浙江省杭州市周边重点中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

高二年级数学学科考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号．3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题卷．选择题部分一、选择题：本题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先借助不等式求出集合，再运用交集的运算求.【详解】由，则，故选：B.2.记复数的共轭复数为，若，则（）A.1 B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】由复数的除法运算求得，再由可得.【详解】由得，所以，故选：C.3.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则（）A.两人都中靶的概率为0.12 B.两人都不中靶的概率为0.42C.恰有一人中靶的概率为0.46 D.至少一人中靶的概率为0.74【答案】C【解析】【分析】设出事件，根据相互独立事件的概率计算公式计算即可.【详解】设甲中靶为事件，乙中靶为事件，则两人都中靶的概率为，两人都不中靶的概率为，恰有一人中靶的概率为，至少一人中靶的概率为.故选：C4.已知向量，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示，结合向量加减、数乘的坐标运算求解可得.【详解】，由，则，化简得.故选：A.5.已知是两个互相垂直的平面，是两条直线，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】借助长方体模型，判断线线与线面位置即可.详解】如图，长方体中，平面平面，令平面为，平面为，则平面平面，①令，，即，但平面，，故不与平面平行，即不成立.故，所以“”是“”的不充分条件；②令，平面，即，但，不与平行，即不成立.故，所以“”是“”的不必要条件；综上所述“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.6.设函数，则不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先分段作出函数的图象，结合图象得函数为R上的增函数，再判断函数的奇偶性，再利用单调性与奇偶性性质将不等式转化为，化简求解可得.【详解】，x∈R，则，作出函数的图象，可知是R上的增函数.又，是奇函数.不等式可化为，所以，则，即，解得，不等式的解集是.故选：B.7.已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据，求出，由此可得的最大、最小值.【详解】由函数的值域为，得，得，，得，由定义域为，所以，，所以的取值范围是.故选：D.8.如图，在正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且平面，则下列说法正确的个数有（）①二面角的大小为常数②二面角的大小为常数③二面角的大小为常数A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【答案】B【解析】【分析】设正方体的棱长为，以为坐标原点，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，分别求出构成二面角的两个半平面的法向量，看两个半平面的法向量夹角的余弦值是否含参数，从而确定二面角是否为常数.【详解】设正方体的棱长为，以为坐标原点，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，又是侧面上的动点，设，，则，设平面的法向量为n1=x1,y则，即，令，则，，即，又平面，则，即，则，解得，因此可得，，设平面的法向量为，又，，则，即，令，则，，即，又因此可得二面角的大小为常数，故①正确；设平面的法向量为，又，，则，即，令，则，，即，因为中含参数，故的值不定，因此二面角大小不是常数，故②不正确；设平面的法向量为，又，，则，即，令，则，，即，因为中含参数，故值不定，因此二面角的大小不是常数，故③不正确；故选：B.【点睛】方法点睛：1.与平行有关的轨迹问题的解题策略（1）线面平行转化为面面平行得轨迹；（2）平行时可利用法向量垂直关系求轨迹．2.与垂直有关的轨迹问题的解题策略（1）可利用线线、线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹；（2）利用空间坐标运算求轨迹；（3）利用垂直关系转化为平行关系求轨迹．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某次校十佳歌手评比中，10位评委给出的分数分别为，计算得平均数，方差，现去掉一个最高分10分和一个最低分5分后，对新数据下列说法正确的是（）A.极差变大 B.中位数不变C.平均数变小 D.方差变大【答案】BC【解析】【分析】根据平均数、中位数、方差、极差定义理解及求法判断各项的正误.【详解】由于10个数据已经确定，故不妨设，由题意不妨取，A项，原极差为，去掉最高与最低分后，极差为，所以去掉最高和最低分，极差有可能减小，极差变大是不可能的，故A项错误；B项，中位数的定义知：数据从小到大排列，中间两个数的平均值是中位数，去掉最高和最低不影响中间两个数，B项正确；C项，由题意原平均数，则，则去掉最高与最低分后，平均数变为，平均数变小，故C正确；D项，去掉最高和最低分后，数据移除这两个极端值后，数据的波动性减小，故方差会变小，故D项错误.故选：BC.10.已知分别是三个内角的对边，则下列命题中正确的是（）A.若，则B.若，则C.若是所在平面内的一点，且，则是直角三角形D.若，则的最大值是【答案】ACD【解析】【分析】由正弦定理边角关系判断A；利用正弦定理解三角形求角C判断B；由已知可得，由其几何意义可知边上的中线长等于的一半，即可判断C；由余弦定理和基本不等式求出，再由数量积的定义将的最大值转化为求的最大值，由求解可判断D.【详解】对于A，因为在上单调递减，所以，则，故A正确对于B，由，则，而，故或，因为，所以，所以或，故B错误；对于C，由、，，故，所以在中边上的中线长等于的一半，即是为直角的直角三角形，故C正确.对于D，而，当时，取最大值，故D正确.故选：ACD.11.四面体中，，记四面体外接球的表面积为，当变化时，则（）A.当时， B.当四面体体积最大时，C.可以是 D.可以是【答案】ACD【解析】【分析】A选项，点在平面内的投影是的外心，构造直角三角形求外接球的半径；B选项，平面平面时，构造直角三角形求外接球的半径；C选项，由外接球半径的范围进行判断；D选项，验证外接球的半径是否成立.