几何图形中的等量关系教学课件 2024-2025学年北师大版七年级数学上册

第五章一元一次方程5.3.1几何图形中的等量关系5.3一元一次方程的应用探究新知等积变形问题1例1某饮料公司有一种底面直径和高分别为6.6cm，12cm的圆柱形易拉罐饮料。经市场调研决定对该产品外包装进行改造，计划将它的底面直径减少为6cm。那么在容积不变的前提下，易拉罐的高度将变为多少厘米？（1）这个问题中包含哪些量？它们之间有怎样的等量关系？包含的量：旧包装的底面直径、高、容积，新包装的底面直径、高、容积.等量关系:旧包装的容积=新包装的容积.（2）设新包装的高度为xcm，你能借助下面的表格梳理问题中的信息吗？有关量旧包装新包装底面半径/cm高/cm容积/cm312x

（3）根据等量关系，你能列出怎样的方程？设新包装的高度为xcm。根据等量关系，列出方程：

。解这个方程，得x=

。因此，易拉罐的高度变为

cm。14.5214.523.32π×12=32πx(3)根据等量关系，你能列出怎样的方程?设新包装的高度为xcm.根据等量关系，列出方程:.解这个方程，得x=

.因此，易拉罐的高度变为

cm.列方程时，关键是找出问题中的等量关系.等量关系:旧包装的容积=新包装的容积.14.5214.52

归纳：

形状变了，体积没变．解决等积变形的问题时，通常利用体积相等建立方程.

等积变形注意：

等积变形中，类似的问题还有相同体积的水注入不同形状的容器中.容器的形状不同，但水的体积没有改变.等长变形问题2例1用一根长为10m的铁丝围成一个长方形.(1)如果该长方形的长比宽多1.4m，那么此时长方形的长、宽各为多少米？解：(1)设此时长方形的宽为x

m，

则它的长为（x+1.4）m.根据题意，得x+x+1.4=10×.解这个方程，得x=1.8.1.8+1.4=3.2.此时长方形的长为3.2m，宽为1.8m.xm(x+1.4)m例1用一根长为10m的铁丝围成一个长方形.(2)如果该长方形的长比宽多0.8m，那么此时长方形的长、宽各为多少米？此时的长方形与(1)中的长方形相比，面积有什么变化？解：(2)设此时长方形的宽为xm，

则它的长为(x+0.8)m.根据题意，得x+x+0.8=10×.解这个方程，得x=2.1.2.1+0.8=2.9.xm(x+0.8)m例1用一根长为10m的铁丝围成一个长方形.(1)中长方形的面积为3.2×1.8=5.76(m2).此时长方形的面积比(1)中长方形的面积增大6.09–5.76=0.33(m2).2.1

m2.9m此时长方形的长为2.9m，宽为2.1m，面积为2.9×2.1=6.09(m2)，(2)如果该长方形的长比宽多0.8m，那么此时长方形的长、宽各为多少米？此时的长方形与(1)中的长方形相比，面积有什么变化？用一根长为10m的铁丝围成一个长方形.(3)如果该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么此时正方形的边长是多少米？正方形的面积与(2)中长方形的面积相比又有什么变化？解：(3)设正方形的边长为xm.根据题意，得x+x=10×.解这个方程，得x=2.5.正方形的边长为2.5m，面积为

2.5×2.5=6.25(m2)，xmxm例1比(2)中长方形的面积增大6.25–6.09=0.16(m2).长方形的周长不变时，它的面积会随着长和宽的变化而变化，当_________（即为

）时，面积最大.

2.1

2.9

2.5

2.55.76

m26.09

m26.25

m2长=宽正方形1.8

3.2线段长度不变时，不管围成怎样的图形，周长不变.即C前=C后.当长方形周长不变时，长方形的面积随着长与宽的变化而变化，当长与宽相等时，面积最大.

等长变形列一元一次方程解决实际问题的一般步骤：1.审——通过审题找出等量关系.6.答——写出答案（包括单位）.5.检——检验所得的解是否符合题意.4.解——求出方程的解.3.列——依据找到的等量关系，列出方程.2.设——设未知数，并用未知数表示其他未知量.课堂小结应用一元一次方程

图形等积变化应用一元一次方程解决实际问题的步骤

图形等长变化列

⑤检

④解设

审

⑥答

课堂训练1.根据图中给出的信息，可得正确的方程是(

)AA.π×42x=π×32×(x+5)B.π×42x=π×32×(x-5)C.π×82x=π×62×(x+5)D.π×82x=π×62×(x-5)2.用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个圆，已知正方形的边长比圆的半径长2(π-2)m，求这两根等长的铁丝的长度，并通过计算说明谁的面积大.解：设圆的半径为rm，则正方形的边长为[r+2(π-2)]m。则有2πr=4[r+2(π-2)]。解得

r=4。所以铁丝的长为