专题08整式的加减探究与表达规律(七大题型)(原卷版+解析)

专题07整式的加减探究与表达规律（七大题型）【题型目录】【知识梳理】1.解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论．有时候还需要通过类比联想才能找到隐含条件．一般有下列几个类型：①一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号之间的关系．②一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号之间的关系．③图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号之间的关系．④图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数．⑤数形结合的规律：观察前项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论．2.常见的数列规律：①1，3，5，7，9，…，（为正整数）．②2，4，6，8，10，…，（为正整数）．③2，4，8，16，32，…，（为正整数）．④2，6，12，20，…，（为正整数）．⑤，，，，，，…，（为正整数）．⑥特殊数列：（1）三角形数：1，3，6，10，15，21，…，．（2）斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…，从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和．【经典题型一数字排列规律】【例1】（2023秋·广东深圳·七年级深圳外国语学校校考期末）已知整数满足下列条件：，依此类推，则的值为（）A． B． C． D．【变式训练】1．（2023秋·安徽六安·七年级统考期末）观察一组数据：1，1，2，4，7，11，16，22，29，…，若记第一个数为，记第二个数为，…，记第n个数为.通过计算，，，…发现它们有一定的规律，由此规律推算的值应为（

）A．5152 B．5051 C．4951 D．48522．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）有依次排列的2个整式x，y，将第1个整式乘以2再与第2个整式相加，称为第一次操作，得到第3个整式；将第2个整式乘以2再与第3个整式相加，称为第二次操作，得到第4个整式；将第3个整式乘以2再与第4个整式相加，称为第三次操作，得到第5个整式，……，以此类推，下列三个说法正确的有（

）．①第7个整式为；②第20个整式中x的系数与y的系数的差为；③第11个整式和第12个整式中x的所有系数与y的所有系数之和等于2048；A．0个 B．1个 C．2个 D．3个3．（2023春·山东日照·九年级日照市新营中学校考阶段练习）我们将如图所示的两种排列形式的个数分别叫做“三角形数”（如1，3，6，10…）和“正方形数”（如1，4，9，16…），在不大于2023数中，设最大的“三角形数”为，最大的“正方形数”为，则的值为（

）A．60 B．70 C．80 D．904．（2023·福建福州·校考三模）观察下列式子：；；根据上述规律填写一个正数，满足：．5．（2023·湖南邵阳·统考二模）观察下列数据：，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第25个数据是．6．（2023·广东佛山·校联考三模）化学中直链烷烃的名称用“碳原子数+烷”来表示，当碳原子数为时，依次用天干——甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸——表示，其中甲烷、乙烷、丙烷，丁烷的分子结构式如图所示，则第7个庚烷分子结构式中“”的个数是．

7．（2023·江苏·七年级假期作业）观察下列等式，将以上三个等式两边分别相加得，用你发现的规律解答下列问题：(1)猜想并写出：______；(2)直接写出结果：______；(3)直接写出结果：______；(4)计算：．8．（2023·江苏·七年级假期作业）找规律：观察算式；；；；…(1)按规律填空；．(2)由上面的规律计算：（要求：写出计算过程）【经典题型二图形排列规律】【例2】（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆南开中学校考期中）观察下列图形，其中第①个图形由个“△”组成，第②个图形由个“△”组成，第③个图形由个“△”组成，…，照此规律下去，则第⑧个图形“△”的个数一共是（

）

A． B． C． D．【变式训练】1．（2023·重庆·九年级专题练习）图①叫做一个基本的“勾股树”，也叫做第一代勾股树．让图①中两个小正方形各自长出一个新的勾股树（如图②），叫做第二代勾股树．从第二代勾股树出发，又可以长出第三代勾股树（如图③）．这样一生二、二生四、四生八，继续生长下去，则第四代勾股树图形中正方形的个数为（）A．15 B．23 C．27 D．312．（2023·重庆·九年级专题练习）某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成．如图①，当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块；如图②，当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块；如图③，当正方形地砖有3块时，等腰直角三角形地砖有10块；…；以此类推，当人行道有20块正方形地砖时，等腰直角三角形地砖的块数为（

）A．38 B．40 C．42 D．443．（2023春·重庆南岸·九年级重庆第二外国语学校校考阶段练习）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第⑩个图形中字母“H”的个数是（

）A．16 B．18 C．20 D．224．（2023·江苏淮安·校考一模）如图，观察各图中小圆点的摆放规律，并按这样的规律继续摆放下去，则第个图形中小圆点的个数为．5．（2023·湖南娄底·统考一模）如图，下列是一组有规律的图案，它们由边长相同的小正方形组成，按照这样的规律，第n个图案中涂有阴影的小正方形的数量是个．（用含有n的式子表示）​6．（2023·山西晋中·统考一模）某公园内有一矩形步道，其地面使用相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成．如图表示此步道的地砖排列方式，其中步道上总共使用84个三角形地砖，那么连续排列的正方形地砖总共有个．7．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市中实学校校考期中）将正方形（如图1）作如下划分：第1次划分：分别连接正方形对边的中点（如图2），得线段和，它们交于点M，此时图2中共有5个正方形；第2次划分：将图2左上角正方形再作划分，得图3，则图3中共有9个正方形；(1)若每次都把左上角的正方形一次划分下去，则第100次划分后，图中共有______个正方形；(2)继续划分下去，第几次划分后能有805个正方形?写出计算过程．(3)能否将正方形性划分成有2018个正方形的图形?如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由．(4)如果设原正方形的边长为1，通过不断地分割该面积为1的正方形，并把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，可以很容易得到一些计算结果，试着探究求出下面表达式的结果吧．计算（直接写出答案即可）8．（2023春·广东河源·七年级校考开学考试）背景阅读：意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：，，，，，，，，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两上数的和．为了纪念这个著名的发现，人们将这组数命名为斐波那契数列．实践操作：

(1)写出斐波那契数列的前个数；(2)斐波那契数列的前个数中，有

个奇数？(3)现以这组数中的各个数作为正方形的边长构造如图的正方形系列：再分别依次从左到右取个、个、个、个，正方形拼成如图长方形并记为①，②，③，④，⑤．（ⅰ）通过计算相应长方形的周长填写表（不计拼出的长方形内部的线段）；序号①②③④⑤……周长610

……（ⅱ）若按此规律继续拼成长方形，求序号为⑩的长方形的长与宽．【经典题型三图形面积类规律】【例3】（2023秋·山东聊城·七年级统考期末）如图，将一个正方形纸片分割成四个面积相等的小正方形纸片，然后将其中一个小正方形纸片再分割成四个面积相等的小正方形纸片，如此分割下去．第次分割后，正方形纸片共有多少块（用含的代数式表示）？（）A． B． C． D．【变式训练】1．（2023·江苏·七年级假期作业）如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个图形，图形①面积是正方形纸片面积的，图形②面积是图形①面积的2倍的，图形③面积是图形②面积的2倍的，……，图形⑥面积是图形⑤面积的2倍的，图形⑦面积是图形⑥面积的2倍．计算的值为（

