专题17解答中档题型：圆的性质与计算综合题(原卷版+解析)

专题17解答中档题型：圆的性质与计算综合题1．（2023•安徽）已知四边形内接于，对角线是的直径．（1）如图1，连接，，若，求证：平分；（2）如图2，为内一点，满足，．若，，求弦的长．2．（2022•安徽）已知为的直径，为上一点，为的延长线上一点，连接．（1）如图1，若，，，求的长；（2）如图2，若与相切，为上一点，且．求证：．3．（2021•安徽）如图，圆中两条互相垂直的弦，交于点．（1）是的中点，，，求圆的半径长；（2）点在上，且，求证：．4．（2020•安徽）如图，是半圆的直径，，是半圆上不同于，的两点，，与相交于点．是半圆所在圆的切线，与的延长线相交于点．（1）求证：；（2）若，求证：平分．5．（2023•瑶海区一模）如图，是内接三角形，是的直径，点是弦上一点，连接，．（1）若，求证：；（2）在（1）的条件下，若，，求．6．（2023•合肥一模）如图1，为的直径，为弦，过圆心作于，点为延长线上一点，是的切线．（1）求证：；（2）如图2，取弧的中点，连接，，若，，求弦的长．7．（2023•庐阳区校级一模）如图，已知是的外接圆，点是的内心，的延长线与相交于点，过作直线．（1）求证：是的切线；（2）连接，若，，求的长．8．（2023•合肥三模）如图，是的直径，点为半圆的中点，四边形为平行四边形．（1）请用无刻度直尺画出圆心的位置，并说明理由；（2）点为中点，于，交于点，求的度数．9．（2023•庐阳区一模）如图，的直径垂直于弦，垂足为，，．（1）求的半径长；（2）连接，作于点，求的长．10．（2023•合肥模拟）如图，在中，，以为直径作交于点．过点作，垂足为，延长交于点．（1）求证：是的切线；（2）若，的半径为5，求线段的长．11．（2023•蜀山区二模）如图，为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为，交于点，连接，．（1）求证：；（2）若，求的长．12．（2023•蜀山区校级一模）已知等腰，，且，连接交于点，以为直径的上有一点，使得，连接交于点，若．（1）判断与的关系，并说明理由；（2）若，求的值．13．（2023•瑶海区二模）是的直径，是的切线，连接交于点，连接．（1）如图1，若，求的长；（2）如图2，作的角平分线交于点，交于点，若，，求的值．14．（2023•包河区二模）已知：如图1，为的直径，点为外一点，，连接交于．（1）若为的切线，求证：；（2）如图2，若时，请用尺规作图在内部选一点，使，以下是部分作图步骤：第一步：过点作的垂线，交于点；第二步：连接、；问题：①请完成接下来的作图，并保留作图痕迹；②在操作中得到的依据是．15．（2023•庐阳区二模）如图，在中，是直径，点在圆上，、分别平分和，的延长线交于点，连接．（1）求证：；（2）若，，求的长．16．（2023•庐阳区校级二模）如图，内接于，为直径，射线于点，交于点，过点作的切线交射线于点．（1）当时，求的度数；（2）当，时，求的长．17．（2023•庐江县模拟）如图，是的直径，是的中点，于点，交于点．（1）求证：；（2）若，求弧的长度．18．（2023•合肥二模）如图，以为直径的经过的顶点，，分别平分和，的延长线交于点，连接．（1）判断的形状，并证明你的结论；（2）若，，求的长．19．（2023•庐阳区校级一模）如图，是的直径，，都是上的点，平分，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的值．20．（2023•庐阳区校级一模）如图，在中，直径为，正方形的四个顶点分别在半径、以及上，并且．（1）若，求的长度；（2）若半径是5，求正方形的边长．21．（2023•合肥一模）如图，在中，为直径，点、在上，交于点连接，．（1）求证：；（2）若，，求的长．22．（2023•庐阳区校级一模）中，，为上一点，以为心，为半径的与相切于点．