第10讲反比例函数(8大考点)(原卷版+解析)

第10讲反比例函数（8大考点）考点考向考点考向一．反比例函数的定义（1）反比例函数的概念形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．（2）反比例函数的判断判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）．二．反比例函数的图象用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．三．反比例函数图象的对称性反比例函数图象的对称性：反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y＝﹣X；②一、三象限的角平分线Y＝X；对称中心是：坐标原点．四．反比例函数的性质反比例函数的性质（1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．五．反比例函数系数k的几何意义比例系数k的几何意义在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．六．反比例函数图象上点的坐标特征反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．七．待定系数法求反比例函数解析式用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；（3）解方程，求出待定系数；（4）写出解析式．八．反比例函数与一次函数的交点问题反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点；②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点．考点精讲考点精讲一．反比例函数的定义（共3小题）1．（2022秋•冷水滩区校级月考）下列表示y是x的反比例函数的是（）A．xy＝2 B．y＝2x C． D．2．（2022•东营模拟）函数y＝（m﹣2）是反比例函数，则m＝．3．（2022秋•石阡县月考）已知函数．（1）若y是关于x的正比例函数，求m的值；（2）若y是关于x的反比例函数，求出m的值，并写出此时y与x的函数关系式．二．反比例函数的图象（共3小题）4．（2022•汉阳区校级模拟）请试用“数形结合”的思想判断方程x2＝的根的情况是（）A．有三个实数根 B．有两个实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根5．（2022•襄阳）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．6．（2022秋•安化县校级月考）反比例函数y＝图象的对称轴的条数是条．三．反比例函数图象的对称性（共3小题）7．（2022•高要区一模）若正比例函数y＝﹣2x与反比例函数y＝图象的一个交点坐标为（﹣1，2），则另一个交点的坐标为（）A．（2，﹣1） B．（1，﹣2） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1）8．（2022•南岗区校级模拟）如图，正比例函数y＝mx与反比例函数y＝（m、n是非零常数）的图象交于A、B两点．若点A的坐标为（1，2），则点B的坐标是（）A．（﹣2，﹣4） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣4，﹣2）9．（2022春•洪泽区月考）如图，已知直线y＝mx与双曲线y＝的一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是．四．反比例函数的性质（共7小题）10．（2022秋•历下区校级月考）当m时，函数y＝（x＞0）中的y随x的增大而增大．11．（2022•黔西南州）在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（k≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝kx+2的图象经过的象限是（）A．一、二、三 B．一、二、四 C．一、三、四 D．二、三、四12．（2022春•株洲期末）设函数y1＝，y2＝﹣（k＞0）．（1）当2≤x≤3时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a﹣4，求a和k的值．（2）设m≠0，且m≠﹣1，当x＝m时，y1＝p；当x＝m+1时，y1＝q．圆圆说：“p一定大于q”．你认为圆圆的说法正确吗？为什么？13．（2022•沙市区模拟）探究分段函数y＝的图象与性质．列表：x…﹣1﹣012…y…210121…描点：描出相应的点，并连线，如图所示结合图象研究函数性质，回答下列问题：（1）点A（3，y1），B（5，y2），C（x1，），D（x2，6）在函数图象上，则y1y2，x1x2；（填“＞”、“＝”或“＜”）（2）当函数值y＝2时，自变量x的值为；（3）在直角坐标系中作出y＝x的图象；（4）当方程x+b＝有三个不同的解时，则b的取值范围为．14．（2022•三水区一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点D为AB的中点．一次函数y＝﹣3x+6的图象经过点C、D，反比例函数，求k的值．15．（2022春•上城区校级月考）设函数y1＝，y2＝﹣（k＞0）．（1）当1≤x≤2时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a﹣2，求a和k的值；（2）设m≠0且m≠1，当x＝m时，y2＝p；当x＝m﹣1时，y2＝q，芳芳说：“p一定大于q”．你认为芳芳的说法正确吗？为什么？16．（2022春•泾阳县月考）已知反比例函数y＝的图象经过第二、四象限，求n的取值范围．五．反比例函数系数k的几何意义（共5小题）17．（2022•长春一模）若矩形的面积为，则矩形的长y关于宽x（x＞0）的函数关系式为（）A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝18．（2022•牡丹江）如图，等边三角形OAB，点B在x轴正半轴上，S△OAB＝4，若反比例函数y＝（k≠0）图象的一支经过点A，则k的值是（）A． B． C． D．19．（2022•通辽）如图，点D是▱OABC内一点，AD与x轴平行，BD与y轴平行，BD＝，∠BDC＝120°，S△BCD＝，若反比例函数y＝（x＜0）的图象经过C，D两点，则k的值是（）A．﹣6 B．﹣6 C．﹣12 D．﹣1220．（2022•靖江市二模）反比例函数，（n＜0）的图象如图所示，点P为x轴上不与原点重合的一动点，过点P作AB∥y轴，分别与y1、y2交于A、B两点．（1）当n＝﹣10时，求S△OAB；（2）延长BA到点D，使得DA＝AB，求在点P整个运动过程中，点D所形成的函数图象的表达式．（用含有n的代数式表示）．21．（2022•德城区模拟）如图，A、B两点在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，其中k＞0，AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，且AC＝1（1）若k＝2，则AO的长为，△BOD的面积为；（2）若点B的横坐标为k，且k＞1，当AO＝AB时，求k的值．六．反比例函数图象上点的坐标特征（共6小题）22．（2022秋•天桥区校级月考）点A（a，1）在双曲线y＝上，则a的值是（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣323．（2022秋•天桥区校级月考）若点A（2，y1），B（﹣1，y2），C（4，y3），都在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小比较是（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y2＜y1＜y324．（2022•思明区校级二模）阅读理解：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”．