土木工程制图(第六章)-

本章导读标高投影是一种单面正投影。在多面正投影中，给定了形体的水平投影后，其正面或侧面投影的作用主要是提供形体各部分的高度。倘若在水平投影上用数字标出这些高度，同样也能确定空间形体的形状。这种用水平投影结合标注高度来表示形体的方法称为标高投影法，所得到的单面正投影图称为标高投影图。本章主要介绍点、直线、平面，以及圆锥面、地形面等曲面的标高投影和作图问题。了解标高投影的概念及形成方法。掌握点和直线标高投影的表示方法。了解平面的等高线和坡度线，能根据已知条件作出平面的等高线和坡度线，以及两平面间的交线和直线与平面的相对位置。了解曲面的标高投影及地形面的表示方法，能根据已知条件解决工程中的一些简单问题。技能目标第一节概述建筑物是建在地面上或地面下的。因此，地面的形状对建筑群的布置、房屋的施工、设备的安装等都有很大影响。所以，在工程设计和施工中，常常需要绘制表示地面起伏状况的地形图，并在图上表示工程建筑（构筑）物。由于地面形状比较复杂，高低不平，没有一定规律，用正投影图很难表达清楚。为此，常用一组等间隔的水平面去截切地面，这样，便可以得到一组水平截交线，它们都是不规则的平面曲线，如图6-1（a）所示。每一条这样的水平截交线，其上面的各点都有相同的高度，故称为等高线。将这些等高线投射到水平投影面（基准面）上，并标出它们各自的标高，即可得到地面的标高投影图，也称地形图，如图6-1（b）所示。（a）（b）图6-1标高投影标高投影图能清楚地反映出地形的起伏变化，图上所画的那些等高线的水平投影，习惯上仍称为等高线。此外，图6-1中，各截平面的高度数值称为标高或高程，其值可正可负。高程数值以米为单位时，图上不需注明。图中应注明绘图的比例或画出比例尺，比例尺的形式是上细下粗的平行线，如图6-1（b）所示。由此可见，标高投影应包括水平投影、高程数值和绘图比例三要素。在实际工作中，通常以我国青岛附近的黄海平均海平面作为基准面，所得的高程称为绝对高程，否则，称为相对高程。（b）图6-1标高投影如图6-2所示，作出空间点A和B在水平基准面H上的正投影a和b，并在a和b的右下角标出A，B的标高，即得A，B的标高投影图。一、点的标高投影第二节点和直线的标高投影（a）轴测图（b）标高投影图图6-2点的标高投影在标高投影中，水平基准面的标高为0，它是度量各点高度的基准。基准面以上的点，其标高为正，基准面以下的点，其标高为负。如图6-2中，A点的标高为+3，其标高投影记为a3；B点的标高为-2，其标高投影记为b-2。为了度量的需要，图上常附有绘图用的比例尺。二、直线的标高投影方法一在直线的H面投影ab上，标出它的两个端点a和b的标高，就可以得到直线AB的标高投影，如图6-3中的a1b4。（a）轴测图（b）标高投影图6-3直线的标高投影方法二在直线的H面投影上只标出线上一个点的标高，画上表示直线下坡方向的箭头并注上坡度，如图6-4（b）所示。图6-4直线标高投影的另一种形式图6-5直线的实长和倾角提示求直线AB的实长以及它对基准面的倾角，可用换面法。例如，求作图6-5所示标高投影a3b5的实长，可分别过a3和b5点作两条垂线，并在垂线上按比例尺分别截取相应的标高数3和5，得A点和B点，则AB的长度为所求实长。AB与a3b5之间的夹角

，就是所求的倾角。1．坡度坡度是指直线上任意两点的高差与其水平投影长度之比，用符号i表示，即

（6-1）式中：△H

—两点之间的高度差（m）；L—两点之间的水平距离（m）；—直线的倾角。如图6-4所示，按图中所附的比例尺可量得投影线a2b3.5的长度为6m，其高度差为3.5-2=1.5，则其坡度为1.5/6=1/4，因此，投影线a2b3.5可用图6-4（b）所示方式表示。2．平距直线上任意两点的水平距离与其高差之比，称为该直线的平距，用符号l表示，即

