高考数学一轮复习：函数的概念与性质讲义

知识点一函数的概念：定义域

【基础指数框架】

1.当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合，求函数定义域的一般方

法有：

(1)分式的分母不为;

(2)偶次根式的被开方数；

(3)y=x°要求；

(4)指数函数的底数,对数函数的底数,真数；

(5)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公

共部分的集合；

(6)由实际问题建立的函数，还要符合实际问题的要求.

2.已知/(%)的定义域，求/[g(x)]的定义域，其实质是由g(x)的取值范围，求出x的取值范围；

3.已知/[g(x)]的定义域，求/(幻的定义域，其实质是由x的取值范围，求g(x)的取值范围.

【例题分析】

3%2

例1.函数/(%)="：的定义域是.

1

例2.函数/(x)=(1-%)-2+(2x-l)°的定义域是------------

例3.已知"X)的定义域为(-1,0),则函数/(2x+l)的定义域为.

例4.若函数y=f(3-2x)的定义域为[―1,2],则函数y=/(x)的定义域是.

例5.已知函数的定义域为[—2,3],则函数/(2x+l)的定义域为.

【变式训练】

1.函数/(%)=，+6的定义域为.

X—1

2.函数/(x)=(x-1)°+VI+2的定义域为.

3.已知函数八力的定义域为(-M)，则函数8(力=/]£|+小一2)的定义域为.

4.已知/(x2-1)定义域为[0,3],则/(2^-1)的定义域为.

知识点二函数的概念：对应法则

【基础指数框架】

1.待定系数法求函数解析式

一次函数解析式：;

二次函数解析式：;

三次函数解析式：;

反比例函数解析式：;

指数函数解析式：;

对数函数解析式：;

幕函数解析式：.

2换元法求函数解析式

换元法，已知/'他⑺)〜。：)，求/(X),令/=g(x),解出X,代入Mx)中，得到一个含/的解析式，即

为所求解析式.

3.配凑法求函数解析式

配凑法，已知〃g(x))=/7(x),求/(%),从/(g(尤))的解析式中配凑出“g(x)”，即用g(x)来表示

/?(%)，然后将解析式中的g(x)用X代替即可.利用这两种方法求解时一定要注意g(x)的取值范围的限定.

4.解方程组法求函数解析式

已知了(无)与满足的关系式，要求/(无)时，可用g(x)代替两边所有的X,得到关于/(尤)与

/但⑺)的方程组，消去"g(无))解出了(无)即可.常见的有“X)与/(—%),/(无)与/

【例题分析】

例1.已知二次函数“尤)满足/(x+l)+/(x—1)=2/—2x,试求：求〃无)的解析式；.

1Y

例2.已知/(一)=——，则/(x)的解析式为.

X1-x

例3.已知函数/(《-1)=冗-1,则函数/(九)的解析式为.

例4.已知/(XH)=---,则f(x)=.

XX

例5.已知/(%二)=/+二，则/(x+1)的解析式为.

XX

例6.已知函数/(X)满足/(%)+2/(-%)=3.x+X2,则f(x).

例7.已知函数/(X)的定义域为(0,+8),且=-则/(X)=

【变式训练】

1.已知2/(x—1)—"1—x)=2f—1,求二次函数“力的解析式；

2.若函数/(«+1)=x—«,则/(x)的解析式为.

3.已知/(xH|=H了,求/(%)的解析式.

VJCJJC

4.已知函数/(%)满足/(x)-=x,则〃x)=.

知识点三函数的概念：值域

【基础指数框架】

1.观察法:主要针对一些简单函数，或作简单变形后观察，即可求出值域或最值.

2.配方法(对称轴法)：对于型如/(x)=依2+bx+c,x&[m,n\的形式的二次函数，利用配方法或直接利用对称轴

b

x=--完成，可以结合图象讨论单调性完成求值域或最值.

2a

3.换元法:代数换元法，三角换元法，运用换元法解题时要注意确定新元的取值范围和整体置换的策略.

使用换元法时，一般来说，需求两次值域，一次在换元时求新元的取值范围，一次在换元后求新函数值域.

(1)y=ax+b+kjcx+d,令1=Jcx+d.

(2)y=afM,令"=/(x),则y=a".

⑶y=logaf(x),令u=f(x).

(4)y=/(优)，令t=a，,则y=/(/).

(5)y=/(logax),令t=log°x,则y=/«).

(6)y-a~x+o-2',令a*+a-*=/,则y=『—2.

______________产一2

(7)令y/l-x+y/l+x=t,贝!JJl-X2=-----.

2

21

(8)y=ax+b+yjc-x,ax=csin1,aG(或令x=ccosa,ae[0,»]).

1

(9)令sinx+cosx=f,贝i|sinxcosx=----

2

4.图象法(数形结合法)

①一些简单函数及分段函数的求值域或最值常利用图象完成.

②求/(x)=max{/(x),力(%),...,力(x)}或/(x)=min{<(x)/(x),.../(x)}的值域，可先分别作出其中所含函

数：/(x),力(x),.，力(x)的图象，再利用它们的交点分段确定/(x)的图象，从而确定值域或最值.

