人教A版高中数学（必修第一册）同步讲义 1.2集合间的基本关系（教师版）

第第页1.2集合间的基本关系课程标准学习目标①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集、真子集;②理解与掌握空集的含义，在解题中把握空集与非空集合、任意集合的关系。1．能利用集合间的包含关系解决两个集合间的问题。2．在解决集合问题时，易漏集合的特殊形式，比如集合是空集时参数所具备的意义。3.能利用Venn图表达集合间的关系。4.判断集合之间的关系时，要从元素入手。知识点01：SKIPIF1<0图（韦恩图）在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为SKIPIF1<0图。SKIPIF1<0图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用SKIPIF1<0图，可以使问题简单明了地得到解决。对SKIPIF1<0图的理解(1)表示集合的SKIPIF1<0图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线.(2)用SKIPIF1<0图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显.知识点02：子集1子集：一般地，对于两个集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如果集合SKIPIF1<0中任意一个元素都是集合SKIPIF1<0中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合SKIPIF1<0为集合SKIPIF1<0的子集（1）记法与读法：记作SKIPIF1<0(或SKIPIF1<0)，读作“SKIPIF1<0含于SKIPIF1<0”(或“SKIPIF1<0包含SKIPIF1<0”)（2）性质：①任何一个集合是它本身的子集，即SKIPIF1<0.②对于集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0图表示：2集合与集合的关系与元素与集合关系的区别符号“SKIPIF1<0”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“SKIPIF1<0”表示元素与集合之间的从属关系.【即学即练1】（2023·全国·高三专题练习）写出集合SKIPIF1<0的所有子集．【答案】SKIPIF1<0【详解】集合SKIPIF1<0的所有子集有：SKIPIF1<0知识点03：集合相等一般地,如果集合SKIPIF1<0的任何一个元素都是集合SKIPIF1<0的元素,同时集合SKIPIF1<0的任何一个元素都是集合SKIPIF1<0的元素,那么集合SKIPIF1<0与集合SKIPIF1<0相等,记作SKIPIF1<0.也就是说,若SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0.

（1）SKIPIF1<0的SKIPIF1<0图表示（2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关【即学即练2】（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳二中校考阶段练习）下面说法中不正确的为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】对于A，因SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，A正确；对于B，因集合SKIPIF1<0的元素为有序数对，而SKIPIF1<0的元素为实数，两个集合的对象不同，B不正确；对于C，因集合SKIPIF1<0与SKIPIF1<0都表示大于2的数形成的集合，即SKIPIF1<0，C正确；对于D，由列举法表示集合知SKIPIF1<0正确，D正确.故选：B知识点04：真子集的含义如果集合SKIPIF1<0，但存在元素SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，我们称集合SKIPIF1<0是集合SKIPIF1<0的真子集;（1）记法与读法：记作SKIPIF1<0，读作“SKIPIF1<0真包含于SKIPIF1<0”(或“SKIPIF1<0真包含SKIPIF1<0”)（2）性质：①任何一个集合都不是是它本身的真子集.②对于集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0图表示：【即学即练3】（2023·全国·高三专题练习）满足条件：SKIPIF1<0SKIPIF1<0的集合M的个数为______.【答案】7【详解】由SKIPIF1<0SKIPIF1<0可知，M中的元素个数多于SKIPIF1<0中的元素个数，不多于SKIPIF1<0中的元素个数，因此M中的元素来自于b,c,d中，即在b,c,d中取1元素时，M有3个；取2个元素时，有3个；取3个元素时，有1个，故足条件：SKIPIF1<0SKIPIF1<0的集合M的个数有7个，故答案为：7.知识点05：空集的含义我们把不含任何元素的集合，叫做空集，记作：SKIPIF1<0规定：空集是任何集合的子集，即SKIPIF1<0;性质：①空集只有一个子集，即它的本身，SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0和SKIPIF1<0SKIPIF1<0和SKIPIF1<0SKIPIF1<0和SKIPIF1<0相同点都表示无都是集合都是集合不同点SKIPIF1<0表示集合；SKIPIF1<0是实数SKIPIF1<0不含任何元素SKIPIF1<0含有一个元素SKIPIF1<0SKIPIF1<0不含任何元素SKIPIF1<0含有一个元素，该元素为：SKIPIF1<0关系SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0或者SKIPIF1<0【即学即练4】（2023·甘肃庆阳·高一校考阶段练习）有下列四个命题：①＝{0}；②SKIPIF1<0{0}；③{1}SKIPIF1<0{1，2，3}；④{1}∈{1，2，3}；其中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集，故①错误，②正确；SKIPIF1<0，故③正确，④错误，正确的个数为2.故选：B题型01判断两个集合的包含关系【典例1】（2023·宁夏银川·校联考二模）下列集合关系中错误的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】对于A：集合SKIPIF1<0为点集，含有元素SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0含有两个元素SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不包含于SKIPIF1<0，故A错误；对于B：SKIPIF1<0，故B正确；对于C：SKIPIF1<0，故C正确；对于D：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故D正确；故选：A【典例2】（2023秋·辽宁葫芦岛·高一统考期末）已知集合SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】由题意知，，所以SKIPIF1<0.故选：B.【典例3】（2023·高三课时练习）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的关系满足（