（1）求证：平分；（2）连接，若，求的值．23．（2023•合肥模拟）如图，是的直径，，是上两点，过点的切线垂直于的延长线，垂足为点，，相交于点．（1）求证：点是的中点；（2）若，，求的长．24．（2023•包河区一模）如图，是的直径，是的一条弦，于点，连接．（1）若，求的度数；（2），的延长线相交于点，是的切线，交于点，若，求证：．25．（2023•合肥模拟）如图，四边形内接于，，对角线为的直径，为外一点，平分，，连接．（1）求的度数；（2）连接，求证：．26．（2023•庐阳区校级三模）如图，是的直径，点是的中点，过点的切线与的延长线交于，连接，．（1）求证：；（2）若，，求的面积．27．（2023•庐阳区模拟）如图，点为圆外一点，过点作圆的切线，切点为，点为上一点，连接并延长交圆于点，连接，若与垂直．（1）求证：；（2）若，圆的半径为8，求的长．28．（2023•合肥二模）如图，为的外接圆，直线与相切于点，弦，与相交于点．（1）求证：；（2）若，，求的半径．29．（2023•瑶海区三模）如图，在中，，是边上的一点，以为半径的与边相切于点．（1）若，的半径为3，求的长．（2）过点作弦于，连接，若．求证：四边形是菱形．30．（2023•庐江县二模）如图，点是直径延长线上一点，，点是上一个动点（不与点，重合），点为半径的中点．（1）如图1，若，求的长；（2）如图2，当时，求证：是的切线．31．（2023•蜀山区校级一模）如图，为的直径，点是上一点，过点的直线交的延长线于点．作，垂足为点，已知平分．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的半径．32．（2023•芜湖模拟）如图1，已知为的直径，为上一点，于，为弧的中点，连接，分别交、于点和点．（1）求证：；（2）如图2，若，连接，求证：．33．（2023•包河区校级一模）如图，四边形为的内接四边形，且为的直径，，延长到，使得，连接．（1）求证：；（2）若为的切线，且，求的长度．34．（2023•瑶海区模拟）如图，是的直径，点是的中点，过点的切线与的延长线交于，连接，．（1）求证：；（2）若，，求的半径．35．（2023•庐阳区校级一模）如图1，已知是的内接三角形，是的直径，是的弦，连接，交于点．（1）求证：；（2）如图2，连接、，若，且，，求的长．36．（2023•安庆一模）如图，在中，以的边为直径作，交于点，是的切线，且，垂足为点．（1）求证：；（2）若，，求直径长．37．（2023•合肥模拟）如图，是外接圆的直径，是延长线上一点，连接、，其中是的切线．（1）求证：．（2）若，，求的长．38．（2023•庐江县三模）已知，如图，四边形内接于，直线与相切，切点为，连接．（1）求证：；（2）若，点是劣弧的中点，，求．39．（2023•蜀山区模拟）如图，是的直径，点是延长线上一点，过作的切线，切点为，连接、．（1）若，求证：；（2）若，，求的长．40．（2023•芜湖模拟）如图，在中，，点在上，以点为圆心，长为半径的圆与、分别交于点、，且．（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；（2）若，，求的长．

专题17解答中档题型：圆的性质与计算综合题1．（2023•安徽）已知四边形内接于，对角线是的直径．（1）如图1，连接，，若，求证：平分；（2）如图2，为内一点，满足，．若，，求弦的长．【答案】见解析【详解】（1）证明：，，，即平分；（2）延长交于，延长交于，，，，是的直径，，，，，，四边形是平行四边形，，．2．（2022•安徽）已知为的直径，为上一点，为的延长线上一点，连接．（1）如图1，若，，，求的长；（2）如图2，若与相切，为上一点，且．求证：．【答案】见解析【详解】（1），，，，；（2）与相切，，即，，，，，，即．3．（2021•安徽）如图，圆中两条互相垂直的弦，交于点．