）A． B． C． D．2．（2023春·四川达州·七年级四川省万源中学校考阶段练习）如图，的面积为1．第一次操作：分别延长，，至点，，，使，，，顺次连接，，，得到△．第二次操作：分别延长，，至点，，；使，，，顺次连接，，，得到△，按此规律，要使得到的三角形的面积超过2021，最少经过次操作．A．6 B．5 C．4 D．33．（2023·广东江门·广东省江门市实验中学校考一模）如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推，可求得阴影部分的面积是，受此启发，的值为．4．（2023秋·全国·七年级专题练习）一个大长方形被分成8个小长方形，其中有5个小长方形的面积如图中的数字所示，分析所缺的数，则这个大长方形的面积为．5．（2023春·广东梅州·七年级校考开学考试）在某多媒体电子杂志的某一期上刊登了“正方形雪花图案的形成”的演示案例：作一个正方形，设每边长为，将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为a的小正方形，得到图形如图（2）所示，称为第一次变化，再对图（2）的每个边做相同的变化，得到图形如图（3），称为第二次变化．如此连续作几次，便可得到一个绚丽多彩的雪花图案．如不断发展下去到第2018次变化时，图形的面积是否会变化，（填写“会”或者“不会”），图形的周长为．6．（2023春·四川自贡·七年级自贡市第一中学校考阶段练习）我们把如图1所示的菱形称为基本图形，将此基本图形不断复制并平移，使得相邻两个基本图形的一个顶点与对称中心重合，得到的所有菱形都称为基本图形的特征图形，显然图2中有3个特征图形．（1）观察以上图形并完成如表：根据表中规律猜想，图n（n≥2）中特征图形的个数为．（用含n的式子表示）图形名称基本图形的个数特征图形的个数图111图223图337图44………………（2）若基本图形的面积为2，则图2中小特征图形的面积是；图2020中所有特征图形的面积之和为．7．（2023秋·陕西宝鸡·七年级统考期末）如图，每个小正方形的面积均为1第1个等式：第2个等式：第3个等式：____________……据此规律：(1)请写出第3个等式：___；(2)猜想第n个等式为___（用含n的等式表示）；(3)已知如上图所示的一个草垛的最底端有2020支小正方形草束，则这堆草垛共有多少支草束？【经典题型四动点类规律】【例4】（2022秋·山东济宁·七年级统考期中）如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与O点的距离是（

）A． B． C． D．【变式训练】1．（2022·浙江台州·校考二模）如图所示，动点P从第一个数0的位置出发，每次跳动一个单位长度，第一次跳动一个单位长度到达数1的位置，第二次跳动一个单位长度到达数2的位置，第三次跳动一个单位长度到达数3的位置，第四次跳动一个单位长度到达数4的位置，…，依此规律跳动下去，点P从0跳动6次到达的位置，点P从0跳动21次到达的位置，…，点在一条直线上，则点P从0跳动（

）次可到达的位置．A．887 B．903 C．90 D．10242．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图所示，甲、乙两动点分别从正方形的顶点，同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第2021次相遇在边（

）上．A． B． C． D．3．（2023秋·四川广安·七年级统考期末）如图，在正方形中，动点M从点A出发以的速度沿着正方形的边顺时针运动，同时动点N也从点A出发以的速度沿着正方形的边逆时针运动，1s后点M，N都运动到点D，记为第1次相遇，继续进行下去，则第2023次相遇在点处．4．（2022·山东聊城·统考中考真题）数轴上两点的距离为4，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，是整数）处，那么线段的长度为（，是整数）．5．（2018秋·浙江绍兴·七年级绍兴市越城区孙端中学阶段练习）点O在直线AB上，点A1，A2，A3，……在射线OA上，点B1，B2，B3，……在射线OB上，图中的每一个实线段和虚线段的长均为1个单位长度．一个动点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度按如图所示的箭头方向沿着实线段和以点O为圆心的半圆匀速运动，即从OA1B1B2A2……按此规律，则动点M到达A10点处所需时间为秒．（结果保留π）6．（2022秋·贵州贵阳·七年级校联考期中）已知在数轴上，有一动点Q从原点O出发，在数轴上以每秒钟2个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度……(1)5秒钟后动点Q所处的位置表示的数是______；(2)如果在数轴上还有一个定点A，且A与原点O相距20个单位长度，问：动点Q从原点出发，可能与点A重合吗？若能，则第一次与点A重合需多长时间？若不能，请说明理由．7．（2022秋·河南洛阳·七年级校联考阶段练习）如图，数轴上有一动点Q从A出发，沿正方向移动．(1)当AQ＝2QB时，则Q点在数轴上所表示的数为；(2)数轴上有一点C，且点C满足AC＝m•BC（其中m＞1），则点C在数轴上所表示的数为（用含m的代数式表示）；(3)点P1为线段AB的中点，点P2为线段BP1的中点，点P3为线段BP2的中点，…依此类推，点Pn为线段BPn﹣1的中点，它们在数轴上表示的数分别为p1，p2，p3，…，pn（n为正整数）．①请问：当n≥2时，2pn﹣pn﹣1是否恒为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．②记S＝p1+p2+p3+…+pn﹣1+2pn，求当n＝2022时S的值．【经典题型五数列规律】【例5】（2022春·安徽合肥·七年级统考期末）如图所示的是中国南宋数学家杨辉在详解《九章算法》中出现的三角形状的数列，又称为“杨辉三角”．该三角形中的数据排列有着一定的规律，第21行从左边数第19个数是（

）A．19 B．380 C．210 D．190【变式训练】1．（2021·全国·九年级假期作业）已知数列，，，···满足，其中，若且，则的值为（

）A．2 B．5 C． D．2．（2023秋·山东滨州·七年级校考期末）著名数学家斐波那契发现著名的斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13…，这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和．如图1，现以这组数中的各个数作为正方形的边长构造正方形；如图2，再分别依次从左到右取2个，3个，4个，5个正方形拼成长方形并标记为①、②、③、④，若按此规律继续作长方形，则序号为⑨的长方形的周长是（

）A．466 B．288 C．233 D．1783．（2023·湖北武汉·校考一模）如图所示的是中国南宋数学家杨辉在详解《九章算法》中出现的三角形状的数列，又称为“杨辉三角形”该三角形中的数据排列有着一定的规律，若将其中组斜数列用字母、，，代替，如图，则的值为（