）A．SKIPIF1<0SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【答案】B【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：B．【典例4】（2023·高一单元测试）设集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则集合SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系是______．【答案】SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0中元素都属于SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0中元素SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【变式1】（2023春·江西新余·高一新余市第一中学校考阶段练习）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则这三个集合间的关系是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】依题意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，{偶数}SKIPIF1<0，因此集合SKIPIF1<0中的任意元素都是集合SKIPIF1<0中的元素，即有SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0中的每一个元素都是集合SKIPIF1<0中的元素，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C题型02判断子集（真子集）的个数【典例1】（2023·陕西咸阳·统考三模）设集合SKIPIF1<0，则集合SKIPIF1<0的真子集个数是（

）A．6 B．7 C．8 D．15【答案】B【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以集合A的真子集个数是SKIPIF1<0，故选：B．【典例2】（2023·高一单元测试）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则满足条件SKIPIF1<0的集合SKIPIF1<0的个数为_____个.【答案】31【详解】集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的真子集，故有SKIPIF1<0，故答案为：31【变式1】（2023·江西吉安·统考模拟预测）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，满足这样的集合SKIPIF1<0的个数（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【详解】根据题意可知，集合SKIPIF1<0还应包含集合SKIPIF1<0中除元素1，2之外的其他元素；若集合SKIPIF1<0中有三个元素，则SKIPIF1<0可以是SKIPIF1<0；若集合SKIPIF1<0中有四个元素，则SKIPIF1<0可以是SKIPIF1<0；若集合SKIPIF1<0中有五个元素，则SKIPIF1<0可以是SKIPIF1<0；即这样的集合SKIPIF1<0的个数为7个.故选：B【变式2】（2023·全国·高一专题练习）集合SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的子集的个数为（

）A．4 B．8 C．15 D．16【答案】D【详解】集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0有SKIPIF1<0个子集.故选：D．题型03求集合中子集（真子集）【典例1】（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若使SKIPIF1<0成立的实数SKIPIF1<0的取值集合为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的一个真子集可以是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BC【详解】由题意集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0,则M的一个真子集可以是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故选：BC.【典例2】（2023·高一课时练习）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0若用列举法表示，则集合SKIPIF1<0是________.【答案】{∅，{1}，{2}，{1,2}}【详解】由题意得，A＝{1,2}，B＝{x|x⊆A}，则集合B中的元素是集合A的子集：∅，{1}，{2}，{1,2}，所以集合B＝{∅，{1}，{2}，{1,2}}，故答案为：{∅，{1}，{2}，{1,2}}.【变式1】（多选）（2023秋·福建宁德·高一福建省霞浦第一中学校考期末）已知集合SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的真子集，则集合N可以是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ABC【详解】集合SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则集合SKIPIF1<0中至少包含2，4两个元素，又不能等于或多于SKIPIF1<0，2，3，4，SKIPIF1<0中的元素，所以集合SKIPIF1<0可以是SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,故选：ABC题型04空集的概念集判断【典例1】（2023·河北·高三学业考试）下列集合中，结果是空集的是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】A选项：SKIPIF1<0，不是空集；B选项：SKIPIF1<0{x|x>6或x<1}，不是空集；C选项：(0,0)∈{(x，y)|x2+y2=0}，不是空集；D选项：不存在既大于6又小于1的数，即：{x|x>6且x<1}=SKIPIF1<0.故选：D【典例2】（2023春·宁夏银川·高二银川一中校考期中）下列各式中：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0；⑤SKIPIF1<0；⑥SKIPIF1<0.正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】①集合之间只有包含、被包含关系，故错误；②两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则SKIPIF1<0，正确；③空集是任意集合的子集，故SKIPIF1<0，正确；④空集没有任何元素，故SKIPIF1<0，错误；⑤两个集合所研究的对象不同，故SKIPIF1<0为不同集合，错误；⑥元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误；∴②③正确.故选：B.【变式1】（2023·上海·高一专题练习）下列六个关系式：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0；⑤SKIPIF1<0；⑥SKIPIF1<0．其中正确的个数是（