（1）若A（m，y1），B（m+1，y2），C（m+3，y3）三点均在反比例函数的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值；（2）若实数a，b，c是“和谐三数组”，且满足a＞b＞c＞0，求点与原点O的距离OP的取值范围．25．（2022•东莞市校级二模）一个不透明的口袋中装有四张分别标有数字﹣1，﹣2，1，2的卡片，卡片除数字外其余都相同．小明先后两次不放回抽取卡片，第一次抽取的数字作为x的值，第二次抽取的数字作为y的值，两次结果记为（x，y）．求：用树状图或列表法表示（x，y）所有可能出现的结果，并求出点（x，y）在函数y＝﹣图象上的概率．26．（2022•牧野区校级三模）如图，矩形ABCD的边BC在x轴上，E为对角线AC，BD的交点，点A，C的坐标分别为A（﹣3，3），C（﹣1，0）．（1）反比例函数y1＝在第三象限的图象经过D点，求这个函数的解析式；（2）点E是否在函数y1＝的图象上？说明理由；（3）一次函数y2＝k2+b的图象经过点B，点D，根据图象直接写出不等式k2x+b＜的解集．27．（2022•营口）如图，在平面直角坐标系中，△OAC的边OC在y轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A和点B（2，6），且点B为AC的中点．（1）求k的值和点C的坐标；（2）求△OAC的周长．七．待定系数法求反比例函数解析式（共4小题）28．（2022•盐城）已知反比例函数的图象经过点（2，3），则该函数表达式为．29．（2022秋•历下区校级月考）如图，正方形ABCD的边长为10，点A的坐标为（﹣8，0），点B在y轴上，若反比例函数y＝（k≠0）的图象过点C，则该反比例函数的解析式为．30．（2022春•株洲期末）如图所示，点B是反比例函数y＝图象上的一点，过点B作x轴的垂线，垂足为A，连接OB，若△AOB的面积是4，则反比例函数的解析式是．31．（2022秋•通榆县月考）设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），则函数y1的解析式为．（2）若函数y1的解析式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．（3）设一次函数y2＝x﹣n（n是常数），若函数y1的解析式还可以写成y1＝2（x﹣n）（x﹣n﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（m，0）时，直接写出m﹣n的值．八．反比例函数与一次函数的交点问题（共6小题）32．（2022秋•淄川区月考）如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，BC⊥x轴，AC∥y轴，则S△ABC＝（）A．10 B．11 C．12 D．1333．（2022秋•天桥区校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝（k≠0）图象交于A，B两点，点A（﹣4，3），点B的纵坐标为﹣2．（1）求反比例函数和一次函数的表达式．（2）求△AOB的面积．（3）观察图象，写出ax+b＞时，自变量x的取值范围．34．（2022秋•冷水滩区校级月考）如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数的图象相交于第二、四象限内的点A（﹣2，a）和点B（b，﹣1），过点A作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为4．（1）分别求出a和b的值；（2）结合图象直接写出的解集；（3）在x轴上取一点P，当PA﹣PB取得最大值时，求P点的坐标．35．（2022•攀枝花）如图，一次函数y＝x﹣2的图象与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，求△OAB的面积．36．（2022春•江北区校级期中）单位长度为1的网格坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣4，m）和点B（n，2）．（1）求一次函数的解析式，画出一次函数的图象并写出一次函数的一条性质；（2）点A关于y轴的对称点为点C，求△ABC的面积；（3）结合图象直接写出关于x的不等式的解集．37．（2022•北碚区自主招生）如图，在矩形OABC中，A，C两点分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上．反比例函数y＝（m≠0）的图象经过点B（﹣1，2），一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于B，D两点，已知点D的横坐标为2．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）求△ACD的面积．巩固提升巩固提升一、单选题1．（2021·辽宁·沈阳市实验学校九年级期中）下列函数中，y是关于x的反比例函数的是（）A．y＝﹣3x+6 B．y=x2 C．y＝ D．y＝2．（2021·安徽·合肥市五十中学西校九年级期中）若反比例函数y＝的图象经过点（－1，4），则这个函数的图像一定经过点（）A．（－4，－1） B．（－，4） C．（4，－1） D．（，4）3．（2021·湖南岳阳·九年级期中）在反比例函数的图象上的每一条曲线上y都是随x增大而减小，则k的取值范围是（）A． B． C． D．4．（2021·山西实验中学九年级期中）下列点在反比例数的图象上的是（）A． B． C． D．5．（2021·广西江州·九年级期中）在下列函数中表示y关于x的反比例函数的是（）A．y=2x B． C． D．6．（2021·湖南通道·九年级期中）若函数的图象经过点A(2，4)，则的值为（）A．4 B．-2 C．8 D．-87．（2021·辽宁·沈阳市光明中学九年级期中）若反比例函数的图象过点（1，﹣2）、（x1，y1）、（x2，y2），且x1＜x2＜0，那么y1与y2的大小关系是（）A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．y1＜y2＜08．（2021·湖南岳阳·九年级期中）对于反比例函数下列结论中错误的是（）A．图象必经过 B．y随x的增大而增大C．图象在第二、四象限 D．若，则9．（2021·湖南通道·九年级期中）关于反比例函数，下列说法中正确的是（）A．它的图象分布在第一、四象限 B．它的图象过点(3，-2)C．当＜0时，的值随的增大而增大 D．它的图像是轴对称图形，有一条对称轴二、填空题10．（2021·湖南道县·九年级期中）若函数是关于x的反比例函数，则n的值为__________．11．（2021·湖南岳阳·九年级期中）若，，三点都在函数的图像上则，，的大小关系是______（用“”连接）．三、解答题12．（2021·河北青县·九年级月考）某地区经过脱贫攻坚和乡村振兴，经济收入持续增长．近五年该地区农户年度纯收入如表所示：年度（年）20162017201820192020年度纯收入（万元）1.52.54.57.511.3若记2016年度为第一年，在直角坐标系中用点，，，表示近五年某农户的收入的年度变化情况，如图所示，拟用下列三个函数模拟甲农户从2016年开始的年度纯收入变化趋势（m＞0），y＝kx+b（k＞0），y＝ax2﹣0.5x+c（a＞0），以便估算甲农户2021年度的纯收入．（1）能否选用函数（m＞0）进行模拟，请说明理由；（2）你认为选用哪个函数模拟最合理，请说明理由；（3）甲农户准备在2021年底购买一台价值16万元的农机设备，根据（2）中你选择的函数表达式，预测甲农户2021年度的纯收入能否满足购买农机设备的资金需求．13．（2021·辽宁·沈阳市光明中学九年级期中）如图，矩形OABC的顶点O为坐标原点，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，OA＝6，OC＝2，反比例函数图象经过AB的中点D，且与BC交于点E．（1）求k的值和点E的坐标；（2）求直线DE的解析式；（3）M为x轴上一点，N为反比例函数图象上一点，若以M、N、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标．14．（2021·湖南·张家界市民族中学九年级期中）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交A、B两点．