（1）是的中点，，，求圆的半径长；（2）点在上，且，求证：．【答案】见解析【详解】（1）连接，如图：是的中点，，，，，中，，且，，即圆的半径长为；（2）连接，延长交于，如图：，，是的垂直平分线，，即是等腰三角形，，，，，，中，，，，，即．4．（2020•安徽）如图，是半圆的直径，，是半圆上不同于，的两点，，与相交于点．是半圆所在圆的切线，与的延长线相交于点．（1）求证：；（2）若，求证：平分．【答案】见解析【详解】（1）证明：是半圆的直径，，在与中，，；（2）解：，由（1）知，，是半圆所在圆的切线，，，由（1）知，，，，，，，平分．5．（2023•瑶海区一模）如图，是内接三角形，是的直径，点是弦上一点，连接，．（1）若，求证：；（2）在（1）的条件下，若，，求．【答案】见解析【详解】（1）证明：连接，是的直径，，，，，，，；（2）解：是的直径，，，，，，，，，，．6．（2023•合肥一模）如图1，为的直径，为弦，过圆心作于，点为延长线上一点，是的切线．（1）求证：；（2）如图2，取弧的中点，连接，，若，，求弦的长．【答案】见解析【详解】（1）证明：连接，如图1，是的切线，，，即，，，，，，；（2）解：连接交于，如图2，是直径，，，为弧的中点，，，，，在中，，即弦的长为．7．（2023•庐阳区校级一模）如图，已知是的外接圆，点是的内心，的延长线与相交于点，过作直线．（1）求证：是的切线；（2）连接，若，，求的长．【答案】见解析【详解】（1）证明：连接，点是的内心，，，，，，，，，为半径，是的切线；（2）解：在中，由勾股定理得，，，，，，，在中，由勾股定理得，．8．（2023•合肥三模）如图，是的直径，点为半圆的中点，四边形为平行四边形．（1）请用无刻度直尺画出圆心的位置，并说明理由；（2）点为中点，于，交于点，求的度数．【答案】见解析【详解】（1）解：如图，点即为所求．理由：为直径，，为平行四边形，，为直径，、交点为圆心；（2）设．为半圆的中点，，，．为中点，，，，．连接，则，，，，，，．9．（2023•庐阳区一模）如图，的直径垂直于弦，垂足为，，．（1）求的半径长；（2）连接，作于点，求的长．【答案】见解析【详解】（1）连接，如图，设的半径长为，，，，在中，，，，，解得，即的半径长为5；（2）在中，，，，，，，在中，，即的长为．10．（2023•合肥模拟）如图，在中，，以为直径作交于点．过点作，垂足为，延长交于点．（1）求证：是的切线；（2）若，的半径为5，求线段的长．【答案】见解析【详解】（1）证明：，，，，，，，是半径，，是的切线；（2）解：连接，，为的直径，，，，，在中，，，，，在中，，，，，，，，为的直径，，，，，．11．（2023•蜀山区二模）如图，为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为，交于点，连接，．（1）求证：；（2）若，求的长．【答案】见解析【详解】（1）证明：连接，是的切线，．，，．又，，，；（2）解：是直径，，，，．，，，，即，，．在直角中，，．12．（2023•蜀山区校级一模）已知等腰，，且，连接交于点，以为直径的上有一点，使得，连接交于点，若．（1）判断与的关系，并说明理由；（2）若，求的值．【答案】见解析【详解】（1）与相切，理由：连接，如图，，．，．，．，，，，为的半径，与相切；（2）连接，交于点，连接，，如图，为的直径，，，，点，，，四点共圆，，，，．为的直径，．，，，为等腰直角三角形，，，，．，．为的直径，，为等腰直角三角形，．，，，，，，．13．（2023•瑶海区二模）是的直径，是的切线，连接交于点，连接．（1）如图1，若，求的长；（2）如图2，作的角平分线交于点，交于点，若，，求的值．【答案】见解析【详解】（1）如图1，是的切线，，，，，是的直径，，即，；（2）过点作于点，连接，如图2，在中，，，，，，，，平分，，，，，．14．