2024-2025学年山西省运城市盐湖第五高级中学高三（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年山西省运城市盐湖第五高级中学高三（上）开学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列说法正确的是(

)A.⌀∈{0} B.0⊆N C.13∉Q 2.在复平面内，设i是虚数单位，则复数1−i20242+i的共轭复数对应的点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.设x，y>0且x+2y=40，则2xy的最大值是(

)A.400 B.100 C.40 D.204.已知空间向量a和b的夹角为120°，且|a|=2，|b|=5，则(A.12 B.8 C.4 D.145.已知a，b∈R，则“2−a<2−b”是“aA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.若函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(2−x)=f(x)，f(1)=2，则f(1)+f(2)+…+f(30)=(

)A.2 B.0 C.60 D.627.已知函数f(x)=x2−2x,x≥a−A.存在实数a，使函数f(x)为奇函数

B.对任意实数a和k，函数y=f(x)+k总存在零点

C.对任意实数a，函数f(x)既无最大值也无最小值

D.对于任意给定的正实数m，总存在实数a，使函数f(x)在区间(−1,m)上单调递减8.两名男生，一名女生排成一排合影，则女生站在中间的概率是(

)A.13 B.16 C.12二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=|sin(2x+π4A.π2是函数f(x)的周期

B.函数f(x)在区间(0,π6)上单调递增

C.函数f(x)的图象可由函数y=|sin2x|向左平移π8个单位长度得到f(x)=|sin10.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P是正方体的上底面A1B1C1A.三棱锥Q−PCD的体积是定值

B.存在点P，使得PQ与AA1所成的角为60°

C.直线PQ与平面A1ADD1所成角的正弦值的取值范围为(0,211.已知线段AB是圆C：(x−1)2+(y−3)2=4的一条动弦，G为弦AB的中点，|AB|=23，直线l1：mx−y+3m+1=0与直线A.弦AB的中点轨迹是圆

B.直线l1，l2的交点P在定圆x2+y2+4x+2y=0上

C.线段PG三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线L过F且与C交于A、B两点，若|AF|=3|BF|，则L的方程为______．13.已知二项式(3x+1x)n(n∈N14.函数f(x)定义域为D，若对任意x∈[0,a]⊆D，均有f(x)≥f(xk)(k∈N∗)成立，且f(0)=0，则称函数f(x)为区间[0,a]上的k阶无穷递降函数.根据上述定义，已知函数f(x)=−cos3x+1，那么函数f(x)在[0,2π]上______(填“是”或“不是”)2阶无穷递降函数；若函数f(x)在[0,a]上是四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题14分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c−2bcosA=b．

(1)证明：A=2B；

(2)若c=57，cosB=3416.(本小题14分)

如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC．

(1)求证：PQ//平面BCD．

(2)若三角形BCD为边长为2的正三角形，BD=DA，求异面直线BM和AC所成角的余弦值．17.(本小题15分)

某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：[45,55)，[55,65)，[65,75)，[75,85)，[85,95].根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值X服从正态分布N(μ,σ2)，并把质量指标值不小于80的产品称为A等品，其它产品称为B等品.现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图．

(1)根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差s的近似值为11，用样本平均数x−作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值.若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为A等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)；

(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−σ<ξ<μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ<ξ<μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ<ξ<μ+3σ)≈0.9973.)

(2)(i)从样本的质量指标值在[45,55)和[85,95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85,95]的芯片件数为η，求η的分布列和数学期望；

(ii)该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装.已知一件A等品芯片的利润是m(1<m<24)元，一件B等品芯片的利润是ln18.(本小题15分)

已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)与椭圆x225+y25=1共焦点，点M、N分别是以椭圆半焦距为半径的圆O与双曲线C的渐近线在第一、二象限的交点，若点19.(本小题19分)