）A．1 B．3 C．4 D．6【答案】C【详解】①正确，集合中元素具有无序性；②正确，任何集合是自身的子集；③错误，SKIPIF1<0表示空集，而SKIPIF1<0表示的是含SKIPIF1<0这个元素的集合，所以SKIPIF1<0不成立.④错误，SKIPIF1<0表示空集，而SKIPIF1<0表示含有一个元素0的集合，并非空集，所以SKIPIF1<0不成立；⑤正确，空集是任何非空集合的真子集；⑥正确，由元素与集合的关系知，SKIPIF1<0．故选：C.【变式1】（多选）（2023·全国·高一校联考阶段练习）下列关系中正确的是（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】BCD【详解】选项A：空集中没有元素，故A错误；选项B：SKIPIF1<0中只有一个元素SKIPIF1<0，故B正确；选项C，D：空集是任意集合的子集，故C，D正确，故选：BCD题型05空集的性质及应用【典例1】（2023·全国·高一专题练习）已知集合SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围是____.【答案】m≥1【详解】∵M＝∅，∴2m≥m＋1，∴m≥1.故答案为m≥1【典例2】（2023·高一课时练习）不等式组SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围是_____________.【答案】SKIPIF1<0【详解】解：∵不等式组SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0求得SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，故不等式组SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0，故不满足条件；②当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0求得SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，不等式组SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0，满足条件；若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，不等式组SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0，不满足条件，综上可得实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．【变式1】（2022秋·湖南永州·高一校考阶段练习）若集合SKIPIF1<0为空集，则实数SKIPIF1<0的取值范围是______.【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【详解】因为集合SKIPIF1<0为空集，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0题型06判断两个集合是否相等【典例1】（2023·全国·高三专题练习）下列集合中表示同一集合的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】对AD，两集合的元素类型不一致，则SKIPIF1<0，AD错；对B，由集合元素的无序性可知，SKIPIF1<0，B对；对C，两集合的唯一元素不相等，则SKIPIF1<0，C错；故选：B【典例2】（多选）（2023·全国·高三专题练习）下列与集合SKIPIF1<0表示同一个集合的有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AC【详解】由SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，所以根据集合的表示方法知A，C与集合M表示的是同一个集合，集合SKIPIF1<0的元素是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0两个数，SKIPIF1<0的元素是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0这两个等式，与集合M的元素是有序数对(可以看做点的坐标或者对应坐标平面内的点)不同,故BD错误.故选：SKIPIF1<0．【变式1】（多选）（2023·全国·高三专题练习）下面说法中，正确的为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ACD【详解】解：方程SKIPIF1<0中x的取值范围为R，所以SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，所以A正确；SKIPIF1<0表示直线SKIPIF1<0上点的集合，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以B错误；集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都表示大于2的实数构成的集合，所以C正确；由于集合的元素具有无序性，所以SKIPIF1<0，所以D正确．故选：ACD．题型07根据两个集合相等求参数【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（