（2023•包河区二模）已知：如图1，为的直径，点为外一点，，连接交于．（1）若为的切线，求证：；（2）如图2，若时，请用尺规作图在内部选一点，使，以下是部分作图步骤：第一步：过点作的垂线，交于点；第二步：连接、；问题：①请完成接下来的作图，并保留作图痕迹；②在操作中得到的依据是．【答案】见解析【详解】（1）证明：如图1，连接，为切线，，为直径，，，，，，；（2）解：①如图第一步：过点作的垂线，交于点；第二步：连接、；第二步：以为圆心，以为半径作，在上且在的内部取一点连接，，则即为所求；②在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．故答案为：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．15．（2023•庐阳区二模）如图，在中，是直径，点在圆上，、分别平分和，的延长线交于点，连接．（1）求证：；（2）若，，求的长．【答案】见解析【详解】（1）证明：、分别平分和，，，，，，，；（2）解：与相交于点，如图，为直径，，在中，，平分，点到和的距离相等，，，，，，在中，，，，，，即，解得，即的长为．16．（2023•庐阳区校级二模）如图，内接于，为直径，射线于点，交于点，过点作的切线交射线于点．（1）当时，求的度数；（2）当，时，求的长．【答案】见解析【详解】（1）连接，如图，为直径，．，为的切线，，，，．，，．，．；（2），设，则，．，．，为的中位线，，，．，．，，，，，．．17．（2023•庐江县模拟）如图，是的直径，是的中点，于点，交于点．（1）求证：；（2）若，求弧的长度．【答案】见解析【详解】（1）证明：是弧的中点，，在中，，，，，又是弧的中点，，，．（2）解：连接，，，，，，，是的中点，，，弧长．18．（2023•合肥二模）如图，以为直径的经过的顶点，，分别平分和，的延长线交于点，连接．（1）判断的形状，并证明你的结论；（2）若，，求的长．【答案】见解析【详解】（1）为等腰直角三角形，理由如下：平分，平分，，．，，，，为直径，．为等腰直角三角形；（2）如图：连接，，，交于点．，．，垂直平分．是等腰直角三角形，，．，．设，则．在和中，，解得，，．19．（2023•庐阳区校级一模）如图，是的直径，，都是上的点，平分，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的值．【答案】见解析【详解】（1）证明：如图1，连接，平分，，，，，，且在上，是的切线；（2）连接，交于，是的直径，，，，，，，，，，，，，，，四边形是矩形，，．20．（2023•庐阳区校级一模）如图，在中，直径为，正方形的四个顶点分别在半径、以及上，并且．（1）若，求的长度；（2）若半径是5，求正方形的边长．【答案】见解析【详解】（1）四边形为正方形，，，，，，连接，则为直角三角形，，即的半径为，；（2）四边形是正方形，，，，，，，，，，，在中，，即，解得：，则正方形的边长为．21．（2023•合肥一模）如图，在中，为直径，点、在上，交于点连接，．（1）求证：；（2）若，，求的长．【答案】见解析【详解】（1）证明：，，；（2）解：，，，，，，整理得，解得或，，．22．（2023•庐阳区校级一模）中，，为上一点，以为心，为半径的与相切于点．（1）求证：平分；（2）连接，若，求的值．【答案】见解析【详解】（1）连接，切于，，，，，，，，平分；（2）设交于，连接，为的直径，，由（1）得，，，，，，四边形内接于，，，，，，设，则，，．23．（2023•合肥模拟）如图，是的直径，，是上两点，过点的切线垂直于的延长线，垂足为点，，相交于点．（1）求证：点是的中点；（2）若，，求的长．【答案】见解析【详解】（1）证明：连接交于，切圆于，半径，，，，，，，，是的中点；（2）解：设圆的半径是，，，，，，，，，，，是的中位线，．24．