2024-2025学年广东省深圳市红岭中学高三（上）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省深圳市红岭中学高三（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设全集U={1,2,3,4,5}，集合M满足∁UM={2,4}，则(

)A.1⊆M B.4⊆M C.5∈M D.3∉M2.“ln(x−1)<0”的一个必要不充分条件是(

)A.−1<x<−1e B.x>0 C.−1<x<0 3.若a=0.20.3，b=0.30.2，c=log0.50.3，则a，A.c<a<b B.b<a<c C.a<b<c D.a<c<b4.函数f(x)=ln(x+2)x−1的图象大致是A. B.

C. D.5.已知圆C：x2+y2−4x−6y+4=0关于直线l：ax+by−1=0(ab>0)对称，则A.2 B.3 C.6 D.46.已知函数f(x)=loga[x(a−x)](a>0，且a≠1)在(1,2)上单调递增，则a的取值范围为A.(1,2] B.(1,4] C.[2,+∞) D.[4,+∞)7.若函数f(x)=2x−m,x<1x2−4mx+3m2A.[13,1) B.(−∞,0)∪[1，+∞)

C.[1,2)8.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(2−x)=0，f(1+x)=f(3−x)，当x∈[1,2]时，f(x)=x3−2x2+xA.10 B.11 C.12 D.13二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题，其中正确的是(

)A.若a>b，c>d，则ac>bd B.若ac2>bc2，则a>b

C.若a>b，且1a>110.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与A.|PQ|=2a B.PF1=−2QF1

C.C的离心率为11.用与母线不垂直的两个平行平面截一个圆柱，若两个截面都是椭圆形状，则称夹在这两个平行平面之间的几何体为斜圆柱.这两个截面称为斜圆柱的底面，两底面之间的距离称为斜圆柱的高，斜圆柱的体积等于底面积乘以高.椭圆的面积等于长半轴与短半轴长之积的π倍，已知某圆柱的底面半径为2，用与母线成45°角的两个平行平面去截该圆柱，得到一个高为6的斜圆柱，对于这个斜圆柱，下列选项正确的是(

)A.底面椭圆的离心率为22

B.侧面积为242π

C.在该斜圆柱内半径最大的球的表面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知f(x)=2−x−2x13.已知a、b、c分别为△ABC的三个内角A、B、C的对边，a=2，且(a+b)(sinA−sinB)=(c−b)sinC，则△ABC面积的最大值为______．14.已知函数f(x)=xa−logb四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

若一个数列从第二项起，每一项与前一项的差值组成的新数列是一个等差数列，则称这个数列是一个“二阶等差数列”，已知数列{an}是一个二阶等差数列，其中a1=1，a2=3，a3=6．

(1)求a4及{an}16.(本小题15分)

如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AB//CD，PQ//CD，AD=CD=DP=2PQ=2AB=2，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点．

(1)求证：EF//平面CPM；

(2)若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面QPM所成的角为π6，求QN：NC的值．17.(本小题15分)

已知函数f(x)=x(ex−ax2).

(1)若曲线y=f(x)在x=−1处的切线与y轴垂直，求y=f(x)的极值．

(2)若f(x)在18.(本小题15分)

新高考数学试卷出现多项选择题，即每小题的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.若正确答案为两项，每对一项得3分：若正确答案为三项，每对一项得2分；

(1)学生甲在作答某题时，对四个选项作出正确判断、判断不了(不选)和错误判断的概率如表：选项作出正确判断判断不了(不选)作出错误判断A0.80.10.1B0.70.10.2C0.60.30.1D0.50.30.2若此题的正确选项为AC.求学生甲答此题得6分的概率：

(2)某数学小组研究发现，多选题正确答案是两个选项的概率为p，正确答案是三个选项的概率为1−p(0<p<1).现有一道多选题，学生乙完全不会，此时他有两种答题方案：Ⅰ.随机选一个选项；Ⅱ.随机选两个选项．