③根据函数表达式的几何意义【分式转化为斜率，平方和(平方根)转化为距离等】，作出图象，求出值域或最值.

5.单调性法：若函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域或最值.(优先考虑！)

6.有界性法：含丁、同、«、〃晨sinx、cosx的函数，若可用y表示它们，则常利用其有界性来求值域或最

值.（先分离常数，再利用有界性分析）

7.基本（均值）不等式法：利用。+b22必（一正二定三相等）等公式来求值域或最值，一定要看等号能否成立，

否则用数形结合法、单调性法完成.

8.判别式法：用于y=/（无）=+..（片+团W0,分子、分母无公因式，且x无人为限制.）

a2x+b2x+c2

先化成（。2丁—％）/+（2丁一仇）》+（。2丁—。1）=0,再运用A»0求值域（但要注意讨论二次项系数为0的情况）.

9.导数法：通过求导研究函数的单调性，确定极值与端点值，从而得出值域或最值.

10.分类讨论法：对于含参数的函数求值域或最值，最常用的方法是数形结合、分类讨论。

通常先作出函数的一般图象（形状），再由函数图象左右移动悟出讨论标准！

二次函数/（幻=。f+6%+。，xe[/必川的最值问题（对称轴含参数问题、区间含参数问题）是最典型的，注意是

否需要讨论开口方向

6

-

端

S两

①对称轴X五加，九的三种位置关系;

-

。-

中

T^'A占

~小

五”士的三种位置关系;

②对称轴Xrr

_2

同理:对于函数/（x）=H]-4+b,xe[和,川的最值问题（对称轴含参数问题），可参照上述思路解决.

【例题分析】

例1.y^x2-4x+6,xe[1,5]的值域为.

1

例2.函数y=2-31的值域是

例3.函数/（%）=（5*+2,的值域为-

例4.函数y=x+2五+3的值域为o

2-2x

例5.已知函数〃%）=--（x>l）,则它的值域为。

x+1

无2+4

例6.已知函数/(%)=-----，则该函数在(1,3]上的值域是

x

+2Y+2

例7.函数y=x4的值域是__________-

X+1

【变式训练】

1.函数y=—/+4x—2,xe口,4]的值域是

2.函数/(x)=—2%+3的值域是.

3.函数y=3/2的值域为.

4.函数y=上二，xe[0,+(»)的值域为__________.

X+1

5.函数>=生二xe[2,+9)的值域为__________.

X-1

知识点四函数的性质：单调性

【基础指数框架】

1.单调性的定义：增（减）函数:

一般地，设函数y=/（x）的定义域为A,区间/7A.如果对于区间/内的任意两个值X1,%，当石＜々时，都

有，那么就说y=/（x）在区间/上是单调增函数，/称为y=/（x）的单调增区间。

注意：（1）“任意”、“都有”等关键词；

（2）单调性、单调区间是有区别的；

2.单调区间与单调性：如果函数y=/（x）在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=/（x）在这一区间

具有（严格的）单调性，区间。叫做y=/（x）的单调区间.

3.常见函数的单调性：

（1）一次函数丁=履+/?（左wO）,当人＞0时，函数在H上___________；当左＜0时，函数在R上____________.

（2）二次函数y=ox2+bx+c（aw0）,当。＞0,函数开口向,函数在［一oo,-上_________,函数

在+上__；当a＜0,函数开口向函数在,哈一白］上—函数在

----,+co上_________.

12aJ-

k

⑶反比例函数y=2（左wO）,当左＞0时，函数在（—8,0）上_________,在（0,+oo）上_________；当左＜0时,

函数在（73,0）上________,在（0,+8）上__________.

•注意：在（-8,0）上单调递增，在（0,+8）上也单调递增，在（YO,0）D（0,+。。）上不一定单调递增

4.单调性的求解：（1）导数法；（2）作差法；（3）作商法.

5.复合函数的单调性：同增异减，注意定义域.

6.单调性的应用：

已知函数“X）的定义域为。

（1）若/（%）在定义域上单调递增，且只需满足且

（2）若“X）在定义域上单调递减，且只需满足且

【例题分析】

例1.下列函数值中，在区间（0,+8）上不星单调函数的是（）

A.y=xB.y-x1C.y=x+\[xD.y=|x—1|

例2.求的函数丁=卜/+2%+1的增区间,减区间.

例3.已知函数“X)为(0,+8)上的增函数，若a)>/(a+3),则实数。的取值范围为.

例4.己知函数/(%)是定义在区间[0,+8)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足—的x的

取值范围是.

例5.已知函数/(%)是R上的增函数，A(0,-3),6(3,1)是其图象上的两点，那么不等式—3</(%+1)<1的解

集的补集是(全集为R).

例6.函数y=J-2X+8的单调增区间为.

例7.函数/(x)=--~-的单调增区间是.

1+x-x

【变式训练】

1.函数y=3x—2/+1的单调递增区间是.

X+1]20

2.函数/(%)=<的单调减区间为.

