2024-2025学年北京市房山区高三（上）入学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市房山区高三（上）入学数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|−3<x<1}，B={x|−1≤x<2}，则A∪B=(

)A.{x|−3<x<2} B.{x|−1≤x<1} C.{−2,−1,0,1} D.{−1,0}2.若复数z满足z1+i=i，则z=(

)A.1−i B.−1−i C.−1+i D.1+i3.双曲线x2−y2A.y=12x B.y=±2x C.y=2x4.已知圆(x−1)2+(y+3)2=rA.2 B.6 C.235.(2x−1x)A.−24 B.−6 C.6 D.246.设向量a=(x−1,x),b=(x,−2)，则“x=3”是“a⊥A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.已知函数f(x)=12sinωx−32cosωx(ω>0)的图象与直线y=1A.4 B.2 C.1 D.18.已知正四棱锥P−ABCD的八条棱长均为4，Q是底面上一个动点，PO≤3，则点Q所形成区域的面积为(

)A.1 B.π C.4 D.4π9.近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，Peukert于1898年提出蓄电池的容量C(单位：Aℎ)，放电时间t(单位：ℎ)与放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式：C=In⋅t，其中n为Peukert常数.为测算某蓄电池的Peukert常数n，在电池容量不变的条件下，当放电电流I=30A时，放电时间t=15ℎ；当放电电流I=40A时，放电时间t=8ℎ.若计算时取lg2≈0.3，lg3≈0.477，则该蓄电池的Peukert常数nA.1.25 B.1.75 C.2.25 D.2.5510.已知集合A={(x,y)|(x−y)(xy−1)≤0},B={(x,y)|12≤x≤2,12≤y≤2}，S是集合A.1 B.98 C.2 D.二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.抛物线x2=4y的准线方程为______．12.在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sinα=35，则sinβ=______．13.已知函数f(x)=−(x−1)2+1,x<1,a+lnx,x≥1.若a=0，则f(1)=______；若f(x)14.如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有m升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P.如果将容器倒置，水面也恰好经过点P(图2)，设正四棱柱的高为ℎ1，正四棱锥的高为ℎ2，则ℎ1ℎ15.古希腊毕达开拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类.如图，第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列{an}，正方形数构成数列{bn}，给出下列四个结论：

①数列{an}的一个通项公式是an=n(n+1)2；

②2025既是三角形数，又是正方形数；

③1b1+三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题13分)

在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3a−2bsinA=0．

(Ⅰ)求角B的大小；

(Ⅱ)再从下面条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求△ABC的面积．

条件①：c=2,C=π4；

条件②：b=6,c=2．17.(本小题13分)

已知四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，PA=AD=2，E为AD的中点．

(Ⅰ)若F为PC的中点，求证：EF//平面PAB；

(Ⅱ)若BD=22.求平面PAB与平面18.(本小题14分)

某企业产品利润依据产品等级来确定：其中一等品、二等品、三等品的每一件产品的利润分别为100元、50元、50元.为了解产品各等级的比例，检测员从流水线上随机抽取了100件产品进行等级检测、检测结果如下表：产品等级一等品二等品三等品样本数量(件)503020(Ⅰ)从流水线上随机抽取1件产品，估计这件产品是一等品的概率；

(Ⅱ)若从流水线上随机抽取3件产品，这3件产品的利润总额为X.求X的分布列和数学期望；

(Ⅲ)为了使每件产品的平均利润不低于80元，产品中的一等品率至少是多少？19.(本小题15分)

已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点为(2,0).焦距为22.过点(m,0)(m>2)且斜率不为零的直线与椭圆E交于不同的两点A，B，过点A和C(1,0)的直线AC与椭圆E的另一个交点为D．

(Ⅰ)求椭圆E的方程及离心率；

20.(本小题15分)

已知函数f(x)=xex，直线l为曲线y=f(x)在点(t,f(t))处的切线．

(Ⅰ)当t=0时，求出直线l的方程；

(Ⅱ)若g(x)=f′(x)，求g(x)的最小值；

(Ⅲ)若直线l与曲线y=f(x)相交于点(s,f(s))，且s<t，求实数t21.(本小题15分)

