2024-2025学年湖南省常德市桃源一中高三（上）月考数学试卷（8月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省常德市桃源一中高三（上）月考数学试卷（8月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|1lnx<1}，B={x|−4<x<4}，则A∩B=A.(0,1) B.(e,4) C.(0,1)∪(e,4) D.(0,4)2.sin300°+tan600°的值是

(

)A.−32 B.32 3.复数z满足：z(1−2i)=3−i(其中i是虚数单位)，则z的共轭复数z−在复平面内对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.在平面直角坐标系中，已知点P(3,4)为角α终边上一点，若cos(α+β)=13，β∈(0,π)，则sinβ=A.−4−6215 B.4−62155.已知离心率为2的双曲线x2−y2m2=1A.21 B.19 C.13 D.116.函数f(x)=ex+2+eA. B.

C. D.7.函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x+4)=f(x)，当x∈[0,2)时，f(x)=x，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2025)=(

)A.0 B.1 C.112 D.1138.已知x>0，y>0，且ex=x2A.y>e2 B.y2>ex+2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列等式恒成立的是(

)A.cos(π+x)=−cosx B.sin(x+π2)=−cosx

10.已知ω∈R，函数f(x)=(x−3)2⋅sin(ωx)，存在常数a∈R，使得f(x+a)为偶函数，则A.π6 B.π4 C.π311.定义：μ=cos2(θ1−θ0)+cos2(θ2A.14 B.12 C.34三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.函数f(x)=x2+1x13.已知向量a=(1,cosx)，b=(sinx,−1)，若a⊥b，则|14.若函数y=f(x)满足在定义域内的某个集合A上，对任意x∈A，都有ex[f(x)−ex]是一个常数a，则称f(x)在A上具有M性质.设y=g(x)是在区间[−2,2]上具有M性质的函数，且对于任意x1，x2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若a3=S5，a2a4=S4．

(Ⅰ16.(本小题15分)

设函数f(x)=(sinx+cosx)2+3sin(2x+5π2)．

(1)求函数f(x)的最小正周期T和单调递减区间；

(2)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，17.(本小题15分)

如图，在多面体ABCDEF中，正方形ABCD与梯形ADEF所在平面互相垂直，已知AF//DE，AD⊥AF，AF=AD=12DE=1．

(1)求证：EF⊥平面CDF；

(2)求平面CDF与平面BCE的夹角的余弦值．18.(本小题17分)

如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD，3AB=4BC，sin∠ACB=23，DC=2．

(1)求∠DAC的大小；

(2)求△ACD的面积的最大值；

(3)若cos∠ADC=19.(本小题17分)

对于函数y=f(x)的导函数y′=f′(x)，若在其定义域内存在实数x0，t，使得f(x0+t)=(t+1)f′(x0)成立，则称y=f(x)是“跃点”函数，并称x0是函数y=f(x)的“t跃点”．

(1)若m为实数，函数y=sinx−m，x∈R是“π2跃点”函数，求m的取值范围；

(2)若a为非零实数，函数y=x3−2x2+ax−12，x∈R是“2跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“2跃点”，求a的值；

(3)参考答案1.C

2.B

3.D

4.D

5.B

6.D

7.B

8.B

9.AC

10.AD

11.BC

12.y=x+1

13.614.[−e15.解：(Ⅰ)Sn是公差d不为0的等差数列{an}的前n项和，若a3=S5，a2a4=S4．

根据等差数列的性质，a3=S5=5a3，故a3=0，

根据a2a4=S4可得(a3−d)(a3+d)=(a3−2d)+(a3−d)+a3+(a3+d)，

整理得16.解：(1)函数f(x)=2sinxcosx+3cos2x+1

=sin2x+3cos2x+1

=2sin(2x+π3)+1，

所以函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π；

令2kπ+π2≤2x+π3≤2kπ+3π2，k∈Z，

解得kπ+π12≤x≤kπ+7π12，k∈Z，

所以函数f(x)的单调递减区间为[kπ+π12,kπ+7π12](k∈Z)；

(2)在锐角△ABC中，由3asinA=bcosB，

利用正弦定理得317.(1)证明：因为AF/​/DE，AD⊥AF，

所以DE⊥AD，

又平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF=AD，DE⊂平面ADEF，

所以DE⊥平面ABCD，

因为AD，CD⊂平面ABCD，

所以DE⊥AD，DE⊥CD，

由正方形ABCD知，AD⊥CD，

故以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则D(0,0,0)，C(0,1,0)，E(0,0,2)，F(1,0,1)，B(1,1,0)，

所以EF=(1,0,−1)，DC=(0,1,0)，DF=(1,0,1)，

设平面CDF的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅DC=y=0n⋅DF=x+z=0，

取x=1，则y=0，z=−1，所以n=(1,0,−1)，

所以EF=n，

所以EF⊥平面CDF．

(2)解：由(1)得CB=(1,0,0)，CE=(0,−1,2)，

设平面BCE的法向量为m=(a,b,c)，则m⋅CB=a=0m⋅CE=−b+2c=0

取c=1，则a=0，b=2，所以m=(0,2,1)，

由(1)知平面CDF的法向量为n18.解：(1)在△ABC中，由正弦定理得ABsin∠ACB=BCsin∠BAC，

因为3AB=4BC，sin∠ACB=23，所以sin∠BAC=34×23=12，

因为AB⊥AD，所以∠BAC为锐角，可得∠BAC=π6，

所以∠DAC=π2−∠BAC=π3；

(2)在△ACD中，DC=2，

由余弦定理得DC2=4=AC2+AD2−2AC⋅AD⋅cos∠DAC=AC2+AD2−AC⋅AD≥AC⋅AD，

19.解：(1)函数y=sinx−m的导函数y′=cosx，

若函数y=sinx−m是“π2跃点“函数，则方程sin(x0+π2)−m=(π2+1)cosx0有解，

即−m=π2cosx0有解，

又cosx0∈[−1,1]，

所以−m∈[−π2,π2]，

所以m∈[−π2,π2].

(2)函数y=x3−2x2+ax−12的导函数y′=3x2−4x+a．

若该函数是“2跃点“函数，

则方程(x+2)3−2(x+2)2+a(x+2)−12=3(3x2−4x+a)①有解，

即x3−5x2+(a+16)x−a−12=0有解，

所以(x−1)(x2−4x+a+12)=0有解，

当x=1时，方程(x−1)(x2−4x+a+12)=0成立，

所以x=1是方程的一个实数根，

当x≠1时，x2−4x+a+12=0②，

当a=−8时，方程②有两个相等的实数根2，

此时方程①的根为1，2，2，

所以函数有两个不同的“2跃点“，

当a>−8时，方程②无解，

此