专题4方程与不等式的实际应用(原卷版+解析)

专题4方程与不等式的实际应用目录一、热点题型归纳【题型一】和、差、倍、分问题【题型二】行程问题【题型三】工程问题【题型四】利润问题【题型五】数字问题【题型六】方案问题【题型七】平均变化率的问题二、最新模考题组练【题型一】和、差、倍、分问题【典例分析】（2022·江苏常州·统考一模）秉承“绿水青山就是金山银山”理念，发展乡村振兴特色旅游，某乡镇购买甲、乙两种树苗对旅游道路进行绿化，已知甲种树苗每棵元，乙种树苗每棵元，且乙种树苗棵数比甲种树苗棵数的倍少棵，购买两种树苗的总金额为元．(1)求购买甲、乙两种树苗各多少棵？(2)为保证绿化效果，乡镇决定再购买甲、乙两种树苗共棵，总费用不超过元，则甲种树苗最多可以买多少棵？【提分秘籍】基本规律基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量。寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等。【变式演练】1．某企业组织员工外出旅游，如果单独租用45座客车若干辆，则刚好坐满；如果单独租用60座客车，也刚好坐满，且可以少租一辆．请根据以上信息，提出一个能用方程（组）解决的问题，并写出这个问题的解答过程．2．到2002年底，沿海某市共有未被开发的滩涂约510万亩，在海潮的作用下，如果今后二十年内，滩涂平均每年以2万亩的速度向东淤长增加．为了达到既保护环境，又发展经济的目的，从2003年初起，每年开发0.8万亩．(1)问多少年后，该市未被开发的滩涂总面积可超过528万亩？(2)由于环境得到了保护，预计该市的滩涂旅游业每年将比上一年增加收入200万元；开发的滩涂，从第三年起开始收益，每年每万亩可获收入400万元．问：要经过多少年，仅这两项收入将使该市全年的收入比2002年多3520万元？【题型二】行程问题【典例分析】（2022·江苏南通·校考模拟）小颖家离学校1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她跑步去学校共用了16分钟，已知小颖在上坡路上的平均速度是80米/分钟，在下坡路上的平均速度是200米/分钟．求小颖上坡、下坡各用了多长时间？【提分秘籍】基本规律相遇问题（或相向问题）：①基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间②寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．追及问题：①基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间②寻找相等关系：同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程。航行问题：①基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度－水流速度，顺水速度－逆水速度＝2×水速；③寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑。【变式演练】1．一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后又滑行25m后停车．（1）从刹车到停车用了多少时间？（2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少？（3）刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间（精确到0.1s）？2．从甲站到乙站有150千米，一列快车和一列慢车同时从甲站匀速开出，1小时后快车在慢车前12千米，快车到达乙站比慢车早25分钟，快车和慢车每小时各行驶多少千米？【题型三】工程问题【典例分析】（2022·江苏扬州·校联考二模）为迎接科技活动节，甲、乙两个社团承接制作彩旗的任务．已知甲社团比乙社团每小时少制作12面彩旗，甲社团制作120面彩旗所用的时间与乙社团制作150面彩旗所用的时间相等．(1)甲、乙两个社团每小时各制作多少面彩旗？(2)现在需要制作一批彩旗，已知甲社团单独完成比乙社团单独完成多用1个小时，那么甲、乙两个社团同时合作，______________小时可完成．（直接写答案）【提分秘籍】基本规律如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1。基本关系式：总工作量=工作效率×工作时间；总工作量=各单位工作量之和。【变式演练】1．接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂．（1）求该厂当前参加生产的工人有多少人？（2）生产4天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时．若上级分配给该厂共760万剂的生产任务，问该厂共需要多少天才能完成任务？2．现有120台大小两种型号的挖掘机同时工作，大型挖掘机每小时可挖掘土方360立方米，小型挖掘机每小时可挖掘土方200立方米，20小时共挖掘土方704000立方米，求大小型号的挖掘机各多少台？【题型四】利润问题【典例分析】（2023·江苏苏州·校联考一模）某文具店计划购进、两种笔记本，已知种笔记本的进价比种笔记本的进价每本便宜3元．现分别购进种笔记本150本，种笔记本300本，共计6300元．(1)求、两种笔记本的进价；(2)文具店第二次又购进、两种笔记本共100本，且投入的资金不超过1380元．在销售过程中，、两种笔记本的标价分别为20元/本、25元/本．两种笔记本按标价各卖出本以后，该店进行促销活动，剩余的种笔记本按标价的七折销售，剩余的种笔记本按标价的八折销售．若第二次购进的100本笔记本全部售出后的最大利润不少于600元，请求出的最小值．【提分秘籍】基本规律标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)实际售价＝标价×打折率利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率【变式演练】1．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”寓意敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．为满足市场需求，某超市购进一批吉祥物“冰墩墩”，进价为每个15元，第一天以每个25元的价格售出30个，为了让更多的消费者拥有“冰墩墩”，从第二天起降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出3个．设销售单价定为x元．(1)超市从第二天起日销售量增加个，每个“冰墩墩”盈利元（用含x的代数式表示）；(2)针对这种“冰墩墩”的销售情况，该商店要保证每天盈利273元，同时又要使顾客得到实惠，那么“冰墩墩”的销售单价应定为多少元？2．某商场“国庆”期间销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场采取了降价措施，假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．