（1）利用图中的条件求反比例函数和一次函数的解析式．（2）根据图象写出满足的x取值范围．15．（2022·安徽·合肥市第四十五中学九年级期中）如图，一次函数y=-x+b与反比例函数y=（x>0）的图象交于点A（m，4）和B（4，1）（1）求b、k、m的值；（2）根据图象直接写出-x+b<（x>0）的解集；（3）点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，若△POD的面积为S，求S的最大值和最小值．16．（2021·湖南岳阳·九年级期中）如图，一次函数与反比例函数的图像相交于，两点，与x轴交于点E，与y轴相交于点C．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）若点D与点C关于x轴对称，求的面积；17．（2021·陕西·西北工业大学附属中学九年级期中）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为，点B的坐标为．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）连接、，求的面积；（3）请直接写出不等式的解集．18．（2021·重庆一中九年级期中）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图你研究函数性质及其应用的过程，以下是我们研究函数的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．（1）该函数自变量的取值范围是__________．（2）请把下表补充完整，并在给出的图中补全该函数的大致图象：…0145……33…（3）请根据这个函数的图象，写出该函数的一条性质；（4）若函数的图象与函数的图象至少有3个交点，直接写出的取值范围．第10讲反比例函数（8大考点）考点考向考点考向一．反比例函数的定义（1）反比例函数的概念形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．（2）反比例函数的判断判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）．二．反比例函数的图象用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．三．反比例函数图象的对称性反比例函数图象的对称性：反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y＝﹣X；②一、三象限的角平分线Y＝X；对称中心是：坐标原点．四．反比例函数的性质反比例函数的性质（1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．五．反比例函数系数k的几何意义比例系数k的几何意义在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．六．反比例函数图象上点的坐标特征反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．七．待定系数法求反比例函数解析式用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；（3）解方程，求出待定系数；（4）写出解析式．八．反比例函数与一次函数的交点问题反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点；②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点．考点精讲考点精讲一．反比例函数的定义（共3小题）1．（2022秋•冷水滩区校级月考）下列表示y是x的反比例函数的是（）A．xy＝2 B．y＝2x C． D．【分析】根据反比例函数的定义进行判断．【解答】解：A、由原式得到y＝，符合反比例函数的定义，故本选项符合题意；B、该函数式表示y与x成反比例关系，故本选项不符合题意；C、该函数式表示y与x成正比例关系，故本选项不符合题意；D、该函数式不属于反比例函数，故本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式y＝（k≠0）转化为xy＝k（k≠0）的形式．2．（2022•东营模拟）函数y＝（m﹣2）是反比例函数，则m＝﹣2．【分析】直接利用反比例函数的定义分析得出即可．【解答】解：∵y＝（m﹣2）是反比例函数，∴3﹣m2＝﹣1，m﹣2≠0，解得：m＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】此题主要考查了反比例函数的定义，正确把握定义是解题关键．3．（2022秋•石阡县月考）已知函数．（1）若y是关于x的正比例函数，求m的值；（2）若y是关于x的反比例函数，求出m的值，并写出此时y与x的函数关系式．【分析】（1）根据y＝kx（k是不等于零的常数）是正比例函数，可得答案；（2）根据y＝（k≠0）转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式．【解答】解：（1）由y＝（m2﹣2m）是正比例函数，得m2﹣m﹣1＝1且m2﹣2m≠0，解得m＝﹣1；（2）由y＝（m2﹣2m）是反比例函数，得m2﹣m﹣1＝﹣1且m2﹣2m≠0，解得m＝1．故y与x的函数关系式y＝3x﹣1．【点评】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式y＝（k≠0）转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式．二．反比例函数的图象（共3小题）4．（2022•汉阳区校级模拟）请试用“数形结合”的思想判断方程x2＝的根的情况是（）A．有三个实数根 B．有两个实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根【分析】分别作出y＝x2与y＝的函数图象，根据两函数图象交点个数求解．【解答】解：作出函数y＝x2与y＝的函数图象如下：抛物线开口向上，顶点为原点，函数y＝的图象由函数y＝向右平移4个单位所得，∴两函数图象在第一象限有1个交点．故选：C．【点评】本题考查二次函数与反比例函数的性质，解题关键是掌握函数与方程的关系，通过数形结合求解．5．（2022•襄阳）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．【分析】根据二次函数图象开口向下得到a＜0，再根据对称轴确定出b，根据与y轴的交点确定出c＜0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．【解答】解：∵二次函数图象开口方向向下，∴a＜0，∵对称轴为直线x＝﹣＞0，∴b＞0，∵与y轴的负半轴相交，∴c＜0，∴y＝bx+c的图象经过第一、三、四象限，反比例函数y＝图象在第二四象限，只有D选项图象符合．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标等确定出a、b、c的情况是解题的关键．6．（2022秋•安化县校级月考）反比例函数y＝图象的对称轴的条数是2条．【分析】任意一个反比例函数的图象都是轴对称图形，且对称轴有且只有两条．【解答】解：沿直线y＝x或y＝﹣x折叠，直线两旁的部分都能够完全重合，所以对称轴有2条．故答案为：2．【点评】本题考查了反比例函数图象的对称性．沿某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形是轴对称图形，关键是找到相应的对称轴．三．反比例函数图象的对称性（共3小题）7．（2022•高要区一模）若正比例函数y＝﹣2x与反比例函数y＝图象的一个交点坐标为（﹣1，2），则另一个交点的坐标为（）A．（2，﹣1） B．（1，﹣2） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1）【分析】根据正比例函数与反比例函数图象的交点关于原点对称进行解答即可．【解答】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，∴两函数的交点关于原点对称，∵一个交点的坐标是（﹣1，2），∴另一个交点的坐标是（1，﹣2）．故选：B．【点评】本题考查的是正比例函数与反比例函数图象的交点问题，熟知正比例函数与反比例函数图象的交点关于原点对称的知识是解答此题的关键．