已知数列A：a1，a2，a3，…，an(n≥3)的各项均为正整数，设集合T={x|x=aj−ai,1≤i<j≤n}，记T的元素个数为P(T)．

(Ⅰ)若数列A：1，3，5，6，求集合T，并写出P(T)的值；

(Ⅱ)若A是递减数列，求证：“A为等差数列”的充要条件是“P(T)=n−1”；

(Ⅲ)已知数列A：2，2参考答案1.A

2.C

3.B

4.D

5.D

6.A

7.B

8.B

9.C

10.B

11.y=−1

12.3513.0

1(答案不唯一)

14.5315.①③④

16.解：(Ⅰ)因为3a−2bsinA=0，由正弦定理可得3sinA−2sinBsinA=0，

在锐角△ABC中，sinA>0，可得sinB=32，

可得B=π3；

(Ⅱ)若选条件①：c=2,C=π4，由正弦定理可得bsinB=csinC，

即b32=222，解得b=6，

因为sinA=sin(B+C)=sin(π3+17.解：(1)证：设PB的中点M，连接MF，AM，如图所示：

∵四边形ABCD为菱形，E为AD的中点，∴BC//AE，AE=12BC，

又F为PC的中点，∴MF//BC，且MF=12BC，

∴MF//AE，MF=AE，∴四边形MFEA为平行四边形，

∴EF/​/AM，又EF⫋面PAB，AM⊂面PAB，

∴EF/​/面PAB；

(2)当BD=22时，AB2+AD2=BD2，∴四边形ABCD为正方形，

又PA⊥面ABCD，以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立坐标系，如图所示：

则A(0,0,0)，P(0,0,2)，E(0,1,0)，C(2,2,0)，EP=(0,−1,2)，EC =(2,1,0)，

设面PEC的法向量为n=(x,y,z)，则EP⋅n=0EC⋅n=0，即−y+2z=02x+y=0，令y=2，则x=−1，z=1，∴n=(−1,2,1)，

又AE⊥AB18.解：(Ⅰ)设概率为P，由题意得P=5050+30+20=12；

(Ⅱ)首先，我们把二等品和三等品视为一个整体，

则单次抽到一等品的概率为12，抽到二等品和三等品这个整体的概率为12，

当X=150时，抽到的产品一定在二等品和三等品这个整体里，

所以P(X=150)=C30(12)0(12)3=1

X

150

200

250

300

P

1

3

3

1所以数学期望为E(X)=150×18+200×38+250×38+300×18=225；

(Ⅲ)设产品中的一等品率为x，故非一等品率为1−x19.解：(Ⅰ)因为椭圆的一个顶点为(2,0)，焦距为22，

所以a=2，c=2，所以b=2，故椭圆的方程为x24+y22=1，

故离心率为e=ca=22；

(Ⅱ)如图，设AB的方程为y=k(x−m)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

联立方程组x24+y22=1y=k(x−m)，可得(14+k22)x2−mk2x+m2k22−1=0，

而Δ=m2k4−m2k22+1−m220.解：(Ⅰ)因为f′(x)=1−xex，则斜率k=f′(0)=1，

又f(0)=0，

则函数y=f(x)在点(0,0)处的切线l的方程为x−y=0；

(Ⅱ)g(x)=f′(x)=1−xex,x∈R，

则g′(x)=x−2ex，

令g′(x)=0，得x=2，

则当x∈(−∞,2)时，g′(x)<0，函数单调递减，

当x∈(2,+∞)时，g′(x)>0，函数单调递增，

所以g(x)的最小值为g(2)=−1e2；

(Ⅲ)由f(x)=xex，得f′(x)=1−xex，则f′(t)=1−tet，

可得曲线y=f(x)在(t,f(t))处的切线方程为y−tet=1−tet(x−t)，

即y=1−tetx+t2et．

令ℎ(x)=xex−1−tetx−t2et，

显然ℎ(t)=0，ℎ′(x)=1−xex−1−tet，

令m(x)=1−xex−1−tet，

则m′(x)=x−2ex=0，得x=2，

所以ℎ′(x)在(−∞,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增．

若t≤221.解：(1)由题意，数列A：1，3，5，6，

可得3−1=2，5−1=4，6−1=5，5−3=2，6−3=3，6−5=1，

所以集合T={1,2,3,4,5}，所以P(T)=5．

(2)证明：必要性：若A为等差数列，且A是递减数列，设A的公差为d(d<0)，

当1≤i<j≤n时，aj−ai=(j−i)d，所以T={d,2d,3d,⋯,(n−1)d