）A． B． C． D．4．（2023·山东枣庄·统考三模）按一定顺序排列的一列数叫做数列，如数列：，，，，…，则这个数列前2023个数的和为．5．（2023·山西大同·统考模拟预测）有一组数列：……则第10个是.6．（2022秋·广东珠海·七年级珠海市第九中学校考期中）观察下列数列，找出规律后，写出数列下一项：，．7．（2023·湖南张家界·统考二模）材料题：请仔细阅读以下信息，试着给出你的答案和解答过程这里有三组数：①，，，；②，，，，；③，，，①②两组是由有限个数组成的，③是由无限个数组成的，它们的共同点：都是按一定次序排成的一列数，称之为数列数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第项或首项，第项，第项，，第项，一般记成，，这三组数列都是从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列这个常数就叫公差，公差通常用字母表示．(1)如数列①中数列②中那么数列③中______．(2)又如，，______；(3)由此可得到______(4)由（3）的结论你能否求得此等差数列，，，第项与第项．8（2021秋·河南周口·七年级统考期中）斐波那契是中世纪意大利数学家，他在《计算之书》中提出了一个有趣的兔子问题：一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来．如果所有的兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？第1个月和第2个月还是一对；第3个月生下一对小兔子，总数是2对；第4个月老兔子又生下一对，小兔子还没有繁殖能力，所以一共是3对；…，依次类推可以列出下表：经过月数123456789101112总体对数11235813像表中数列：1，1，2，3，5，8，13，…，就是著名的斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、化学、生物等领域都有直接的应用，美国数学会从1963年起出版了数学杂志《斐波那契数列季刊》，用于专门刊载这方面的研究成果．回答下列问题：(1)将上表中空缺的数据补充完整；(2)斐波那契数列前2021个数中一共有多少个偶数？(3)如图，是以斐波那契数列的每一项的数为边长画6个小正方形组成的一个大长方形．每个小正方形画出四分之一圆弧，使相邻的圆弧首尾相连，这些圆弧组成的平滑曲线称为斐波那契螺旋线．请计算图中斐波那契螺旋线的长．（π取3.14）【经典题型六新定义规律】【例6】（2023秋·浙江·七年级专题练习）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取时，运算过程如图．若，则第2023次“F运算”的结果是（）A．16 B．1 C．4 D．5【变式训练】1．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考一模）现定义一种变换：对于一个由有限个数组成的序列S0，将其中的每个数换成该数在S0中出现的次数，可得到一个新序列S1，例如序列S0：（4，2，3，4，2），通过变换可生成新序列S1：（2，2，1，2，2），若S0可以为任意序列，则下面的序列可作为S1的是（）A．（1，2，1，2，2） B．（2，2，2，3，3） C．（1，1，2，2，3） D．（1，2，1，1，2）2．（2023·全国·七年级假期作业）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的最大正整数），并且运算可以重复进行，例如如图所示为时的运算过程，若，则第次“F”运算的结果是（

）A．152 B．49 C．62 D．313．（2023秋·陕西安康·七年级统考期末）定义：若是不为1的有理数，则称为的差倒数．如2的差倒数为．现有若干个数，第一个数记为，是的差倒数，是的差倒数，依此类推，若，则．4．（2023秋·山西朔州·七年级校考期末）下列各式是按新定义的已知“△”运算得到的，观察下列等式：，，，……根据这个定义，计算的结果为．5．（2023秋·广东惠州·七年级校考阶段练习）对于任意非零实数，，定义运算“”，使下列式子成立：；；；；；则．6．（2023·全国·九年级专题练习）《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征，在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等，现在我们来研究另一种特殊的自然数——“纯数”．定义：对于自然数n，在计算时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”．例如：32是“纯数”，因为计算时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算时，个位产生了进位．(1)判断2022是否是“纯数”？请说明理由；(2)请直接写出2023到2050之间的“纯数”；不大于100的“纯数”的个数为______．7．（2023·上海·六年级假期作业）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“好数”．定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”．例如：426是“好数”．因为4，2，6都不为0，且4＋2＝6，6能被6整除；643不是“好数”，因为6＋4＝10，10不能被3整除．(1)判断312，875是否是“好数”？并说明理由；(2)求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由．【经典题型七规律性问题综合】【例7】（2023秋·湖南长沙·七年级校联考期末）大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如，，，…若分裂后，其中有一个奇数是1005，则m的值是（

）A．31 B．32 C．33 D．34【变式训练】1．（2023春·重庆南岸·七年级重庆市珊瑚初级中学校校考期中）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a＋b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”．（a＋b）0＝1（a＋b）1＝a＋b（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3（a＋b）4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4（a＋b）5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5…则（a＋b）10展开式中所有项的系数和是（

）A．2048 B．1024 C．512 D．2562．（2023秋·四川遂宁·八年级统考期末）“杨辉三角”给出了展开式的系数规律（其中n为正整数，展开式的项按a的次数降幕排列），它的构造规则是：两腰上都是数字1，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和．例如：展开式的项的系数1，2，1与“杨辉三角”第三排对应：展开式的项的系数1，3，3，1．与“杨辉三角”第四排对应；依此类推……判断下列说法正确的是（

）①“杨辉三角”第六排数字依次是：1，5，10，10，5，1；②当时，代数式的值为；③展开式中所有系数之和为；④当代数式的值为1时，或3．A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④3．（2023·北京·九年级专题练习）在一次数学活动课上，李老师将一副扑克牌中的红桃共张牌挑出，打乱顺序随机发给了甲、乙、丙三名同学，每人三张牌．已知甲的三张牌数字之和是，乙的三张牌数字之和与丙的三张牌数字之和相同，且乙的三张牌上的数字都是奇数．写出甲的三张牌上的数字是，丙的三张牌上的数字是．4．（2023春·重庆渝北·七年级重庆市松树桥中学校校考阶段练习）等边在数轴上的位置如图所示，点、对应的数分别为0和，若绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻折，翻转1次后，点所对应的数为1；则翻转次后，点所对应的数是．5．（2023·浙江杭州·校考一模）在求1+3+32+33+34+35+36+37+38的值时，张红发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的3倍，于是她假设：S=1+3+32+33+34+35+36+37+38①，然后在①式的两边都乘以3，得：3S=3+32+33+34+35+36+37+38+39②，②-①得，3S-S=39-1，即2S=39-1，所以S=．得出答案后，爱动脑筋的张红想：如果把“3”换成字母m（m≠0且m≠1），能否求出1+m+m2+m3+m4+…+m2016的值？如能求出，其正确答案是．6．（2023春·江苏·七年级专题练习）桌子上有7张反面向上的纸牌，每次翻转n张（n为正整数）纸牌，多次操作后能使所有纸牌正面向上吗？用“+1”、“”分别表示一张纸牌“正面向上”、“反面向上”，将所有牌的对应值相加得到总和，我们的目标是将总和从变化为．(1)当时，每翻转1张纸牌，总和的变化量是2或，则最少次操作后所有纸牌全部正面向上；(2)当时，每翻转2张纸牌，总和的变化量是，多次操作后能使所有纸牌全部正面向上吗？若能，最少需要几次操作？若不能，简要说明理由；(3)若要使多次操作后所有纸牌全部正面向上，写出n的所有可能的值．7．（2023秋·贵州安顺·七年级校联考期末）阅读理解题．我们把从开始至的个连续自然数的立方和记作，那么有：；；