(1)如果衬衫的单价降了15元，求降价后商场销售这批衬衫每天盈利多少元；(2)如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1200元，那么衬衫的单价降了多少元？【题型五】数字问题【典例分析】一个两位数的两个数字之和为9，把这个两位数的个位数字与十位数字互换得到一个新的两位数，他与原两位数的积为1458，求原两位数．【提分秘籍】基本规律已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．【变式演练】1．小亮在匀速行驶的汽车里，注意到公路里程碑上的数字是一个两位数；1h后，看到里程碑上的两位数与第一次看到的两位数恰好互换了两个数字的位置；再过1h，看到里程碑上的数是第一次看到的两位数的两个数字之间添加一个0的三位数．这3块里程碑上的数各是多少？2．（2022秋·江苏镇江·九年级校联考阶段练习）已知5个连续整数的和是m，它们的平方和是n，且，求这5个连续整数．【题型六】方案问题【典例分析】为振兴乡村经济，弘扬“四敢”精神，某村拟建，两类展位供当地的农产品展览和销售．1个类展位的占地面积比1个类展位的占地面积多4平方米，10个类展位和5个类展位的占地面积共280平方米．建类展位每平方米的费用为120元，建类展位每平方米的费用为100元．(1)求每个，类展位占地面积各为多少平方米；(2)该村拟建，两类展位共40个，且类展位的数量不大于类展位数量的2倍，求建造这40个展位的最小费用．【提分秘籍】基本规律选择设计方案的一般步骤：运用方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况。用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论。【变式演练】1．在“三八国际妇女节”来临之际，小王同学打算买一束百合和康乃馨组合的鲜花祝福妈妈．已知买1支百合和3支康乃馨共需花费17元，3支康乃馨的价格比2支百合的价格多2元．(1)求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？(2)小王同学准备买康乃馨和百合共11支，且百合不少于2支．设买这束鲜花所需费用为w元，康乃馨有x支，求w与x之间的函数关系式，并设计一种使费用最少的买花方案，写出最少费用．2．一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元．(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元；(2)已知甲单独完成需12天，乙单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用少？(3)若装修完后，商店每天可盈利200元，现有如下三种方式装修：①甲单独做；②乙单独做；③甲乙合做，你认为如何安排施工更有利于商店？（可用（1）、（2）问的条件及结论）【题型七】平均变化率的问题【典例分析】2023年3月12日，大丰区飞达路初级中学开展“为校园增添一点绿色”为主题的植树活动，组织七年级、八年级、九年级分别在12日、13日、14日进行植树活动，七年级学生在12日种植了25棵树苗，学生们在种植的过程中听老师讲解植树绿化的意义，热情高涨，每天的植树增长率相同，九年级学生在14日种植了49棵树苗．(1)求平均每天植树的增长率？(2)求此次活动三个年级种植树苗的总棵数？【提分秘籍】基本规律列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次。

①增长率问题：平均增长率公式为(a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量)。

②降低率问题：平均降低率公式为(a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量)。

【变式演练】1．（2023·江苏徐州·校考一模）“民以食为天，食以粮为先”，粮食安全事关国计民生．为了确保粮食安全，优选品种，某农业科技公司对原有小麦进行改良种植研究，在保持种植面积不变的情况下，今年小麦平均亩产量在去年的基础上增加了，每千克售价也在去年的基础上上涨了，全部售出后总收入将增加．(1)求a的值；(2)如果明年的种植面积仍然不变，预计明年小麦平均亩产量将在今年的基础上增加，每千克售价将在今年的基础上上涨，求全部售出后明年的总收入将在今年的基础上增加的百分数．2．物美商场于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月月平均增长率不变．(1)求二、三这两个月的月平均增长率．(2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？1．（2023·江苏无锡·江苏省锡山高级中学实验学校校考一模）某商店决定购A，B两种“冰墩墩”纪念品进行销售．已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元．用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同．(1)求A，B两种纪念品每件的进价分别是多少元？(2)该商场通过市场调查，整理出A型纪念品的售价与数量的关系如下表，售价x（元/件）销售量（件）100①当x为何值时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为多少？②该商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于B型纪念品的件数，但不小于50件．若B型纪念品的售价为每件元时，商场将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，直接写出m的值．2．（2023·江苏盐城·统考一模）为创建和谐文明的校园环境，某初中准备购买、两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：种垃圾桶每组的单价比种垃圾桶每组的单价少元，且用元购买种垃圾桶的组数量与用元购买种垃圾桶的组数量相同．(1)求、两种垃圾桶每组的单价分别是多少元；(2)该学校计划用不超过元的资金购买、两种垃圾桶共组，则最多可以购买种垃圾桶多少组？3．（2023·江苏南京·校联考一模）某商店销售甲、乙两种商品，甲的成本为5元，乙的成本为7元．甲现在的售价为10元，每天卖出30个；售价每提高1元，每天少卖出2个．乙现在的售价为14元，每天卖出6个；售价每降低1元，每天多卖出4个．假定甲、乙两种商品每天卖出的数量和不变（和为36袋），且售价均为整数．(1)当甲的售价提高x元，乙的售价为元；（用含x的代数式表示）(2)当甲的售价提高多少元时，销售这两种商品当天的总利润是268元？4．（2023·江苏盐城·校联考模拟）某商店分别花20000元和30000元先后两次以相同的进价购进某种商品，且第二次的数量比第一次多500千克．(1)该商品的进价是多少？(2)已知该商品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式为：，若想销售该商品每天获利2000元，该商店需将商品的售价定为多少？5．（2023·江苏南通·南通田家炳中学校考模拟）为迎接校园歌手大赛的到来，学校向某商家订购了甲、乙两种荧光棒，其中购买甲种荧光棒花费5000元，购买乙种荧光棒花费6000元．