八年级数学下册第一章三角形的证明检测题新版北师大版

Page1第一章检测题(时间：120分钟满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．满意下列条件的三角形不是直角三角形的是(A)A．三个内角之比为3∶4∶5B．三边之比为3∶4∶5C．三个内角之比为1∶2∶3D．三边之比为1∶2∶eq\r(3)2．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3cm，则CD等于(A)A．3cmB．4cmC．1.5cmD．2cmeq\o(\s\up7(,第2题图),第5题图),第6题图)3．在△ABC中，已知∠A＝∠B＝45°，BC＝eq\r(2)，则AB的长为(C)A．1B.eq\r(2)C．2D．44．下列命题的逆命题为假命题的是(D)A．等腰三角形“三线合一”B．角平分线上的点到角两边距离相等C．到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上D．全等三角形对应角相等5．如图，O是△ABC的角平分线的交点，△ABC的面积为2，周长为4，则点O到BC的距离为(A)A．1B．2C．3D．无法确定6．如图，在△ABC中，D为BC的中点，AD⊥BC，E为AD上一点，∠BAC＝60°，∠ECD＝40°，则∠ABE＝(C)A．10°B．15°C．20°D．25°7．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB，AC于D，E两点，若BD＝2，则AC的长是(C)A．2eq\r(3)B．3eq\r(3)C．4eq\r(3)D．8eq\r(3),第7题图),第8题图),第9题图),第10题图)8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE平分∠BAC，DE垂直平分AB，连接CE，若∠B＝70°.则∠BCE的度数为(B)A．55°B．50°C．40°D．35°9．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°.若BE＝6cm，DE＝2cm，则BC的长为(C)A．4cmB．6cmC．8cmD．12cm10．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于点D，下列结论：①EF＝BE＋CF；②∠BOC＝90°＋eq\f(1,2)∠A；③点O到△ABC各边的距离都相等；④设OD＝m，AE＋AF＝n，则S△AEF＝mn；⑤S△EOB＝SFOC.其中，正确的有(B)A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题(每小题3分，共24分)11．已知：在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C.若用反证法来证明这个结论，可以假设∠B＝∠C．12．如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC＝BE，若干脆应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则须要添加的一个条件是AC＝DE．,第12题图),第13题图),第14题图)13．如图，AB∥CD，O为∠BAC，∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于点E，且OE＝1，则AB与CD之间的距离等于____．14．如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O，若∠BAC等于84°，则∠OBC＝____.15．(2024·长春)如图，在△ABC中，AB＝AC.以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连接BD.若∠A＝32°，则∠CDB的大小为度．,第15题图),第16题图),第17题图),第18题图)16．如图，在等边△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于点E，EF⊥BC于点F，已知AB＝8，则BF的长为____．17．如图，在平面直角坐标系中，OA＝OB＝eq\r(5)，AB＝eq\r(10).若点A的坐标为(1，2)，则点B的坐标为(－2，1)．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，点D为AB的中点，且OD⊥AB，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF(点E在BC上，点F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为____度．三、解答题(共66分)19．(6分)如图，已知AB＝CD，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，且BF＝DE.求证：AB∥CD.证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°.∵BF＝DE，∴BF＋FE＝DE＋EF，即BE＝DF.在Rt△AEB和Rt△CFD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BE＝DF，,AB＝CD，))∴Rt△AEB≌Rt△CFD(HL)，∴∠B＝∠D，∴AB∥CD.20．(6分)如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，CE⊥AB，O是BD与CE的交点，求证：BO＝CO.