北师大新版八年级下册《第1章 三角形的证明》单元测试卷

北师大新版八年级下册《第1章三角形的证明》2024年单元测试卷一、选择题1．（2分）如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD＝CE，∠D＝74°，则∠B的度数为（）A．68° B．32° C．22° D．16°2．（2分）如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且∠APD＝80°．在AC上取一点D，使AD＝AP，则∠DPC的度数是（）A．10° B．15° C．20° D．25°3．（2分）若等腰三角形的顶角为α，则它一腰上的高与底边的夹角等于（）A． B．90°+ C．90°﹣ D．90°+α4．（2分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝9，则线段MN的长为（）A．6 B．7 C．8 D．95．（2分）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为50和38，则△EDF的面积为（）A．8 B．12 C．4 D．66．（2分）如图所示，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于E，交AC于F，连接BF，∠A＝50°，AB+BC＝16cm，则△BCF的周长和∠E分别等于（）A．16cm，25° B．8cm，30° C．16cm，40° D．8cm，25°7．（2分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（1，1），M为坐标轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为（）A．4 B．5 C．6 D．88．（2分）等边三角形的高为2，则它的边长为（）A．4 B．3 C．2 D．59．（2分）若△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足（a﹣b）•（a2+b2﹣c2）＝0，则△ABC是（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形10．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：①AF＝CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF＝S△ABC；④EF＝AP．当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），上述结论中始终正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题11．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的角平分线交BC边于点D，AB＝5，BC＝6，则AD＝．12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F＝30°，DE＝3，则BE的长是．13．（3分）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝度．14．（3分）如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于．15．（3分）如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，则点P与点P′之间的距离为．16．（3分）如图，给出五个式子：①AB＝DC；②BE＝CE；③∠B＝∠C；④∠BAE＝∠CDE；⑤AE＝DE．请将其中两个式子作为题设，一个式子作为结论，写出一个真命题：．17．（3分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将它的一个锐角翻折，使该锐角顶点落在其对边的中点D处，折痕交另一直角边于E，交斜边于F，则△CDE的面积．18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，若点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，则∠A的度数为．三、解答题19．（10分）已知：如图，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G．（1）求证：BF＝AC；（2）求证：CE＝BF．20．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：△ACD≌△AED；（2）若∠B＝30°，CD＝5，求BD的长．21．（10分）某地附近有河流L1，公路L2和铁路L3，分布如图所示，现要选一个工厂，使得到L1，L2，L3的距离相等，请你运用数学知识帮助选择一个厂址．22．（13分）如图a，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE（1）线段AF和BE有怎样的大小关系？请证明你的结论；（2）将图a中的△CEF绕点C旋转一定的角度，得到图b，（1）中的结论还成立吗？作出判断并说明理由．23．（13分）如图1，已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一块含30°角的三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转．（1）在图1中，DE交AB于M，DF交BC于N．①证明DM＝DN；②在这一过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的；若不发生变化，求出其面积；（2）继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）继续旋转至如图3的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM＝DN是否仍然成立？若成立，请给出写出结论，不用证明．