已知乙种荧光棒的销售单价比甲种荧光棒贵10元，乙种荧光棒的购买数量比甲种荧光棒的购买数量少20%．(1)求甲、乙两种荧光棒的销售单价；(2)由于需求量较大，学校第二次订购这两种荧光棒共110个，且本次订购甲种荧光棒的个数不少于乙种荧光棒个数的2倍．为和学校建立长久合作关系，该商家决定：甲种荧光棒售价不变，乙种荧光棒打8折出售．已知两种荧光棒的进价均为15元，该商家如何进货能使本次荧光棒销售利润最大？利润最大为多少元？6．（2023·江苏宿迁·一模）某社区在防治新型冠状病毒期间，需要购进一批防护服，现有甲、乙两种不同型号的防护服，已知每件甲型防护服的价格比每件乙型防护服的价格便宜30元，用4200元购买甲型防护服的件数与用5250元购买乙型防护服的件数刚好相等．(1)求甲、乙两种型号的防护服每件各是多少元？(2)如果该社区计划购进的防护服共需80件，且要求投入的经费不超过11400元，则最多可购买多少件乙型防护服？7．（2019·江苏泰州·校联考一模）商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件．(1)若某天该商品每件降价元，当天可获利多少元？(2)设每件商品降价元，则商场日销售量增加______件，每件商品盈利______元（用含的代数式表示）；(3)要使商场日盈利达到元，则每件商品应降件多少元？8．（2023·江苏徐州·统考一模）2022年北京冬奥会吉样物冰墩墩和冬残奥会吉祥物雪容融深受大家的喜欢．某商店购进冰墩墩、雪容融两种商品，已知每件冰墩墩的进价比每件雪容融的进价贵10元，用350元购进冰墩墩的件数恰好与用300元购进雪容融的件数相同．求冰墩墩、雪容融每件的进价分别是多少元？9．（2022·江苏盐城·校考三模）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和雪容融在一开售时，就深受大家的喜欢．某供应商今年2月第一周购进一批冰墩墩和雪容融，已知一个冰墩墩的进价比一个雪容融的进价多40元，用480元购买冰墩墩和用320元购买雪容融的数量相同．(1)今年2月第一周每个冰墩墩和雪容融的进价分别是多少元？(2)今年2月第一周，供应商将雪容融按每个100元的价格售出140个，将冰墩墩按每个150元的价格售出120个．第二周供应商决定调整价格，每个雪容融的售价在第一周的基础上下降了m元，每个冰墩墩的价格不变，由于冬奥赛事的火热进行，第二周雪容融的销量比第一周增加了m个，而冰墩墩的销量比第一周增加了个，最终商家获利5160元，求m．10．（2023·江苏连云港·校考一模）《孙子算经》是我国古代经典教学名著．其中一个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车；若每2人乘一车，最终剩余9人无车可乘，问有多少人，多少辆车？11．（2022·江苏连云港·统考一模）某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每株的盈利与的每盆的株数构成一定的关系．每盆植入株时，平均单株盈利元；以同样的栽培条件，若每盆增加株，平均单株盈利就减少元．要使每盆盈利达到元，每盆应该增加多少株？12．（2023·江苏泰州·一模）某企业投入60万元（只计入第一年成本）生产某种产品，按网上订单生产并销售（生产量等于销售量）．经测算，该产品网上每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y＝24－x，第一年除60万元外其他成本为8元/件．(1)求该产品第一年的利润w（万元）与售价x之间的函数关系式；(2)该产品第一年利润为4万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入（只计入第二年成本）后，其他成本下降2元/件．①求该产品第一年的售价；②若第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，则第二年利润最少是多少万元？13．（2023·江苏徐州·校考一模）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达；已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．14．（2023·江苏扬州·校考一模）今年的3月12日植树节当天，某学校组织了该校九年级学生参加“用劳动创造美，让校园更绿色”的主题教育活动．本次主题教育活动学校购买了相同数量的桃树、梨树树苗，已知购买的桃树和梨树的树苗分别花费了210元和180元，且已知购买的桃树树苗单价比梨树的树苗单价多5元，问桃树的单价是多少？15．（2023·江苏扬州·一模）市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队共同完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队改造240米的道路比乙队改造同样长的道路少用2天．(1)甲、乙两个工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？(2)若甲队工作一天的改造费用为7万元，乙队工作一天的改造费用为5万元，如需改造的道路全长为1800米，求安排甲、乙两个工程队同时开工，并一起完成这项城区道路改造的总费用？16．（2023·江苏泰州·统考一模）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．随着北京冬奥会开幕日的临近，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．据调查“冰墩墩”每盒进价8元，售价12元．(1)商店老板计划首月销售330盒，经过首月试销售，老板发现单盒“冰墩墩”售价每增长1元，月销量就将减少20盒．若老板希望“冰墩墩”月销量不低于270盒，则每盒售价最高为多少元？(2)实际销售时，售价比（1）中的最高售价减少了2a元，月销量比（1）中最低销量270盒增加了60a盒，于是月销售利润达到了1650元，求a的值．专题4方程与不等式的实际应用目录一、热点题型归纳【题型一】和、差、倍、分问题【题型二】行程问题【题型三】工程问题【题型四】利润问题【题型五】数字问题【题型六】方案问题【题型七】平均变化率的问题二、最新模考题组练【题型一】和、差、倍、分问题【典例分析】（2022·江苏常州·统考一模）秉承“绿水青山就是金山银山”理念，发展乡村振兴特色旅游，某乡镇购买甲、乙两种树苗对旅游道路进行绿化，已知甲种树苗每棵元，乙种树苗每棵元，且乙种树苗棵数比甲种树苗棵数的倍少棵，购买两种树苗的总金额为元．(1)求购买甲、乙两种树苗各多少棵？(2)为保证绿化效果，乡镇决定再购买甲、乙两种树苗共棵，总费用不超过元，则甲种树苗最多可以买多少棵？【答案】(1)购买甲种树苗棵，乙种树苗棵(2)甲种树苗最多可以买棵【分析】（1）设购买甲种树苗x棵，则购买乙种树苗(2x−40)棵，利用总价=单价×数量，结合购买两种树苗的总金额为9000元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出购买甲种树苗的棵树，再将其代入(2x−40)中即可求出购买乙种树苗的棵树；（2）设可以购买甲种树苗m棵，则购买乙种树苗(100−m)棵，利用总价=单价×数量，结合总费用不超过2300元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【详解】(1)解：设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，依题意得：，解得：，．