直线、平面平行的判定与性质（6题型分类）-2025年高考数学一轮复习（解析版）

专题33直线、平面平行的判定与性质6题型分类

彩题如工总

题型6：平行关系的综合应用题型1:直线与平面平行的判定

题型5：探索性问题题型2：直线与平面平行的性质

直线、平面平行的判定与性质6题

型分类

题型4：平面与平面平行的性质题型3：平面与平面平行的判定

彩和也宝库

1.线面平行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

如果平面外一条直线与此

a(ta

判定定理平面内的一条直线平行,bua>=〃〃a

那么该直线与此平面平行a//b.

一条直线与一个平面平

alla

行，如果过该直线的平面

性质定理>=〃〃b

与此平面相交,那么该直-06=/?J

线与交线平行

2.面面平行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

auB、

如果一个平面内的两条itbuB

判定定理交直线与另一个平面平行,aC\b=P〉»〃a

那么这两个平面平行/.7〃〃a

b"aJ

两个平面平行，如果另一个

性质定理平面与这两个平面相交,那1=>〃//b

6n尸zj

么两条交线平行

【常用结论】

1.垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a邛,则。〃及

2.平行于同一个平面的两个平面平行，即若p//y,则。〃/

3.垂直于同一个平面的两条直线平行，即bA_a,则

4.若Q〃夕，QU。，贝！J〃〃夕.

彩他题初籍

直线与平面平行的判定与性质

(1)判断或证明线面平行的常用方法

①利用线面平行的定义(无公共点).

②利用线面平行的判定定理(aCa,bua,a//b=>a//a).

③利用面面平行的性质(a〃/，aua=a〃价.

④利用面面平行的性质(a〃S，a<tp,a//a=>a///3).

(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线.

题型1：直线与平面平行的判定

1-1.(2024高三・全国・专题练习)如图，在四棱锥P-ABCD中，E,尸分别为尸。，尸8的中点，连接EA当G

为尸C上不与点P,C重合的一点时，证明：所〃平面BDG.

【答案】证明见解析

【分析】由三角形中位线的性质得到所〃班>,即可得证.

【详解】因为E,尸分别为尸。，尸8的中点，所以EF//BD,

因为EFU平面9G,a）u平面8Z5G,

所以EB7平面BDG.

12（2024高三.全国.专题练习）如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，二面角A-CD-b的大

小为45,DEHCF,CDIDE,AD=2,DC=3.求证：8/〃平面ADE.

【答案】证明见解析

【分析】首先证明AD〃平面2C产，DE//平面BC尸,即可得到平面3cp〃平面ADE,从而得证.

【详解】因为四边形ABCD是矩形，所以3C〃AD,

因为8Cu平面BCP,AO<Z平面2CP,所以AD〃平面2C/,

因为DE//CF,3<=平面83,DEU平面BC尸，所以。£7/平面BCT,

因为A£>cOE=。，AD.DEu平面ADE,则平面3Cf7/平面ADE,

因为斯u平面BCP,所以3P〃平面ADE.

1-3.（2024高三・全国•专题练习）如图，四棱锥尸-ABCD的底面是菱形，E,尸分别是AB,PC的中点.求

证：Ef7/平面PAD.

【答案】证明见解析

【分析】先证明四边形A£FG是平行四边形，可得跖〃/G,再由线面平行的判定定理求解即可.

【详解】取尸。中点G,连接AG,FG,因为尸,G分别是尸C,尸。的中点，、

因为NF"BE,NF.平面BCE,BEu平面3CE,所以，NF〃平面3CE,

因为FM//BC,EM.平面BCE,BCu平面BCE,所以，F70〃平面BCE,

因为NPFM=F,NF、RVfu平面肱VF,所以，平面肋V/〃平面3CE,

因为MNu平面MNV,所以，MN“平面MNF.

1-5.(2024・陕西安康.三模)如图，在四棱锥尸-ABCD中，PDL平面ABCD,且四边形ABCD是正方形,

E,F,G分别是棱3C,AD,R4的中点.

