专题08韦达定理应用问题(原卷版+解析)

2023年中考不常考满分当成宝数学10个特色专题精炼（中等难度）专题08韦达定理应用问题1.（2020湖北天门）关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（）A. B. C.或1 D.或42.（2020贵州遵义）已知，是方程的两根，则的值为（）A.5 B.10 C.11 D.133.（2021黑龙江绥化）已知是一元二次方程的两个根，则__________．4.（2022内蒙古呼和浩特）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（）A.4045 B.4044 C.2022 D.15.（2022四川眉山）设，是方程的两个实数根，则的值为________．9.已知α，β是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x+1＝0两个实根，且满足（α+1）（β+1）＝m+1，则m的值为．6．（2021湖北鄂州）已知实数a、b满足+|b+3|＝0，若关于x的一元二次方程x2﹣ax+b＝0的两个实数根分别为x1、x2，则+＝．10.（2021南京）设是关于x的方程的两个根，且，则_______．7．（2021湖南永州）若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．现已知一元二次方程px2+2x+q＝0的两根分别为m，n．（1）若m＝2，n＝﹣4，求p，q的值；（2）若p＝3，q＝﹣1，求m+mn+n的值．8.已知关于的一元二次方程．（1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根，，且，求的值．9.已知关于x的一元二次方程有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）若，求k的值．10.（2020湖北鄂州）已知关于x方程有两实数根．（1）求k的取值范围；（2）设方程两实数根分别为、，且，求实数k的值．11.已知关于的一元二次方程．（1）求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根，满足，求的值．12.（2020湖北黄石）已知：关于x的一元二次方程有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）设方程的两根为、，且满足，求m的值．13．（2021湖北荆门）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2两实数根．（1）若x1＝1，求x2及m的值；（2）是否存在实数m，满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．14．（2021湖北黄石）已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22＝12，求m的值．15.（2022湖北十堰）已知关于的一元二次方程．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根分别为，，且，求的值．2023年中考不常考满分当成宝数学10个特色专题精炼（中等难度）专题08韦达定理应用问题1.（2020湖北天门）关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（）A. B. C.或1 D.或4【答案】A【解析】通过根与系数之间的关系得到，，由可求出m的值，通过方程有实数根可得到，从而得到m的取值范围，确定m的值．∵方程有两个实数根，，∴，，∵，∴，整理得，，解得，，，若使有实数根，则，解得，所以【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系和跟的判别式，注意使一元二次方程有实数根的条件是解题的关键．2.（2020贵州遵义）已知，是方程的两根，则的值为（）A.5 B.10 C.11 D.13【答案】D【解析】先利用完全平方公式，得到，再利用一元二次方程根与系数关系：，即可求解．【详解】故选：D．【点睛】此题主要考查完全平方公式的应用和一元二次方程根与系数关系，灵活运用完全平方公式和一元二次方程根与系数关系是解题关键．3.（2021黑龙江绥化）已知是一元二次方程的两个根，则__________．【答案】【解析】运用一元二次方程根与系数的关系求解即可．∵是一元二次方程的两个根，根据根与系数的关系得：，，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟知是解题关键．4.（2022内蒙古呼和浩特）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（）A.4045 B.4044 C.2022 D.1【答案】A【解析】根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解．∵，是方程的两个实数根，∴，，【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．5.（2022四川眉山）设，是方程的两个实数根，则的值为________．【答案】10【解析】由根与系数的关系，得到，，然后根据完全平方公式变形求值，即可得到答案．根据题意，∵，是方程的两个实数根，∴，，∴．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式变形求值，解题的关键是掌握得到，．9.已知α，β是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x+1＝0两个实根，且满足（α+1）（β+1）＝m+1，则m的值为．【答案】-1【解析】根据题意可得α+β＝﹣＝﹣＝，αβ＝＝，∴（α+1）（β+1）＝αβ+α+β+1＝++1＝m+1，即m2﹣m﹣2＝0，解得m＝﹣1或m＝2，∵m﹣1≠0，∴m≠1，当m＝2时，△＝b2﹣4ac＝﹣3＜0，无实数根，故m≠2，当m＝﹣1时，△＝b2﹣4ac＝9＞0，有实数根，故m＝﹣1．6．（2021湖北鄂州）已知实数a、b满足+|b+3|＝0，若关于x的一元二次方程x2﹣ax+b＝0的两个实数根分别为x1、x2，则+＝．【答案】﹣．【解析】根据非负数的性质得出a＝2，b＝3，根据根与系数的关系可得x1+x2＝2，x1•x2＝3，将+变形为，整体代入即可求得．∵实数a、b满足+|b+3|＝0，∴a＝2，b＝﹣3，∵关于x的一元二次方程x2﹣ax+b＝0的两个实数根分别为x1、x2，∴x1+x2＝a＝2，x1•x2＝b＝﹣3，∴+＝＝﹣．10.（2021南京）设是关于x的方程的两个根，且，则_______．【答案】2【解析】先利用根与系数的关系中两根之和等于3，求出该方程的两个根，再利用两根之积得到k的值即可．由根与系数的关系可得：，，∵，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系，解决本题的关键是牢记公式，即对于一元二次方程，其两根之和为，两根之积为．