2024年浙江省北斗星盟竞赛（强基）联考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024年浙江省北斗星盟竞赛（强基）联考数学试卷一、填空题：本题共12小题，每小题8分，共96分。1.已知0<m<n，关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|m<x<n}，则关于x的一元二次不等式(a+c−b)2.已知向量a、b满足|a|=1，|b|=3，且(3a3.已知tanαtan(α+π4)4.设复数z1，z2，z3，z4满足|z1−z2|=1，5.在四面体PABC中，2PD=PA+PB，5PE=2PB+3PC，2PF=−PC6.设a，b，c∈[1,2]，则(b−c)2bc7.数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=3an+1+an，则[8.已知实数a满足：①a∈[0,2π)；②存在实数b，c(a<b<c<2π)，使得a，b，c是等差数列，cosb，cosa，cosc也是等差数列.则实数a的取值范围是______．9.甲、乙两人玩游戏，规则如下：第2n−1(n∈N∗)局，甲赢的概率为23；第2n(n∈N∗)局，乙赢的概率为210.设0≤α、β≤2π，α、β≠π3,5π3，且2sinα−11.设集合A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，满足下列性质的集合称为“翔集合”：集合至少含有两个元素，且集合内任意两个元素之差的绝对值大于2.则A的子集中有

个“翔集合”．12.甲乙两人玩游戏，规则如下：两人轮流在黑板上写数字，并且当数字a和b已经出现在黑板上时，就不允许写所有满足ax+by(x,y为非负整数)形式的数，最后两人中不得不写下数字1的人为失败者.已知黑板上已有数字5和6，此时由甲开始写数字，若甲要保证必胜，那么他第一次只能够填的数字有______．二、解答题：本题共3小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。13.(本小题14分)

已知点M(−3,0)，N、P两点分别在y轴、x轴上运动，且满足MN⋅NQ=0，NP=12PQ．

(1)求Q的轨迹方程；

14.(本小题20分)

求证：关于x的方程x(x+1)(x+2)…(x+2024)−1=0有且仅有一个正实根x0，且这个实根x0满足：12024!+1015.(本小题20分)

最近的一次数学竞赛共6道试题，每题答对得7分，答错(或不答)得0分.赛后某参赛代表队获团体总分161分，且统计分数时发现：该队任两名选手至多答对两道相同的题目，没有三名选手都答对两道相同的题目.试问该队选手至少有多少人？

参考答案1.{x|12.π63.2

4.14

5.7206.1

7.1

8.(2arcsin39.9210.−11.49

12.19

13.解：(1)设点Q(x,y)，

因为NP=12PQ，且点N在y轴上，

所以N(0,−12y)，

又M(−3,0)，则MN=(3,−12y)，NQ=(x,32y)，

由MN⋅NQ=3x−34y2=0，得y2=4x，

故点Q的轨迹方程为y2=4x．

(2)设正方形ABCD在y2=4x上的三个顶点为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，

不妨设A，B在x轴的下方(包括x轴)，且y3≥0≥y2>y1，

则x1=y124，x2=y224，x3=y324，

设直线AB的斜率为k，则y14.证明：设f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+2024)−1，

易知：当x∈(0,+∞)时，f(x)单调递增，

因为f(0)=−1<0，f(1)=2025！−1>0，

所以f(x)=0有且仅有一个正实根x0，

下面先证明两个引理：

引理一：6+362024!<1+12+13+⋯+12024<10，

证明：k=120241k=1+12+i=19(12i+1+12i+2+⋯+12i+1)+11025+⋯+12024>1+12+i=19(12i+1+12i+1+⋯+12i+1)+362024!=1+12+i=192i2i+1+362024!=6+362024!，

k=120241k<k=120471k=1+12+13+i=210(12i+12i+1+……13×2i−1−1)+i=210(13×2i−1+115.解：设该队有n名选手，分别记为a1，a2，…，an，记6道题的编号依次为1，2，…，6，以编号为行、选手为列作一个6xn的方格表，

如果选手ai(i=1,2,n)答对第j(j=1,2,6)题，就将方格表中第j行第i列的小方格(j,i)的中心染成红点，

我们的问题就是在6×n的方格表中，不存在“横”6点矩形和“纵”6点矩形的情况，且至少有23个红点时，求n的最小值．

如第1列有6个红点，那么，后面各列至多有2个红点，

因为C62=15>9，于是，取第2至10列，其中第2至9列每列有2个红点，第1θ列1个红点(如图)满足题设，这说明n的最小值不大于1θ．

我们发现，可通过将第1列中某点移到此点所在行的其他列中来减少图6的列数，

如作移动(6,1)→(6,2)，可同时作移动(4,10)→(6,3)，(3,9)→(6,4)，(5,9)→(6,7)，这样便得到有23个红点的图甲，

类似地可得图乙，这说明n的最小值不大于7．

下面证明：n的最小值大于6．

对于一个恰有6列的方格表，由抽屉原理知至少有一列红点数不少于4，不妨设第1列，且第1列的前4行的小方格的中心是红点，

如果某列有2个红点，则称其为某列上的一个红点“行对”，这样在前4行中，除第1列外的5列中每列只能有一个行对．于是，前4行中总共有C42+5=11个行对．

考虑最后两行：若第1列还有红点，那么，有红点的这一行不能再有其他的红点，如第1列还有2个红点，这时能增加9个行对，6×6方格表中共有11+9=2θ个行对；

如第1列还有1个红点，不妨设第1列第5行的小方格有红点，

这时即使第6行除第1列外的其他小方格都有红点，那么，可增加C41+5×2=14个行对，6×6方格表中共有11+14=25个行对；

如第1列没有其他的红点，那么，在最后两行中最多还有两个行对，这两个行对占去了两列，在余下的三列中，每列最多有1个红点，

于是，可增加行对2×5+3×2=1