2024-2025学年浙江省名校新高考研究联盟Z20名校联盟高三（上）第一次联考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年浙江省名校新高考研究联盟Z20名校联盟高三（上）第一次联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x2−x−2≤0}，B={x|2x−3<0}，则A∩B=A.[−2,1] B.[−1,32) C.(−∞,2.(2x−1x2)7的展开式中A.672 B.−420 C.84 D.−5603.已知等差数列{an}前n项和为Sn，若a7A.913 B.1213 C.754.已知随机变量X的分布列如下表所示，则E(2X+1)=(

)X123P1a1A.116 B.113 C.1435.已知函数f(x)=log2(x2−ax),a∈R，则“a≤2”是“函数f(x)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.函数f(x)=cos(ωx+π6)(ω>0)的图象在区间(0,1)上恰有一个对称中心，则A.(π6,2π3] B.(7.若某圆台有内切球(与圆台的上下底面及每条母线均相切的球)，且母线与底面所成角的余弦值为13，则此圆台与其内切球的体积之比为(

)A.74 B.2 C.32 8.设函数f(x)=a(x−1)2−1,g(x)=cosπx2−2ax，若函数ℎ(x)=f(x)−g(x)在区间A.a≤2 B.12<a≤1 C.12二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知正实数a，b，c满足2a=5bA.b+c=a B.a>b>c C.1a+110.若直线y=kx(k∈R)与圆C：(x−1)2+(y−1)2=1交于不同的两点A、BA.当k=2时，|AB|=455 B.CA⋅CB的取值范围为[−1,1]

C.|OA|11.若函数f(cosx)=1−cosnx，n∈Z，则下列说法正确的是(

)A.若n=2，则函数f(x)的最大值为2

B.若n=3，则函数f(x)为奇函数

C.存在n∈Z，使得f(sinx)=1−sinnx

D.若f(sinx)+f(cosx)=2，则n=4k+2，k∈Z三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知a,b是两个单位向量，若(3a−b13.若复数z满足z+z−=2,z⋅z−=2，则14.如图，设双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F，过F作倾斜角为60°的直线l与双曲线C的左支交于四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知三棱锥A−BCD，AD⊥底面BCD，BC⊥CD，AD=BC=CD=2，点P是AD的中点，点Q为线段BC上一动点，点M在线段DQ上．

(1)若PM//平面ABC，求证：M为DQ的中点；

(2)若Q为BC的中点，求直线DQ与平面ABC所成角的正弦值．16.(本小题15分)

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足cosB=a−c2c．

(1)若A=π3，求B；

(2)若△ABC是锐角三角形，且c=4，求17.(本小题15分)

已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为e=12，左、右顶点分别为A，B，O为坐标原点，M为线段OA的中点，P为椭圆上动点，且△MPB面积的最大值为323．

(1)求椭圆18.(本小题17分)

已知函数f(x)=xlnx(x>0)；

(1)设函数g(x)=f(x)+f(1−x)，求函数g(x)的极值；

(2)若不等式f(x)≥ax+b(a,b∈R)当且仅当在区间[e,+∞)上成立(其中e为自然对数的底数)，求ab的最大值；

(3)实数m，n满足0<m<n，求证：lnm+1<f(n)−f(m)n−m<lnn+119.(本小题17分)

混沌现象普遍存在于自然界和数学模型中，假设在一个混沌系统中，用xn来表示系统在第n个时刻的状态值，且该系统下一时刻的状态值xn+1满足xn+1=f(xn)，已知初始状态值x0∈(0,1)，其中f(x)=ax2−ax(a∈R)，这样每一时刻的状态值x0，x1，x2，⋯，xn构成数列{xn}(n∈N)．

参考答案1.B

2.D

3.D

4.C

5.B

6.C

7.A

8.C

9.BCD

10.AC

11.ACD

12.1313.1014.y=±15.解：(1)证明：连结AQ，因为PM//平面ABC，PM⊂平面ADQ，平面ADQ∩平面ABC=AQ，

则PM//AQ，又因为P是AD的中点，所以M是DQ中点．

(2)因为AD⊥底面BCD，BC⊥CD，如图建立坐标系，

则D(2,0,0)，B(0,2,0)，A(2,0,2)，Q(0,1,0)，

可得DQ=(−2,1,0)，CA=(2,0,2)，CB=(0,2,0)，

设平面ABC的法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅CA=2x+2z=0n⋅CB=2y=0，

令x=−1，则y=0，z=1，可得n=(−1,0,1)，

16.解：(1)因为cosB=a−c2c，由正弦定理可得cosB=sinA−sinC2sinC，

则2sinCcosB=sinA−sinC=sin(B+C)−sinC=sinBcosC+sinCcosB−sinC，

整理得sinC=sinBcosC−sinCcosB=sin(B−C)，

因为B，C∈(0,π)，则B−C∈(−π,π)，则C=B−C，即B=2C，

由A=π3，A+B+C=π，

即B+C=2π3，

故B+C=3C=23π，则C=29π，B=49π．

(2)因为△ABC是锐角三角形，则B=2C<π17.解：(1)由条件得e=ca=12，即a=2c，则b=3c，

则OM=12a=c，(S△BMP)max=12b(a+c)=332c2=332，

解得a=2,b=3,c=1，

所以椭圆E的方程为：x24+y23=1；

(2)由题意可知：A(−2,0)，B(2,0)，则M(−1,0)，且直线PQ与椭圆必相交，

若直线PQ的斜率不存在，可知PQ：x=−1，

联立方程x=−1x24+y23=1，解得y=±32，

不妨取P(−1,32),Q(−1,−32)，则BP=(−3,32),BQ=(−3,−318.解：(1)由函数f(x)=xlnx，得g(x)=xlnx+(1−x)ln(1−x)，0<x<1，

求导得g′(x)=1+lnx−ln(1−x)−1=lnx1−x=ln(11−x−1)，

当0<x<12时，g′(x)<0，当12<x<1时，g′(x)>0，

则函数g(x)在(0,12)上单调递减，在(12,1)上单调递增，

所以当x=12时，函数g(x)取得极小值g(12)=−ln2，无极大值．

(2)函数f(x)=xlnx，x∈[e,+∞)，求导得f′(x)=1+lnx>0，函数f(x)在[e,+∞)上单调递增，

依题意，f(e)=ae+bb≥0，即b=e−aeb≥0，解得a≤1，

于是ab=ea(1−a)=−e(a−12)2+e4≤e4，当且仅当a=12时取等号，

所以ab的最大值是e4．

(3)证明：依题意，f(n)−f(m)n−m−lnm=nlnn−mlnm−(n−m)lnmn−m=nmnm−1lnnm19.(1)解：由