）A．1或2 B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 C．2 D．1【答案】C【详解】解：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，与集合元素互异性矛盾，故SKIPIF1<0不正确.经检验可知SKIPIF1<0符合.故选：C【典例2】（2023秋·广东广州·高一秀全中学校考期末）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的值；【答案】(1)SKIPIF1<0【详解】（1）由已知得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；【变式1】（2023秋·广东江门·高一统考期末）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若P=Q，则SKIPIF1<0_________.【答案】-2【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若P=Q，则有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案为：-2.题型08根据集合的包含关系求参数【典例1】（2023·吉林·统考模拟预测）已知集合SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0或1 B．0或1 C．1 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】解：由集合SKIPIF1<0，对于方程SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，此时方程无解，可得集合SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，解得SKIPIF1<0，要使得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则满足SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以实数SKIPIF1<0的值为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故选：B.【典例2】（2023春·上海宝山·高一上海交大附中校考期中）已知集合SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的值是_________．【答案】-3【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的解，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.经检验，SKIPIF1<0符合题意，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【典例3】（2023秋·湖北黄石·高一校联考期末）已知集合SKIPIF1<0（1）当SKIPIF1<0时，求实数SKIPIF1<0的值；（2）当SKIPIF1<0时，求实数SKIPIF1<0的取值范围.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【详解】分析：利用一元二次不等式的解法，化简集合SKIPIF1<0化简集合SKIPIF1<0（1）利用集合相等的定义可得结果；（2）利用子集的定义可得结果.详解：由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0由SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0集合SKIPIF1<0（1）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即实数SKIPIF1<0的范围是SKIPIF1<0.【变式1】（2023春·山东滨州·高二校考阶段练习）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则使SKIPIF1<0成立的实数a的取值范围是_____．【答案】SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故实数a的取值范围是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【变式2】（2023·高一课时练习）已知A={﹣1，1}，B={x|x2﹣ax+b＝0}，若B⊆A，求实数a，b的值．【答案】a＝2，b＝1或a＝﹣2，b＝1或a＝0，b＝﹣1或a2﹣4b＜0．【详解】因为B={x|x2﹣ax+b＝0}，且B⊆A，①当B中有一个元素时，B＝{1}或B＝{﹣1}当B＝{1}时，SKIPIF1<0，解得a＝2，b＝1；当B＝{﹣1}时，SKIPIF1<0，解得a＝﹣2，b＝1；②当B中有两个元素时，B＝A，即B＝{﹣1，1}，SKIPIF1<0，解得a＝0，b＝﹣1；③当SKIPIF1<0时，只需满足a2﹣4b＜0，题型09新定义题【典例1】（2023·全国·高一专题练习）给定集合SKIPIF1<0，对于SKIPIF1<0，如果SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一个“好元素”，由SKIPIF1<0的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有_________个．【答案】6【详解】若不含好元素，则集合S中的3个元素必须为连续的三个数，故不含好元素的集合共有SKIPIF1<0，共有6个.故答案为：6．【典例2】（2023·高一课时练习）设SKIPIF1<0是整数集的一个非空子集，对于SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一个“孤立元”，给定SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有_________个．【答案】7【详解】由集合的新定义知，没有与之相邻的元素是“孤立元”，集合SKIPIF1<0不含“孤立元”，则集合SKIPIF1<0中的三个数必须连在一起，所以符合题意的集合是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，共7个．故答案为：7.本节重点方法（数轴辅助法）【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知集合SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围_________．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【详解】用数轴表示两集合的位置关系，如上图所示，或要使SKIPIF1<0，只需SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．所以实数SKIPIF1<0的取值范围SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知集合SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围是________．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【详解】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，满足要求；当SKIPIF1<0时，根据题意作出如图所示的数轴，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．

综上，实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故答案为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.本节数学思想方法（分类讨论法）【典例1】（2023·高一课时练习）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的取值范围．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【详解】由题意知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，则方程为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，不合题意，舍去，当SKIPIF1<0时，则方程为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不合题意，舍去，当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，则由题意知SKIPIF1<0，则1,4为方程SKIPIF1<0两根，根据韦达定理得SKIPIF1<0，综上所述SKIPIF1<0的范围是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【典例2】（2023·高一课时练习）已知集合SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的取值范围；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的取值范围.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）①若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.综合①②，得实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.（2）（2）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.本节易错题（忽略空集）【典例1】（2023春·北京海淀·高三首都师范大学附属中学校考开学考试）集合SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】因为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，符合题意；当SKIPIF1<0时，若SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，综上可得SKIPIF1<0，即实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故选：C【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值构成的集合为___________.【答案】SKIPIF1<0【详解】∵集合SKIPIF1<0，∴集合SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0三种情况，当SKIPIF1<0时，可得SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；∴实数m的取值构成的集合为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<01.2集合间的基本关系A夯实基础一、单选题1．（2023秋·贵州遵义·高一统考期末）已知集合SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则集合A的子集的个数为（