（2023•包河区一模）如图，是的直径，是的一条弦，于点，连接．（1）若，求的度数；（2），的延长线相交于点，是的切线，交于点，若，求证：．【答案】见解析【详解】（1）解：，，，是的直径，，，，故的度数为；（2）证明：连接，，是的切线，，，，，，，，，是的直径，，，，，，．25．（2023•合肥模拟）如图，四边形内接于，，对角线为的直径，为外一点，平分，，连接．（1）求的度数；（2）连接，求证：．【答案】见解析【详解】（1）解：连接，平分，，，，，，，，为的直径，，，，；（2）证明：延长交于，连接，，是圆的直径，，，由（1）知，，是等腰直角三角形，，，，，，，，．26．（2023•庐阳区校级三模）如图，是的直径，点是的中点，过点的切线与的延长线交于，连接，．（1）求证：；（2）若，，求的面积．【答案】见解析【详解】（1）证明：如图，连接，是的切线，，点是的中点，，，，，，，；（2）解：如图，连接，，，四边形是平行四边形，又，四边形是菱形，，，是等边三角形，，，，，，，的面积．即的面积为．27．（2023•庐阳区模拟）如图，点为圆外一点，过点作圆的切线，切点为，点为上一点，连接并延长交圆于点，连接，若与垂直．（1）求证：；（2）若，圆的半径为8，求的长．【答案】见解析【详解】（1）证明：，，，，，，，，与圆切于，半径，，，；（2）解：作于，，，，圆的半径为8，，，，，，，，，，，，的长是．28．（2023•合肥二模）如图，为的外接圆，直线与相切于点，弦，与相交于点．（1）求证：；（2）若，，求的半径．【答案】见解析【详解】证明：（1）连接，交于，连接，直线与相切于点，，，，，；（2），，，，，，的半径为．29．（2023•瑶海区三模）如图，在中，，是边上的一点，以为半径的与边相切于点．（1）若，的半径为3，求的长．（2）过点作弦于，连接，若．求证：四边形是菱形．【答案】见解析【详解】（1）解：连接，，的半径为3，，与边相切于点，，，，是的切线，，在中，，即，解得：；（2）证明：由圆周角定理得：，，，，，，，，，，，，，四边形为平行四边形，，平行四边形为菱形．30．（2023•庐江县二模）如图，点是直径延长线上一点，，点是上一个动点（不与点，重合），点为半径的中点．（1）如图1，若，求的长；（2）如图2，当时，求证：是的切线．【答案】见解析【详解】（1）解：如图1，连接．，，又，，，，；（2）证明：如图2，连接，．点为半径的中点，．，．，．又，是等边三角形，，，，，，，是的半径，是的切线．31．（2023•蜀山区校级一模）如图，为的直径，点是上一点，过点的直线交的延长线于点．作，垂足为点，已知平分．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的半径．【答案】见解析【详解】（1）证明：，，，，平分，，，，，是的半径，是的切线；（2）解：设．，，，，，（负根已经舍去），的半径为．32．（2023•芜湖模拟）如图1，已知为的直径，为上一点，于，为弧的中点，连接，分别交、于点和点．（1）求证：；（2）如图2，若，连接，求证：．【答案】见解析【详解】证明：（1）连接，为的直径，，，，，，为弧的中点，，，，，，；（2）连接，，，，，，，，，，，，，，，．33．（2023•包河区校级一模）如图，四边形为的内接四边形，且为的直径，，延长到，使得，连接．（1）求证：；（2）若为的切线，且，求的长度．【答案】见解析【详解】（1）证明：连接，，，，，，；解：连接，，，，，为的直径，，，为的中点，，为的切线，，，，，，，，，，，，，，的长度是．34．（2023•瑶海区模拟）如图，是的直径，点是的中点，过点的切线与的延长线交于，连接，．（1）求证：；（2）若，，求的半径．【答案】见解析【详解】（1）证明：如图，连接，是的切线，，点是的中点，，，，，，，；（2）解：如图，连接，，，四边形是平行四边形，又，四边形是菱形，，，是等边三角形，，，，，，，即的