相似三角形习题

第6讲相似三角形2

、相似三角形

1.相似三角形的判定和性质。

类别内容

相似三角形

对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形，对应边的比叫做相似比

定义

(1)平行与三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角

形与原三角形相似。

相似三角形(2)两角对应相等，两三角形相似；

的判定定理(3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；

(4)三边对应成比例，两三角形相似；

(9)任意两边成比例的两直角三角形相似

(1)相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比；

相似三角形

(2)相似三角形周长的比等于相似比；

的性质

(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方。

2.相似三角形与全等三角形的比较。

性质

名称图形

对应角对应边

A4ZA=ZA

ABBCAC,

__，__，一—__，__，—__，__，-—A>/

相似三角形NB=NBABBCAC

（左为任何正实数）

ZC=ZC

AABCsAABC

AB=AB

AA'ZA=ZA

」二BC=BC

全等三角形ZB=ZB

AC=AC

NC=NCABBCAC1

即nn=1

AABC^AABCABBCAC

ARAC

【例1】如图5-34,已知E是四边形ABCD的对角残BD上一点，且白上，Z1=Z2.

AEAD

求证：ZABC=ZAED

【例2】如图，RtAABC中，NA=90o,AD_LBC于D,BE_LAB于E.

AB'_BE

求证:

AC2-AE

【例3】已知：如图5—36,D在AABC的边AB上，且DE〃BC交AC于E,F在AD上，且

AD1=AFAB,求证：AAEFsaACD.

图5-36

【例4】点P为4ABC的AB边上一点（AB>AC），下列条件中不一定能保证△ACP^AABC

的是（）

A.NACP=/BB.ZAPC=ZACB

AC_APnPCAC

D.------------

,ABACBCAB

图5-38

【例5】如图5-41,aABC被DE、FG分成面积相等的三部分，即图中，=§2=63,且DE〃FG

//BC,求DE：FG：BC.

【例6】已知：如图5-43（1）,等腰AABC中，AB=AC,BD_LAC.求证：BC2=2CACD.

图5-43

[例7]如图5-42,在正三角形ABC的边AB上取一点D,把小ABC进行折叠，使C点落在D点上,

折痕是EFo求证：ADBD=AEBF.

【例8】已知^ABC的边AB=25AC=2,BC上的高AD=5

⑴求BC的长.

⑵如果有一个正方形一边在AB上，另外两个顶点分别在AC、BC上，求这个正方形的面积。

[例9]如图，^AABC中，D是BC边上的中点，且AD=AC,DE±BC,DE与AB相交于点E,

EC与AD相交于点F»

(1)求证：AABC^AFCD

(2)若S.CD=5，BC=10,求DE的长。

二、练习

1.如图5-47,AABC^AACD,HAD=5,BD=3,贝!JZkACD与4ABC的相似比为

2.如果两个相似三角形的面积比为4:25,那么它们的相似比为，周长比为

如图中，则

3.5—50,4ABCDE#BC,SMD£=S0MEC,77;=_=.AADE

ACDH

的周长与AABC的周长之比为.

4.如图5—51,在AABC中，DE〃BC,DE=2,BC=5,BD=3.6,贝！)

AD:AB=.CE:AE=,AD=,(AD+AE):(AB+AC)=.

5.如图5—52,在AABC中，DE〃BC,BE与CD交于O,AO交DE、BC于N、M,若DN:MC=1:4

贝(INE:BM=,AE:EC=.

6.如图5-55,点D在AB上，下列条件中，不能判定4ABC与4ACD相似的是()

A.Z1=ZBB.Z2=ZACBC.AC2=ADABD.DB2=ADAD

7.如图5-57,将AABC的高AD四等分,过每一个分点作底边的平行线，这样把三角形面积分成

1'©2''S4,贝(IS/S2：S3：4)

A.1：2：3：4B.2:3：4：5C.1：3：5：7D.3：5：7：9

图559

如图5-59,AD、CE是aABC的两条高，F是AB上一点，且AF=AD,过F点作FG〃BC交

AC于G.求证：FG=CE.

9.如图5—68,AB=8,AC=6,点D、E分别在AC、AB±,且AD=2,当AE=时，Z\ADE与原

三角形相似.

图56