8．（2022•南岗区校级模拟）如图，正比例函数y＝mx与反比例函数y＝（m、n是非零常数）的图象交于A、B两点．若点A的坐标为（1，2），则点B的坐标是（）A．（﹣2，﹣4） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣4，﹣2）【分析】此题由题意可知A、B两点关于原点对称，则根据对称性即可得到B点坐标．【解答】解：∵正比例函数y＝mx与反比例函数y＝的两交点A、B关于原点对称，∴点A（1，2）关于原点对称点的坐标为（﹣1，﹣2）．故选：C．【点评】本题考查了反比例函数图象的对称性．函数知识的考查是每年中考必考知识，解决这类题目关键是平时要多积累规律．9．（2022春•洪泽区月考）如图，已知直线y＝mx与双曲线y＝的一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是（﹣3，﹣4）．【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．【解答】解：因为直线y＝mx过原点，双曲线y＝的两个分支关于原点对称，所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为（3，4），另一个交点的坐标为（﹣3，﹣4）．故答案是：（﹣3，﹣4）．【点评】此题考查了函数交点的对称性，通过数形结合和中心对称的定义很容易解决．四．反比例函数的性质（共7小题）10．（2022秋•历下区校级月考）当m＜1时，函数y＝（x＞0）中的y随x的增大而增大．【分析】根据反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；（1）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（2）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，得出m﹣1＜0，进而得出答案．【解答】解：∵函数y＝（x＞0）中的y随x的增大而增大，∴m﹣1＜0，解得：m＜1．故答案为：＜1．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的增减性是解题关键．11．（2022•黔西南州）在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（k≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝kx+2的图象经过的象限是（）A．一、二、三 B．一、二、四 C．一、三、四 D．二、三、四【分析】先根据反比例函数的图象位于二，四象限，可得k＜0，由一次函数y＝kx+2中，k＜0，2＞0，可知它的图象经过的象限．【解答】解：由图可知：k＜0，∴一次函数y＝kx+2的图象经过的象限是一、二、四．故选：B．【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的性质，掌握反比例函数与一次函数系数与图象的位置是解本题的关键．12．（2022春•株洲期末）设函数y1＝，y2＝﹣（k＞0）．（1）当2≤x≤3时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a﹣4，求a和k的值．（2）设m≠0，且m≠﹣1，当x＝m时，y1＝p；当x＝m+1时，y1＝q．圆圆说：“p一定大于q”．你认为圆圆的说法正确吗？为什么？【分析】（1）由反比例函数的性质可得，①；﹣＝a﹣4，②；可求a的值和k的值；（2）设m＝m0，且﹣1＜m0＜0，将x＝m0，x＝m0+1，代入解析式，可求p和q，即可判断．【解答】解：（1）∵k＞0，2≤x≤3，∴y1随x的增大而减小，y2随x的增大而增大，∴当x＝2时，y1最大值为，①；当x＝2时，y2最小值为﹣＝a﹣4，②；由①，②得：a＝2，k＝4；（2）圆圆的说法不正确，理由如下：设m＝m0，且﹣1＜m0＜0，则m0＜0，m0+1＞0，∴当x＝m0时，p＝y1＝，当x＝m0+1时，q＝y1＝＞0，∴p＜0＜q，∴圆圆的说法不正确．方法二、当x＝m时，p＝y1＝，当x＝m+1时，q＝y1＝，∴p﹣q＝﹣＝，∴当m＜﹣1时，则p﹣q＝＞0，∴p＞q，当﹣1＜m＜0时，则p﹣q＝＜0，∴p＜q，当m＞0时，则p﹣q＝＞0，∴p＞q，∴圆圆的说法不正确．【点评】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是本题的关键．13．（2022•沙市区模拟）探究分段函数y＝的图象与性质．列表：x…﹣1﹣012…y…210121…描点：描出相应的点，并连线，如图所示结合图象研究函数性质，回答下列问题：（1）点A（3，y1），B（5，y2），C（x1，），D（x2，6）在函数图象上，则y1＞y2，x1＞x2；（填“＞”、“＝”或“＜”）（2）当函数值y＝2时，自变量x的值为﹣1或1；（3）在直角坐标系中作出y＝x的图象；（4）当方程x+b＝有三个不同的解时，则b的取值范围为0＜b＜1．【分析】（1）根据函数的增减性即可比较；（2）根据图象求解即可；（3）根据函数解析式画出函数图象即可；（4）根据图象即可求出b的取值范围．【解答】解：（1）∵点A（3，y1），B（5，y2），C（x1，），D（x2，6）在函数图象上，根据图象可知，当x＞1时，y随着x增大而减小，当y＞2时，y随着x增大而减小，∵3＜5，＜6，∴y1＞y2，x1＞x2，故答案为：＞，＞；（2）当函数值y＝2时，x的值为﹣1或1，故答案为：﹣1或1；（3）函数图象如图所示：（4）当y＝x+b过点（1，2）时，可得1+b＝2，解得b＝1，∴当方程x+b＝有三个不同的解时，则b的取值范围为0＜b＜1，故答案为：0＜b＜1．【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握函数的图象和性质是解题的关键．14．（2022•三水区一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点D为AB的中点．一次函数y＝﹣3x+6的图象经过点C、D，反比例函数，求k的值．【分析】先求得C的坐标，然后根据矩形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征得出B（2，），进而表示出D的坐标，代入y＝﹣3x+6即可求得k的值．【解答】解：在y＝﹣3x+6中，令y＝0，则﹣3x+6＝0，解得x＝2，∴C（2，0），∴B（2，），∴A（0，），∵点D为AB的中点，∴点D（1，），∵点D在直线y＝﹣3x+6上，∴＝﹣3×1+6，∴k＝6．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，表示出D的坐标是解题的关键．15．（2022春•上城区校级月考）设函数y1＝，y2＝﹣（k＞0）．（1）当1≤x≤2时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a﹣2，求a和k的值；（2）设m≠0且m≠1，当x＝m时，y2＝p；当x＝m﹣1时，y2＝q，芳芳说：“p一定大于q”．你认为芳芳的说法正确吗？为什么？【分析】（1）由反比例函数的性质可得k＝a①；﹣k＝a﹣2②；可求a的值和k的值；（2）设m＝m0，且0＜m0＜1，则m0＞0，m0﹣1＜0，代入解析式，可求p和q，即可判断．【解答】解：（1）∵k＞0，1≤x≤2，∴y1随x的增大而减小，y2随x的增大而增大，∴当x＝1时，y1最大值为k＝a①；y2最小值为﹣k＝a﹣2②；由①，②得：a＝1，k＝1；（2）芳芳的说法不正确，理由如下：设m＝m0，且0＜m0＜1，则m0＞0，m0﹣1＜0，∴当x＝m0时，p＝y2＝﹣＜0，当x＝m0﹣1时，q＝y2＝﹣＞0，∴q＞0＞p．∴芳芳的说法不正确．【点评】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质是本题的关键．16．（2022春•泾阳县月考）已知反比例函数y＝的图象经过第二、四象限，求n的取值范围．【分析】根据图象所处的象限确定n的取值范围即可．【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过第二、四象限，∴n+6＜0，解得：n＜﹣6，∴n的取值范围是n＜﹣6．