（6-2）坡度与平距都是描述空间斜直线对水平面的倾斜程度的比例系数，它们没有度量单位，彼此互为倒数，即

，坡度越大，平距越小；反之，坡度越小，平距越大。直线上任意两点的高度差与其水平投影距离之比是一个常数，故在已知直线上任取一点，就能计算出它的高程，或已经直线上任意一点的高程，即可确定其水平投影的位置。3．直线上高程点的求法（a）（b）图6-6求直线的坡度及线上点的标高【例6-1】已知直线AB的标高投影a4b10和直线上C点的水平投影c，如图6-6（a）所示，求直线AB的坡度i、平率l和C点的标高。解：按图中所附的比例尺可量得a4点到b10点的距离为12m，然后按下式计算出直线的坡度：所以，该直线的斜度为1∶2，用比例尺量得C点到A点的水平距离为5m，故C点和A点的高差为

，则=2.5m。（a）已知条件

（b）求已知高程的点（c）数解法求整数高程点（d）图解法求整数高程点图6-7求直线上已知高程的点和整数高程点【例6-2】已知直线上A点的高程及该直线的坡度，如图6-7（a）所示，试求：（1）直线上高程为2.4m的B点；（2）标注出直线上的各整数高程点。解：（1）求B点的高程。由HA=6.4，

HB=2.4可知HAB=6.4-2.4=4m，则按比例尺从a6.4沿箭头方向量取12m，即得B点的标高投影b2.4。（2）求直线上的各整数高程点。A，B两点之间的高程分别为3m，4m，5m，6m，对应的点分别为C，D，E，F，则

。从a6.4点沿箭头方向用比例尺量取1.2m，即得高程为6m的点f6。由于i=1/3，则l=3，自f6点起沿箭头方向用平距3m依次量得e5，d4，c3各点，如图6-7（c）所示。各整数高程点除了用数解法求出外，还可以用图解法求出，其作图方法如图6-7（d）所示。一、平面的等高线和坡度线第三节平面的标高投影平面被一组水平面截割，得到一组水平线，这些水平线称为平面的等高线。如图6-8所示，由平行四边形ABDC表示的平面P中，AB位于H面上，是平面P与H面的交线，记为PH。如果以一系列平行于基准面H，且相距为一个单位的水平面截割平面P，则得到平面P上的一组水平线Ⅰ—Ⅰ，Ⅱ—Ⅱ等，它们的H面投影为1—1，2—2等，称为该平面的等高线。平面P的等高线都平行于PH，且间隔相等。这个间隔，称为平面的间距。图6-8平面的标高投影在PH上任取一点E，引平面P上的直线EF垂直于PH。它的H面投影Ef必垂直于PH。直线EF称为平面P的最大斜度线，Ef为最大斜度线EF的标高投影。把Ef刻度后标注为Pi，则Pi称为平面P的坡度比例尺。坡度比例尺Pi垂直于平面的等高线，它的间距等于平面的间距，因而可以唯一确定平面P，如图6-9（a）所示。要作出平面的等高线，可过Pi上的各刻度，作一系列等高线垂直于Pi，如图6-9（b）所示。（a）用坡度比例尺表示平面（b）作平面的等高线图6-9坡度比例尺（c）求平面的倾角图6-9坡度比例尺如图6-8所示，平面上最大斜度线与它的H面投影之间的夹角

