2024北京通州区高三一模数学试题及答案

试题PAGE1试题2024北京通州高三一模数学2024年4月本试卷共4页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，请将答题卡交回。第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，，，则A． B． C． D．（2）在复平面内，复数z对应的点的坐标为，则A． B． C． D．（3）在的展开式中，常数项为A．60 B．120 C．180 D．240（4）下列函数中，是奇函数且在区间上单调递减的是A． B． C． D．（5）在梯形ABCD中，，，则A． B．8 C．12 D．（6）在平面直角坐标系xOy中，角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则A． B． C． D．（7）已知圆心为C的圆与双曲线E：（）交于A，B两点，且，则双曲线E的渐近线方程为A． B． C． D．（8）某池塘里原有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积S（单位：平方米）与时间t（单位：月）的关系式为（，且），图象如图所示．则下列结论正确的个数为①浮萍每个月增长的面积都相等；②浮萍蔓延4个月后，面积超过30平方米；③浮萍面积每个月的增长率均为50%；④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是，，，则．A．0 B．1 C．2 D．3（9）已知等差数列的前n项和为，则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件（10）已知函数，，若关于x的方程恰有3个不同的实数根，则实数m的取值范围是A． B． C． D．第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）已知函数的定义域为．（12）已知点为抛物线C：（）上一点，则点P到抛物线C的焦点的距离为．（13）已知数列为等比数列，，则；数列的前4项和为．（14）已知的数（），若的最小正周期为，的图象向左平移个单位长度后，再把图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则；若在区间上有3个零点，则的一个取值为．（15）如图，几何体是以正方形ABCD的一边BC所在直线为旋转轴，其余三边旋转90°形成的面所围成的几何体，点G是圆弧的中点，点H是圆弧上的动点，，给出下列四个结论：①不存在点H，使得平面平面CEG；②存在点H，使得平面CEG；③不存在点H，使得点H到平面CEG的距离大于；④存在点H，使得直线DH与平而CEG所成角的正弦值为．其中所有正确结论的序号是．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）如图，几何体ABCDE中，，四边形ABDE是矩形，，点F为CE的中点，，．（Ⅰ）求证：平面ADF；（Ⅱ）求平面BCD与平面ADF所成角的余弦值．（17）（本小题13分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，，D为BC边上的一点，再从下面给出的条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求△ABD的面积．条件①；；条件②：．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．（18）（本小题14分）随着生活水平的不断提高，人们对于身体健康越来越重视．为了解人们的健康情况v某地区一体检机构统计了2023年20岁到100岁来体检的人数及年龄在，，，的体检人数的频率分布情况，如下表．该体检机构进一步分析体检数据发现：60岁到80岁（不含80岁）体检人群随着年龄的增长，所需面对的健康问题越多，具体统计情况如下图．组别年龄（岁）频率第一组37%第二组43%第三组17%第四组3%注：健康问题是指高血压、糖尿病、高血脂、肥胖、甲状腺结节等60余种常见健康问题．（Ⅰ）根据上表，求从2023年该体检机构20岁到100岁体检人群中随机抽取1人，此人年龄不低于60岁的频率；（Ⅱ）用频率估计概率，从2023年该地区20岁到100岁体检人群中随机抽取3人，其中不低于60岁的人数记为X，求X的分布列及数学期望；（Ⅲ）根据上图的统计结果，有人认为“该体检机构2023年60岁到80岁（不含80岁）体检人群健康问题个数平均值一定大于9.3个，且小于9.8个”．判断这种说法是否正确，并说明理由．（19）（本小题15分）已知函数，．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，求的单调区间；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若对于任意，不等式成立，求a的取值范围．