答：购买甲种树苗棵，乙种树苗棵．(2)解：设可以购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，依题意得：，解得：．答：甲种树苗最多可以买棵．【提分秘籍】基本规律基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量。寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等。【变式演练】1．某企业组织员工外出旅游，如果单独租用45座客车若干辆，则刚好坐满；如果单独租用60座客车，也刚好坐满，且可以少租一辆．请根据以上信息，提出一个能用方程（组）解决的问题，并写出这个问题的解答过程．【答案】问员工的人数是多少？员工人数是180人．（答案不唯一）【分析】可以从员工人数和租车辆数等方面考虑．【详解】解：问题可以为：员工的人数是多少？解答过程如下：设员工人数为x人

解这个方程得

x=180

答：员工人数是180人．2．到2002年底，沿海某市共有未被开发的滩涂约510万亩，在海潮的作用下，如果今后二十年内，滩涂平均每年以2万亩的速度向东淤长增加．为了达到既保护环境，又发展经济的目的，从2003年初起，每年开发0.8万亩．(1)问多少年后，该市未被开发的滩涂总面积可超过528万亩？(2)由于环境得到了保护，预计该市的滩涂旅游业每年将比上一年增加收入200万元；开发的滩涂，从第三年起开始收益，每年每万亩可获收入400万元．问：要经过多少年，仅这两项收入将使该市全年的收入比2002年多3520万元？【答案】(1)15年；(2)8年【分析】（1）根据每年增长的滩涂的面积-每年开发的滩涂的面积+原有的滩涂的面积＞528万亩，列不等式求解即可；（2）如果设经过的时间是y年，那么这y年旅游业增加的收入应该是200y万元，从第三年开始开发的滩涂一共收益了[0.8×400×（y﹣2）]万元，因此根据这几年旅游业增加的收入+开发滩涂的收益额=3520万元，可列出方程，解得y值即可．【详解】（1）解：设x年后，未被开发的滩涂总面积可超过528万亩，根据题意得：2x+510﹣0.8x＞528解得：x＞15．故15年后，未被开发的滩涂总面积可超过528万亩；（2）解：设经过y年，该市滩涂旅游和已开发的滩涂全年收入将比2002年多3520万元，根据题意得：200y+0.8×400×（y﹣2）=3520，解得：y=8．故经过8年，该市滩涂旅游和已开发的滩涂全年收入将比2002年多3520万元．【题型二】行程问题【典例分析】（2022·江苏南通·校考模拟）小颖家离学校1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她跑步去学校共用了16分钟，已知小颖在上坡路上的平均速度是80米/分钟，在下坡路上的平均速度是200米/分钟．求小颖上坡、下坡各用了多长时间？【答案】小颖上坡用了11分钟，下坡用了5分钟【分析】设小颖上坡用了x分钟，下坡用了y分钟，根据“小颖家离学校1880米，且去学校共用了16分钟”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【详解】设小颖上坡用了x分钟，下坡用了y分钟，依题意得：，解得：．答：小颖上坡用了11分钟，下坡用了5分钟．【提分秘籍】基本规律相遇问题（或相向问题）：①基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间②寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．追及问题：①基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间②寻找相等关系：同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程。航行问题：①基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度－水流速度，顺水速度－逆水速度＝2×水速；③寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑。【变式演练】1．一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后又滑行25m后停车．（1）从刹车到停车用了多少时间？（2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少？（3）刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间（精确到0.1s）？【答案】（1）2.5s；（2）8m/s；（3）0.9【分析】（1）由题意可得s＝25m，根据题意可求出平均车速，继而可求得时间；（2）汽车从刹车到停车，车速从20m/s减少到0，由（1）可得车速减少共用了2.5秒，平均每秒车速减少量＝总共减少的车速÷时间，由此可求得；（3）设刹车后汽车滑行到15m时约用了xs，这时车速为（20-8x）m/s，继而可表示出这段路程内的平均车速，从而可求得x．【详解】解：（1）从刹车到停车所用的路程是25m；从刹车到停车的平均车速是（m/s），那么从刹车到停车所用的时间是s；（2）从刹车到停车车速的减少值是20-0＝20，从刹车到停车每秒平均车速减少值是m/s；（3）设刹车后汽车滑行到15m时约用了xs，这时车速为（20-8x）m/s，则这段路程内的平均车速为，所以x（20-4x）＝15，整理得：4x²-20x＋15＝0，解得：，∴x≈4.08（不合，舍去），x≈0.9（s），答：刹车后汽车行驶到15m时约用0.9s．2．从甲站到乙站有150千米，一列快车和一列慢车同时从甲站匀速开出，1小时后快车在慢车前12千米，快车到达乙站比慢车早25分钟，快车和慢车每小时各行驶多少千米？【答案】快车每小时行驶72千米，慢车每小时行驶60千米【分析】首先设慢车每小时走x千米，则快车每小时走（x+12）千米，再根据题意可得等量关系：慢车行驶150千米的时间-快车行驶150千米的时间=25分钟，根据等量关系列出方程即可．【详解】设慢车每小时行驶x千米，则快车每小时行驶(x＋12)千米，依题意得－＝.解得x1＝－72，x2＝60.经检验，x1＝－72，x2＝60都是原方程的解．但x1＝－72不合题意，应舍去．故x＝60.所以x＋12＝72.答：快车每小时行驶72千米，慢车每小时行驶60千米．【题型三】工程问题【典例分析】（2022·江苏扬州·校联考二模）为迎接科技活动节，甲、乙两个社团承接制作彩旗的任务．已知甲社团比乙社团每小时少制作12面彩旗，甲社团制作120面彩旗所用的时间与乙社团制作150面彩旗所用的时间相等．(1)甲、乙两个社团每小时各制作多少面彩旗？(2)现在需要制作一批彩旗，已知甲社团单独完成比乙社团单独完成多用1个小时，那么甲、乙两个社团同时合作，______________小时可完成．