(1)求证：PE〃平面BFG；

(2)若AB=2,求点C到平面屏G的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)孚

【分析】(1)连接。E,推导四边形8EDF是平行四边形，从而得到。初/3尸，再得到尸G〃尸£>,从而PD〃平

面BFG,DE〃平面BFG,进而得到平面产。£7/平面BFG,因此得证PE〃平面3FG；

(2)由PD_L平面ABC。，FG//PD,可得尸G平面4BC。，作CM_L3/，垂足为M,则FG_LCM,进

而得到CM,平面BFG,即CM的长是点C到平面BFG的距离，再利用等面积法求解即可.

【详解】(1)连接OE,

：ABC。是正方形，E,尸分别是棱2C,AD的中点，

/.DF=BE,DF//BE,

二四边形BEDF是平行四边形，，DEHBF,

是B1的中点，FG//PD,

'：PD,DE<z平面BFG,FG,8尸u平面BFG,

PDH平面BFG,DE〃平面BFG,

VPD1DE=D,直线尸。DE在平面PDE内,

/.平面PDEH平面BFG,•/PEu平面PDE,

PE//平面BFG.

(2)：P£)J_平面ABC。，FG//PD,

：.FG±^-^ABCD,

过C在平面A5CD内，作C0L3/，垂足为则FGLCM,

VFG\BF=F,又直线FG,在平面BRS内，

，CM_L平面fiFG,

；•CM的长是点C到平面3FG的距离，

'.'△BCr中，FB=CF=下,

由等面积可得CM=爷=述

V55

1-6.(2024高三・全国・专题练习)如图，四棱台ABCD-EFGH的底面是菱形，S.ZBAD=-,DHJ_平面

ABCD,EH=2,DH=3,AD=4.

(1)求证：AE〃平面比)G；

(2)求三棱锥尸-BDG的体积.

【答案】(1)证明见解析

⑵2百

【分析】(1)连接AC交8。于点0,根据EG〃AC,EG=A。可证得四边形A0GE为平行四边形，由此可

得AE〃G0,由线面平行的判定可证得结论；

(2)由GELDH,6石，由可证得6£，平面也"不，利用体积桥吟-.G=匕一如尸可求得结果.

【详解】(1)连接AC交8。于点0,连接EG,GO,

几何体ABCD-EFGH为四棱台，，A,CG,E四点共面，且EGu平面EPGH,ACu平面ABC。，

「平面£FG//〃平面ABC。，:.EG//AC-,

TT

四边形EPGH和ABCD均为菱形，ZBAD=-,EH=2,AD=4,

EG=-ACAO=2^[3,四边形AOGE为平行四边形，AE//GO,

2

又GOu平面8DG,/1£^平面比心，；.4£//平面8£心.

(2)连接GE交.于K,

Q£)//_!_平面ABCD,平面ABCD〃平面EFG/f,r.Z)”_L平面£FGH,

又GEi平面EFGH,:.GE±DH,

GELFH,DHcFH=H,切u平面班归/，，GE_L平面BDHF；

四边形跳G8为菱形，NFEH-BADqEF=2,:.GK=s/3,

%-BOG==§SBDF-GK=~X—x4x,3Xyf3=2\/3.

题型2:直线与平面平行的性质

2-1.(2024高三・全国・专题练习)已知四棱锥P-ABCZ),底面A8CD为菱形，平面上4Dc平面依C=/,

证明：BC//1.

【答案】证明见解析

【分析】先证明3c〃平面W,再根据线面平行的性质定理求解即可.

【详解】因为ABCD为菱形，所以

3CU平面PAD,AOu平面PAD,

所以BC〃平面PAD,

又因为BCu平面PBC,且平面E4Dc平面PBC=/,

所以BC〃/.

2-2.（2024高三•全国・专题练习）如图，四棱锥P-ABCD的底面边长为8的正方形，四条侧棱长均为2a.

点GE,尸,“分别是棱尸氏AB,8,尸C上共面的四点，平面GEFH_L平面ABC。，BC〃平面GEEf/.证明：

【答案】证明见解析

【分析】根据线面平行的性质定理及平行线的传递性即可证明.

【详解】因为2c〃平面GET”，BCu平面P8C,且平面PBCc平面GEFH=GH,所以GH〃BC,

因为2C〃平面GEFH,3Cu平面ABCD,且平面ABCDc平面GEFH=EF,

所以EF〃BC,所以GH〃EF.

2-3.（2024高三.全国•专题练习）如图1所示，在四边形A3CD中，BC±CD,E为8C上一点，

AE=BE=AD=2CD=2,CE=6,将四边形AECD沿AE折起，使得BC=6，得到如图2所示的四棱锥.若

平面3co1平面ABE=/,证明：CDIII.

