向量压轴小题十大题型-2025年高考数学重难点题型突破（新高考）解析版

重难点专题24向量压轴小题十大题型汇总

题型1平面向量的线性运算........................................................1

♦类型1基底法.............................................................1

♦类型2三点共线方程组法..................................................6

♦类型3坐标法.............................................................7

♦类型4等和线法法........................................................17

题型2向量数量积最值取值范围问题...............................................18

♦类型1定义法............................................................19

♦类型2基底法（线性表示）...............................................26

♦类型3坐标法............................................................30

♦类型4极化恒等式法.....................................................37

♦类型5几何意义法........................................................39

题型3向量模长最值取值范围问题.................................................40

♦类型1坐标法............................................................40

♦类型2几何意义法.......................................................48

♦类型3三角换元法........................................................55

♦类型4三角不等式法.....................................................58

题型4向量共线的应用...........................................................60

题型5向量夹角.................................................................69

题型6向量平行与垂直的应用.....................................................74

题型7投影向量.................................................................77

题型8解析几何与向量...........................................................81

题型9奔驰定理与面积比.........................................................91

题型10向量四心................................................................94

题型1平面向量的线性运算

♦类型1基底法

菱均#占

平面向量基本定理（平面内三个向量之间关系）;若瓦、石是同一平面内的两个不共线向量，

则对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数人1、入2,使3=电瓦+人2部.

1.选定基底，则入1、入2,是唯一的

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2.处理技巧：可"绕三角形"，可待定系数，可建系.

【例题＞1］（多选）（2023•全国•高三专题练习）在平行四边形48C。中，点E为边CD中点，

点F为边BC上靠近点B的三等分点，连接4尸,BE交于点M,连接AC，点N为AC上靠近点C的

三等分点，记通=2,前=3,则下列说法正确的是（）

A.点M,N,E二点共线

B.若力作=Aa+/j.b,贝!M+〃=；

C.BN=IBM

D.SAABM=争,S为平行四边形4BCD的面积

【答案】ACD

【分析】根据向量的线性运算，将需要的向量都用荏，而来表示，设的=mEB,MA=cAF,

利用平面向量基本定理构造等式版=ME-MA=1AB+AD,可确定点M的位置，依次判

定选项.

【详解】如图所示：

平行四边形2BCD中，因为点N为4C上靠近点C的三等分点，

所以前=-AC=|屈+-ADjE=|ZB+AD,

所以前=AN-AE=-AB--AD,

63

设EM=mEB=mQ/1S—AD^—3mEN,m丰0,

所以前〃前,又有公共点E,所以点M,N,E三点共线，故A选项正确；

设加=cAF,

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-->-->-->(1-->-->\-->/1-->-->\/-->1

AE=ME-MA=-m(-XB-XD)-cAF=-m(-i4B-AD\-c\AB+-

=|m—c^AB+(m—|c^AD=+AD,

5

(1-=——1m—c(m=-

故；21今晨，

1=m——cc=——

k3I7

所以前=^AF=^~AB+^AD,4+〃=久故B选项错误；

>--»)1>?)

BN=AN—AB=--AB+-AD,

33

因为俞=,所以前=|RE=-ijB+1AD,

故前=(丽，C选项正确；

因为前=^AF,SAABM=△ABF=|s△ABC=,故D选项正确.

故选：ACD.

【点睛】关键点睛：此题主要是点M,点N在线段BE上的位置未给，所以通过平面向量

基本定理构造求解，设前=mEB,MA^cAF,利用^^ME-MA^^AB+AD,将所

有向量用函,而表示，求出爪,c的值.

【变式1-1]1.（2022•全国•高三专题练习）如图，在平行四边形48CD中，点E是CD的中

点，点尸为线段上的一动点，若方=xAE+yDC,且x>m>0,y>0,则-zn）的

最大值为（）

【答案】B

【分析】利用平面向量的基本定理可得出|x+y=1,分析可知0<小<|,由基本不等式

可得出-m）<|mQ-mj利用导数法求出函数f（m）=|m（|-m）在区间（0,|）上

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的最大值，即可得解.

