2024-2025学年安徽省合肥四中高三（上）诊断数学试卷（一）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年安徽省合肥四中高三（上）诊断数学试卷（一）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x∈Z|x2<4}，B={0,−2,3}，则A∩B=A.{−1,1} B.{−2,3} C.{0} D.{−2,−1,0,1,3}2.“x<0”是“lnx+1<0”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知函数f(x)=log2(x2−ax+3a)在区间[2,+∞)A.(−∞,4) B.(−4,4) C.(−4,4] D.[−4,+∞)4.函数f(x)=−x2+(ex−A. B.

C. D.5.已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(3x−2)为偶函数，f(2x−1)为奇函数，则下列说法正确的(

)

①函数f(x)的图象关于直线x=1对称；

②函数f(x)的图象关于点(−1,0)中心对称；

③函数f(x)的周期为4；

④f(2023)=0．A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④6.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数为f′(x)，若f′(x)>13x，f(1e)=3，则关于x的不等式A.(−12,+∞) B.(−∞,−12)7.设函数f(x)=(x+a)ln(x+b)，若f(x)≥0，则a2+A.18 B.14 C.128.设a=tan0.21，b=ln1.21，c=21121，则下列大小关系正确的是(

)A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.c<a<b二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.函数f(2x)的定义域为(0,1)，则函数f(1−x)的定义域为(−1,1)

B.y=x2与y=x表示同一个函数

C.关于x的不等式(ax−a)(x+1)>0的解集为A，B={x|x≥1}，若A⊆B，则a=0

D.若−1<a+b<3，2<a−b<4，则10.已知x>0，y>0，2x+y=1，则下列说法正确的是(

)A.xy的最大值是18 B.2x+1y的最小值是8

C.4x211.已知x1，x2分别是函数f(x)=ex−1A.0<x1<12 B.lnx三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f(x)=−2x3+cex+1的图象关于点(0,1)13.已知函数f(x)=−f′(0)ex+2x+3，点P为曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线l上的一点，点Q在曲线y=xex上，则14.已知函数f(x)=x+2,x≤0,|lgx|,x>0,关于x的方程f2(x)+(m+1)f(x)−2m2+2m=0四、解答题：本题共4小题，共47分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题10分)

已知函数f(x)=ax3+bx2+cx(a>0)的极小值为−2，其导函数f′(x)的图象经过A(−1,0)，B(1,0)两点．

(1)求f(x)的解析式；

(2)若曲线y=f(x)恰有三条过点16.(本小题10分)

随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台．每生产x台，需另投入成本G(x)万元，且G(x)=2x2+80x,0<x≤40,201x+3600x−2100,40<x≤100,由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．

(1)写出年利润W(x)万元关于年产量x台的函数解析式(利润=销售收入17.(本小题13分)已知函数f(x)=xe(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和极值；(Ⅱ)已知函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称．证明当x>1时，f(x)>g(x)．18.(本小题14分)

已知函数f(x)=axex−12(a≠0)．

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)已知函数g(x)=f(x)−参考答案1.C

2.B

3.C

4.B

5.C

6.A

7.C

8.C

9.ACD

10.ACD

11.BD

12.(−∞,−1)∪(3,+∞)

13.214.[−1,0)∪(1,3]

15.解：(1)已知f(x)=ax3+bx2+cx(a>0)，函数定义域为R，

可得f′(x)=3ax2+2bx+c，

因为a>0，且f′(x)的图象经过A(−1,0)，B(1,0)两点，

所以当x<−1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；

当−1<x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；

当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

则当x=1时，函数f(x)取得极小值，极小值f(1)=a+b+c=−2，①

又因为f′(−1)=0，f′(1)=0，

所以3a−2b+c=0，3a+2b+c=0，②

联立①②，解得a=1，b=0，c=−3，

则f(x)=x3−3x；

(2)不妨设切点为(x0,y0)，

易知y0=x03−3x0，

因为f′(x)=3x2−3，

所以f′(x0)=3x02−3，

则切线方程为y−(x03−3x0)=(3x02−3)(x−x0)，

因为切线方程经过点P(1,m)，

所以2x03−3x02+m+3=0，

若曲线y=f(x)恰有三条过点P(1,m)的切线，

此时方程2x3−3x2+m+3=016.解：(1)由题意可得：当0<x≤40时，W(x)=200x−(2x2+80x)−300=−2x2+120x−300，

当40<x≤100时，W(x)=200x−(201x+3600x−2100)−300=−(x+3600x)+1800，

故W(x)=−2x2+120x−300,0<x≤40−(x+3600x)+1800,40<x≤100．

(2)若0<x≤40，W(x)=−2(x−30)2+1500，

所以当x=30时，17.(1)解：求导函数，f′(x)=(1−x)e−x，令f′(x)=0，解得x=1

由f′(x)>0，可得x<1；由f′(x)<0，可得x>1

∴函数在(−∞,1)上是增函数，在(1,+∞)上是减函数

∴函数在x=1时取得极大值f(1)=1e；

(2)证明：由题意，g(x)=f(2−x)=(2−x)ex−2，

令F(x)=f(x)−g(x)，即F(x)=xe−x−(2−x)ex−2，

∴F′(x)=(x−1)(e2x−2−1)e−x，

当x>1时，2x−2>0，∴e2x−2−1>0，∵e−x>0，∴F′(x)>018.解：(1)函数f(x)=axex−12(a≠0)的定义域为R，f′(x)=a(x+1)ex．

当a>0时，由f′(x)<0可得x<−1，由f′(x)>0可得x>−1，

此时函数f(x)的减区间为(−∞,−1)，增区间为(−1,+∞)；

当a<0时，由f′(x)<0可得x>−1，由f′(x)>0可得x<−1，

此时，函数f(x)的增区间为(−∞,−1)，减区间为(−1,+∞)．

综上所述，当a>0时，函数f(x)的减区间为(−∞,−1)，增区间为(−1,+∞)；

当a<0时，函数f(x)的增区间为(−∞,−1)，减区间为(−1,+∞)．

(2)函数g(x)=f(x)−lnxx的定义域为(0,+∞)，

因为函数g(x)=f(x)−lnxx在(0,+∞)上有两个零点，即axex−12=lnxx有两个不同的正实数根，

即2ax2ex−(x+2lnx)=0有两个不同的正实数解，

即2aex+2lnx−(x+2lnx)=0有两个不同的正实数解，

令t=x+2lnx，则2aet−t=0，可得2a=tet，

令ℎ(