观察上面式子的规律，完成下面各题．(1)猜想出（用表示）．(2)依规律，直接求的值为．(3)依规律，的值．(4)依规律，求的值．

专题07整式的加减探究与表达规律（七大题型）【题型目录】【知识梳理】1.解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论．有时候还需要通过类比联想才能找到隐含条件．一般有下列几个类型：①一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号之间的关系．②一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号之间的关系．③图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号之间的关系．④图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数．⑤数形结合的规律：观察前项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论．2.常见的数列规律：①1，3，5，7，9，…，（为正整数）．②2，4，6，8，10，…，（为正整数）．③2，4，8，16，32，…，（为正整数）．④2，6，12，20，…，（为正整数）．⑤，，，，，，…，（为正整数）．⑥特殊数列：（1）三角形数：1，3，6，10，15，21，…，．（2）斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…，从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和．【经典题型一数字排列规律】【例1】（2023秋·广东深圳·七年级深圳外国语学校校考期末）已知整数满足下列条件：，依此类推，则的值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】分别求出的值，观察其数值的变化规律，进而求出的值．【详解】解：根据题意可得，，，，，，，，观察其规律可得，，，，故选：A．【点睛】本题考查了数的变化规律，通过计算前面几个数的数值观察其规律是解本题的关键，综合性较强，难度适中．【变式训练】1．（2023秋·安徽六安·七年级统考期末）观察一组数据：1，1，2，4，7，11，16，22，29，…，若记第一个数为，记第二个数为，…，记第n个数为.通过计算，，，…发现它们有一定的规律，由此规律推算的值应为（

）A．5152 B．5051 C．4951 D．4852【答案】D【分析】利用差值分别求出数值，得出，再根据所有式子相加即可得出答案．【详解】根据题意，得（1）（2）（3）（4）（5）……（99）（1）+（2）+…+（99）=即故选：D【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况是解题的关键．2．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）有依次排列的2个整式x，y，将第1个整式乘以2再与第2个整式相加，称为第一次操作，得到第3个整式；将第2个整式乘以2再与第3个整式相加，称为第二次操作，得到第4个整式；将第3个整式乘以2再与第4个整式相加，称为第三次操作，得到第5个整式，……，以此类推，下列三个说法正确的有（

）．①第7个整式为；②第20个整式中x的系数与y的系数的差为；③第11个整式和第12个整式中x的所有系数与y的所有系数之和等于2048；A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】D【分析】按要求分别列出整式，即可判断①；由①可知，当是奇数时，x的系数与y的系数大1，当是偶数时，y的系数与x的系数大1，据此即可判断②；分别求出部分整式的系数和，可得第11个整式和第12个整式中x的所有系数与y的所有系数之和，即可判断③，据此即可得出答案．【详解】解：第1个整式为，第2个整式为，第3个整式为，第4个整式为，第5个整式为，第6个整式为，第7个整式为，故①正确，符合题意；由①可知，当是奇数时，x的系数与y的系数大1，当是偶数时，y的系数与x的系数大1，∴第20个整式中x的系数与y的系数的差为，故②正确，符合题意；第1个整式和第2个整式中x的所有系数与y的所有系数的和为2，第3个整式和第4个整式中x的所有系数与y的所有系数的和为，第5个整式和第6个整式中x的所有系数与y的所有系数的和为，∴第11个整式和第12个整式中x的所有系数与y的所有系数之和，故③正确，符合题意，综上可得：说法正确的为①②③，有3个．故选：D【点睛】本题考查了数字的变化规律、通过计算，得出整式各项系数之间的关系，找到系数和的规律是解本题的关键．3．（2023春·山东日照·九年级日照市新营中学校考阶段练习）我们将如图所示的两种排列形式的个数分别叫做“三角形数”（如1，3，6，10…）和“正方形数”（如1，4，9，16…），在不大于2023数中，设最大的“三角形数”为，最大的“正方形数”为，则的值为（

）A．60 B．70 C．80 D．90【答案】C【分析】由题意知第个“三角形数”为，第个“正方形数”为，根据“三角形数”、“正方形数”及在不大于2023数中寻找出最大的“三角形数”为，最大的“正方形数”为，即可得到答案．【详解】解：由题意可知第个“三角形数”为，第个“正方形数”为，当时，；当时，；即最大的“三角形数”为；当时，；当时，；即最大的“正方形数”为；，故选：C．【点睛】本题考查图形与数字规律，解题的关键是根据图形得到第个“三角形数”为，第个“正方形数”为．4．（2023·福建福州·校考三模）观察下列式子：；；根据上述规律填写一个正数，满足：．【答案】75【分析】利用题中的等式得到（n为正整数）．【详解】由题意得：，∵∴，故答案为：．【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的关键．5．（2023·湖南邵阳·统考二模）观察下列数据：，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第25个数据是．【答案】/【分析】将数据改写为：，，，，，……看出规律：第奇数个数是负数，偶数个数是正数，第几个数分母就是几，分子是分母的平方加1，由规律可写出第25个数．【详解】由规律可知，第25个数是负数，分母为25，分子为，所以第25个数为，故答案为．【点睛】本题考查数字规律问题，将原数据进行改写，找出符号和数字的规律是关键．6．（2023·广东佛山·校联考三模）化学中直链烷烃的名称用“碳原子数+烷”来表示，当碳原子数为时，依次用天干——甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸——表示，其中甲烷、乙烷、丙烷，丁烷的分子结构式如图所示，则第7个庚烷分子结构式中“”的个数是．

【答案】16【分析】根据题目中的图形，可以发现“”的个数的变化特点，然后即可写出第7个庚烷分子结构式中“”的个数．【详解】解：由图可得：甲烷分子结构中“”的个数是：，乙烷分子结构中“”的个数是：，丙烷分子结构中“”的个数是：，……庚烷分子结构中“”的个数是：，故答案为：16．【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现“”的个数的变化特点．7．（2023·江苏·七年级假期作业）观察下列等式，将以上三个等式两边分别相加得，用你发现的规律解答下列问题：(1)猜想并写出：______；(2)直接写出结果：______；(3)直接写出结果：______；(4)计算：．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）观察题目给出的等式：可得分子为1，分母为两个相邻整数的乘积的分数可化为这两个整数的倒数之差，即可得解；（2）根据规律把各分数转化，再进行分数的加减运算即可；（3）先提取公因数，然后按照前面的运算方法计算即可；（4）先提取公因数2，然后按照前面的运算方法计算即可．【详解】（1）解：由题意得，，故答案为：；（2）解：；故答案为：；（3）解：原式；（4）解：原式．【点睛】本题考查探究数字规律以及有理数的运算，利用规律进行计算是解题的关键．．8．（2023·江苏·七年级假期作业）找规律：观察算式；；；；…(1)按规律填空；．(2)由上面的规律计算：（要求：写出计算过程）【答案】(1)3025；(2)1622600【分析】（1）根据题干中算式总结出公式：，根据规律计算即可；（2）根据规律用前50项减前10项即可；【详解】（1）该列数的规律是：，，，故答案为：3025，；（2）；【点睛】本题考查了数字的变化规律，总结归纳出规律并应用规律是解题的关键．【经典题型二图形排列规律】【例2】（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆南开中学校考期中）观察下列图形，其中第①个图形由个“△”组成，第②个图形由个“△”组成，第③个图形由个“△”组成，…，照此规律下去，则第⑧个图形“△”的个数一共是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意可知：第①个图形中“△”的个数为，第②个图形中“△”的个数为，第③个图形中“△”的个数为，由此可求得第个图形中“△”的个数，从而可求出最后结果．【详解】解：根据题意可知：第①个图形中“△”的个数为，第②个图形中“△”的个数为，第③个图形中“△”的个数为，，第个图形中“△”的个数为，第⑧个图形中“△”的个数为，故选：．【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出第个图形中“△”的个数为．【变式训练】1．（2023·重庆·九年级专题练习）图①叫做一个基本的“勾股树”，也叫做第一代勾股树．让图①中两个小正方形各自长出一个新的勾股树（如图②），叫做第二代勾股树．从第二代勾股树出发，又可以长出第三代勾股树（如图③）．这样一生二、二生四、四生八，继续生长下去，则第四代勾股树图形中正方形的个数为（）A．15 B．23 C．27 D．31【答案】D【分析】由已知图形观察规律，即可得到第四代勾股树中正方形的个数．【详解】解：第一代勾股树中正方形有(个)，第二代勾股树中正方形有(个)，第三代勾股树中正方形有(个)，第四代勾股树中正方形有(个)，故选：D．【点睛】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．2．（2023·重庆·九年级专题练习）某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成．如图①，当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块；如图②，当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块；如图③，当正方形地砖有3块时，等腰直角三角形地砖有10块；…；以此类推，当人行道有20块正方形地砖时，等腰直角三角形地砖的块数为（