【答案】证明见解析

【分析】先根据图1中几何关系，得到CD///田，进而得CD〃平面ABE,可证C。///.

【详解】在图1中，因为BCLCD,CE=6,CD=1,

所以OE=2,sin/CDE釜,又，

所以NCDE=（

因为£>E=2,AE=AD=2,

在图2中，因为CD//AE1,AEu平面ME,。9仁平面川阳，

所以CD〃平面ABE,

因为CDu平面BCD,平面BCD'平面ME=/,所以CD/〃；

2-4.（2024高三下.河南•阶段练习）已知四棱锥尸-ABCD,底面ABC。为菱形，阳，平面458,

7T

PD=AD=CD=2,ZBAD=-,E为尸C上一点.

⑴平面R4£>c平面P3C=/,证明：BC//1.

TT

(2)当直线BE与平面38的夹角为:时，求三棱锥尸的体积.

6

【答案】(1)证明见解析

(2)f

【分析】(1)由线面平行的判定定理和性质定理证明即可；

(2)过点£作8的垂线，垂足为M,所以项f_L平面BCD,由题意可求得直线BE与平面3c。的夹角为

7T

ZEBM=~,可得点E为尸C中点，由等体积法求解即可.

6

【详解】(1)因为8C〃AD,BCu平面PAD,A£)u平面mo,

所以BC〃平面MD,BCu平面PBC,

又因为平面2De平面PBC=/,所以BC7//.

(2)过点E作。的垂线，垂足为则尸

因为阳，平面ABC。，所以EM1.平面BCD,

7T

所以直线班与平面BCD的夹角为:,

6

TT

又4PCD=—,^CM=x,0<x<2,

4

贝（JEM-x,BM之=f+4—2•2xcos——x2—2x+4,

3

所以需X2711

=tan—所以％=1,

—2x+463

所以M为CD中点，E为尸C中点,

因为PZ5_L平面ABC。，所以平面A5CD,所以

又因为PDcCD=D,PD,CDu平面尸CD,

所以平面PCD,所以点3到平面尸CD的距离为9=石,

故Vp—BDE=VB-PDE=§*1*百二-

彩健题海籍

(二)

平面与平面平行的判定与性质

(1)证明面面平行的常用方法

①利用面面平行的判定定理.

②利用垂直于同一条直线的两个平面平行(/_La,I邛0a〃B).

③利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(a〃4p//y^a//y).

(2)当已知两平面平行时，可以得出线面平行，如果要得出线线平行，必须是与第三个平面的交线.

题型3:平面与平面平行的判定

3-1.(2024高三•全国•专题练习)如图，在多面体ABCDEF中，A3CD是正方形，AB=2,DE=BF,BFIIDE,

/为棱AE的中点.求证：平面3MD//平面EPC.

【答案】证明见解析

【分析】连接AC交8。于N,连接即可得到MN//CE,从而证明MN〃平面EPC,再说明四边形

班次F是平行四边形得到BD//EF,即可得到3。//平面EPC,从而得证.

【详解】连接AC交于N,连接MN,则N为AC的中点，

因为M为AE的中点，所以MNUCE,

因为平面所C,CEu平面EFC,所以MN〃平面EfC,

因为BFIIDE,BF=DE，所以四边形3。跖是平行四边形，所以BD//EF,

因为3£><Z平面EFC,£Fu平面EFC,所以RD//平面EFC,

因为班>MN=N,平面曲小),所以平面〃平面EPC.

E

3-2.（2024高二・全国•课后作业）如图，在四棱锥尸-4BCD中，平面mO_L平面ABC。，PA=PD,AB=AD,

PALPD,ADLCD,ZBAD=60°,M,N分别为A£>,E4的中点，证明:平面BMN//平面PCD

【答案】证明见解析

【分析】先证尸河，平面ABC。再以M为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求解平面BMN与平

面尸C。的法向量，判断法向量是否平行即可证明.