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，是比较典型的题目，解题的关键是了解反比例函数的性质．五．反比例函数系数k的几何意义（共5小题）17．（2022•长春一模）若矩形的面积为，则矩形的长y关于宽x（x＞0）的函数关系式为（）A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝【分析】根据等量关系“矩形的长＝矩形面积÷宽”即可列出关系式．【解答】解：由题意得：矩形的长y关于宽x（x＞0）的函数关系式为：y＝．故选：A．【点评】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，找出等量关系是解决此题的关键．18．（2022•牡丹江）如图，等边三角形OAB，点B在x轴正半轴上，S△OAB＝4，若反比例函数y＝（k≠0）图象的一支经过点A，则k的值是（）A． B． C． D．【分析】根据正三角形的性质以及反比例函数系数k的几何意义，得出S△AOC＝S△AOB＝2＝|k|，即可求出k的值．【解答】解：如图，过点A作AC⊥OB于点C，∵△OAB是正三角形，∴OC＝BC，∴S△AOC＝S△AOB＝2＝|k|，又∵k＞0，∴k＝4，故选：D．【点评】本题考查等边三角形的性质，反比例函数系数k的几何意义，掌握等边三角形的性质以及反比例函数系数k的几何意义是正确解答的前提．19．（2022•通辽）如图，点D是▱OABC内一点，AD与x轴平行，BD与y轴平行，BD＝，∠BDC＝120°，S△BCD＝，若反比例函数y＝（x＜0）的图象经过C，D两点，则k的值是（）A．﹣6 B．﹣6 C．﹣12 D．﹣12【分析】过点C作CE⊥y轴，延长BD交CE于点F，易证△COE≌△ABD，求得OE＝，根据S△BCD＝，求得CF＝9，得到点D的纵坐标为4，设C（m，），则D（m+9，4），由反比例函数y＝（x＜0）的图象经过C，D两点，从而求出m，进而可得k的值．【解答】解：过点C作CE⊥y轴，延长BD交CE于点F，∵四边形OABC为平行四边形，∴AB∥OC，AB＝OC，∴∠COE＝∠ABD，∵BD与y轴平行，∴∠ADB＝90°，在△COE和△ABD中，，∴△COE≌△ABD（AAS），∴OE＝BD＝，∵S△BDC＝BD•CF＝，∴CF＝9，∵∠BDC＝120°，∴∠CDF＝60°，∴DF＝3，点D的纵坐标为4，设C（m，），则D（m+9，4），∵反比例函数y＝（x＜0）的图象经过C，D两点，∴k＝m＝4（m+9），∴m＝﹣12，∴k＝﹣12，故选：C．【点评】本题主要考查反比例函数，掌握平行四边形的性质和反比例函数图象的坐标特征是解题的关键．20．（2022•靖江市二模）反比例函数，（n＜0）的图象如图所示，点P为x轴上不与原点重合的一动点，过点P作AB∥y轴，分别与y1、y2交于A、B两点．（1）当n＝﹣10时，求S△OAB；（2）延长BA到点D，使得DA＝AB，求在点P整个运动过程中，点D所形成的函数图象的表达式．（用含有n的代数式表示）．【分析】（1）当n＝﹣10时，S△BOP＝×|﹣10|＝5，S△AOP＝×|8|＝4，即可得S△OAB＝9；（2）设P（m，0），则A（m，），B（m，），AB＝|﹣|，分两种情况：①当m＞0时，AB＝＝AD，D（m，），设x＝m，y＝，则xy＝16﹣n，可得y＝，②当m＜0时，可得y＝．【解答】解：（1）当n＝﹣10时，y2＝﹣，∴S△BOP＝×|﹣10|＝5，∵A在y＝的图象上，∴S△AOP＝×|8|＝4，∴S△OAB＝S△BOP+S△AOP＝9，答：S△OAB＝9；（2）设P（m，0），则A（m，），B（m，），∴AB＝|﹣|，①当m＞0时，AB＝＝AD，∴DP＝AD+AP＝+＝，∴D（m，），设x＝m，y＝，则xy＝16﹣n，∴y＝，即点D所形成的函数图象的表达式为y＝，②当m＜0时，AB＝，同理可得y＝，综上所述，点D所形成的函数图象的表达式为y＝．【点评】本题考查反比例函数图象及性质，解题的关键是分类思想的应用．21．（2022•德城区模拟）如图，A、B两点在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，其中k＞0，AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，且AC＝1（1）若k＝2，则AO的长为，△BOD的面积为1；（2）若点B的横坐标为k，且k＞1，当AO＝AB时，求k的值．【分析】（1）由AC和k的值可得出点A的坐标，利用勾股定理即可求出OA的长度，由点B在反比例函数图象上，利用反比例函数系数k的几何意义即可得出△BOD的面积；（2）根据反比例函数图象上点的坐标特征可找出点A、B的坐标，利用两点间的距离公式即可求出AB、AO的长度，由AO＝AB即可得出关于k的方程，解之即可求出k值，再根据k＞1即可确定k值．【解答】解：（1）∵AC＝1，k＝2，∴点A（1，2），∴OC＝2，OA＝＝．∵点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴S△BOD＝|k|＝1．故答案为：；1．（2）∵A，B两点在函数y＝（x＞0）的图象上，∴A（1，k），B（k，1），∴AO＝，AB＝．∵AO＝AB，∴＝，解得：k＝2+或k＝2﹣．∵k＞1，∴k＝2+．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义以及两点间的距离公式，解题的关键是：（1）根据反比例函数系数k的几何意义找出△BOD的面积；（2）根据AO＝AB找出＝．六．反比例函数图象上点的坐标特征（共6小题）22．（2022秋•天桥区校级月考）点A（a，1）在双曲线y＝上，则a的值是（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3【分析】把点A（a，1）代入y＝即可得到结论．【解答】解：把点A（a，1）代入y＝得，1＝，∴a＝3，故选：C．【点评】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图形上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．23．（2022秋•天桥区校级月考）若点A（2，y1），B（﹣1，y2），C（4，y3），都在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小比较是（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y2＜y1＜y3【分析】先根据反比例函数中k＞0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数y＝，k＝8＞0，∴函数图象的两个分支分别位于一，三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，∵﹣1＜0＜2＜4，∴B（﹣1，y2）位于第三象限，∴y2＜0，∴A（2，y1），C（4，y3）位于第一象限，∴y3＜0，y2＜0，∵1＜4，∴y1＞y3＞0，∴y1＞y3＞y2．故选：B．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．24．（2022•思明区校级二模）阅读理解：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”．（1）若A（m，y1），B（m+1，y2），C（m+3，y3）三点均在反比例函数的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值；（2）若实数a，b，c是“和谐三数组”，且满足a＞b＞c＞0，求点与原点O的距离OP的取值范围．【分析】（1）根据题意，分析不同情况进行求解即可；（2）由题意知，再根据不等式判断取值范围即可．【解答】解：（1）将A（m，y1），B（m+1，y2），C（m+3，y3）分别代入反比例函数中，则、，，当时，m＝m+1+m+3，即m＝﹣4，当时，m+1＝m+m+3，即m＝﹣2，当时，m+3＝m+m+1，即m＝2，综上，m的值为﹣4或﹣2或2；（2）∵a＞b＞c＞0，∴，即，由题意，∴，∵a＞b＞c＞0，∴a2+b2＜（a+b）2＜2（a2+b2），∴．【点评】本题主要考查不等式的应用、反比例函数，正确理解“和谐三数组”的概念是解题的关键．25．