）A．38 B．40 C．42 D．44【答案】D【分析】探究规律，利用规律，构建方程求解．【详解】解：观察图①可知等腰直角三角形地砖：，观察图②可知等腰直角三角形地砖：，观察图③可知等腰直角三角形地砖：，归纳得有块正方形地砖时，等腰直角三角形地砖的块数为，∴当人行道有块正方形地砖时，等腰直角三角形地砖的块数为，故选D．【点睛】本题主要考查图形的变化规律，探究规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．3．（2023春·重庆南岸·九年级重庆第二外国语学校校考阶段练习）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第⑩个图形中字母“H”的个数是（

）A．16 B．18 C．20 D．22【答案】D【分析】列举每个图形中H和C的个数，找到规律即可得出答案．【详解】解：∵第个图中H的个数为4，第个图中H的个数为，第个图中H的个数为，∴第n个图中H的个数为，∴第⑩个图形中字母“H”的个数是，故选：D．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多2个H是解题的关键．4．（2023·江苏淮安·校考一模）如图，观察各图中小圆点的摆放规律，并按这样的规律继续摆放下去，则第个图形中小圆点的个数为．【答案】144【分析】根据题目中各个图形的小黑点的个数，可以发现其中的规律，从而可以得到第个图形中小圆点的个数．【详解】解：由题意可得，第一个图形的小圆点的个数为：，第二个图形的小圆点的个数为：，第三个图形的小圆点的个数为：，第十个图形的小圆点的个数为：，故答案为：．【点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中图形的小圆点的变化规律．5．（2023·湖南娄底·统考一模）如图，下列是一组有规律的图案，它们由边长相同的小正方形组成，按照这样的规律，第n个图案中涂有阴影的小正方形的数量是个．（用含有n的式子表示）​【答案】【分析】通过分析图案个数与涂有阴影的小正方形的个数之间的关系即可得出结论．【详解】解：由图形可知：第1个图案有涂有阴影的小正方形的个数为：5，第2个图案有涂有阴影的小正方形的个数为：，第3个图案有涂有阴影的小正方形的个数为：，…，∴第n个图案有涂有阴影的小正方形的个数为：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了图形与数字的变化规律，列代数式，通过分析找到图案个数与涂有阴影的小正方形的个数之间的关系是解题的关键．6．（2023·山西晋中·统考一模）某公园内有一矩形步道，其地面使用相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成．如图表示此步道的地砖排列方式，其中步道上总共使用84个三角形地砖，那么连续排列的正方形地砖总共有个．【答案】40【分析】根据中间一个正方形对应两个等腰直角三角形，从而得出正方形地砖的个数．【详解】解：步道上总共使用连续排列的正方形地砖：(个)．故答案为∶40【点睛】本题考查了等腰直角三角形：两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．也考查了规律型问题的解决方法，探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．7．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市中实学校校考期中）将正方形（如图1）作如下划分：第1次划分：分别连接正方形对边的中点（如图2），得线段和，它们交于点M，此时图2中共有5个正方形；第2次划分：将图2左上角正方形再作划分，得图3，则图3中共有9个正方形；(1)若每次都把左上角的正方形一次划分下去，则第100次划分后，图中共有______个正方形；(2)继续划分下去，第几次划分后能有805个正方形?写出计算过程．(3)能否将正方形性划分成有2018个正方形的图形?如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由．(4)如果设原正方形的边长为1，通过不断地分割该面积为1的正方形，并把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，可以很容易得到一些计算结果，试着探究求出下面表达式的结果吧．计算（直接写出答案即可）【答案】(1)401；(2)201，过程见解析；(3)不能，理由见解析；(4)【分析】（1）由第一次可得5个正方形，第二次可得9个正方形，第三次可得13个正方形，可得规律：第n次可得个正方形，继而求得答案；（2）由规律可得方程，继而求得答案；（3）由规律可得，又由n为整数，可求得答案；（4）此题可看作上面图形的面积问题，即可求得答案．【详解】（1）∵第一次可得5个正方形，第二次可得9个正方形，第三次可得13个正方形，∴第n次可得个正方形，∴第100次可得正方形：（个）；故答案为：401；（2）根据题意得：，解得：；∴第201次划分后能有805个正方形；（3）不能，∵，解得：，∴n不是整数，∴不能将正方形划分成有2018个正方形的图形；（4）结合题意得：．【点睛】此题考查了规律问题．注意根据题意得到规律：第n次可得个正方形是解此题的关键．8．（2023春·广东河源·七年级校考开学考试）背景阅读：意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：，，，，，，，，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两上数的和．为了纪念这个著名的发现，人们将这组数命名为斐波那契数列．实践操作：

(1)写出斐波那契数列的前个数；(2)斐波那契数列的前个数中，有

个奇数？(3)现以这组数中的各个数作为正方形的边长构造如图的正方形系列：再分别依次从左到右取个、个、个、个，正方形拼成如图长方形并记为①，②，③，④，⑤．（ⅰ）通过计算相应长方形的周长填写表（不计拼出的长方形内部的线段）；序号①②③④⑤……周长610

……（ⅱ）若按此规律继续拼成长方形，求序号为⑩的长方形的长与宽．【答案】(1)，，，，，，，，，(2)(3)（ⅰ）；；；（ⅱ）长为，宽为【分析】（1）斐波那契数列的定义即可求解；（2）分析婓波那契数列，可以发现每三项都是前两个为奇第三个为偶，结合2017是3的多少倍余几，即可得出结论；（3）①根据图形特性，可以找出周长为最大的正方形的周长+小一号的正方形的两条边，代入数据即可得出结论；②根据（1）中结果及规律即可得到序号为⑩的长方形长和宽．【详解】（1）写出斐波那契数列的前10个数是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55（2）奇偶特点：奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶……，3个一周期.奇数：（个），故答案为：；（3）（i）通过计算相对应长方形的周长填写表（不计拼出的长方形内部的线段）序号为①的长方形的周长为；序号为②的长方形的周长为；序号为③的长方形的周长为；序号为④的长方形的周长为；序号为⑤的长方形的周长为；序号①②③④⑤……周长610