（直接写答案）【答案】(1)48，60；(2)【解析】(1)解：设乙社团每小时做x面彩旗，则甲社团每小时做(x-12)面彩旗，依题意有解得：x=60，经检验：x=60是原方程的解，x-12=60-12=48．答：甲社团每小时做48面彩旗，乙社团每小时做60面彩旗．(2)解：设这批彩旗共有y面，则，解得，甲、乙两个社团同时合作，完成这批彩旗共需要的时间为：（小时），故答案为：．【提分秘籍】基本规律如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1。基本关系式：总工作量=工作效率×工作时间；总工作量=各单位工作量之和。【变式演练】1．接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂．（1）求该厂当前参加生产的工人有多少人？（2）生产4天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时．若上级分配给该厂共760万剂的生产任务，问该厂共需要多少天才能完成任务？【答案】（1）30人；（2）39天【分析】（1）设当前参加生产的工人有人，根据每人每小时完成的工作量不变列出关于的方程，求解即可；（2）设还需要生产天才能完成任务．根据前面4天完成的工作量＋后面天完成的工作量＝760列出关于的方程，求解即可．【详解】解：（1）设当前参加生产的工人有x人，依题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意．答：当前参加生产的工人有30人．（2）每人每小时的数量为（万剂）．设还需要生产y天才能完成任务，依题意得：，解得：，（天）答：该厂共需要39天才能完成任务．2．现有120台大小两种型号的挖掘机同时工作，大型挖掘机每小时可挖掘土方360立方米，小型挖掘机每小时可挖掘土方200立方米，20小时共挖掘土方704000立方米，求大小型号的挖掘机各多少台？【答案】大型挖掘机70台，小型挖掘机50台【分析】设大型挖掘机x台，则小型挖掘机(120－x)台，根据“20小时共挖掘土方704000立方米”列出方程求解即可．【详解】设大型挖掘机x台，则小型挖掘机(120－x)台．根据题意得：20［360x＋200(120－x)］＝704000解得x＝70，120－x＝50答：大型挖掘机70台，小型挖掘机50台．【题型四】利润问题【典例分析】（2023·江苏苏州·校联考一模）某文具店计划购进、两种笔记本，已知种笔记本的进价比种笔记本的进价每本便宜3元．现分别购进种笔记本150本，种笔记本300本，共计6300元．(1)求、两种笔记本的进价；(2)文具店第二次又购进、两种笔记本共100本，且投入的资金不超过1380元．在销售过程中，、两种笔记本的标价分别为20元/本、25元/本．两种笔记本按标价各卖出本以后，该店进行促销活动，剩余的种笔记本按标价的七折销售，剩余的种笔记本按标价的八折销售．若第二次购进的100本笔记本全部售出后的最大利润不少于600元，请求出的最小值．【答案】(1)种笔记本每本12元，种笔记本每本15元(2)20【分析】（1）设种笔记本每本元，则种笔记本每本元，由题意得，，计算可得的值，进而可得的值；（2）设第二次购进种笔记本本，则购进种笔记本本，由题意得，，可得，设获得的利润为元，由题意得，，由一次函数的性质可知，当时，的值最大，最大值为，令，求解满足要求的解即可．【详解】（1）解：设种笔记本每本元，则种笔记本每本元，由题意得，，解得，，∴，∴种笔记本每本12元，种笔记本每本15元；（2）解：设第二次购进种笔记本本，则购进种笔记本本，由题意得，，解得，，∴，设获得的利润为元，由题意得，，，随的增大而减小，当时，的值最大，最大值为，由题意得，解得，，为正整数，的最小值为20．【提分秘籍】基本规律标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)实际售价＝标价×打折率利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率【变式演练】1．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”寓意敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．为满足市场需求，某超市购进一批吉祥物“冰墩墩”，进价为每个15元，第一天以每个25元的价格售出30个，为了让更多的消费者拥有“冰墩墩”，从第二天起降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出3个．设销售单价定为x元．(1)超市从第二天起日销售量增加个，每个“冰墩墩”盈利元（用含x的代数式表示）；(2)针对这种“冰墩墩”的销售情况，该商店要保证每天盈利273元，同时又要使顾客得到实惠，那么“冰墩墩”的销售单价应定为多少元？【答案】(1)；(2)“冰墩墩”的销售单价应定为22元【分析】（1）根据题目的条件：单价每降低1元，可多售出3个，填空即可；因为进价为每个15元，所以每件商品盈利元；（2）由利润等于每件利润乘以销售数量，建立方程求出其解，再结合要使顾客得到实惠，即舍去大的值即可．【详解】（1）解：当销售单价定为x元时，日销售量增加个，每个“冰墩墩”盈利元．故答案为：；（2）解：依题意得：．整理得：，解得：，，又∵该商店要保证每天盈利273元，同时又要使顾客得到实惠，∴，答：“冰墩墩”的销售单价应定为22元．2．某商场“国庆”期间销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场采取了降价措施，假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．(1)如果衬衫的单价降了15元，求降价后商场销售这批衬衫每天盈利多少元；(2)如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1200元，那么衬衫的单价降了多少元？【答案】(1)1250元(2)20元【分析】（1）根据题意“每天可售出20件”和“假设在一定的范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件”，得到答案；（2）设衬衫的单价降了x元．根据题意等量关系：降价后的销量×每件的利润，根据等量关系列出方程即可．【详解】（1）当单价降了15元时，盈利为(元)，答：这批衬衫每天盈利1250元．（2）设衬衫的单价降了x元．由题意得：，解得：，，要尽快减少库存，，答：衬衫的单价降了20元．【题型五】数字问题【典例分析】一个两位数的两个数字之和为9，把这个两位数的个位数字与十位数字互换得到一个新的两位数，他与原两位数的积为1458，求原两位数．【答案】81或18．【详解】试题分析：设个位数字为x，则十位数字为（9-x）．依据“把这个两位数的个位数字与十位数字互换得到一个新的两位数，他与原两位数的积为1458”列出方程．试题解析：设个位数字为x，则十位数字为（9-x）．则[10x+（9-x）][10（9x）+x]="1458"整理，得（x-8）（x-1）=0，解得x=8或x="1"答：这个两位数是81或18．【提分秘籍】基本规律已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．【变式演练】1．小亮在匀速行驶的汽车里，注意到公路里程碑上的数字是一个两位数；1h后，看到里程碑上的两位数与第一次看到的两位数恰好互换了两个数字的位置；再过1h，看到里程碑上的数是第一次看到的两位数的两个数字之间添加一个0的三位数．