①若p=12，且学生乙选择方案Ⅰ，分别求学生乙本题得0分、得2分的概率．

②以本题得分的数学期望为决策依据，p的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ19.(本小题17分)

定义：若椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的两个点A(x1,y1)，B(x2,y2)满足x1x2a2+y1y2b2=0，则称A、B为该椭圆的一个“共轭点对”，记作[A,B].已知椭圆C的一个焦点坐标为F1(−22,0)，且椭圆C过点A(3,1)．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)求“共轭点对”[A,B]中点B所在直线l的方程；

(3)设O为坐标原点，点P参考答案1.C

2.B

3.C

4.D

5.D

6.D

7.C

8.B

9.BCD

10.ACD

11.ABD

12.(−∞,−3)∪(1,+∞)

13.314.(e15.解：(1)由a1=1，a2=3，a3=6，得a2−a1=2，a3−a2=3，(a3−a2)−(a2−a1)=1，

由数列{an}是一个二阶等差数列，得{an+1−an}是以2为首项，1为公差的等差数列，

16.解：(1)证明：连接EM，由AB/​/CD，PQ/​/CD，得AB/​/PQ，

又AB=PQ，则四边形PABQ为平行四边形，

由点E和M分别为AP和BQ的中点，得EM/​/AB且EM=AB，

而AB/​/CD，CD=2AB，F为CD的中点，则EM//CF且EM=CF，

四边形EFCM为平行四边形，则EF/​/MC，

又EF⊄平面MPC，CM⊂平面MPC，

所以EF/​/平面MPC，得证；

(2)由PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，得直线DA，DC，DP两两垂直，

以D为原点，直线DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,1,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，Q(0,1,2)，M(1,1,1)，

PM=(1,1,−1),PQ=(0,1,0),CM=(1,−1,1),PC=(0,2,−2)，

设n=(x,y,z)为平面PQM的法向量，则n⋅PM=x+y−z=0n⋅PQ=y=0，

取z=1，得n=(1,0,1)，

设QN=λQC(0≤λ≤1)，即QN=(0,λ,−2λ)，

则N(0,λ+1,2−2λ)，DN=(0,λ+1,2−2λ)，

由直线DN与平面PMQ所成的角为π6，得sinπ17.解：(1)f′(x)=ex−ax2+x(ex−2ax)=ex+xex−3ax2，

所以f′(−1)=−3a，因为曲线y=f(x)在x=−1处的切线与y轴垂直，

所以f′(−1)=−3a=0，解得a=0，

所以f(x)=xex，f′(x)=(x+1)ex，

当x∈(−∞,−1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，

当x∈(−1,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

所以f(x)在x=−1处取得极小值为f(−1)=−1e，无极大值．

(2)若f(x)=x(ex−ax2)在(0,+∞)只有一个零点，即函数g(x)=ex−ax2在(0,+∞)只有一个零点，

即方程ex−ax2=0在(0,+∞)只有一个根，即a=exx2在(0,+∞)只有一个根，

即函数y=a与ℎ(x)=exx218.解：(1)设事件M表示“学生答此题得6分”，

即对于选项A、C作出正确的判断，且对于选项B、D作出正确的判断或判断不了，

所以P(M)=0.8×(0.7+0.1)×0.6×(0.5+0.3)=0.3072；

(2)①记X为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，

P(X=0)=12×2C41+12×1C41=38,P(X=2)=12×C31C41=38；

②对于方案I：记ξ为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，

则ξ的所有可能取值为0，2，3，

则P(ξ=0)=p×2C41+(1−p)×1C41=1+p4，

P(ξ=2)=(1−p)×C31C41=34(1−p)19.解：(1)已知椭圆C的一个焦点坐标为F1(−22,0)，且椭圆C过点A(3,1)，

所以c=229a2+1b2=1a2=b2+c2，

解得a2=12，b2=4，

则椭圆C的标准方程为x212+y24=1；

(2)不妨设[A,B]中点B的坐标为B(x,y)，

已知椭圆C上的点A(3,1)，

由“共轭点对”[A,B]的定义