【详解】证明连接8。，PM,"：AB=AD,ZBAD=60°,

...△ABD是等边三角形，：.BM±AD,

又P2PD,M为A£>的中点，J.PMLAD,

又；平面B4£）_L平面ABCD,平面B4Dri平面ABCD=AD,平面ABCD,

•••以M为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

^PA=PD=2y[2a,CD=b,贝U8(2曲，0,0),C(b,2a,0),0(0,2a,0),

P(0,0,Id),A/(0,0,0),N(0,-a,a)9：・MN=(0,-"，〃)，

0,0),PC=(b,2a,-2d),p£)=(0,2a,-2d),

设&=(%，x，zj是平面6A/N的法向量，

%=(%2，%*2)是平面PCD的法向量，

则由MN•4=(),MB•%=(),

-ayx+叼=0,

得《r令y/=l,则x，=0,z尸1,

273axi=0,

・・・々=(0,1,1)是平面BMN的一个法向量，

[bx+2。％-2眄=0,

同理,由空对=0,小%=0,得5"02%。，

令第=1,可得X2=0,Z2-1,

/•%=(0,1,1)是平面PCD的一个法向量，

：4=%，平面3MN〃平面PCD.

3-3.(2024•甘肃定西•模拟预测)如图，在四棱锥P-ABC。中，底面ABC。是边长为2的菱形，ABAD=60,

AC与8。交于点O,底面ABC。，OP=6点、E,尸分别是棱B4,PB的中点，连接OE,OF,EF.

p

B

（1）求证：平面。所〃平面PCD；

（2）求三棱锥O-PEF的体积.

【答案】（1）证明过程见详解

【分析】（1）根据中位线定理和面面垂直的判定即可求解；

（2）根据等体积法即可求解.

【详解】（1）因为底面ABC。是菱形，AC与2。交于点。

所以。为AC中点，

点E是棱外的中点，尸分别是棱尸3的中点，

所以0E为三角形A7的中位线，O尸为三角形3DP的中位线,

所以OE//PC,OFUDP,

平面。CP,尸（7<=平面。。尸，二0£〃平面。。「，

QOba平面0c尸，£>Pu平面。CP,用〃平面DCP,

而OEcOb=O,OEu平面OEF,诉（=平面0所，

平面OEP〃平面PCD.

（2）因为底面ABC。是边长为2的菱形，ZBAD=60,

所以一54。为等边三角形，

所以08=1,04=5

因为OPJ_底面ABCD,

OAu底面ABC。，OBu底面A8CD,

所以OP_LQ4,OPA.OB,

所以PQ4和4P。3均为直角三角形，

平面耳2。与棱AG交于点E.求证：BBJIDE.

【答案】证明见解析

【分析】先证明8瓦〃平面MGC,再利用线面平行的性质定理可得结论.

【详解】因为在三棱柱ABC-A瓦G中2耳//CG，

且8旦0平面441GC,CGu平面A41clC,

BBJI平面A41cle,

又,BBtu平面B[BD,且平面B{BD1平面ACCX\=DE,

4-3.（2024高一•全国•课后作业）如图，在四棱柱ABC。-ABC0中，底面ABC。为梯形，AD//BC,平面

ADCE与交于点E.求证：ECgD.

A,_____________P

BC

【答案】证明见解析

【分析】根据四棱柱性质可证明平面3CE〃平面惧。，再利用面面平行的性质定理即可证明EC〃AD.

【详解】由四棱柱ABCD-ABGA可知，BE//AA,,44«平面惧0,平面AAQ,

所以BEH平面AA{D■

又ADHBC,ADu平面AX。，3。二平面A41。，

所以8c〃平面AAQ；

又BCBE-B,BEu平面BCE,BCu平面BCE；

所以平面3CE〃平面44。，

又平面A^CEc平面BCE=EC,平面A^CEc平面A\D=\D,

所以EC//AQ.

彩健题秘籍（二）

解答探索性问题的基本策略是先假设，再严格证明，先猜想再证明是学习和研究的重要思想方法.

题型5:探索性问题

5-1.（2024高三.全国.专题练习）如图，在直三棱柱ABC-ABG中，AC±BC,AC=2,且BC=CG=1,

、BD

点。在线段SC（含端点）上运动，=—.当45〃平面AC。时，求实数4的值.

【分析】连接AG，交4c于点E，连接DE,根据线面平行的性质得到即可得到。为的中

点，从而得解.

【详解】如图，连接AG，交AC于点E，连接OE,

为AG的中点，且平面ACOc平面

ABII平面\CD,ASu平面ABCI,

ABHDE,

.：£）为BG的中点，即实数4的值为3.