这3块里程碑上的数各是多少？【答案】16，61，106．【分析】设小亮第一次看到的两位数，十位数为x，个位数为y，则1h后，看到里程碑上的两位数个位数为x，十位数为y，再过lh，看到里程碑上的数，百位数为x，十位数字为0，个位数为y，从而表示出这个三个里程碑上的数，再根据是匀速行驶，由每个小时的行程相等，列出方程，便可解答．【详解】解：设小亮第一次看到的两位数，十位数为x，个位数为y，则1h后，看到里程碑上的两位数个位数为x，十位数为y，再过lh，看到里程碑上的数，百位数为x，十位数字为0，个位数为y，∴第一个里程碑上的数为（10x+y），第二个里程碑上的数为（10y+x），第三个里程碑上的数为（100x+y），∵小亮是匀速行驶，∴第1h行驶的路程=第2h行驶的路程，∴（10y+x）-（10x+y）=（100x+y）-（10y+x），化简得，y-x=11x-y，∴y=6x，∵x，y都为整数，且1≤x≤9，1≤y≤9，∴x=1，y=6，∴这3块里程碑上的数各是16，61，106．答：这3块里程碑上的数各是16，61，106．2．（2022秋·江苏镇江·九年级校联考阶段练习）已知5个连续整数的和是m，它们的平方和是n，且，求这5个连续整数．【答案】这5个连续整数为，，，，；或10，11，12，13，14【分析】由5个连续整数的和是m，设五个连续整数分别为，，，，根据题意得出方程求得答案即可．【详解】解：设五个连续整数分别为，，，，，由题意得整理得：，解得，，因此这5个连续整数为，，，，；或10，11，12，13，14．【题型六】方案问题【典例分析】为振兴乡村经济，弘扬“四敢”精神，某村拟建，两类展位供当地的农产品展览和销售．1个类展位的占地面积比1个类展位的占地面积多4平方米，10个类展位和5个类展位的占地面积共280平方米．建类展位每平方米的费用为120元，建类展位每平方米的费用为100元．(1)求每个，类展位占地面积各为多少平方米；(2)该村拟建，两类展位共40个，且类展位的数量不大于类展位数量的2倍，求建造这40个展位的最小费用．【答案】(1)每个A类展位占地面积为20平方米，每个B类展位占地面积为16平方米(2)4280元【分析】（1）：设每个A类展位占地面积为平方米，每个B类展位占地面积为平方米，然后根据1个类展位的占地面积比1个类展位的占地面积多4平方米，10个类展位和5个类展位的占地面积共280平方米建立方程组求解即可；（2）设建A类展位m个，则建B类展位个，建造费用为W，列出W关于m的一次函数关系，再求出m的取值范围，最后利用一次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：设每个A类展位占地面积为平方米，每个B类展位占地面积为平方米，由题意得，，解得，∴每个A类展位占地面积为20平方米，每个B类展位占地面积为16平方米；（2）解：设建A类展位m个，则建B类展位个，建造费用为W，由题意得：，∵类展位的数量不大于类展位数量的2倍，∴，∴，∵，∴W随m增大而增大，∴当时，W最小，最小为，∴建造这40个展位的最小费用为4280元．【提分秘籍】基本规律选择设计方案的一般步骤：运用方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况。用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论。【变式演练】1．在“三八国际妇女节”来临之际，小王同学打算买一束百合和康乃馨组合的鲜花祝福妈妈．已知买1支百合和3支康乃馨共需花费17元，3支康乃馨的价格比2支百合的价格多2元．(1)求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？(2)小王同学准备买康乃馨和百合共11支，且百合不少于2支．设买这束鲜花所需费用为w元，康乃馨有x支，求w与x之间的函数关系式，并设计一种使费用最少的买花方案，写出最少费用．【答案】(1)康乃馨4元，百合5元(2)康乃馨9支，百合2支，最少费用46元【分析】（1）设买一支康乃馨元，买一支百合元，根据题意建立二元一次方程组，解方程即可求解；（2）设买这束鲜花所需费用为w元，康乃馨有x支，则百合支，根据题意，，进而根据题意得，根据一次函数的性质即可求解．【详解】（1）解：设买一支康乃馨元，买一支百合元，根据题意得，解得：答：康乃馨4元，百合5元；（2）解：设买这束鲜花所需费用为w元，康乃馨有x支，则百合支，根据题意，得，解得：，，∵，，∴当时，取得最小值，最小值为，∴康乃馨9支，百合2支，最少费用46元2．一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元．(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元；(2)已知甲单独完成需12天，乙单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用少？(3)若装修完后，商店每天可盈利200元，现有如下三种方式装修：①甲单独做；②乙单独做；③甲乙合做，你认为如何安排施工更有利于商店？（可用（1）、（2）问的条件及结论）【答案】(1)甲组工作一天，商店应付300元，乙组工作一天，商店应付140元(2)单独请乙组，商店所需费用少(3)安排甲乙合作施工更有利于商店【分析】（1）根据题意建立方程组并求解；（2）将单独请甲乙组的费用计算出来，再进行比较，得出答案；（3）将三种方案损失费用计算出来进行比较，得出答案．【详解】（1）设甲组工作一天，商店应付x元，乙组工作一天，商店应付y元，依题意得：，解得：．答：甲组工作一天，商店应付300元，乙组工作一天，商店应付140元．（2）300×12＝3600（元），140×24＝3360（元）．∵3600＞3360，∴单独请乙组，商店所需费用少．（3）选择①：（300+200）×12＝6000（元）；选择②：（140+200）×24＝8160（元）；选择③：（300+140+200）×8＝5120（元）．∵5120＜6000＜8160，∴安排甲乙合作施工更有利于商店．【题型七】平均变化率的问题【典例分析】2023年3月12日，大丰区飞达路初级中学开展“为校园增添一点绿色”为主题的植树活动，组织七年级、八年级、九年级分别在12日、13日、14日进行植树活动，七年级学生在12日种植了25棵树苗，学生们在种植的过程中听老师讲解植树绿化的意义，热情高涨，每天的植树增长率相同，九年级学生在14日种植了49棵树苗．(1)求平均每天植树的增长率？(2)求此次活动三个年级种植树苗的总棵数？【答案】(1)(2)棵【分析】（1）设平均每天植树的增长率为，利用九年级学生在14日植树的棵数七年级学生在12日植树的棵数平均每天植树的增长率，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；（2）将三个年级植树棵数相加，即可求出结论．【详解】（1）解：设平均每天植树的增长率为x，根据题意得：，解得：，(不符合题意，舍去)．答：平均每天植树的增长率为；（2）解：根据题意得：(棵)．答：此次活动三个年级种植树苗的总棵数为棵．【提分秘籍】基本规律列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次。