（2022•东莞市校级二模）一个不透明的口袋中装有四张分别标有数字﹣1，﹣2，1，2的卡片，卡片除数字外其余都相同．小明先后两次不放回抽取卡片，第一次抽取的数字作为x的值，第二次抽取的数字作为y的值，两次结果记为（x，y）．求：用树状图或列表法表示（x，y）所有可能出现的结果，并求出点（x，y）在函数y＝﹣图象上的概率．【分析】列表得出所有结果即可，所有可能出现的结果共有12种，其中抽到的两张卡片上的数点（x，y）在函数y＝﹣图象上的有共4种，再由概率公式求解即可．【解答】解：列表如下：﹣1﹣212﹣1（﹣1，﹣2）（﹣1，1）（﹣1，2）﹣2（﹣2，﹣1）（﹣2，1）（﹣2，2）1（1，﹣1）（1，﹣2）（1，2）2（2，﹣1）（2，﹣2）（2，1）由表格知，共有12种等可能结果，点（x，y）在函数y＝﹣图象上有4种结果，∴点（x，y）在函数y＝﹣图象上的概率是＝；【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．26．（2022•牧野区校级三模）如图，矩形ABCD的边BC在x轴上，E为对角线AC，BD的交点，点A，C的坐标分别为A（﹣3，3），C（﹣1，0）．（1）反比例函数y1＝在第三象限的图象经过D点，求这个函数的解析式；（2）点E是否在函数y1＝的图象上？说明理由；（3）一次函数y2＝k2+b的图象经过点B，点D，根据图象直接写出不等式k2x+b＜的解集．【分析】（1）利用待定系数法求得解析式即可；（2）根据矩形的性质，求得点E的坐标，把E点代入反比例函数解析式判定即可；（3）根据图象即可求得．【解答】解：（1）∵矩形ABCD的边BC在x轴上，A（﹣3，3），C（﹣1，0），∴D（﹣1，3），∵反比例函数y1＝在第三象限的图象经过D点，∴k1＝﹣1×3＝﹣3，∴这个函数的解析式为y＝﹣；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴E为对角线AC、BD的交点，∴E为AC的中点，∵A（﹣3，3），C（﹣1，0）．∴E（﹣2，）；把x＝﹣2代入y＝﹣得，y＝，∴点E在函数y1＝的图象上；（3）由图象可知：不等式k2x+b＜的解集是x＜﹣2或﹣1＜x＜0．【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上的坐标特征以及函数和不等式的关系．27．（2022•营口）如图，在平面直角坐标系中，△OAC的边OC在y轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A和点B（2，6），且点B为AC的中点．（1）求k的值和点C的坐标；（2）求△OAC的周长．【分析】（1）把点B（2，6）代入反比例函数的关系式可求出k的值，利用相似三角形的性质可求出A的坐标，进而得出点C坐标；（2）利用勾股定理求出OA、AC的长即可．【解答】解：把点B（2，6）代入反比例函数y＝得，k＝2×6＝12；如图，过点A、B分别作y轴的垂线，垂足为D、E，则OE＝6，BE＝2，∵BE⊥CD，AD⊥CD，∴AD∥BE，又∵B为AC的中点．∴AD＝2BE＝4，CE＝DE，把x＝4代入反比例函数y＝得，y＝12÷4＝3，∴点A（4，3），即OD＝3，∴DE＝OE﹣OD＝6﹣3＝3＝CE，∴OC＝9，即点C（0，9），答：k＝12，C（0，9）；（2）在Rt△AOD中，OA＝＝＝5，在Rt△ADC中，AC＝＝＝2，∴△AOC的周长为：2+5+9＝2+14．【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质，掌握勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征以及相似三角形的性质是正确解答的前提．七．待定系数法求反比例函数解析式（共4小题）28．（2022•盐城）已知反比例函数的图象经过点（2，3），则该函数表达式为y＝．【分析】利用反比例函数的定义列函数的解析式，运用待定系数法求出函数的解析式即可．【解答】解：令反比例函数为y＝（k≠0），∵反比例函数的图象经过点（2，3），∴3＝，k＝6，∴反比例函数的解析式为y＝．故答案为：y＝．【点评】考查反比例函数的解析式，关键要掌握利用待定系数法求解函数的解析式．29．（2022秋•历下区校级月考）如图，正方形ABCD的边长为10，点A的坐标为（﹣8，0），点B在y轴上，若反比例函数y＝（k≠0）的图象过点C，则该反比例函数的解析式为y＝．【分析】过点C作CE⊥y轴于E，由“AAS”可证△ABO≌△BCE，可得CE＝OB＝6，BE＝AO＝8，可求点C坐标，即可求解．【解答】解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝10，∠ABC＝90°，∴OB＝＝＝6，∵∠ABC＝∠AOB＝90°，∴∠ABO+∠CBE＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠BAO＝∠CBE，又∵∠AOB＝∠BEC＝90°，∴△ABO≌△BCE（AAS），∴CE＝OB＝6，BE＝AO＝8，∴OE＝2，∴点C（6，2），∵反比例函数y＝（k≠0）的图象过点C，∴k＝6×2＝12，∴反比例函数的解析式为y＝，故答案为：y＝．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，利用待定系数法求解析式，求出点C坐标是本题的关键．30．（2022春•株洲期末）如图所示，点B是反比例函数y＝图象上的一点，过点B作x轴的垂线，垂足为A，连接OB，若△AOB的面积是4，则反比例函数的解析式是y＝﹣．【分析】直接根据反比例函数y＝（k≠0）系数k的几何意义求解．【解答】解：∵点B是反比例函数y＝图象上的一点，过点B作x轴的垂线，垂足为A，△AOB的面积是4，∴S△AOB＝|k|，∴|k|＝2×4＝8，∵在第二象限，k＜0，∴k＝﹣8，∴反比例函数的解析式是y＝﹣，故答案为：y＝﹣．【点评】本题考查了反比例函数y＝（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y＝（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．31．（2022秋•通榆县月考）设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），则函数y1的解析式为y1＝2x2﹣6x+4．（2）若函数y1的解析式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．（3）设一次函数y2＝x﹣n（n是常数），若函数y1的解析式还可以写成y1＝2（x﹣n）（x﹣n﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（m，0）时，直接写出m﹣n的值．【分析】（1）根据A、B两点的坐标特征，可设函数y1的表达式为y1＝2（x﹣x1）（x﹣x2），其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标；（2）把函数y1＝2（x﹣h）2﹣2，化成一般式，求出对应的b、c的值，再根据b+c式子的特点求出其最小值；（3）把y1，y2代入y＝y1﹣y2求出y关于x的函数表达式，再根据其图象过点（x0，0），把（x0，0）代入其表达式，形成关于x0的一元二次方程，解方程即可．【解答】解：（1）∵二次函数y1＝2x2+bx+c过点A（1，0）、B（2，0），∴y1＝2（x﹣1）（x﹣2），即y1＝2x2﹣6x+4，故答案为：y1＝2x2﹣6x+4；（2）把y1＝2（x﹣h）2﹣2化成一般式得，y1＝2x2﹣4hx+2h2﹣2．∴b＝﹣4h，c＝2h2﹣2．∴b+c＝2h2﹣4h﹣2＝2（h﹣1）2﹣4．把b+c的值看作是h的二次函数，则该二次函数开口向上，有最小值，∴当h＝1时，b+c的最小值是﹣4．（3）由题意得，y＝y1﹣y2＝2（x﹣n）（x﹣n﹣2）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）[2（x﹣n）﹣5]．∵函数y的图象经过点（m，0），∴（m﹣n）[2（m﹣n）﹣5]＝0．∴m﹣n＝0或2（m﹣n）﹣5＝0．即m﹣n＝0或m﹣n＝．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．八．