5-2.（2024高三・全国・专题练习）如图、三棱柱ABC-A4G的侧棱AA垂直于底面ABC,ASC是边长为

B.E

2的正三角形，的=3,点。在线段45上且点后是线段与G上的动点.当釜为多少时，直

线。E//平面ACGA?

B,E1

【答案】釜=5.

z

【分析】过点。作DE//AA交44于点尸，过点尸作EF//4G交4G于点E,利用线面平行的判定定理可

得斯〃平面ACGA，FD〃平面ACGA，再利用面面平行的判定定理及性质定理即得.

B.E1

【详解】当点E是线段4G上靠近点耳的三等分点，即釜=不时，DE//平面ACGA.

EC]Z

过点。作DF//A1A交A用于点尸，过点/作E///4G交于点石，连接DE,

E尸/M1G，E/（Z平面ACGA，AGu平面ACC鸿，

;.EF〃平面ACC]A,

FDHA.A,JEDa面ACGA，44匚平面4。64，

二万〃平面ACGA,

又•'EFcFD=F,EFu平面EFD,FDu平面EFD,

，平面EFD〃平面ACGA,

DEu平面EFD,

.•.£）£7/平面ACC】A.

BXE_BXF_BD\

斯一域一说一5，

B,E1

当球=3时，OE//平面ACGA.

5-3.(2024高二上.安徽合肥•阶段练习)已知正方体ABCO-AAG。中，/\Q分别为对角线也入CA上的

(1)求证：PQ〃平面A，D4;

AR

(2)若尺是AB上的点，大的值为多少时，能使平面PQR//平面A0D4?请给出证明.

AB

AR3

【答案】(1)证明见解析；(2)f7的值为［，证明见解析.

【分析】(1)连结C尸并延长与DA的延长线交于M点，证明3CV/AD,PQ//MDt,又A/。u平面AR",

尸。仁平面ADD4,证明尸。〃平面AQD4;

AR3

(2)R是AB上的点，当丁的值为二时，能使平面PQH//平面ADQA,通过证明网〃平面A〃D4,又

PQcR=P,PQ〃平面ARDA.然后证明即可.

【详解】(1)连结CP并延长与D4的延长线交于/点，

因为四边形ABCD为正方形,

所以3C//AD,

故APBC-APDM,

匚匚“CPBP2

所以——=—=］，

PMPD3

rCQBP2

入J'」QD、PD3

CQCP2

所以函=屈=1，

所以尸。//加2.

又平面ARZM,尸QZ平面ARZM,

故尸Q//平面A2D4.

⑵当法的值为*,能使平面P"〃平面他”

AP3

证明：因为罚崂

即有"二

RA3

工乙BRBP

故一7=—

RAPD

所以PR//DA.

又ZMu平面ARZM,尸KO平面AR",

所以PR〃平面A2D4,

又PQcPR=P,PQ//平面ARZM.

所以平面P0R〃平面AR".

【点睛】本题考查直线与平面平行的判定定理，平面与平面平行的判定定理，考查空间想象能力逻辑推理

能力.

健题被籍（四）

平行关系的综合应用

证明平行关系的常用方法

熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决线线、线面、面面平行的综合问题的关键.面面

平行判定定理的推论也是证明面面平行的一种常用方法.

题型6:平行关系的综合应用

6-1.（2024高二上•山西朔州朝中）如图所示，四边形EFG8为四面体的一个截面，若四边形所G8

为平行四边形.

（1）求证：AS〃平面£FG”；

⑵若AB=4,CD=6,求四边形EFGH周长的取值范围.

【答案】（1）证明见解析

⑵（8,12）

【分析】（1）通过证明EH〃平面ABD,得出EH//AB,从而证明ABH平面EFGH；

（2）设EH=x,EF=y,由EH//AB,EF//CD,求出尤、y的关系式，再求四边形所G〃的周长/的取值

范围即可.