①增长率问题：平均增长率公式为(a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量)。

②降低率问题：平均降低率公式为(a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量)。

【变式演练】1．（2023·江苏徐州·校考一模）“民以食为天，食以粮为先”，粮食安全事关国计民生．为了确保粮食安全，优选品种，某农业科技公司对原有小麦进行改良种植研究，在保持种植面积不变的情况下，今年小麦平均亩产量在去年的基础上增加了，每千克售价也在去年的基础上上涨了，全部售出后总收入将增加．(1)求a的值；(2)如果明年的种植面积仍然不变，预计明年小麦平均亩产量将在今年的基础上增加，每千克售价将在今年的基础上上涨，求全部售出后明年的总收入将在今年的基础上增加的百分数．【答案】(1)5；(2)【分析】（1）根据总收入=亩产量销售单价，即可得出关于a的一元二次方程，然后解一元二次方程即可得出a的值，再取正值即可；（2）先求出明年的总收入增长的百分数，再减去1即可求解．【详解】（1）解：依题意得：，整理得：，解得：，（不合题意，舍去）．答：a的值为5．（2）解：，答：明年的总收入增加的百分数为．2．物美商场于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月月平均增长率不变．(1)求二、三这两个月的月平均增长率．(2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？【答案】(1)二、三这两个月的月平均增长率为(2)当商品降价5元时，商品获利4250元．【分析】（1）由题意可得，一月份的销售量为：256件；设二、三这两个月的月平均增长率为x，则二月份的销售量为：；三月份的销售量为：，又知三月份的销售量为：400件，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出了平均增长率；（2）设当商品降价m元时，商品获利4250元，利用销量×每件商品的利润，列出方程，解方程即可．【详解】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为x，根据题意可得：，解得：，(不合题意舍去)，答：二、三这两个月的月平均增长率为；（2）解：设当商品降价m元时，商品获利4250元，根据题意可得：，解得：，(不合题意舍去)，答：当商品降价5元时，商品获利4250元．1．（2023·江苏无锡·江苏省锡山高级中学实验学校校考一模）某商店决定购A，B两种“冰墩墩”纪念品进行销售．已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元．用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同．(1)求A，B两种纪念品每件的进价分别是多少元？(2)该商场通过市场调查，整理出A型纪念品的售价与数量的关系如下表，售价x（元/件）销售量（件）100①当x为何值时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为多少？②该商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于B型纪念品的件数，但不小于50件．若B型纪念品的售价为每件元时，商场将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，直接写出m的值．【答案】(1)，两种纪念品每件的进价分别是元和元(2)①当时，售出纪念品所获利润最大，最大利润为元；②32【分析】（1）设纪念品每件的进价是元，则纪念品每件的进价是元，根据用1000元购进种纪念品的数量和用400元购进种纪念品的数量相同，列出分式方程，进行求解即可；（2）①设利润为，根据图表，利用总利润等于单件利润乘以销售数量，列出函数关系式，根据函数的性质，求出最值即可；②根据题意可得，此时该商场购进型纪念品为件，再由A型纪念品的件数不小于50件，可得，设总利润为，求出函数关系式，根据二次函数函数的性质，即可求出的值．【详解】（1）解：设纪念品每件的进价是元，则纪念品每件的进价是元，由题意，得：，解得：，经检验：是原方程的解；当时：；∴，两种纪念品每件的进价分别是元和元；（2）解：①设利润为，由表格，得：当时，，∵，∴随着的增大而增大，∴当售价为元时，利润最大为：元；当，，∵，∴当时，利润最大为元；综上：当时，售出纪念品所获利润最大，最大利润为元．②∵商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于B型纪念品的件数，∴A型纪念品的件数小于100件，∴，此时该商场购进型纪念品为件，∴购进型纪念品为件，∵A型纪念品的件数不小于50件，∴，∴，设总利润为y元，根据题意得：，∴，∴当时，y随x的增大而增大，∵，∴，∴当时，y有最大值，∵将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，∴，解得：．2．（2023·江苏盐城·统考一模）为创建和谐文明的校园环境，某初中准备购买、两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：种垃圾桶每组的单价比种垃圾桶每组的单价少元，且用元购买种垃圾桶的组数量与用元购买种垃圾桶的组数量相同．(1)求、两种垃圾桶每组的单价分别是多少元；(2)该学校计划用不超过元的资金购买、两种垃圾桶共组，则最多可以购买种垃圾桶多少组？【答案】(1)种垃圾桶每组的单价为元，种垃圾桶每组的单价为元(2)最多可以购买种垃圾桶组【分析】（1）设种垃圾桶每组的单价为元，则种垃圾桶每组的单价为元，依题意列出分式方程，解方程并检验即可求解；（2）设购买种垃圾桶组，则购买种垃圾桶组，依题意列出一元一次不等式，解不等式，根据题意取最大整数解即可求解．【详解】（1）解：设种垃圾桶每组的单价为元，则种垃圾桶每组的单价为元，依题意得：，解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意，．答：种垃圾桶每组的单价为元，种垃圾桶每组的单价为元．（2）解：设购买种垃圾桶组，则购买种垃圾桶组，依题意得：，解得：，又为正整数，的最大值为．答：最多可以购买种垃圾桶组．3．（2023·江苏南京·校联考一模）某商店销售甲、乙两种商品，甲的成本为5元，乙的成本为7元．甲现在的售价为10元，每天卖出30个；售价每提高1元，每天少卖出2个．乙现在的售价为14元，每天卖出6个；售价每降低1元，每天多卖出4个．假定甲、乙两种商品每天卖出的数量和不变（和为36袋），且售价均为整数．(1)当甲的售价提高x元，乙的售价为元；（用含x的代数式表示）(2)当甲的售价提高多少元时，销售这两种商品当天的总利润是268元？【答案】(1)(2)甲零食的售价提高4元时，销售这两种零食当天的总利润是268元【分析】（1）先计算甲的售价提高后乙的销售数量，再计算乙的售价；（2）设甲零食的售价提高x元时，将两种商品的利润相加，可得方程，解之即可．【详解】（1）解：当甲的售价提高x元，乙的售价为：；（2）设甲零食的售价提高x元时，销售这两种零食当天的总利润是268元，由题意得，，

解得：，（不符合题意，舍去）．