16

26

42

……（ii）由（1）得，第11个数为，第10个长方形的长为：；宽为：．【点睛】本题主要考查规律型—数字的变换类，根据已知找出正确的规律是解题关键．【经典题型三图形面积类规律】【例3】（2023秋·山东聊城·七年级统考期末）如图，将一个正方形纸片分割成四个面积相等的小正方形纸片，然后将其中一个小正方形纸片再分割成四个面积相等的小正方形纸片，如此分割下去．第次分割后，正方形纸片共有多少块（用含的代数式表示）？（）A． B． C． D．【答案】B【分析】观察图形规律，得出计算方法，计算结果．【详解】解：第一次有个，第二次有，第三次有，……以此类推，第次有．故选：．【点睛】首先至少正确计算三个特殊数据，然后进一步发现数据之间的规律，进行计算即可．【变式训练】1．（2023·江苏·七年级假期作业）如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个图形，图形①面积是正方形纸片面积的，图形②面积是图形①面积的2倍的，图形③面积是图形②面积的2倍的，……，图形⑥面积是图形⑤面积的2倍的，图形⑦面积是图形⑥面积的2倍．计算的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意可得图形①面积是，图形②面积是，图形③面积是，图形④面积是图形⑤面积是，图形⑥面积是，图形⑦面积是．从而得到的面积等于①②③④⑤⑥的面积之和，即可求解．【详解】解：根据题意得：图形①面积是，图形②面积是，图形③面积是，图形④面积是图形⑤面积是，图形⑥面积是，图形⑦面积是．∴的面积等于①②③④⑤⑥的面积之和，∴．故选：A【点睛】本题考查了图形的变化以及有理数的混合运算，数形结合是解本题的关键，综合性较强，难度较大．2．（2023春·四川达州·七年级四川省万源中学校考阶段练习）如图，的面积为1．第一次操作：分别延长，，至点，，，使，，，顺次连接，，，得到△．第二次操作：分别延长，，至点，，；使，，，顺次连接，，，得到△，按此规律，要使得到的三角形的面积超过2021，最少经过次操作．A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】根据三角形的面积公式可知，若两个三角形等底同高，则它们面积相等，从而推出，，进而得到，再以此类推进行求解即可．【详解】解：连接，如图所示：，，，，，，同理：，，，同理可得，第二次操作后，第三次操作后的面积为，第四次操作后的面积为，按此规律，要使得到的三角形的面积超过2021，至少要经过4次操作，故选：C．【点睛】本题考查三角形面积相关的规律探究，解答此题的关键是找出相邻两次操作之间三角形面积的关系，再根据此规律求解即可．3．（2023·广东江门·广东省江门市实验中学校考一模）如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推，可求得阴影部分的面积是，受此启发，的值为．【答案】【分析】根据题意和图形中的数据，可以得到阴影部分的面积，并计算出所求式子的值．【详解】解：∵部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，∴阴影部分的面积是，∴．故答案为：．【点睛】本题考查图形的变化类，根据图形的面积关系，列出等式，是解题的关键，体现了数形结合的数学思想．4．（2023秋·全国·七年级专题练习）一个大长方形被分成8个小长方形，其中有5个小长方形的面积如图中的数字所示，分析所缺的数，则这个大长方形的面积为．【答案】100【分析】由长方形的面积=长×宽，可知等宽的两个长方形面积的比等于长的比，根据这个等量关系进行计算即可得．【详解】解：根据长方形的性质，第二块面积为：，第四块面积为：，第七块面积为：，大长方形的面积为：，故答案为：100．【点睛】本题考查了长方形的面积公式的运用，解题的关键是找到等宽的两个长方形，根据面积的比等于长的比进行求解．5．（2023春·广东梅州·七年级校考开学考试）在某多媒体电子杂志的某一期上刊登了“正方形雪花图案的形成”的演示案例：作一个正方形，设每边长为，将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为a的小正方形，得到图形如图（2）所示，称为第一次变化，再对图（2）的每个边做相同的变化，得到图形如图（3），称为第二次变化．如此连续作几次，便可得到一个绚丽多彩的雪花图案．如不断发展下去到第2018次变化时，图形的面积是否会变化，（填写“会”或者“不会”），图形的周长为．【答案】不会【分析】突出和凹进部分相等，所以面积不会变化．第一个周长是16a，第一次周边变化后32a，第二次变化后64a，所以第n次变化是．【详解】解：观察图形可知，突出和凹进部分相等，所以面积不会变化；∵正方形的边长为，∴正方形的周长为，观察图形，可得正方形每进行一次变化，周长变为原来的两倍，∴第一次变化后的图形的周长为：32a=，第二次变化后的图形的周长为：64a=，……第n次变化后图形的周长为：．故答案为：不会；．【点睛】本题考查了图形的规律变化，观察图形得到后一个图形的周长是前一个图形周长两倍是解决问题的关键．6．（2023春·四川自贡·七年级自贡市第一中学校考阶段练习）我们把如图1所示的菱形称为基本图形，将此基本图形不断复制并平移，使得相邻两个基本图形的一个顶点与对称中心重合，得到的所有菱形都称为基本图形的特征图形，显然图2中有3个特征图形．（1）观察以上图形并完成如表：根据表中规律猜想，图n（n≥2）中特征图形的个数为．（用含n的式子表示）图形名称基本图形的个数特征图形的个数图111图223图337图44………………（2）若基本图形的面积为2，则图2中小特征图形的面积是；图2020中所有特征图形的面积之和为．【答案】（1）4n﹣5．（2），．【分析】（1）根据从第3个图形开始，每多一个基本图形就会多出4个菱形解答即可．（2）由图2可知基本图形面积应为2个菱形的面积-重复的菱形面积，根据图形的特征解决问题即可．【详解】解：（1）由题意可知，图③中菱形的个数7＝3+4×（3﹣2），图④中，菱形的个数为3+4×（4﹣2）＝11，∵当n≥3时，每多一个基本图形就会多出4个菱形，∴图（n）中，菱形的个数为3+4（n﹣2）＝4n﹣5，故答案为：4n﹣5．（2）如图2中，图形的面积＝2×2﹣×2＝，图2020中所有特征图形的面积之和为＝2020×2﹣2019××2＝，故答案为，．【点睛】本题考查平移设计图案，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．7．（2023秋·陕西宝鸡·七年级统考期末）如图，每个小正方形的面积均为1第1个等式：第2个等式：第3个等式：____________……据此规律：(1)请写出第3个等式：___；(2)猜想第n个等式为___（用含n的等式表示）；(3)已知如上图所示的一个草垛的最底端有2020支小正方形草束，则这堆草垛共有多少支草束？【答案】(1)(2)(3)1021110支【分析】（1）根据所给的等式左边和右边的形式进行解答即可；（2）分析所给的等式，等式左边是偶数之和，右边是连续整数乘积，得出结果；（3）利用（2）中的规律进行求解即可．【详解】（1）解：（1）由题意得：第3个等式为：，故答案为：；（2）（2）∵第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，...，∴第n个等式：，故答案为：（n＋1）（n＋2）；（3）（3）∵草垛的最底端有2020支小正方形草束，∴．答：这堆草垛中共有1021110支草束．【点睛】本题主要考查图形的变化规律，分析等式规律题时，观察等式的两边的特征，解答的关键是由所给的图形分析出存在的规律．【经典题型四动点类规律】【例4】（2022秋·山东济宁·七年级统考期中）如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与O点的距离是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，得第一次跳动到的中点处，即在离原点的长度为，第二次从处跳动到处，离原点的长度为，可得跳动n次离原点的长度为，代入计算即可；【详解】解：由题意得，∵第一次跳动到的中点处时，∴，同理第二次从处跳动到处时离原点的长度为，第二次从处跳动到处时离原点的长度为，…∴跳动n次离原点的长度为，∴2023次跳动后的点与点的距离是；故选D．【点睛】本题主要考查了图形类的规律，数轴上两点的距离，，准确分析计算是解题的关键．【变式训练】1．（2022·浙江台州·校考二模）如图所示，动点P从第一个数0的位置出发，每次跳动一个单位长度，第一次跳动一个单位长度到达数1的位置，第二次跳动一个单位长度到达数2的位置，第三次跳动一个单位长度到达数3的位置，第四次跳动一个单位长度到达数4的位置，…，依此规律跳动下去，点P从0跳动6次到达的位置，点P从0跳动21次到达的位置，…，点在一条直线上，则点P从0跳动（