【详解】（1）证明：：四边形瓦为平行四边形，...E”〃FG；

EH平面ABD,FGu平面ABD,：.EHH平面ABD,

又「£Wu平面ABC,平面ABCc平面=EHIIAB■,

又EHu平面EFGH,AB平面EFGH,AB〃平面EFGH；

（2）设EH=x,EF=y,由（1）可知EH//AB,同理有瓦7/C£）,

.EH_CEEF=AE.EH+EF_CE+AE=1

ABCA"CDAC"ABCDCAAC'

X*•*AB=4,CD=6,—+-^=1>

46

=且0<兄<4；

四边形EFG〃的周长为/=2（x+y）=2尤+6〔1一；）=12—尤，

***8<12—x<12；

/.四边形所GH周长的取值范围是（8,12）.

6-2.（2024・福建泉州•模拟预测）如图所示的几何体是由圆锥SQ与圆柱00组成的组合体，其中圆柱的轴

截面ABCD是边长为2的正方形，圆锥的高SQ=2,M为圆柱下底面圆周上异于A,B的点.

⑴求证：SD〃平面MOC；

⑵若30°<ZBOM<45°,求直线AD与平面MOC所成角的正切值的取值范围.

【答案】（1）证明见解析

【分析】（1）根据题意，连结SO,DC,证明SD〃OC,结合线面平行的判定定理即可证明；

（2）以。为原点，分别以Q4,OS的方向为x轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系。町z,设

直线AD与平面MOC所成角为夕，可得姮4sin〃4」，根据同角三角函数的基本关系即可求解.

173

【详解】（1）连结SO,DC,

设圆锥的底面所在平面为a,贝”Oja,OO,la,

所以S,0,,。三点共线.

从而SODC=OX,所以点S,D,C,O共面.

又因为s。=op,CO]=op,

所以四边形SDOC为平行四边形，

故sn〃oc,

因为M为圆柱下底面圆周上异于A,2的点,

所以see平面MOC,又。Cu平面MOC,

(2)如图，以。为原点，分别以Q4，OS的方向为了轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz,

则A(l,0,0),0(1,0,2),C(-l,0,2),设4B0M=e,

则M(cos(18()o-e),sin(180。-。),。)，即M(—cos，,sin。,。)，且30。4夕445。,

则OC=(—1,0,2),OM=(-cos6>,sin6>,0),AD=(0,0,2),

设平面MOC的法向量力=(X,y,Z),

1

n-OC=0—x+2z—0z=­x

则整理得2

—xcos6+ysin0=0

n-OM=0ysin。=%cos。

令1=2sin6,贝!J几=(2sin8,2cos0,sin6).

(2)根据面面垂直的性质可得AF_L平面CDFE,利用三棱锥的体积公式可得三棱锥%.的=-g*-3)2+3,

由二次函数的性质求出匕一8F的最大值，此时x=3,根据余弦定理和三角形面积公式求出S^DC，结合等体

积法计算即可求解.

3

【详解】(1)存在尸，使得CP〃平面4?跖，此时彳=：

证明如下：

3

当/(■=1时，过尸作MV/ED,与"父于V,连接EM,

MP3

则——=一，又FD=5,得MP=3,因为EC=3,MPI/FD/IEC,

FD5

所以MP〃EC且EC,所以四边形MPCE为平行四边形,

得CP//EM,又CP巨平面ABEF,£Mu平面ABEF,

所以CP〃平面ABEF.

(2)由题意知A5_LEF,

又平面ABEF_L平面CDFE,平面平面CDFE=EF,/Wu平面AB£F,

所以平面CDFE.

由BE=x(0<x<4),AF=x,FD=6-x,

所以三棱锥A—CD尸的体积为丫=京的4=巳.2.(6-3-*-3)2+3,

当x=3时，三棱锥A-CD产的体积取得最大值，最大值为3.

止匕时EC=1,AF=3,FD=3,DC=2血,

由AF_L平面CDFE,皿FCU平面CDFE,得AF上FD,AF上FC,

又FC=4EF2+EC2=5ff(\^AC=sjFC2+AF2=y/14,AD=ylAF2+FD2=3^",

AD2+DC2-AC218+8-141

在,ACD中，由余弦定理得cosNADC

2ADDC2.3"2祀一5'

2

所以sinZADC=Vl-cosZADC=—,SADC=^-DCDAsinZADC=3』,

22

设点尸到平面ADC的距图为力，由匕1―CDF=%—ADC，

得3=g〃S皿=®z,解得〃=石，

即点F到平面ADC的距离为坏.