【详解】设四面体外接球的球心为，半径为，当时，，则点在平面内的投影是的外心，由，为直角三角形，外心是边的中点，平面，平面，三点共线，中，，中，由，得，解得，此时，A选项正确；当四面体体积最大时，有平面平面，设平面的外心为，为中点，连接，则平面，由，则，，，平面平面，平面平面，平面，，则平面，又平面，则有，中，，又，则，同理可得平面，，所以四边形为矩形，，中，由，得，此时，B选项正确；若，则外接球的半径为，而的外接圆半径，所以这种情况不成立，C选项错误；当时，，，则，即，四面体外接球的半径成立，此时，D选项正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：求一个特殊四面体的外接球半径,通常有以下几种思路:一是构造法,比如求等腰四面体与直角四面体的外接球半径,可通过构造一个球内接长方体得到;二是截面法,比如求正三棱锥的外接球径,可通过分析球心与一条侧棱所在截面的有关三角形计算得到;三是观察法,比如将一个矩形沿对角线折成一个四面体,它的外接球球心就是原来矩形外接圆的圆心.关于一般四面体的外接球半径问题,可以用解析法求出.方法如下:先建立适当的空间直角坐标系,并写出这个四面体四个顶点的坐标.非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知幂函数的图象关于轴对称，则实数的值是______．【答案】2【解析】【分析】根据函数为幂函数求出的值，再通过的图象关于轴对称来确定的值.【详解】由为幂函数，则，解得，或，当时，，其图象关于轴对称，当时，，其图象关于对称，因此，故答案为：2.13.已知，且，则的最小值为______．【答案】81【解析】【分析】根据对数的运算性质可得，再结合基本不等式进行求解即可.【详解】由，，则，，，又，则，即，又，当且仅当，即时，等号成立，所以可得，因此的最小值为81.故答案为：81.14.在正四面体中，分别为的中点，，截面将四面体分成两部分，则体积较大部分与体积较小部分的体积之比是______．【答案】【解析】【分析】根据线线平行可得截面，即可利用等体积法，结合比例即可求解.【详解】取,由可得,故，故得截面为四边形，，,,故，故体积较大部分与体积较小部分的体积之比，故答案为：四、解答题：（共5大题，共77分，其中第15题13分，第16题、第17题每题15分，第18题、第19题每题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．15.已知，，．（1）当时求集合；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）当时，解不等式，从而求出集合；（2）对进行分类讨论，求取不同值时的集合，再根据，即可求实数的取值范围.【小问1详解】当时，则，由不等式，解得，即；【小问2详解】由不等式，则，即，当时，由（1）知，，又，则，即符合题意；当时，为空集，又，显然不成立；当时，或，又，则，即，故符合题意；当时，或，显然，故符合题意；当时，或，显然，故符合题意；综上知，或.16.为了了解某项活动的工作强度，随机调查了参与活动的100名志愿者，统计他们参加志愿者服务的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图．（1）估计志愿者服务时间不低于18小时的概率；（2）估计这100名志愿者服务时间的众数，平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）；（3）估计这100名志愿者服务时间的第75百分位数（结果保留两位小数）．【答案】（1）（2）20；20.32（3）23.86【解析】【分析】（1）用频率估计概率可得；（2）根据频率分布直方图求出的值，然后根据众数、中位数、平均数的概念计算；（3）先根据各区间频率，确定75百分位数所在区间，再由比例关系计算即可.【小问1详解】由志愿者服务时间低于18小时频率为，，所以估计志愿者服务时间不低于18小时概率为.【小问2详解】由频率分布直方图可看出最高矩形底边上的中点值为20，故估计众数是20；由，解得，估计平均数为；【小问3详解】，，由，第75百分位数位于之间，设上四分位数为，则，解得．估计这100名志愿者服务时间的第75百分位数为.17.已知函数．（1）求函数的单调递减区间；（2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，若，且，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用两角和的正、余弦公式及诱导公式化简函数的解析式，再由整体角范围求解不等式可得单调区间；（2）由伸缩变换与平移变换得解析式，得，根据整体角范围求余弦值，再由角的关系，利用两角和的余弦公式求解可得.【小问1详解】.由，解得即时，函数单调递减，所以函数的单调递减区间为；【小问2详解】将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），则得到函数的图象，再向右平移个单位，得到函数的图象，所以.若，则，.由，得，又，所以，则，故.故的值为.18.如图，已知四棱锥中，，，，且，（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）若平面与平面垂直，，求四棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）取中点，连接，证，，利用线面垂直的判定定理得平面，再利用线面垂直的性质即可证得；（2）由（1）知平面，利用面面垂直的判断定理可得平面平面，则即为直线与平面所成角，再利用题中条件求的长度，最后利用余弦定理进行求解即可；（3）由（2）知平面平面，又平面平面，则平面与平面重合，即四点共线，再利用题中条件求出四边形的面积和四棱锥的高，最后用锥体的体积公式即可求解.【小问1详解】取中点，连接，由，则，因此可得，又为中点，则在等腰和等腰中，可得，，又，平面，平面，又平面，.【小问2详解】过作垂直的延长线于一点，由（1）知平面，平面,则平面平面，又平面平面，平面，,平面，故即为直线与平面所成角，又在等腰直角中，，则，，又在中，，则，在中，，则在中，，因此可得，即直线与平面所成角的正弦值为.【小问3详解】由（2）知平面平面，又平面平面，则平面与平面重合，即四点共线，在中，，，在中，,又,又四边形的面积,又（2）知平面，故为四棱锥的高，所以四棱锥的体积.【点睛】关键点点睛：本题的关键是证明平面，再利用面面垂直的判定定理证平面平面，最后根据平面与平面垂直，确定四点共线，考查了线面垂直，面面垂直的判定与性质，及线面角的定义，是一道综合性较强的题.19.已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，都有，则称是“反比例对称函数”．设．（1）判断函数是