）次可到达的位置．A．887 B．903 C．90 D．1024【答案】B【分析】由题意得：从点P从0跳动个单位长度，到达，跳动个单位长度，到达，可以得出，跳动次数为从1开始连续正整数的和，且最后一个加数为，进而得到答案即可；【详解】解：由题意得：从点P从0跳动个单位长度，到达，跳动个单位长度，到达，由此可得：跳动次数为从1开始连续的正整数的和，最后一个加数为，∵，∴点从跳到跳动了：，故选：B．【点睛】本题考查图形中的规律探究．根据图形，抽象概括出相应的数字规律，是解题的关键．2．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图所示，甲、乙两动点分别从正方形的顶点，同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第2021次相遇在边（

）上．A． B． C． D．【答案】D【分析】此题利用行程问题中的相遇问题，根据乙的速度是甲的速度的4倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．【详解】解：根据题意分析可得：乙的速度是甲的速度的4倍，故第1次相遇，甲走了正方形周长的；从第2次相遇起，每次甲走了正方形周长的，从第2次相遇起，5次一个循环．因此可得：从开始出发起，每次相遇的位置依次是：，，点，，；依次循环．故它们第2021次相遇位置在边上．故选：D．【点睛】本题主要考查了规律型的题目，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．3．（2023秋·四川广安·七年级统考期末）如图，在正方形中，动点M从点A出发以的速度沿着正方形的边顺时针运动，同时动点N也从点A出发以的速度沿着正方形的边逆时针运动，1s后点M，N都运动到点D，记为第1次相遇，继续进行下去，则第2023次相遇在点处．【答案】B【分析】M和N相遇一次所用的时间为1秒，即按M路线每一次相遇正好前进一个边长，到达下一个顶点，再由，可求出结果．【详解】解：M和N相遇一次的时间为1秒，即每一次相遇M正好前进一个边长，到达下一个顶点，∵，∴第2023次相遇在B处．故答案为：B．【点睛】此题考查了实际问题中周期性规律归纳能力，关键是发现它们相遇点周期性循环出现的规律．4．（2022·山东聊城·统考中考真题）数轴上两点的距离为4，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，是整数）处，那么线段的长度为（，是整数）．【答案】【分析】根据题意，得第一次跳动到OA的中点A1处，即在离原点的长度为×4，第二次从A1点跳动到A2处，即在离原点的长度为（）2×4，则跳动n次后，即跳到了离原点的长度为（）n×4=，再根据线段的和差关系可得线段AnA的长度．【详解】由于OA=4，所有第一次跳动到OA的中点A1处时，OA1=OA=×4=2，同理第二次从A1点跳动到A2处，离原点的（）2×4处，同理跳动n次后，离原点的长度为（）n×4=，故线段AnA的长度为4-（n≥3，n是整数）．故答案为4-．【点睛】考查了两点间的距离，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．本题注意根据题意表示出各个点跳动的规律．5．（2018秋·浙江绍兴·七年级绍兴市越城区孙端中学阶段练习）点O在直线AB上，点A1，A2，A3，……在射线OA上，点B1，B2，B3，……在射线OB上，图中的每一个实线段和虚线段的长均为1个单位长度．一个动点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度按如图所示的箭头方向沿着实线段和以点O为圆心的半圆匀速运动，即从OA1B1B2A2……按此规律，则动点M到达A10点处所需时间为秒．（结果保留π）【答案】10+55π