6-4.(2024・河南•模拟预测)如图，在三棱锥P—ABC中，ABJ.BC,AB=2,BC=2近,

尸台二/^二痣1尸)^^^:的中点分别为^瓦^人力二百。。，点尸在AC上，BF1AO.

(1)证明：跖〃平面ADO；

(2)证明：平面ADO_L平面8EF；

(3)求二面角尸—3C—A的大小.

【答案】(1)证明见解析；

⑵证明见解析；

【分析】(1)连接DE、OF,设AF=zAC,根据则3649=0即可求出f,从而证明四边形OD防

为平行四边形，即可得到。//DO,从而得证；

(2)利用勾股定理逆定理得到OD1,AO,再由BR_LAO,即可得到AO_L平面跳下，即可得证；

>A=V14

(3)过点B作2轴_1_平面BAC,建立如图所示的空间直角坐标系，设尸(x,y,z),所以由=«求出尸

PC=4^

点坐标，利用空间向量法计算可得.

贝lj3b=3A+AF=（l-t）R4+rBC,AO=-BA+^BC,

因为3FLAO,AB1BC,贝1」册.3。=0，

BF-AO=^l-t）BA+tBCy^-BA+gBCJ

.21.21

——+—tBC=4。—1）+4%=0,解得，=5,则尸为AC的中点，

由D,E,O,尸分别为PB,PA,BC,AC的中点，

所以DE〃/IB且OE=，AB,OF//AB^.OF=-AB,DE//OFSLDE=OF,

22

所以四边形OD所为平行四边形，所以EF//DO,

又EFO平面ADO,DOu平面ADO,所以EB7平面ADO.

（2）由（1）可知EF7/OD,则AO=,22+（可=底,DO=^~,

所以ADfDO=粤,因此OO2+AO2=A£P=。，则ODLAO,

有£F_LAO,又AO_LB£3尸cEF=F,5£EFu平面班户，

所以AO_L平面5£F,又AOu平面ADO,所以平面AZX?_L平面AEF.

（3）因为过点5作z轴，平面R4C,建立如图所示的空间直角坐标系,

x

则A（2,0,0,）,2（0,0,0）,C（0,20,0）,

DB2+AB2-DA2万+4-万1

在△3ZM中'cosZPBA.-b-=-忑=飞,

2x2x----

2

在△P3A中，PA2=PB2+AB2-2PBABcosZPBA=6+4-2s/6x2x\--U=14,

即尸A=JS，

PA=-J14(^-2)2+y2+z2=14

设尸(x,y,z),所以由尸2="，可得.x2+y2+z2=6

PC=A/6x2+^-2^2j+z2=6

解得x=-1,y=z=石，所以尸（—1,,

贝”。=卜1,"石），BC=（O,272,0）,

设平面P3C的法向量为4=（为,M，zJ,

n,•BP=02yBy、—0

则，得厂厂，

BC=0[-玉+/2必+J3Z]=0

令％=辨）,则％=0,4=1,所以4=（有,0,1）,

又平面BCA的一个法向量为n2=（0,0,1）,

设二面角尸-BC-A为，，显然，为钝角，

所以cose=-^^=-71,所以二面角P-3C—A的大小为2多兀.

网•电23

一、单选题

1.（2024高一.全国・课后作业）己知直线。和平面a,那么能得出a〃a的一个条件是（）

A.存在一条直线6,aHb豆bua

B.存在一条直线6,allb且bua

C.存在一个平面夕，aup且a//。

D.存在一个平面夕，。〃夕且a〃6

【答案】C

【解析】根据线面平行的判定定理，可得结果.

【详解】在选项A,B,D中，

均有可能。在平面a内，错误；

在C中，两平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线

都平行于另一个平面，故C正确

故选：C

【点睛】本题考查线面平行的判定，属基础题.

2.（2024高三.全国.专题练习）设a,夕为两个不同的平面，则a〃夕的一个充分条件是（）

A.a内有无数条直线与月平行B.a,口垂直于同一个平面

C.a,夕平行于同一条直线D.a,夕垂直于同一条直线

【答案】D

【分析】根据面面平行的判定一一判定即可.

【详解】对于A：。内有无数条直线与夕平行推不出a〃夕，只有a内所有直线与夕平行才能推出，故A

错误；

对于B：a,夕垂直于同一平面，得到a〃4或a与夕相交，故B错误；

对于C：a,夕平行于同一条直线，得到a〃4或a与夕相交，故C错误；

对于D：因为垂直与同一条直线的两平面平行，故a,△垂直于同一条直线可得a〃夕，故：D正确.