【详解】由题意可得族=AD+DE=^AB+AD,

所以,AF=xAE+yDC=x4B+力D)+yAB=Qx+AB+xAD,

因为F为线段B。上的点，所以，存在4G(0,1),使得而=WB,

所以，初一通=A(AB-AD),则初=AAB+(1-X)AD,

所以则|x+y=1,

lx-1-A2

(x>0

因为"_|x>0，则0<%<”9

所以,my(x—m)=m(1一|久)(x-Tn)=|m(x—m)Q—久)

—m+|—=|mQ—=|(——：病+,

令/'(m)=|(m3—|m2+,其中0<m<£

则尸(m)=|(3m2-|m+^=j(3m-|)(m-1),

当0<m<|时，/(m)>0,此时函数/'(m)单调递增,

当|<m<|时，/(m)<0,此时函数f(?n)单调递减，

所以,f(m)max=f(|)=⑤,

当且仅当m=|，%=争寸，-6)取最大值总

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用平面向量的基本定理求参数的最值，解题的关键在于推

导出|x+y=1,得出—m)=|m(x—m)Q—x)结合基本不等式得出my(久—m)<

,再转化为利用导数求函数f(巾)=：巾(|-山丫在区间(0,§上的最大值来求

解.

【变式1-1]2.(2022秋・辽宁沈阳•高三东北育才学校校考期末)已知。是2MBe内一点，

且次+布+反=6,点M在40BC内(不含边界)，若前=AAB+[1AC,贝奴+2〃的取值

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范围是

【答案】B

【解析】根据市+OB+OC^6可知0为2L4BC的重心；根据点M在/OBC内，判断出当

M与0重合时，A+2〃最小；当M与C重合时，A+2〃的值最大，因不含边界，所以取开

区间即可.

【详解】因为。是/4BC内一点，且a+OB+OC^O

所以0为42BC的重心

M在/OBC内（不含边界），且当M与0重合时，2+最小，此时

AM=XAB+fiAC=|X修（南+4C）]=g荏+|4C

所以2=|，M=|,即％+2/1=1

当M与C重合时，2+2〃最大，此时

AM=AC

所以％=0,〃=1,即4+2/z=2

因为M在408C内且不含边界

所以取开区间,即4+2〃e（1,2）

所以选B

【点睛】本题考查了向量在三角形中的线性运算，特殊位置法的应用，属于难题.

【变式1-1]3.（2020春•湖北襄阳•高三襄阳四中校考阶段练习应ZMBC中,\AC\=2,\AB\=

2/BAC=1200,AE=XAB.AF=fiAC,M为线段EF的中点，若|前|=1,则2+〃的最大

值为（）

A*B.2C,2D.W

333

【答案】c

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【分析】化简得到前=^AB+^AC,根据|翁|=1得到於+〃2—川=1,得到几+〃的最

大值.

［详解］AM=^(AE+AF)=^AB+^AC,

故|宿『=gxB+卷前了="+"2+:*4cosl20°=於+“2一川=1

故1=下+林2-A/Z—(A+林)2—3A/z2(2+〃)2——(A+〃)？,古攵4+〃W2.

当4=N=1时等号成立.

故选：C.

【点睛】本题考查了向量的运算，最值问题，意在考查学生的综合应用能力.

♦类型2三点共线方程组法

【例题1-2］(多选)(2023•全国•高三专题练习)如图，在42BC中，AD=丽,E是线段BC

上的点，且满足旗=2EC,线段CD与线段4E交于点F,则下列结论正确的是()

A.AE=-AB+-ACB.3DF=2CF

33

C.AF=-AB+-ACD.4AF=3AE

42

【答案】ACD

【分析】根据题意，由平面向量线性运算可得选项A正确；由衣与族共线，可得Q=4族=

+^AC,由C、F、。三点共线，得而=tAD+(1-t)XC=^AB+(1-t)4C,由平面

向量基本定理解出入珀勺值，可判断选项C、D；由C、F、。三点共线，得而=卜而，通过

转化求出k得值，即可判断选项B错误.

【详解】由题意，族=屈+前=荏+|BC=XB+|(XC-ZB)=|ZF+|ZC,故选项

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A正确；

由标与荏共线，可得

AF=XAE=A（-AB+-AC）=-AB+—AC,

\33/33

由C、F、。三点共线，得

AF=tAD+（1-t）ZC=1AB+（1-t）/,

（」（A=-

由平面向量基本定理，可得32解得4

J-V=1

所以，羽=萍+济，Q=|荏，痂=3标，即故选项C、D正确；

由C、F、。三点共线，得方=kDF,

即希-AC=k（AF-AD），化简为（1-k）AF=AC-kAD,

由选项C可得，（1-Ze）©荏+IAC）=AC-^AB,

l-k__k

!三二；，得k=-1，

所以，而=-而，即DF=CF,故选项B错误.

故选：ACD.

♦类型3坐标法

【例题1-3］（多选）（2023•全国•高三专题练习）如图,在菱形4BCD中，乙BAD=60。，延

长边CD至点E，使得=CD.动点P从点力出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到4点,

若种=XAB+fiAE，则（）

A.满足4+“=1的点P有且只有一^

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B.满足4+ii=2的点P有两个

C.A+〃存在最小值

D.A+H不存在最大值

【答案】BC

【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，然后利用点P的四种位置进行分类讨论即可.