，就是平面对H面的倾角。如果给出PH和比例尺，就可以用图6-9（c）的方法求出倾角

。即先按比例尺作出一组平行于Pi的整数高度线，然后在相应的高度线上定出Ⅱ点和Ⅵ点，连接这两个点，则该直线与Pi的夹角就是平面P的倾角。二、平面的标高投影在标高投影中，有多种表示平面的方法。各种表示方法可以通过作图相互转化，这些表示方法具体如下：（1）用确定平面的几何元素（如3个点，相交两直线等）的标高投影表示平面；（2）用一组等高线表示平面；（3）用一条等高线及标有坡度值的坡度线表示平面，如图6-10（a）所示；（4）用面上一条倾斜直线和平面的坡度表示平面，这时，由于坡度线不垂直于面内的斜直线，坡度线不能准确地表明下坡方向，故将坡度线画成弯折线，箭头只是表明下坡的趋势，如图6-10（b）所示。确切的下坡方向可由作图确定。（5）在坡度线上标出刻度也可以表示平面。（a）（b）图6-10用平线和坡度线表示平面分析：只要先作出平面的等高线，就可以画出比例尺Qi。为此，先连接a4.2，b7.5，c1三点，并取任意两边（如a4.2b7.5和b7.5c1），在其上刻度，然后连接两边同一标高的刻度点，即可得到各等高线，最后在合适位置作各条等高线的垂线，即可得到比例尺Qi，如图6-11（b）所示。【例6-3】已知平面Q上的a4.2，b7.5，c1三个点，如图6-11（a）所示，试求作平面Q的坡度比例尺Qi。（a）已知条件（b）作出比例尺Qi图6-11求平面的坡度比例尺1．求平面的等高线或坡度线（a）已知条件

（b）作图过程（c）空间几何示意图图6-12求平面上的等高线【例6-4】如图6-12（a）所示，已知平面上一条倾斜直线a3b6及平面的坡度1∶0.6，图中虚线箭头表示大致坡度方向，试求作平面上高程为3m，4m，5m的等高线。解：（1）求高程为3m的等高线。如图6-12（b）所示，b6与高程为3m的等高线之间的水平距离为

。因此，以b6点为圆心，1.8m为半径，向箭头所指方向画圆弧。过a3点作该圆弧的切线，即得高程为3m的等高线。（2）过b6点作该切线（即等高线）的垂线，即得该平面的坡度线。（3）采用同样的方法或3等分直线a3b6，并过各等分点作高程为3m的等高线的平行线，可得到平面上高程为4m和5m的两条等高线。上述作图过程可以理解为过倾斜直线AB作一平面，使其与锥顶B、素线坡度为1∶0.6的正圆锥相切，切线BC（圆锥一素线）就是平面的坡度线，如图6-12（c）所示。A，B两点的高差为3m，等高线间距为1.8m，所作正圆锥的高度为3m，底圆半径为1.8m。过高程为3m的点A作圆锥底面的切线a3c3，即为平面上高程为3m的等高线。在标高投影中，两个平面相交时，标高相同的两条等高线的交点必为两平面交线上的点，且该点的标高等于等高线的标高，如图6-13所示。求平面与平面的交线，只要作出这样的两个交点，然后连接，即可得到两平面的交线。2．求平面间的交线图6-13两平面的交线由此可得出结论：两平面上相同高程等高线的交点的连线，就是这两个平面的交线。在实际工程中，把建筑物上相邻两坡面的交线称为坡面交线，填方形成的坡面与地面的交线称为坡脚线，挖方形成的坡面与地面的交线称为开挖线。（a）已知条件（b）作图过程图6-14求作坡脚线及坡面交线【例6-5】在高程为2m的地面上修建一个高程为5m的平台，并修建一条由地面通到平台顶面的斜坡引道，平台各坡面坡度均为1∶1.2，斜坡引道两侧的边坡坡度为1∶1，如图6-14（a）所示。求坡脚线和各坡面交线，并画出各坡面的示坡线。解：（1）求坡脚线。因地面的高程为2m，各坡面的坡脚线就是各坡面内高程为2m的等高线。平台坡面的坡度为1∶1.2，坡脚线与相应的平台边线平行，其水平距离为