北师大新版八年级下册《第1章三角形的证明》2024年单元测试卷参考答案与试题解析一、选择题1．【解答】解：∵CD＝CE，∴∠D＝∠DEC，∵∠D＝74°，∴∠C＝180°﹣74°×2＝32°，∵AB∥CD，∴∠B＝∠C＝32°．故选：B．2．【解答】解：在△APD中，AP＝AD∴∠APD＝∠ADP＝80°∴∠PAD＝180°﹣80°﹣80°＝20°∴∠BAP＝60°﹣20°＝40°∴∠APC＝∠B+∠BAP＝60°+40°＝100°∴∠DPC＝∠APC﹣∠APD＝100°﹣80°＝20°．故选：C．3．【解答】解：根据题意，底角＝（180°﹣α）＝90°﹣，∴夹角为90°﹣（90°﹣）＝．故选：A．4．【解答】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，∴∠MBE＝∠EBC，∠ECN＝∠ECB，∵MN∥BC，∴∠EBC＝∠MEB，∠NEC＝∠ECB，∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN，∴BM＝ME，EN＝CN，∴MN＝ME+EN，即MN＝BM+CN．∵BM+CN＝9∴MN＝9，故选：D．5．【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，∴DF＝DH，在Rt△DEF和Rt△DGH中，，∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），∴S△EDF＝S△GDH，设面积为S，同理Rt△ADF≌Rt△ADH，∴S△ADF＝S△ADH，即38+S＝50﹣S，解得S＝6．故选：D．6．【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，∴∠ABC＝∠ACB＝65°，∵DE是AB的垂直平分线，∴AF＝BF，∠BDE＝90°，∴∠E＝90°﹣∠ABC＝25°，∵AB+BC＝16cm，∴△BCF的周长为：BC+CF+BF＝BC+CF+AF＝BC+AC＝BC+AB＝16cm．故选：A．7．【解答】解：如图所示：满足条件的点M的个数为8．故选：D．8．【解答】解：设等边三角形的边长是x．根据等腰三角形的三线合一以及勾股定理，得x2＝（）2+12，x＝4．故选：A．9．【解答】解：∵（a﹣b）•（a2+b2﹣c2）＝0，∴（a﹣b）＝0或（a2+b2﹣c2）＝0，即a＝b或a2+b2＝c2，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．故选：D．10．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∵P为边BC的中点，∴AP＝BP＝CP，∠BAP＝∠CAP＝45°，AP⊥BC，∴∠EAP＝∠C，又∵∠EPA+∠APF＝90°，∠FPC+∠APF＝90°，∴∠EPA＝∠FPC，在△EPA和△FPC中，，∴△EPA≌△FPC（ASA），∴AE＝CF，EP＝FP，所以①正确；∴△EPF是等腰直角三角形，所以②正确；∵四边形AEPF的面积等于△APC的面积，∴2S四边形AEPF＝S△ABC，所以③不一定正确；又∵EF＝，而只有F点为AC的中点时，AP＝，即点F为AC的中点时有EF＝AP，所以④不一定正确．所以当∠EPF在ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终正确的有①②，共2个．故选：B．二、填空题11．【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，∴DB＝DC＝CB＝3，AD⊥BC，在Rt△ABD中，∵AD2+BD2＝AB2，∴AD＝＝4，故答案为：4．12．【解答】解：∵∠ACB＝90°，FD⊥AB，∴∠ACB＝∠FDB＝90°，∵∠F＝30°，∴∠A＝∠F＝30°（同角的余角相等），又∵AB的垂直平分线DE交AC于E，∴∠EBA＝∠A＝30°，∴在Rt△DBE中，BE＝2DE＝6，故答案为：6．13．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝∠A＝60°，∵CG＝CD，∴∠GDC＝30°，∵DF＝DE，∴∠E＝15°．故答案为：15．14．【解答】解：如图，∵△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE＝5，∴DE＝AC＝5，∴AC＝10．在直角△ACD中，∠ADC＝90°，AD＝6，AC＝10，则根据勾股定理，得CD＝＝＝8．故答案为：8．15．【解答】解：连接PP′，由旋转的性质可知，旋转中心为点A，B、C为对应点，P、P′也为对应点，旋转角∠PAP′＝∠BAC＝60°，又AP＝AP′，∴△APP′为等边三角形，∴PP′＝AP＝6．故答案为：6．16．【解答】解：如果AB＝DC，∠B＝∠C，那么BE＝CE，证明如下：在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（AAS），∴BE＝CE．故答案为：如果AB＝DC，∠B＝∠C，那么BE＝CE（答案不唯一）．17．【解答】解：①将B沿EF折叠，B与AC的中点D重合，如图：设CE＝m，则BE＝DE＝8﹣m，在Rt△CDE中，CE2+CD2＝DE2，∴m2+32＝（8﹣m）2，解得m＝，∴CE＝，∴△CDE的面积是×3×＝，②将A沿EF折叠，A与BC的中点D重合，如图：设CE＝n，则AE＝DE＝6﹣n，在Rt△CDE中，CE2+CD2＝DE2，∴n2+42＝（6﹣n）2，解得n＝，∴CE＝，∴△CDE的面积是×4×＝，综上所述，△CDE的面积是或．故答案为：或．18．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，∴∠CED＝∠A，CE＝BE＝AE，∴∠ECA＝∠A，∠B＝∠BCE，∴△ACE是等边三角形，∴∠CED＝60°，∴∠B＝∠CED＝30°．∴∠A＝60°，故答案为：60°三、解答题19．【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，∠ABC＝45°，∴△BCD是等腰直角三角形．∴BD＝CD．∵∠DBF＝90°﹣∠BFD，∠DCA＝90°﹣∠EFC，且∠BFD＝∠EFC，∴∠DBF＝∠DCA．在Rt△DFB和Rt△DAC中，，∴Rt△DFB≌Rt△DAC（AAS），∴BF＝AC．（2）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE．在Rt△BEA和Rt△BEC中，，∴Rt△BEA≌Rt△BEC（ASA）．∴CE＝AE＝AC，又∵BF＝AC，∴CE＝BF．20．【解答】（1）证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝ED，∠DEA＝∠C＝90°，∵在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）；（2）解：∵Rt△ACD≌Rt△AED，∴DC＝DE＝5，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∵∠B＝30°，∴BD＝2DE＝10．21．【解答】解：∵厂址要到三条公路的距离都相等，∴工厂必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点，而外角平分线有3个交点，内角平分线有一个交点，∴工厂可以供选择的地址有4个．22．【解答】解：（1）AF＝BE．证明：在△AFC和△BEC中，∵△ABC和△CEF是等边三角形，∴AC＝BC，CF＝CE，∠ACF＝∠BCE＝60°，在△AFC与△BEC中，，∴△AFC≌△BEC（SAS），∴AF＝BE．（2）成立．理由：在△AFC和△BEC中，∵△ABC和△CEF是等边三角形，∴AC＝BC，CF＝CE，∠ACB＝∠FCE＝60度，∴∠ACB﹣∠FCB＝∠FCE﹣∠FCB，即∠ACF＝∠BCE，在△AFC与△BEC中，，∴△AFC≌△BEC（SAS），∴AF＝BE．23．【解答】解：（1）①如图1，连接DB，在Rt△ABC中，AB＝BC，AD＝DC，∴DB＝DC＝AD，∠BDC＝90°，∴∠ABD＝∠C＝45°，∵∠MDB+∠BDN＝∠CDN+∠BDN＝90°，∴∠MDB＝∠NDC，，