反比例函数与一次函数的交点问题（共6小题）32．（2022秋•淄川区月考）如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，BC⊥x轴，AC∥y轴，则S△ABC＝（）A．10 B．11 C．12 D．13【分析】设出A点坐标，根据题意得出B、C点的坐标，再根据面积公式刚好消掉未知数求出面积的值．【解答】解：根据题意设A（m，），∵正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，∴B（﹣m，﹣），∵BC∥x轴，AC∥y轴，∴C（m，﹣），∴S△ABC＝BC•AC＝×[m﹣（﹣m）]×[﹣（﹣）]＝12；故选：C．【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，求三角形面积等知识点，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．33．（2022秋•天桥区校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝（k≠0）图象交于A，B两点，点A（﹣4，3），点B的纵坐标为﹣2．（1）求反比例函数和一次函数的表达式．（2）求△AOB的面积．（3）观察图象，写出ax+b＞时，自变量x的取值范围．【分析】（1）把A点坐标代入反比例函数的解析式中，求出k的值，再根据反比例函数解析式求得B点，然后根据两点式即可求出一次函数的解析式，（2）首先求出一次函数与x轴的交点坐标，然后再根据S△AOB＝S△OBc+S△AOc求面积；（3）根据图象即可求得．【解答】解：（1）将A（﹣4，3）代入y＝中，得3＝，解得k＝﹣12，∴反比例函数为y＝﹣，将y＝﹣2代入y＝得，x＝6，∴B（6，﹣2），将A（﹣4，3），B（6，﹣2）代入y＝ax+b得，解得，∴一次函数为y＝﹣x+1；（2）把y＝0代入y＝﹣x+1得，﹣x+1＝0，解得x＝2，∴C（2，0），∴S△AOB＝S△OBc+S△AOc＝+＝5；（3）观察图象，ax+b＞时，自变量x的取值范围是x＜﹣4或0＜x＜6．【点评】本题是反比例函数和一次函数交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积以及函数与不等式的关系，数形结合是解答本题的关键．34．（2022秋•冷水滩区校级月考）如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数的图象相交于第二、四象限内的点A（﹣2，a）和点B（b，﹣1），过点A作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为4．（1）分别求出a和b的值；（2）结合图象直接写出的解集；（3）在x轴上取一点P，当PA﹣PB取得最大值时，求P点的坐标．【分析】（1）根据△AOC的面积为4和反比例函数图象的位置，可以确定k的值，进而确定反比例函数的关系式，代入可求出点A、B的坐标，求出a、b的值；（2）根据图象直接写出的解集；（3）求出点点B（8，﹣1）关于x轴的对称点B′（8，1），根据题意直线AB′与x轴的交点即为所求的点P，求出直线AB′的关系式，进而求出与x轴的交点坐标即可．【解答】解：（1）∵△AOC的面积为4，∴|k|＝4，解得，k＝﹣8，或k＝8，∵反比例函数的图象在二、四象限，∴反比例函数的关系式为y＝﹣，把点A（﹣2，a）和点B（b，﹣1）代入y＝﹣得，a＝4，b＝8；（2）根据一次函数与反比例函数的图象可知，不等式的解集的解集为﹣2＜x＜0或x＞8；（3）∵点B（8，﹣1）关于x轴的对称点B′（8，1），又A（﹣2，4），则直线AB′与x轴的交点即为所求的点P，设直线AB′的关系式为y＝mx+n，则有，解得，∴直线A′B的关系式为y＝﹣x+，∴直线y＝﹣x+与x轴的交点坐标为（，0），即点P的坐标为（，0）．【点评】本题考查一次函数、反比例函数的图象和性质，轴对称的性质和应用，把点的坐标代入是求函数关系式常用方法，作对称点是求线段和或差最小值的常用方法．35．（2022•攀枝花）如图，一次函数y＝x﹣2的图象与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，求△OAB的面积．【分析】解析式联立成方程组，解方程组即可得到A、B两点的坐标，由一次函数解析式求得直线与y轴的交点C，然后根据S△OAB＝S△AOC+S△BOC求得即可．【解答】解：解方程组得或，所以A点坐标为（3，1），B点坐标为（﹣1，﹣3），设一次函数y＝x﹣2的图象交y轴与点C，则C（0，﹣2），∴OC＝2，∴S△OAB＝S△AOC+S△BOC＝×3+＝4．故△OAB的面积为4．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，若方程组无解则两者无交点．36．（2022春•江北区校级期中）单位长度为1的网格坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣4，m）和点B（n，2）．（1）求一次函数的解析式，画出一次函数的图象并写出一次函数的一条性质；（2）点A关于y轴的对称点为点C，求△ABC的面积；（3）结合图象直接写出关于x的不等式的解集．【分析】（1）把A、B点坐标代入，即可求得m、n，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式，根据图象得出一次函数的一条性质；（2）利用三角形的面积公式求得即可；（3）利用图象即可求得．【解答】解：（1）∵反比例函数的图象经过点A（﹣4，m）和点B（n，2），∴﹣4m＝2n＝4，∴m＝﹣1，n＝2，∴A（﹣4，﹣1），B（2，2），代入y＝kx+b得，解得∴一次函数的解析式为y＝x+1；如图，由一次函数的图象可知，y随x的增大而增大；（2）∵点A关于y轴的对称点为点C，∴C（4，1），∴AC＝8，∴S△ABC＝＝12；（3）由图象可知，关于x的不等式的解集﹣4＜x＜0或x＞2．【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，三角形的面积，数形结合是解题的关键．37．（2022•北碚区自主招生）如图，在矩形OABC中，A，C两点分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上．反比例函数y＝（m≠0）的图象经过点B（﹣1，2），一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于B，D两点，已知点D的横坐标为2．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）求△ACD的面积．【分析】（1）利用待定系数法即可求得一次函数、反比例函数的解析式；（2）根据S△ACD＝S△ABD+S△BCD﹣S△ABC，利用三角形面积即可求得．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（m≠0）的图象经过点B（﹣1，2），∴m＝﹣1×2＝﹣2，∴反比例函数为y＝﹣，∵点D在反比例函数的图象上，点D的横坐标为2，∴D（2，﹣1），把B、D的坐标代入y＝kx+b得，解得，∴一次函数的表达式为y＝﹣x+1；（2）S△ACD＝S△ABD+S△BCD﹣S△ABC＝×2×（1+2）+1×（2+1）﹣＝5．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，三角形面积计算等知识，熟练掌握待定系数法是解题的关键．巩固提升巩固提升一、单选题1．（2021·辽宁·沈阳市实验学校九年级期中）下列函数中，y是关于x的反比例函数的是（）A．y＝﹣3x+6 B．y=x2 C．y＝ D．y＝【答案】D【分析】根据反比例函数的定义判断即可得到正确答案．【详解】解：A、是一次函数，不符合题意；B、y=x2，不符合题意；C、中，未知数的次数是次，不是反比例函数，不符合题意；D、是反比例函数，符合题意．故选：D【点睛】本题考查反比例函数的定义，牢记定义内容是解题关键．2．（2021·安徽·合肥市五十中学西校九年级期中）若反比例函数y＝的图象经过点（－1，4），则这个函数的图像一定经过点（）A．（－4，－1） B．（－，4） C．（4，－1） D．（，4）【答案】C【分析】根据图像过点，确定k值，运用k=xy验证即可．