【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，设菱形ABC。的边长为1,P(x,y),则

4(O,O),B(I,O),C(|¥),DG《),E(-消),

所以布=(1,0),AE=(-|(y),AP=(x,y),

由而=AAB+fiAE，得(%,y)=4(1,0)+=(2一|出手〃),

x=A—〃

所以｛V32,所以入+〃=%+V3y,

Iy=

①当点尸在>18上时，04％41,且y=0,

所以；I+〃=%+V3y=xE[0,1]；

②当点P在BC(不含点B止时，则丽=mBC所以(x-l,y)=m(|,^)化简y=-1),

所以A+〃=%+V3y=%+3(%—1)=4%—3,

因为1<X<I,所以1<4x-3w3,即4+〃e(1,3]；

③当点P在CD(不含点C)上时，之Wx<|,且、=?,

所以1+^<x+V3y<|+|,即2<x+V3y<3,所以A+〃e[2,3)；

④当点P在4D(不含点A、D)上时，则而=nAD,所以(x,y)=几&')，化简y=员,

所以4+〃=%+V3y=%+3%=4%,

因为。<X<J所以。<©<2,所以2+〃e(0,2);

对于A,由①知，当％+〃=1时，X=1,此时点P与点8重合；

由④可知当4+〃=1时，x=；,y=f,此时点P在4。的中点处；

44

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其它均不可能，所以这样的点P有两个，所以A错误，

对于B,由②知，当2+〃=2时，久=[y=亨，此时点P在BC的中点；

由③知，当4+4=2时，久=[y=苧，此时点P在点。处；

其它均不可能，所以这样的点P有两个，所以B正确，

对于CD,由①②③④可得：

当％=y=0,即点尸为点Z时，2+〃取到最小值0;

当比=I，y=苧，即点p为点c时，A+“取到最大值3,所以C正确，D错误,

故选：BC.

【点睛】关键点睛北匕题考查平面向量基本定理的应用，解题的关键是建立平面直角坐标系，

然后分类讨论，考查数形结合的思想，属于较难题.

【变式1-3】1.(多选)(2024秋•安徽•高三合肥市第八中学校联考开学考试)古希腊数学

家特埃特图斯(Theaetetus)利用如图所示的直角三角形来构造无理数.已知AB=BC=

CD=1,AB1BC,AC1CD,4C与BD交于点。，若丽=AAB+(1AC，贝+〃=()

【答案】A

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【分析】建立平面直角坐标系，求得相关点坐标，求得相关向量坐标，根据丽^XAB+tiAC,

结合向量坐标运算，即可求得答案.

【详解】以C为坐标原点，CD,S所在直线分别为居y轴建立如图所示的坐标系,

由题意得力C=V2,

则4（0,企）,B（今日）,说=（T<-T）-^=

因为C8=CO=1/DCB=90°+45°=135°,故N8DC=22.5°,

因为tan45。=1，所以tan22.5。=&—1(负值舍去),

所以。C=DC-tan22.5°=近一1,

故0(0,a-1).又D(-1,0),则加=(1(V2-1),

V2A

2一

因为。。=A.AB+uAC,

V-2A

--2

解得仁二咚，所以4+〃=/一1,

故选：A.

【点睛】方法点睛：注意到题目中的垂直关系，由此可以建立直角坐标系，利用向量的坐标

运算来解决平面向量基本定理中的参数求解问题.

【变式1-3]2.（多选）（2023秋•重庆万州•高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）

重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爰.

古人曾有诗赞曰："开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.

荣昌折扇平面图为下图的扇形COD,其中NC。。=¥,。。=4。2=4,动点P在⑶上（含

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端点），连结OP交扇形OAB的弧AS于点Q,且丽=xOC+yOD,则下列说法正确的是

A.若y=x,贝！+y=1B.若y=2x，贝！］。2-OP=0

C.AB-OP>-2D.PA-PB>—

2

【答案】BD

【分析】作。E1OC,分别以OC,OE为x,y轴建立平面直角坐标系，利用向量坐标求解即

可.