—x—1x<0

3.函数/(x)是R上的减函数，若a=fV,Z?=/(1.5),c=/((g]),则大小关系为.

》x<2

4.设函数/(无)={2'，若/(a+l)2/(2a—1),则实数。的取值范围是_______.

[x,x>2

5.已知函数/(x)=lnx+x,若/(a?-〃〃+3),则正数。的取值范围是.

6.函数/(x)=&_4X+3的单调递减区间为.

7.设/(X)为定义在R上的减函数，且/(x)>0,则下列函数：

(1)y=3-2/(%)；(2)y=l+-^—；(3)y=f\x)-,(4)y=2+/(x)

/(x)

其中为R上的增函数的序号是.

知识点五函数的性质：奇偶性

【基础指数框架】

1.函数的奇偶性

一般地，如果对于函数/(X)的定义域内任意一个X,都有,那么函数尤)就叫做偶函数.

一般地，如果对于函数/(X)的定义域内任意一个X,都有,那么函数/(九)就叫做奇函数.

2.函数具有奇偶性的条件

(1)①首先考虑定义域是否关于原点对称，如果定义域不关于原点对称，则函数是非奇非偶函数；

②在定义域关于原点对称的前提下，进一步判定/(-X)是否等于土/(X).

(2)分段函数的奇偶性应分段说明了(-x)与/(尤)的关系，只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系

时，才能判定函数的奇偶性.

(3)若奇函数的定义域包括o,则y(o)=o.

3.判断奇偶性的步骤

(1)首先判断函数的定义域是否关于原点对称，

(2)在定义域关于原点对称的情况下，判断与之间的关系

4.利用奇偶性求解析式

利用奇偶性求函数的解析式，已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法

是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代

入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可.

5.利用奇偶性求参数

(1)定义法：若/(%)为奇函数，则,若/(x)为偶函数,则o

⑵特殊值法：若〃尤)具有奇偶性，则定义域关于对称；若"可为奇函数，则/(0)=，

(3)常见的两个函数：若一次函数,=履+人为奇函数，则；

若二次函数y为偶函数，则；

6.利用单调性、奇偶性比较大小

利用奇偶性比较大小，通过奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性一致，偶函数在关于原点对称的两个区间

上的单调性相反，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上比较大小.

【例题分析】

例1.判断下列函数的奇偶性.

]_________

(1)f(x)=2x-\--；(2)_f(x)=2—|x|；(3).(x)=J*_]+J_.2；(4)_f(x)=----.

XX1

例2.已知/'(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=3x2+2x-l,则当尤<0时，f(4=.

例3.已知函数y=/(力在R上为偶函数，且当行。时，f(x)=x2-2x,则当x<0时，/(力的解析式是

例4.若函数“X)=公2+(24-a-1卜+1为偶函数，则实数a的值为.

例5.若函数/(x)=艺三(。eR)是奇函数，则a的值为()

A.1B.0C.-1D.±1

例6.若函数丁=/(幻(》6火)是偶函数，且/(1)</(3),则/(—3)与/(—1)的大小关系为.

例7.设偶函数/(x)在(0,+oo)上为减函数，且/(2)=0,则不等式,(x)+/(—%)>o的解集为()

A.(―2,0)U(2,+8)B.(—，―2)U(0,2)C.(-<»,-2)U(2,+<»)D.(-2,0)U(0,2)

例8.若函数/(x)是定义在R上的偶函数，在xe(-oo,0]上是减函数，且/(2)=0,则使得/(x)<0的x的取值

范围是.

【变式训练】

1.判断下列函数的奇偶性:

3_2i

⑴/(x)=X_%；(2)/(x)=x---;(3)/(X)=X2-X3；(4)/(x)=|x+2|+|x-2|.

x-1X

2.已知函数y=/(x)的图象关于原点对称，且当x>0时，/(%)=f—2x+3.则/(%)在R上的表达式为

3.已知偶函数/(%)在x>0时的解析式为/(x)=d+d,则尤<o时，/(力的解式为.

4.已知函数/(力=%2+"(/?€尺)为偶函数，则的值为.

5.已知偶函数/(幻在区间[0,+8)单调递增，则满足了(2尤—)的x取值范围是()

2、」I2、「「12、

A(B.[一，一)C.(一,一)D.[-9一)

r小332323

6.已知/(x)为奇函数，当xe(—叫0]时，/(x)=x+2,则/(x)〉0的解集为()

A.(—8,-2)B.(2,+8)C.(-2,0)U(2,+°°)D.-2)U(0,2)

7.若/(幻为奇函数，且在xe[0,+oo)内是增函数，又/(—3)=0,则W(x)<0的解集为.

知识点六函数的性质：周期性与对称性

【基础指数框架】

1.周期性：对任意的尤e。，都有/(x+T)=/(x),则T叫做函数/(x)的周期.

①若f(x+a)=f(x)，周期T=；

②若/(x+a)=—/(x)(相反)，周期T=；

③若/(x+a)=—'―(。工0)(互倒)，周期T=_____________；

/(x)

④若/(x+a)=——L(awO)(反倒)，周期T=_____________；