．【分析】观察动点M从O点出发到A4点，得到点M在直线AB上运动了4个单位长度，在以O为圆心的半圆运动了（π•1+π•2+π•3+π•4）单位长度，然后可得到动点M到达A10点处运动的单位长度=4×2.5+（π•1+π•2+…+π•10），然后除以速度即可得到动点M到达A10点处所需时间．【详解】动点M从O点出发到A4点，在直线AB上运动了4个单位长度，在以O为圆心的半圆运动了（π•1+π•2+π•3+π•4）单位长度，∵10=4×2.5，∴动点M到达A10点处运动的单位长度=4×2.5+（π•1+π•2+…+π•10）=10+55π；∴动点M到达A10点处运动所需时间=（10+55π）÷1=（10+55π）秒，故答案为10+55π.【点睛】本题考查了规律型——图形的变化类，解题的关键是通过特殊图象找到图象变化，归纳总结出规律，再利用规律解决问题．也考查了圆的周长公式．6．（2022秋·贵州贵阳·七年级校联考期中）已知在数轴上，有一动点Q从原点O出发，在数轴上以每秒钟2个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度……(1)5秒钟后动点Q所处的位置表示的数是______；(2)如果在数轴上还有一个定点A，且A与原点O相距20个单位长度，问：动点Q从原点出发，可能与点A重合吗？若能，则第一次与点A重合需多长时间？若不能，请说明理由．【答案】(1)(2)能，分钟或分钟【分析】（1）先找出点Q每次移动的距离的规律、每次移动后所处位置对应的数出现的规律，计算出移动的次数和移动5秒后点Q的位置对应的数；（2）分两种情况讨论：当点A在原点右边时，当点A在原点左边时，即可求解．【详解】（1）解：由题意可知，点Q每次移动的距离（单位长度）的规律是：1，2，3，4，5，…，点Q每次移动后所处位置对应的数出现的规律是：，…，设点Q第n次移动后所处位置对应的数为x，当n为奇数时，则x为正数，且，当n为偶数时，则x为负数，且，∵（单位长度），（单位长度），∴第5次移动完对用的数是，∴，∴5秒后点Q的位置对应的数是．故答案为：．（2）解：①当点A在原点右边时，设需要第n次到达点A，则，解得∴动点Q走过的路程是，∴第一次与点A重合需时间秒分钟，②当点A在原点左边时，设需要第n次到达点A，则，解得，∴动点Q走过的路程是，∴第一次与点A重合需时间秒分钟；综上所述，第一次与点A重合需时间为分钟或分钟．【点睛】本题考查数轴和数字类规律，解题的关键是掌握用数轴表示有理数，注意要分情况讨论求解，弄清楚跳到点A处的次数的计算方法．7．（2022秋·河南洛阳·七年级校联考阶段练习）如图，数轴上有一动点Q从A出发，沿正方向移动．(1)当AQ＝2QB时，则Q点在数轴上所表示的数为；(2)数轴上有一点C，且点C满足AC＝m•BC（其中m＞1），则点C在数轴上所表示的数为（用含m的代数式表示）；(3)点P1为线段AB的中点，点P2为线段BP1的中点，点P3为线段BP2的中点，…依此类推，点Pn为线段BPn﹣1的中点，它们在数轴上表示的数分别为p1，p2，p3，…，pn（n为正整数）．①请问：当n≥2时，2pn﹣pn﹣1是否恒为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．②记S＝p1+p2+p3+…+pn﹣1+2pn，求当n＝2022时S的值．【答案】(1)2或；(2)或；(3)①2pn﹣pn﹣1为定值为1；②2022【分析】（1）分情况讨论：根据图形中AQ与BQ的关系列等式可得结论；（2）同理根据（1）分情况讨论，由图形AC+BC=1或AC-BC=1，可得结论；（3）①根据中点的定义依次得：P1表示的数为，P2表示的数为，P3表示的数为，…，Pn-1表示的数为，Pn表示的数为，代入计算2pn-pn-1的值可得结论；②由①得：当n=2022时，2P2022-P2018=1，2P2022=P2018+1，同理得：2P2018=P2017+1，2P2017=P2016+1，2P2016=P2015+1，…，2P2=P1+1，代入计算可得结论．【详解】（1）分两种情况：①当Q在A、B之间时，如图1，∵AQ＝2QB，AQ+BQ＝1，∴AQ，即Q点在数轴上所表示的数为；②当Q在点B的右边时，如图2，∵AQ﹣BQ＝1，AQ＝2BQ，∴AQAQ＝1，∴AQ＝2，即Q点在数轴上所表示的数为2，综上，Q点在数轴上所表示的数为2或；故答案为：2或；（2）∵AC＝m•BC，∴BC，分两种情况：①当C在A、B之间时，如图3，∵AC+BC＝1，∴AC1，AC，即C点在数轴上所表示的数为；②当C在点B的右边时，如图4，∵AC﹣BC＝1，∴AC1，∴AC，即C点在数轴上所表示的数为，综上，C点在数轴上所表示的数为或；故答案为：或；（3）①由题意得：P1表示的数为，P2表示的数为，P3表示的数为，…，Pn﹣1表示的数为，Pn表示的数为，∴当n≥2时，2pn﹣pn﹣1＝21，则当n≥2时，2pn﹣pn﹣1为定值为1；②由①得：当n＝2022时，2P2022﹣P2018＝1，2P2022＝P2018+1，同理得：2P2018＝P2017+1，2P2017＝P2016+1，2P2016＝P2015+1，…，2P2＝P1+1，∴S＝p1+p2+p3+…+p2018+2p2022，＝p1+p2+p3+…+p2018+P2018+1，＝p1+p2+p3+…+2p2018+1，＝p1+p2+p3+…+2p2017+2，＝p1+2p2+2017，＝2P1+2018，＝2022【点睛】此题考查了数轴上两点的距离及动点运动问题，利用数轴上两点之间的距离以及点的平移规律解决问题，注意分类探讨两点之间的距离与两点之间的位置关系．【经典题型五数列规律】【例5】（2022春·安徽合肥·七年级统考期末）如图所示的是中国南宋数学家杨辉在详解《九章算法》中出现的三角形状的数列，又称为“杨辉三角”．该三角形中的数据排列有着一定的规律，第21行从左边数第19个数是（

）A．19 B．380 C．210 D．190【答案】D【分析】第21行从左边数第19个数即为从右边数第3个数，然后根据图形解答即可．【详解】解：第21行从左边数第19个数即为从右边数第三个第3行右边数第三个数为1，即第4行右边数第三个数为3，即第5行右边数第三个数为6，即第6行右边数第三个数为10，即……第21行右边数第三个数为21，即．故选D．【点睛】本题主要考查了图形的规律，发现第21行从左边数第19个数即为从右边数地第3个数成为解答本题的关键．【变式训练】1．（2021·全国·九年级假期作业）已知数列，，，···满足，其中，若且，则的值为（

）A．2 B．5 C． D．【答案】C【分析】根据题中规律依次求出、、······，然后可以发现5个数为一组循环，因此根据即可求解．【详解】由，则，，，，与相同．故每5个数为一组循环出现，，第2019个数与第4个数同，故选C．【点睛】本题考查考了整式的规律，实数的规律问题，此类题的关键是要求出前几个数总结规律．2．（2023秋·山东滨州·七年级校考期末）著名数学家斐波那契发现著名的斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13…，这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和．如图1，现以这组数中的各个数作为正方形的边长构造正方形；如图2，再分别依次从左到右取2个，3个，4个，5个正方形拼成长方形并标记为①、②、③、④，若按此规律继续作长方形，则序号为⑨的长方形的周长是（

）A．466 B．288 C．233 D．178【答案】B【分析】根据给出的前4个图形找出周长的规律，然后利用规律即可得出答案．【详解】解：由题意知，裴波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……序号为①的长方形的周长为，序号为②的长方形的周长为，序号为③的长方形的周长为，序号为④的长方形的周长为，观察可知，序号为n的长方形的周长为裴波那契数列第和个数之和的2倍，裴波那契数列第10个数为55，第11个数为89，因此序号为⑨的长方形的周长是，故选B．【点睛】本题为规律探索类试题，找到规律是解题的关键．3．（2023·湖北武汉·校考一模）如图所示的是中国南宋数学家杨辉在详解《九章算法》中出现的三角形状的数列，又称为“杨辉三角形”该三角形中的数据排列有着一定的规律，若将其中组斜数列用字母、，，代替，如图，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意和图形中的数据，可知，从而可以求得所求式子的值，本题得以解决．【详解】解：，，，，，，则故选：B．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．4．（2023·山东枣庄·统考三模）按一定顺序排列的一列数叫做数列，如数列：，，，，…，则这个数列前2023个数的和为．【答案】【分析】根据数列得出第n个数为，据此可得前2023个数的和为，再用裂项求和计算可得．【详解】由数列知：第n个数为，则前2023个数的和为，故答案为：．【点睛】本题考查了规律题、有理数的加减混合运算等，熟练掌握有理数混合运算的法则以及得出第n个数为是解题的关键．5．（2023·山西大同·统考模拟预测）有一组数列：……则第10个是.【答案】【分析】通过观察可得“分数的分子是从1开始的连续自然数，分母是比分子的平方数大1的数，并且第奇数个数是负数，偶数个数是正数”据此分析即可解答．【详解】解：∵，，，，，，…，且第奇数个数是负数，偶数个数是正数．∴第10个数是．故答案为：．【点睛