）A．15 B．16 C．31 D．32【答案】D【详解】因为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，可知，集合SKIPIF1<0中含有5个元素，所以集合SKIPIF1<0的子集个数为SKIPIF1<0.故选：D.2．（2023·全国·高一专题练习）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则a的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】由题意得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A3．（2023春·湖北孝感·高一统考开学考试）下面五个式子中：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0；⑤SKIPIF1<0，正确的有（

）A．②③④ B．②③④⑤ C．②④⑤ D．①⑤【答案】C【详解】解：①中，SKIPIF1<0是集合SKIPIF1<0中的一个元素，SKIPIF1<0，所以①错误；②中，空集是任一集合的子集，所以②正确；③中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的子集，SKIPIF1<0，所以③错误；④中，任何集合是其本身的子集，所以④正确；⑤中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的元素，所以⑤正确.故选：C.4．（2023春·云南红河·高二校考阶段练习）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以由数轴法可知SKIPIF1<0.故选：C．5．（2023·北京东城·高三专题练习）已知集合SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值集合为（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以实数m的取值集合为SKIPIF1<0.故选：C6．（2023春·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考阶段练习）已知集合SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0（

）A．1 B．2 C．1或2 D．0【答案】A【详解】因为集合SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0.二、多选题7．（2023秋·四川泸州·高一统考期末）给出下列四个结论，其中正确的结论有（

）A．SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．集合SKIPIF1<0是无限集D．集合SKIPIF1<0的子集共有4个【答案】BCD【详解】对于A：SKIPIF1<0是指不含任何元素的集合，故A错误；对于B：若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故B正确；对于C：有理数有无数个，则集合SKIPIF1<0是无限集，故C正确；对于D：集合SKIPIF1<0元素个数为2个，故集合SKIPIF1<0的子集共有SKIPIF1<0个，故D正确．故选：BCD．8．（2023秋·广东揭阳·高一惠来县第一中学校考期中）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列命题中正确的是（

）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】ABC【详解】SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，故A正确.SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故D不正确.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故B正确.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故C正确.故选：ABC．三、填空题9．（2023·全国·高一专题练习）已知集合M满足SKIPIF1<0SKIPIF1<0则集合M的个数为______．【答案】7【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0可以为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共计7个，故答案为：7.10．（2023·高一单元测试）已知集合SKIPIF1<0有且仅有两个子集，则SKIPIF1<0的取值集合为___________.【答案】SKIPIF1<0【详解】由题意，集合SKIPIF1<0有且仅有两个子集，则集合SKIPIF1<0只有一个元素，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，符合题意；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，符合题意，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，符合题意.综上所述，SKIPIF1<0的取值集合为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.四、解答题11．（2023·高一课时练习）设集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的值．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【详解】（1）由SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是集合SKIPIF1<0中元素，所以将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）因为SKIPIF1<0，由（1）得SKIPIF1<0是集合SKIPIF1<0中元素，当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时，此时SKIPIF1<0符合题意；当SKIPIF1<0时，①SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0符合题意；②SKIPIF1<0，此时不满足集合元素的互异性，舍去；综上SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.12．（2023·全国·高三专题练习）已知集合A＝{x|0<ax＋1≤5}，集合B＝{x|－SKIPIF1<0<x≤2}．若B⊆A，求实数a的取值范围．【答案】实数a的取值范围SKIPIF1<0.【详解】解：SKIPIF1<0时，A＝R，B＝{x|－SKIPIF1<0<x≤2}，满足B⊆A，符合题意；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因为B⊆A，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因为B⊆A，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故综上可知，实数a的取值范围为SKIPIF1<0.B能力提升1．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）若集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间的关系表示最准确的为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0互不包含【答案】C【详解】对于集合SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C.2．（2023·全国·高三专题练习）设a，b是实数，集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．S