殊点（焦点，顶点）为桥梁联

接这些方程，在处理时通常以其中一个曲线方程（不含参）为入手点，确定特殊点的坐标，

进而解出其他圆锥曲线的要素

答案：A

22

例2：已知双曲线三一鼻=1（67>Q,b>0）的实轴长为4A/2,虚轴的一个端点与抛物线

a'b

f=2py（p>0）的焦点重合，直线y=Ax-l与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行,

则p=()

A.4B.3C.2D,1

思路：本题涉及圆锥曲线和字母较多，所以首先要确定核心变量，从所求出发可尝试以P作

为核心变量，抛物线必=2。〉的焦点为，所以可得匕=^,因为

2a=4A/2na=20,所以双曲线方程为」-----t=1,可求得渐近线方程为

8P2

y=±-P/—X,不妨设y=丘-1与y=—平行,则有左=—^。从相切可想到与抛物线

4V2-4V24V2

P

联立消元后的方程A=0眸邛x=>x1—P厂%-2p=0所以

2V2

J=2py

A=-^=^|—8p=0解得p=4

答案：A

思路：椭圆与双曲线共焦点，所以有C2-n2=a2+b2,所求表达式

11加2〃22+2

=+==与+\J,本题与焦半径相关，所以考虑

exe2ccc

|的|+1A闾=2加JAF；|—IA闾=2。。结合A片的中点与耳耳的中点可得双曲线的渐近线与

平行，从而A£J.AK，所以有|"f+|A阊2=|耳闾2=公2,联系上面条件可得：

222

4c=\AFf+\AF2f=^（\AFi\+\AF2\f+（\AFl\-\AF2ff=2m+2a,所以

11疗+a2c

——+—=-----------=2

/22

Ge?c

答案：A

222

例4：已知椭圆G：j+%=l（a〉6〉0）与双曲线。2：/—q=l有公共的焦点，。2的一

条渐近线与以G的长轴为直径的圆相交于A8两点，若G恰好将线段三等分，贝I"）

131

A./=一B.6Z2=13C.b2=—D.b2=2

22

思路：因为G，02有公共焦点，所以通过G可得片卜6,0），&（750），从而c=J5,圆的

直径为2a,所以A3截椭圆的弦长为一3。由双曲线得AB:y=2x,进而与椭圆方程联立，

3

再利用弦长公式即可得到关于。（或Z?）的方程，解方程即可

解：通过G可得耳卜火,0），心（6，o），•,“二百

snc[俨12+422=42人2

不妨设AB:y=2x,贝卜———y,所以一=±/

、y=2%4a2+/"/+/

2后ab_2

利用弦长公式可得d

J4a2+/3

|邛ab_2.a1=—

又因为4―>2=。2=5,4为+,2一:.解得:<；，故选C

[a2-b2=5/=5

答案：C

例5：（2014,山东，10）已知a>Z?>0,椭圆G的方程为二+3=1,双曲线C,的方程是

ab

=-二=1,G与C的离心率之积为且，则G的渐近线方程为（）

ab2

A.x±42y=0B.yflx±=0C.x±2y=QD.2x±y=Q

思路：要想求渐近线方程，关键在的比值，所以将两个离心率均用。力表示，再利用乘积

为即可得到。力关系，进而求出渐近线方程

2

2

解：设曲线GC的离心率分别为"2,则［厂cJa-/?c'■Ja+b

1!r\

因为双曲线的渐近线方程为：y=±—x,代入可得：y=+—x^x+42y=Q

a2

答案：A

小炼有话说：本题在设计上利用椭圆和双曲线中。的求法不同，从而使得两条曲线在〃力相同

的情况下，离心率的乘积中含有平方差公式的特点，从而简化运算，较易得出6关系

例6：椭圆j+与=1（〃2〉〃〉0）和双曲线二—三=l（a〉6〉0）的公共焦点为E，凡，P

mnab

是两曲线的一个交点，那么|/与卜|%|的值是（）

2?m—at-厂

A.m-aB.m-aC.-----D.7m—7a

2

思路：所求既是椭圆的焦半径，又是双曲线的焦半径。所以由椭圆和双曲线定义

可得：||尸耳|-归闻=2a,|尸制+|尸阊=2加，由此联想到两个式子的完全平方公式，进而

可求出附卜上阊，则附卜归叫=£（|明+|P闾『―（附]—归可）2卜病一/

答案：B

例7：已知抛物线y2=2px（〃>0）的焦点/与双曲线?-]=1的右焦点重合，抛物线的

准线与x轴的交点为K,点A在抛物线上且|AK|=耳，则A点的横坐标为（）

A.2&B.3C,26D.4

思路：因为两条曲线的焦点重合，所以可用双曲线计算出焦点的坐标/=4+5=9,所以

2

方（3,0）,进而可确定抛物线方程：y=12xf以及准线方程/：X=—3。所以K（—3,0）,

设A点横坐标为x,则A1,4京），所以|AK「=[x—（—3）T+12X,由焦半径公式可得：

\AF\=X+^=X+3,所以|必|=夜|A同=>|AK「=2|AF「，即

（X+3）2+12X=2（X+3）2,可解得：%=3

答案：B

22

例8：设r为双曲线上-上=1的左焦点，在x轴上歹点的右侧有一点A,以E4为直径的

169

圆与双曲线左，右两支在x轴上方的交点分别为M,N,则|£?—（叫的值为（）

回

,2554

A.lB.一C.-D.一

5245

思路：因为所求分式涉及到三条线段长度，若直接用距离公式则异常复杂，所以考虑时刻简

化计算，首先由|引囱,|两|联想到焦半径公式，设M（XI，X）,N（X2，%），则有

|?^F|=\a+ex\=ex+a

\MF\+=-ex1-a22所以

\FN\-\FM\=x^+2a,设A（m,O）,由双曲线可知产（一5,0）,则E4的中点

«生/可，圆半径一等，所以圆方程为：卜―F1+T誓），整理后

可得：x2-（m-5）x+/-5m=0,因为|印|—|方闾的值与（玉+/）相关，所以考虑联

x2-(m-5)x+y2-5m=0

立圆和双曲线方程〈尤22消去y可得：

工—21=1

1169

252-（m-5）x-9+5m-0,所以玉+々=竺与勺，代入|两|—|桢|可得：

-----X

16

河―但叫=/6（鼻-5）+8=4（：+5）,因为|网=加+5,所以原式的值为:

答案：D

小炼有话说：本题可发现无论A的位置如何，从选项上来看四口誓1

应该为定值，故可

冏

以利用特殊位置，比如A为右焦点时，便可轻松得到答案：由对称性可得

,,.,.,\FN\-\FM\2a4

\FN\-\FM\=2a=8,且|冏=2c=10,所以J~~-

例9：如图，从双曲线1―5=1（。〉0力〉0）的左焦点/引圆好+/="的切线，切点

为T,延长FT交双曲线右支于尸点，若M为线段FP的中点，。为坐标原点，则

|MO|一眼刀的值为（用含的表达式表示）”

思路：首先要将1MoiMT|向靠拢，因为"与圆切于7，

连结OT,可知\OT\=r=a