在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“A型扩展”.如将数列a，b(a,b=1,2,3⋯,8,9)进行“A型扩展”，第一次得到数列a，ab，b：第二次得到数列a，a2b，ab，ab2，b；…设第n次“A型扩展”后所得数列为a，x1，x2，⋯，xt，b(其中t=2n−1)，并记an=logab(a⋅x1⋅x2⋯⋯xt⋅b)；在数列的每相邻两项之间插入后项与前项的商，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“B型扩展”.即将数列a，b(a,b=1,2,3⋯,8,9)进行“B型扩展”，第一次得到数列a,ba,b；第二次得到数列a,ba2,ba,a,b：…设第n次“B型扩展”后所得数列为a，y1，y2，⋯，yt，b(其中t=2n−1)，当a≠b时，记bn=logba(a⋅y1⋅y2⋯⋅yt⋅b)．

(1)当a=1，b=2时，求数列参考答案1.D

2.C

3.A

4.D

5.D

6.A

7.B

8.A

9.ACD

10.ACD

11.ABD

12.y=−3(x−1)13.135

14.不是

π215.(1)证明：因为c−b=2bcosA，

由正弦定定理可得：sinC−sinB=2sinBcosA，

在△ABC中，C=π−A−B，

所以sinC=sin[π−(A+B)]−sinB=2sinBcosA，

即sin(A+B)−sinB=2sinBcosA，

而sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，

整理得sinAcosB−cosAsinB=sinB，

即sin(A−B)=sinB，

又A，B是△ABC的内角，

所以A，B∈(0,π)，A−B∈(0,π)，

所以A−B=B或A−B+B=π(舍去)，

即A=2B；

(2)解：由cosB=34及B∈(0,π)可知，sinB=1−cos2B=1−(34)2=74，

由A=2B可知，cosA=cos2B=2cos2B−1=2×(34)2−1=18，16.解：(1)证明：如图所示，取BD中点O，连接OP，

∵P是BM中点，

∴OP//DM，2OP=DM，

取CD的四等分点H，使DH=3CH，

∵AQ=3QC，

∴QH//DA，4QH=AD，

∴2QH=MD=2PO，QH//PO，

∴四边形OPQH为平行四边形，

∴QP//OH，

∵PQ⊄平面BCD，OH⊂平面BCD，

∴PQ/​/平面BCD．

(2)取CD的中点E，连接ME，则ME/​/AC，

则∠BME或其补角为异面直线BM和AC所成的角，

∵AD⊥平面BCD，BD，CD⊂平面BCD，

∴AD⊥BD，AD⊥CD，即BM=5,EM=2,BE=3，

∴EM2+BE2=BM217.解：(1)由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为：x−=10×(0.01×50+0.025×60+0.04×70+0.015×80+0.01×90)=69，

即μ≈x−=69，又因为σ≈s≈11，

所以X∼N(69,112)，

因为质量指标值X近似服从正态分布N(69,112)，

所以P(X≥80)=1−P(69−11<X<69+11)2=1−P(μ−σ<X<μ+σ)2≈1−0.68272≈0.16，

所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为A等品的概率约为0.16；

(2)(i)(0.01+0.01)×10×100=20，

所以所取样本的个数为20件，质量指标值在[85,95]的芯片件数为10件，

故η可能取的值为0，1η0123P215152所以η的数学期望E(η)=0×219+1×1538+2×1538+3×219=32；

(ii)设每箱产品中A等品有Y件，则每箱产品中B等品有(100−Y)件，

设每箱产品的利润为Z元，

由题意知：Z=mY+(100−Y)ln(25−m)=(m−ln(25−m))Y+100ln(25−m)，

由(1)知：每箱零件中A等品的概率为0.16，

所以Y～B(100,0.16)，

所以E(Y)=100×0.16=16，

所以E(Z)=E[(m−ln(25−m))Y+100ln(25−m)]=16(m−ln(25−m))+100ln(25−m)=16m+84ln(25−m)，

令f(x)=16x+84ln(25−x)(1<x<24)，

则f′(x)=16−8425−x，

令f′(x)=0得，x=79418.解：(1)在椭圆x225+y25=1中，因为a2=25，b2=5，a2−b2=20=25，

所以椭圆焦点为(±25,0)，所以双曲线的焦点坐标为(±25,0)．

又因为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax，

⊙O的方程：x2+y2=20．

联立得y=±baxx2+y2=20，

解得x2+b2a2x2=20，x=±20a2a2+b19.解：(1)将数列1，2进行第一次“A型拓展“得到1，2