故选：D

3.（2024高一.全国.课后作业）如图，在正方体ABCD—AECD中，E,尸分别为平面ABC。和平面

的中心，则正方体的六个面中与E尸平行的平面有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【详解】分析：由直线与平面平行的判定定理即可.

详解：

由直线与平面平行的判定定理知与平面平面BC,平面C。，平面AO均平行.故与平行的平面

有4个.

点睛：考查直线与平面平行的判定，对定理的熟悉是解题关键，属于基础题.

4.（2024高一下.江苏常州.期末）若夕是两个不重合的平面，

①若a内的两条相交直线分别平行于夕内的两条直线，则。〃£；

②设夕相交于直线/,若a内有一条直线垂直于/,则。，/；

③若a外一条直线/与a内的一条直线平行，则〃/£.

以上说法中成立的有（）个.

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】根据平面与平面平行的判定定理，平面与平面垂直的判定定理，直线与平面平行的判定定理可依

次判断得解.

【详解】对①，a面内有两条相交直线分别平行于夕面内两条直线，可得这两条相交直线均平行于尸面，

由平面与平面平行的判定定理可知①正确；

对②，根据平面与平面垂直的判定定理，一个平面经过另一个平面的垂线可得平面与平面垂直，②错误；

对③，根据直线与平面平行的判定定理可知③正确.

故选：C.

5.（2024高一下•四川成都•阶段练习）设a,6为两条直线，a,尸为两个平面，下列四个命题中，正确的命题

是（）

A.若。〃a,bua,则a//6B.若alla,b//p,a!1（5,则0〃6

C.若aua,buB,allb,则（z//力D.若aUa,bua,aJlb,则a//a

【答案】D

【分析】ABC可举出反例，D可利用线面平行的判定定理证得.

【详解】A选项，如图1,满足a〃a,61=1,但。,6不平行，A错误；

B错误，如图2,满足a//a,b//,]//£,但°,6不平行，B错误;

图2

C选项，如图3,满足autz,bu/3,a!lb,但c,"不平行，C错误;

图3

D选项，若aaa,bua,al1b,由线面平行的判断定理可得。〃a,D正确.

故选:D

6.（2024高一下.全国•课后作业）如图，己知立方体ABC。一4〃。。，点E,F,G,X分别是棱AD,BB',

B'C,的中点，从中任取两点确定的直线中，与平面平行的条数是（）

A.0B.2

C.4D.6

【答案】D

【分析】先证明平面EFGH〃平面进而得到从E,F,G,H中任取两点确定的直线中，与平面4QD

平行的条数.

【详解】连接EG,EH,EF,FG,GH,FH,

〃尸G且E/f=FG,.,.四边形EFGX为平行四边形，：.E,F,G,X四点共面.

由EG〃A夕，平面4877,EG<Z平面AQ。，可得EG〃平面A8。；

EHHAD',AOu平面ABO,平面ABTT,可得EW〃平面A27A

又EGCEH=E,可得平面EFGH//平面AB'D".

故平面EFG”内的每条直线都符合条件，从E,F,G,H中任取两点确定的直线中,

与平面平行的条数是6.

7.（2024高一.全国•课后作业）如果。，6表示直线，夕表示平面，那么下列说法中正确的是（）

A.若a〃6,bua,则a〃aB.若a〃a,b//a,则

C.若a〃b,b//a,则D.若a〃a,acJ3,a（3=b,则a〃6

【答案】D

【分析】根据线面平行的性质与判定逐个辨析即可.

【详解】A中，aua也可能成立；

B中，a,b还有可能相交或异面；

C中，aua也可能成立；

由直线与平面平行的性质定理可知D正确.

故选：D

8.（2024高三.全国・专题练习）如图，正方体ABCD-AgGR的棱长为1，E,尸是线段耳2上的两个动点,

BF/mACE,则斯的长度为（）

C.72D.2

【答案】B

【分析】根据线面平行的性质定理得出结果.

【详解】正方体ABC。-44G。，连接80交AC于点O,连接0E,如图所示,

BFH平面ACE,平面BEFI平面ACE=OE,BFu平面B