【详解】∵反比例函数y＝的图象经过点（－1，4），∴k＝－1×4＝－4；∵－4×（－1）=4≠－4，∴（－4，－1）不在反比例函数的图像上；∵－×4=-2≠－4，∴（－，4）不在反比例函数的图像上；∵4×（－1）=－4，∴（4，－1）在反比例函数的图像上；∵×4=2≠－4，∴（，4）不在反比例函数的图像上；∴符合条件的是（4，－1）故选C．【点睛】本题考查了反比函数图像与点，熟练掌握反比例函数的k=xy这个计算公式是解题的关键．3．（2021·湖南岳阳·九年级期中）在反比例函数的图象上的每一条曲线上y都是随x增大而减小，则k的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据反比例函数的性质可知k+1>0，从而可求得k的取值范围．【详解】∵反比例函数的图象上的每一条曲线上y都是随x增大而减小∴k+1>0∴k>-1故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的图象与性质是关键．4．（2021·山西实验中学九年级期中）下列点在反比例数的图象上的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】反比例上的点坐标符合解析式，即，分别把点A、B、C、D坐标代入解析式中即可解题．【详解】解：反比例上的点坐标符合解析式，即，，仅A符合题意，故选：A．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．5．（2021·广西江州·九年级期中）在下列函数中表示y关于x的反比例函数的是（）A．y=2x B． C． D．【答案】B【分析】反比例函数解析式的一般形式为y＝（k≠0），据此判断即可．【详解】解：A、是正比例函数，故本选项错误；

B、符合反比例函数的定义，故本选项正确；

C、是关于（x-1）的反比例函数，故本选项错误；D、是关于x2的反比例函数，故本选项错误；

故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数解析式的一般形式为y＝（k≠0），也可转化为y=kx-1（k≠0）的形式．6．（2021·湖南通道·九年级期中）若函数的图象经过点A(2，4)，则的值为（）A．4 B．-2 C．8 D．-8【答案】C【分析】因为函数的图象经过点，代入解析式，解之即可求得．【详解】解：函数的图象经过点，，解得：．故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握图象上点的坐标符合解析式．7．（2021·辽宁·沈阳市光明中学九年级期中）若反比例函数的图象过点（1，﹣2）、（x1，y1）、（x2，y2），且x1＜x2＜0，那么y1与y2的大小关系是（）A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．y1＜y2＜0【答案】A【分析】先根据反比例函数经过点得出反比例函数，判断此函数图象所在的象限，再根据判断出、两点所在的象限，根据此函数的增减性即可解答．【详解】解：∵反比例函数经过点，∴，∴此函数的图象在二、四象限，在每一象限内随的增大而增大，∵，∴这个反比例函数的图象上的两个点、均位于第二象限，∴．故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数的性质及反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键．8．（2021·湖南岳阳·九年级期中）对于反比例函数下列结论中错误的是（）A．图象必经过 B．y随x的增大而增大C．图象在第二、四象限 D．若，则【答案】B【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特点：横纵坐标之积=k，可以判断出A的正误；根据反比例函数的性质：k<0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，可判断出B、C、D的正误．【详解】解：A、当时，，即图象必经过，故本选项正确，不符合题意；B、因为，所以在每一象限内，y随x的增大而增大，故本选项错误，符合题意；C、因为，图象在第二、四象限，故本选项正确，不符合题意；D、若，图象位于第四象限内，y随x的增大而增大，此时，故本选项正确，不符合题意；故选：B【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，以及反比例函数图象上点的坐标特点，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：反比例函数的图象是双曲线；当k>0，双曲线两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k<0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．9．（2021·湖南通道·九年级期中）关于反比例函数，下列说法中正确的是（）A．它的图象分布在第一、四象限 B．它的图象过点(3，-2)C．当＜0时，的值随的增大而增大 D．它的图像是轴对称图形，有一条对称轴【答案】C【分析】反比例函数的图象时位于第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小；时位于第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大；根据这个性质选择则可．【详解】解：反比例函数中，该函数图象位于二、四象限，故选项不符合题意；当时，，即它的图象过点，故选项不符合题意；当时，的值随的增大而增大，故选项符合题意；它的图象是中心对称图形，关于原点对称，故选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质：解题的关键是掌握：①当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限．②当时，在同一个象限内，随的增大而减小；当时，在同一个象限，随的增大而增大．注意反比例函数的图象应分在同一象限和不在同一象限两种情况分析．二、填空题10．（2021·湖南道县·九年级期中）若函数是关于x的反比例函数，则n的值为__________．【答案】0【分析】根据反比例函数的定义可得关于n的一元一次方程，解方程求出n的值即可得答案．【详解】解：∵函数是关于的反比例函数，∴，解得：，故答案为：0．【点睛】本题考查反比例函数的定义，熟练掌握定义是解题关键．11．（2021·湖南岳阳·九年级期中）若，，三点都在函数的图像上则，，的大小关系是______（用“”连接）．【答案】【分析】由题意易得点P在第二象限，点M与点N在第四象限，根据反比例函数的图象与性质可得，且，从而可确定，，的大小关系．【详解】解：∵k<0∴的图象分别在第二、四象限∴点P在第二象限，点M与点N在第四象限∴，均大于0∵∴∴故答案为：【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的图象与性质是解决问题的关键．三、解答题12．（2021·河北青县·九年级月考）某地区经过脱贫攻坚和乡村振兴，经济收入持续增长．近五年该地区农户年度纯收入如表所示：年度（年）20162017201820192020年度纯收入（万元）1.52.54.57.511.3若记2016年度为第一年，在直角坐标系中用点，，，表示近五年某农户的收入的年度变化情况，如图所示，拟用下列三个函数模拟甲农户从2016年开始的年度纯收入变化趋势（m＞0），y＝kx+b（k＞0），y＝ax2﹣0.5x+c（a＞0），以便估算甲农户2021年度的纯收入．（1）能否选用函数（m＞0）进行模拟，请说明理由；（2）你认为选用哪个函数模拟最合理，请说明理由；（3）甲农户准备在2021年底购买一台价值16万元的农机设备，根据（2）中你选择的函数表达式，预测甲农户2021年度的纯收入能否满足购买农机设备的资金需求．【答案】（1）不能；（2）选用函数y＝ax2﹣0.5x+c（a＞0）模拟；（3）满足【分析】（1）由数据的变化大小或者由m＝xy计算判断；（2）通过点的变化可知不是一次函数，由（1）可知不是反比例，则可判断选用二次函数模拟最合理；（3）利用已知点坐标用待定系数法求出解析式，然后计算出2021年即第6年度的纯收入y，然后比较可得结论．【详解】解：（1）∵1