答：甲零食的售价提高4元时，销售这两种零食当天的总利润是268元．4．（2023·江苏盐城·校联考模拟）某商店分别花20000元和30000元先后两次以相同的进价购进某种商品，且第二次的数量比第一次多500千克．(1)该商品的进价是多少？(2)已知该商品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式为：，若想销售该商品每天获利2000元，该商店需将商品的售价定为多少？【答案】(1)20元(2)30元或40元【分析】（1）设该商品的进价是m元，利用总价=单价×数量，结合两次购进数量之间的关系，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）利用销售该商品每天获得的利润=每千克的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】（1）设该商品的进价是m元，依题意得：，解得：．答：该商品的进价是20元；（2）依题意得：，整理得：，解得：．答：该商店需将商品的售价定为30元或40元．5．（2023·江苏南通·南通田家炳中学校考模拟）为迎接校园歌手大赛的到来，学校向某商家订购了甲、乙两种荧光棒，其中购买甲种荧光棒花费5000元，购买乙种荧光棒花费6000元．已知乙种荧光棒的销售单价比甲种荧光棒贵10元，乙种荧光棒的购买数量比甲种荧光棒的购买数量少20%．(1)求甲、乙两种荧光棒的销售单价；(2)由于需求量较大，学校第二次订购这两种荧光棒共110个，且本次订购甲种荧光棒的个数不少于乙种荧光棒个数的2倍．为和学校建立长久合作关系，该商家决定：甲种荧光棒售价不变，乙种荧光棒打8折出售．已知两种荧光棒的进价均为15元，该商家如何进货能使本次荧光棒销售利润最大？利润最大为多少元？【答案】(1)甲销售单价为20元，乙销售单价为30元；(2)甲订购74个，乙订购36个，最大利润为694元【分析】（1）设甲种荧光棒的销售单价为元，乙种荧光棒的单价为元，利用乙比甲的数量少列方程求解即可；（2）设乙种的购买数量为，甲种数量为个。利用甲不少于乙的2倍列不等式求出的取值范围，再用含有的代数式表示总利润关于数量的解析式，根据一次函数的性质判断最大值．【详解】（1）解：设甲种荧光棒的销售单价为元，乙种荧光棒的单价为元，由题意得：解得：经检验：是原方程的根，∴乙种单价为：（元）答：甲种荧光棒的单价为20元，乙种荧光棒的单价为30元．（2）解：设乙种荧光棒的购买数量为，甲种数量为个，由题意得：解得：，且为正整数，设总利润为∵∴随着的增大而增大，且为正整数，∴当时，答：当甲种荧光棒订购74,乙种订购36个，总利润最大为694元6．（2023·江苏宿迁·一模）某社区在防治新型冠状病毒期间，需要购进一批防护服，现有甲、乙两种不同型号的防护服，已知每件甲型防护服的价格比每件乙型防护服的价格便宜30元，用4200元购买甲型防护服的件数与用5250元购买乙型防护服的件数刚好相等．(1)求甲、乙两种型号的防护服每件各是多少元？(2)如果该社区计划购进的防护服共需80件，且要求投入的经费不超过11400元，则最多可购买多少件乙型防护服？【答案】(1)每件甲型防护服为120元，每件乙型防护服为150元(2)60件【分析】（1）设每件乙型防护服为x元，则每件型防护服为元，根据“数量=总价÷单价”结合用4200元购买甲型防护服的件数恰好与用5250元购买乙型防护服的件数相同，即可得出关于x的分式方程求解即可；（2）设购买y件乙型防护服，则购买件甲型防护服，根据“总价=单价×购买数量”结合投入的经费不超过12000元列出关于y的一元一次不等式，解之即可得出y的取值范围，最后取其内的最大正整数即可．【详解】（1）解：设每件乙型防护服为x元，则每件甲型防护服为元，根据题意得：，解得：，经检验，x＝150原方程的解，∴．答：每件甲型防护服为120元，每件乙型防护服为150元．（2）解：设购买y件乙型防护服，则购买件甲型防护服，根据题意得：，解得：．答：最多可购买60件乙种商品．7．（2019·江苏泰州·校联考一模）商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件．(1)若某天该商品每件降价元，当天可获利多少元？(2)设每件商品降价元，则商场日销售量增加______件，每件商品盈利______元（用含的代数式表示）；(3)要使商场日盈利达到元，则每件商品应降件多少元？【答案】(1)元(2)；(3)元【分析】（1）利用当天销售该商品获得的利润每件的销售利润日销售量，即可求出当天销售该商品获得的利润；（2）利用日销售量增加的数量每件商品下降的价格，可用含的代数式表示出日销售量增加的数量；利用每件商品的销售利润每件商品下降的价格，可用含的代数式表示出每件商品的销售利润；（3）利用商场销售该商品的日盈利每件商品的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合为了尽快减少库存，即可得出每件商品应降价元．【详解】（1）解：（元）．答：若某天该商品每件降价元，当天可获利元．（2）依题意得：商场日销售量增加件，每件商品盈利元．（3）依题意得：，整理得：，解得：，，又为了尽快减少库存，．答：每件商品应降价元．8．（2023·江苏徐州·统考一模）2022年北京冬奥会吉样物冰墩墩和冬残奥会吉祥物雪容融深受大家的喜欢．某商店购进冰墩墩、雪容融两种商品，已知每件冰墩墩的进价比每件雪容融的进价贵10元，用350元购进冰墩墩的件数恰好与用300元购进雪容融的件数相同．求冰墩墩、雪容融每件的进价分别是多少元？【答案】冰墩墩每件的进价是70元，雪容融每件的进价是60元【分析】设冰墩墩每件的进价是元，则雪容融每件的进价是元，可得：，解方程并检验可得冰墩墩每件的进价是70元，则雪容融每件的进价是60元．【详解】解：设冰墩墩每件的进价是元，则雪容融每件的进价是元，可得：，解得，经检验是方程的根，也符合题意，，所以冰墩墩每件的进价是70元，则雪容融每件的进价是60元．9．（2022·江苏盐城·校考三模）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和雪容融在一开售时，就深受大家的喜欢．某供应商今年2月第一周购进一批冰墩墩和雪容融，已知一个冰墩墩的进价比一个雪容融的进价多40元，用480元购买冰墩墩和用320元购买雪容融的数量相同．(1)今年2月第一周每个冰墩墩和雪容融的进价分别是多少元？(2)今年2月第一周，供应商将雪容融按每个100元的价格售出140个，将冰墩墩按每个150元的价格售出120个．第二周供应商决定调整价格，每个雪容融的售价在第一周的基础上下降了m元，每个冰墩墩的价格不变，由于冬奥赛事的火热进行，第二周雪容融的销量比第一周增加了m个，而冰墩墩的销量比第一周增加了个，最终商家获利5160元，求m．【答案】(1)每个冰墩墩的进价是120元，则每个雪容融的进价是80元(2)10【分析】（1）设每个冰墩墩的进价是x元，则每个雪容融的进价是元，根据“用480元购买冰墩墩和用320元购买雪容融的数量相同”，列出方程，即可求解；（2）根据题意列出，求解一元二次方程即可．【详解】（1）解：设每个冰墩墩的进价是x元，则每个雪容融的进价是元，根据题意得：，解得：，经检验：是原方程的解，且符合题意；此时，答：每个冰墩墩的进价是120元，则每个雪容融的进价是80元；（2）解：根据题意得：，，，解得：或（舍去），答：．10．（2023·江苏连云港·校考一模）《孙子算经》是我国古代经典教学名著．其中一个问题：今有三人共车，