。由此作出平台四周的坡脚线。斜坡引道两侧坡面的坡度为l∶1，则

。分别以a5和b5为圆心，以3m为半径画圆弧，再自e2点和f2点向圆弧作切线，即为引道两侧的坡脚线，如图6-14（b）所示。（2）求坡面交线。相邻平台斜面上高程为5m的等高线交点与高程为2m的等高线交点连接，即得平台四周斜面的坡面交线。平台坡面坡脚线与引道两侧坡脚线的交点d2和c2是相邻两坡面的共有点，a5和b5也是平台坡面和引道两侧坡面的共有点，分别连接a5d2和b5c2，即为平台坡面与斜坡引道两侧坡面的坡面交线。（3）画出各坡面的示坡线，并注明坡度。值得注意的是，示坡线方向与等高线垂直。该工程的空间形状如图6-15所示。图6-15空间示意图根据直线和平面的标高投影，可通过作图判断它们的空间位置，以及交点的标高。3．求直线与平面的相对位置【例6-6】已知直线a6b2和平面Pi，如图6-16（a）所示，试求直线与平面的交点。分析：过空间直线A6B2引一条垂直于H面的辅助平面Q，求得Q面与平面P的交线CD后，则CD与AB的交点K，就是所求直线A6B2与平面P的交点。解：（1）求平面P与辅助平面Q的交线。由于Q面垂直于H面，它的H面积聚投影QH与a6b2重合，同时，Q面的所有等高线都重合在QH（a6b2）上。于是，P与Q的交线CD的标高投影c7d4，就是P面上标高为7和4的两等高线与QH（a6b2）的交点c7和d4的连线。（a）已知条件图6-16求直线与平面的交点（2）将Q面绕QH旋转到与H面重合，作出Q面的辅助投影，并在相应标高的等高线上求得A，B，C，D各点，则AB和CD的交点K4.6就是所求交点在Q面辅助投影上的位置。过K4.6点引QH的垂线，交a6b2于k4.6，则该点就是所求交点的标高投影。（b）作图过程图6-16求直线与平面的交点一、圆锥面的标高投影第四节曲面的标高投影用一组间隔相等的水平面截切圆锥，交出的等高线均为圆，这些圆的水平投影仍为圆，如图6-17所示。用这组标有高度值的圆可以表示圆锥，即为圆锥面的标高投影。对于直的圆锥面，其标高投影为一组同心圆，如图6-17（a）所示；对于斜的圆锥面，其标高投影为一组偏心圆，如图6-17（b）所示。当圆锥的锥顶向上时，等高线的标高越大，则圆的直径越小；反之，当锥顶向下时，标高越大，则圆的直径也越大，如图6-17（c）所示。在标高投影中，用一系列假想水平面截切曲面，画出这些截交线的标高投影，就是曲面的标高投影，即曲面常用一系列的等高线表示。本节主要介绍工程上常见的圆锥面和地形面。（a）（c）（b）图6-17圆锥面的标高投影【例6-7】在高程为3m的地面上，修筑一端为半圆形的场地，各填土边坡的坡度如图6-18（a）所示。设地面标高为0m，试作出填筑范围及各坡面间的交线。分析：半圆形一端的填土坡面为圆锥面，坡脚线为圆弧线，其余坡面均为平面，其坡脚线均为直线。坡面交线是平面与圆锥面的交线，即为双曲线。圆锥面与地面的交线是标高为0的圆弧。圆锥面的坡度为1∶2，则平距为2，在图6-18（b）中以半径增量为2m画出一组同心圆，即可得到锥面的等高线。各边坡平面的坡度为1∶1，用间隔1m作出各边坡平面的3条等高线。顺次连接锥面与边坡平面上同标高等高线的交点，即可得到双曲线。最后再作出相邻边坡平面间的交线，并画出示坡线，结果如图6-18（b）所示。（a）

（b）图6-18求作坡脚线及坡面交线二、地形面的表示方法实际上，大地表面并不是水平面，而是不规则曲面，常称为地形面。假想用一组高差相等的水平面截切地形面，得到一组高程不同的等高线，这些等高线是不规则的平面曲线，如图6-19（a）所示。画出这些等高线