7．（2021湖南永州）若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．现已知一元二次方程px2+2x+q＝0的两根分别为m，n．（1）若m＝2，n＝﹣4，求p，q的值；（2）若p＝3，q＝﹣1，求m+mn+n的值．【答案】见解析。【解析】（1）利用根与系数的关系得到2﹣4＝﹣，2×（﹣4）＝，然后分别解方程求出p与q的值；（2）利用根与系数的关系得到m+n＝﹣，mn＝﹣，然后利用整体代入的方法计算．解：（1）根据题意得2﹣4＝﹣，2×（﹣4）＝，所以p＝1，q＝﹣8；（2）根据m+n＝﹣＝﹣，mn＝﹣，所以m+mn+n＝m+n+mn＝﹣﹣＝﹣1．8.已知关于的一元二次方程．（1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根，，且，求的值．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】【分析】（1）求出△的值即可证明；（2），根据根与系数的关系得到，代入，得到关于m的方程，然后解方程即可．【详解】（1）证明：依题意可得故无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．（2）由根与系数的关系可得：由，得，解得．【点睛】本题考查了利用一元二次方程根的判别式证明根的情况以及一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=−，x1x2=．9.已知关于x的一元二次方程有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）若，求k的值．【答案】(1)；(2)【解析】(1)根据建立不等式即可求解；(2)先提取公因式对等式变形为，再结合韦达定理求解即可．【详解】(1)由题意可知，，整理得：，解得：，∴的取值范围是：．故答案为：．(2)由题意得：，由韦达定理可知：，，故有：，整理得：，解得：，又由(1)中可知，∴的值为．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程判别式、根与系数的关系、韦达定理、一元二次方程的解法等知识点，当＞0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当＜0时，方程没有实数根．10.（2020湖北鄂州）已知关于x方程有两实数根．（1）求k的取值范围；（2）设方程两实数根分别为、，且，求实数k的值．【答案】（1）k≤3；（2）．【解析】（1）根据方程有两个实数根得出△＝≥0，解之可得．（2）利用根与系数的关系可用k表示出x1＋x2和x1x2的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍．【详解】（1）∵关于x的一元二次方程有两个实数根，∴△≥0，即≥0，解得：k≤3，故k的取值范围为：k≤3．（2）由根与系数的关系可得，由可得，代入x1＋x2和x1x2值，可得：解得：，（舍去），经检验，是原方程的根，故．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根以及根与系数的关系，也考查了解一元二次方程和分式方程，注意分式方程要验根．11.已知关于的一元二次方程．（1）求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根，满足，求的值．【答案】（1）见解析（2）0，-2【解析】（1）根据根的判别式即可求证出答案；（2）可以根据一元二次方程根与系数的关系得与的、的关系式，进一步可以求出答案.【详解】(1)证明：∵，∵无论为何实数，，∴，∴无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)由一元二次方程根与系数的关系得：，，∵，∴，∴，∴，化简得：，解得，．【点睛】本题主要考查根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握概念和运算技巧即可解题.12.（2020湖北黄石）已知：关于x的一元二次方程有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）设方程的两根为、，且满足，求m的值．【答案】（1）m≥0（2）9【解析】本题主要考查了根的判别式，以及根与系数的关系，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．以及根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝−，x1•x2＝．（1）根据题意得△＝（）2−4×（−2）≥0，且m≥0，解得m≥−8且m≥0．故m的取值范围是m≥0；（2）方程的两根为、，∴=-，=-2∵∴即m+8=17解得m＝9∴m的值为9．13．（2021湖北荆门）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2两实数根．（1）若x1＝1，求x2及m的值；（2）是否存在实数m，满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．【答案】见解析。【解析】（1）先利用判别式的意义得到m≤5，再利用根与系数的关系得到x1+x2＝6，x1x2＝2m﹣1，然后利用x1＝1可求出x2和m的值；（2）利用（x1﹣1）（x2﹣1）＝得到2m﹣1﹣6＝，整理得m2﹣8m+12＝0，解得m1＝2，m2＝6，然后利用m的范围确定m的值．解：（1）根据题意得△＝（﹣6）2﹣4（2m﹣1）≥0，解得m≤5，x1+x2＝6，x1x2＝2m﹣1，∵x1＝1，∴1+x2＝6，x2＝2m﹣1，∴x2＝5，m＝3；（2）存在．∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝，∴x1x2﹣（x1+x2）+1＝，即2m﹣1﹣6＝，整理得m2﹣8m+12＝0，解得m1＝2，m2＝6，∵m≤5且m≠5，∴m＝2．14．（2021湖北黄石）已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22＝12，求m的值．【答案】见解析。【解析】（1）根据判别式的意义得到Δ＝（2m）2﹣4（m2+m）≥0，然后解关于m的不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，利用整体代入的方法得到m2﹣m﹣6＝0，然后解关于m的方程即可．【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（2m）2﹣4（m2+m）≥0，解得m≤0．故m的取值范围是m≤0；（2）根据题意得x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝12，∴（﹣2m）2﹣2（m2+m）＝12，即m2﹣m﹣6＝