证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BDC＝∠CEB＝90°，在△BCE和△CBD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ABC＝∠ACB，,∠CEB＝∠BDC＝90°，,BC＝CB，))∴△BCE≌△CBD(AAS)，∴∠BCE＝∠CBD，∴BO＝CO.21．(8分)如图，已知点A，B在直线l的两侧，按要求作图．(保留作图痕迹，不要求写作法)(1)在直线l上求作一点P，使PA＝PB；(2)在直线l上求作一点Q，使l平分∠AQB.解：作图略．22．(8分)某港口位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口1小时后相距20海里．假如知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？解：设港口位于点O，两轮船离开港口1小时后，“海天”号到达点A，“远航”号到达点B，如图所示，则OA＝12×1＝12海里，OB＝16×1＝16海里，AB＝20海里．∵AB2＝202＝400，OA2＋OB2＝122＋162＝400，∴OA2＋OB2＝AB2，则△OAB是直角三角形，且∠AOB＝90°.∴点A的位置有两种(如图点A1，A2)，∵“远航”号沿东北方向航行，∴∠1＝45°.∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝45°.∴“海天”号沿西北方向或东南方向航行．23．(8分)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，DE⊥AC.(1)求证：AE＝EC；(2)若DE＝2，求BC的长．解：(1)证明：∵AB＝AC，∠C＝30°，∴∠B＝30°，∠BAC＝120°.∵AB⊥AD，∴∠DAC＝30°，∴∠DAC＝∠C，∴DA＝DC.∵DE⊥AC，∴AE＝EC.(2)∵∠C＝30°，DE⊥AC，∴DC＝2DE＝4，∴AD＝4.∵AB⊥AD，∠B＝30°，∴BD＝2AD＝8，∴BC＝BD＋DC＝12.24．(8分)如图，△ABC为等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连接PQ交AC于点D.(1)求证：PD＝DQ；(2)若AB＝1，求DE的长．解：(1)证明：点过P作PF∥BC交AC于点F，∴∠AFP＝∠ACB，∠FPD＝∠Q，∠PFD＝∠QCD.∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴∠A＝∠AFP＝60°，∴△APF是等边三角形．∴AP＝PF.∵AP＝CQ，∴PF＝CQ.在△PFD和△QCD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠PFD＝∠QCD，,PF＝QC，,∠FPD＝∠Q，))∴△PFD≌△QCD，∴PD＝DQ.(2)∵△APF是等边三角形，PE⊥AC，∴AE＝EF.∵△PFD≌△QCD，∴CD＝DF，∴DE＝EF＋DF＝eq\f(1,2)AC.∵△ABC为等边三角形，AB＝1，∴AC＝1，∴DE＝eq\f(1,2).25．(10分)如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H.(1)线段BH与AC相等吗？若相等，赐予证明；若不相等，请说明理由；(2)求证：BG2－GE2＝EA2.解：(1)BH＝AC，证明如下：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDH＝∠BEC＝∠CDA＝90°.∵∠ABC＝45°，∴∠BCD＝180°－90°－45°＝45°＝∠ABC，∴DB＝DC.∵∠BDH＝∠BEC＝∠CDA＝90°，∴∠A＋∠ACD＝90°，∠A＋∠HBD＝90°，∴∠HBD＝∠ACD.在△DBH和△DCA中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BDH＝∠CDA，,BD＝CD，,∠HBD＝∠ACD，))∴△DBH≌△DCA(ASA)，∴BH＝AC.(2)证明：连接CG，由(1)知，DB＝CD，∵F为BC的中点，∴DF垂直平分BC，∴BG＝CG.∵BA＝BC，BE⊥AC，∴EC＝EA.在Rt△CGE中，由勾股定理，得CG2－GE2＝CE2，∵CE＝AE，BG＝CG，∴BG2－GE2＝EA2.26．(12分)已知△ABC是等边三角形，过点C作CD∥AB，且CD＝AB，连接BD交AC于点O.(1)如图①，求证：AC垂直平分BD；(2)点M在BC的延长线上，点N在AC上，且ND＝NM，连接BN.①如图②，若点N在线段CO上，求∠NMD的度数；②如图③，若点N在线段AO上，求证：NA＝MC.解：(1)证明：(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠CAB＝60°.∵CD∥AB，∴∠ABO＝∠CDO.∵∠ABC＝∠ABO＋∠CBO＝60°，∴∠CBO＋∠CDO＝60°，∴∠BCD＝120°，∴∠ACD＝∠ACB＝60°.∵CD＝AB＝BC，∴BO＝DO，CO⊥BD，∴AC垂直平分BD.(2)①由(1)知，AC垂直平分BD，∴NB＝ND，∠CBD＝eq\f(1,2)∠ABC＝30°，∴∠DBN＝∠NDB，∴∠BND＝180°－2∠NBD.∵ND＝NM，∴NB＝NM，∴∠NBM＝NMB，∠BNM＝180°－2∠NBM，∴∠DNM＝360°－180°＋2∠NBD－180°＋2∠NBM＝2(∠NBD＋∠NBM)＝60°.②连接AD，由题意知，△ACD是等边三角形，∴∠ADC＝60°，AD＝CD.与(1)同理可证