（20）（本小题15分）已知椭圆E：（）的长轴长为4，离心率为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）直线l过椭圆E的左焦点F，且与E交于M，N两点（不与左右顶点重合），点在x轴正半轴上，直线TM交y轴于点P，直线TN交y轴于点Q，问是否存在t，使得为定值？若存在，求出t的值及定值；若不存在，请说明理由．（21）（本小题15分）从数列中选取第项，第项，…，第项（），若数列，，…，是递增数列或递减数列（规定时，该数列既是递增数列，也是递减数列），称，，…，为数列的长度为m的单调子列．已知有穷数列A：，，…，（），任意两项均不相同，现以A的每一项为首项选取长度最大的递增的单调子列，设其共有项，则，，…，构成一个新数列B．（Ⅰ）当数列A分别为以下数列时，直接写出相应的数列B；（ⅰ）1，3，5，7；（ⅱ）4，1，2，6，3．（Ⅱ）若数列A为等差数列，求证：数列B为等差数列；（Ⅲ）若数列A共有（）项，求证：A必存在一个长度为的单调子列．

参考答案第一部分（选择题 共40分）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）答案BADBCBABCA第二部分（非选择题 共110分）二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）（12）3（13）81；48（14）或；6（答案不唯一）（15）②③④三、解答题（共6小题，共85分）（16）（本小题13分）解：（Ⅰ）证明：连结BE交AD于G，连结FG．因为四边形ABDE是矩形，所以点G为BE的中点．因为点F为CE的中点，所以FG是△BCE的中位线．所以．因为平面ADF，平面ADF，所以平面ADF．（Ⅱ）因为四边形ABDE是矩形，所以．因为，，所以平面ABC．所以平面ABC．所以以点A为原点，分别以AC，AE所在直线为y轴、z轴建立空间直角坐标系A-xyz．所以，，，，．所以，．设平面ADF的法向量为，所以，．所以，令，得，．所以．因为平面ABC，所以．因为，，所以平面BCD．所以为平面BCD的一个法向量．所以．所以平面BCD与平面ADF所成角的余弦值为．（17）（本小题13分）解：（Ⅰ）因为，所以由正弦定理可得，即．所以．所以．所以．因为，所以．所以．因为，所以．（Ⅱ）若选条件①：．所以D为BC中点．所以．因为，，，所以由余弦定理得，即，所以．所以△ABC为直角三角形，所以．所以．所以△ABD的面积为．若选条件②：．所以．因为，，，所以由余弦定理得，即．所以．所以△ABC为直角三角形．所以．所以．所以．所以△ABD的面积为．（18）（本小题14分）解：（Ⅰ）从2023年该体检机构20岁到100岁体检人群中抽取1人，此人年龄不低于60岁的频率为．（Ⅱ）用频率估计概率，从2023年该地区20岁到100岁体检人群中随机抽取1人，此人年龄不低于60岁的概率为．依题意X的可能取值为0，1，2，3．所以，，，．所以随机变量X的分布列为：X0123P所以随机变量X的数学期望为．（Ⅲ）不正确．理由如下：若在60岁到80岁（不含80岁）中，、、、体检人群的频率分别为70%、10%、10%、10%，则60岁到80岁（不含80岁）体检人群健康问题平均值为个，所以该判断是不正确的．（19）（本小题15分）解：（Ⅰ）因为，所以．所以．所以，．所以曲线在点处的切线方程为，即．（Ⅱ）因为，定义域为R，所以．因为，令，即，解得，．所以．当x变化时，，的变化情况如下表所示．x200单调递减极小值单调递增极大值单调递减所以的单调递减区间为和，单调递增区间为．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，，所以在区间上单调递增在区间上单调递减．因为对于任意，不等式成立，所以，，．所以，得，，得；，得．因为，所以．所以a的取值范围是．（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）因为椭圆E的长轴长为4，离心率为，所以，．所以，．所以．所以椭圆E的方程为．（Ⅱ）若直线l的斜率存在，设为k，所以直线l的方程为，．联立方程组，消去y，化简得（．设，，所以，．所以直线TM的方程为，直线TN的方程为．所以，．所以，，所以．所以当时，为定值，即（负值舍）时，有定值3．当时，若直线l斜率不存在，不妨设，，所以，．所以．综上，当时，有定值3．（21）（本小题15分）解：（Ⅰ）（ⅰ）4，3，2，1；（ⅱ）2，3，2，1，1．（Ⅱ）证明：设数列A的公差为d，因为，当时，数列A为单调递减数列，所以．所以B为等差数列．当时，数列A为单调递增数列，以A的每一项a，为首项选取长度最大的递增的单调子列为，，，…，．所以（，2，3．…，n）．所以B为等差数列．综上，当数列A为等差数列时，数列B也为等差数列．（Ⅲ）证明：（1）若，，…，中有一个，那么数列A存