【详解】如图，作。E10C,分别以0&0E为X,y轴建立平面直角坐标系,

则4(1,0),C(4,0),,O(-2,2V3),

设Q(cose,sin。),。G号］，则P(4cos8,4sin9)

由=xOC+可得cos。=4x—2y,sin3=2V3y,且％>0,y>0,

2

若y=x,则cos?。+sin20=(4v—2y)2+(2V3y)=1,

解得％=y=；(负值舍去)，故％+y=JA错误;

若y=2x,则cos。=4%—2y=0,8=1,示赤=0,故B正确；

AB-OP=(一暂,日)•(4cos6,4sin。)=-6cos6+2V3sin0=4V^sin(6—g)

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由于六［0图，故"合卜黑］,

故-6<4V3sin(0-<6,故C错误；

由于刀=(l-4cos0,-4sin0)/P^=(―|-4cos0,—4sin0)

PA-PB=(l-4cos0)x^―|—4cos。)+(-4sin0)xg—4sin9)=y-2cos0—2V3sin0=

T-4sin(0+§而。+标［J羽，所以sin(0+》『原1］,

所以两.PB=^-4sin(0+g)22-4=彳，故D正确，

Zozz

故选:BD

【变式1-3］3.(2023•全国•高三专题练习)正方形ABCD的边长为4,E是BC中点，如

图，点P是以AB为直径的半圆上任意点，方=4荏+〃荏，则()

A.〃最大值为1B.4P4B最大值是8

C.4最大值为，1~1D.AP-AC最大值是8+8V2

4

【答案】AD

【分析】建系，设P(2cosa2sin0),根据向量的坐标运算结合三角函数的有界性逐项分析运

算.

【详解】如图，以AB的中点0为坐标原点，建立平面直角坐标系，

则4(-2,0),B(2,0),E(2,2),C(2,4),

设P(2cos8,2sin0)(。6[0,n]),

可得和=(2cos0+2,2sin0),AB=(4,0),ZF=(4,2),XC=(4,4),

贝+/1AE=(44+4〃,2〃)，

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由题意可得产+¥U噜+2,解得户*s"2sine+1)

(2〃=2sm”I〃=sing

对于A:"=sin。,且。e[0,n],可得当。=,sin。取到最大值1,

・•.〃最大值为1,故A正确；

对于B：AP-AB-4(2cos0+2)=8(cos0+1),

-0G[0,n],可得当8=0时,cos。取到最大值1,

.•・都•屈最大值是8(1+1)=16,故B错误；

对于C：'.'A—|(cos0—2sin0+1)='cos(0+尹)+|,其中tan?=2,(pG,(0,,

由0e[0,川，贝!|O<0WO+0WTT+S<§,

令(P<9+(p<n,解得。<9<n-(p；令n<9+cp<TI+(p,解得n-(p<9<TI;

故4=ycos(6»+9)+纸[O,TT-0)上单调递减，在[IT-%IT]上单调递增，

当6=。时，贝!U=1；当6=TT时，贝=0<1；

.•/最大值是1,故C错误；

对于D：AP-AC=8cos。+8+8sin0=8鱼sin(9+以+8,

e[Oji],贝!TE

4L44JZ

则当。+?=》即8=即寸，sin+习取到最大值1,

-,-AP,AC最大值是8+Sy/2,故D正确；

故选：AD.

【点睛】方法定睛：1.平面向量的线性运算要抓住两条主线：一是基于"形"，通过作出

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向量，结合图形分析；二是基于"数"，借助坐标运算来实现.

2.正确理解并掌握向量的概念及运算，强化"坐标化”的解题意识，注重数形结合思想、

方程思想与转化思想的应用.

【变式1-3】4.(2023•北京海淀•校考模拟预测)已知点。是边长为4的正方形的中心，

点P是正方形ABCD所在平面内一点,|0?|=1,若方^XAB+fiAD.

(1)屈勺取值范围是一；

(2)当4+H取得最大值时，|四=

【答案】[泊2V2+1

【分析】建立以A为原点的坐标系，可得P的轨迹方程,由P的轨迹方程可知1<%<3,

即1<42<3从而得第一问答案就二方代入P的轨迹方程得(4-1)2+(〃-T=2，

f._1,1

A.=­I—COSPn

设：:,。6[0,2在)，利用三角函数求得当。=%寸，2+4取最大值，代入即可得

it—-+-sin04

24

.第xTJ一空-I—今口室

【详解】解：建立以A为原点的坐标系，如图所示：

由师|=1可得P的轨迹是以0(2,2)为圆心，1为半径的圆，

设P(x,y),则有(x-2尸+(y-2)2=1,

所以标=(x,y),

又因为说=(4,0),而=(0,4),

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所以m,

由P的轨迹方程可知1<%<3,

SP1<4A<3,所以：<A<|,

所以4的范围为：品]；

将｛；=力代入(X_2)2+(y_2)2=1,得(%_|)2+Qu-1)2=^,

所以点(尢⑨在圆(％-|)2+(y-j)2=2上,

(A=-+-cos0

设《1t,06[0,2n),

[M=-+-sine

则2+fi—1+[(sin0+cos0)=1+岳,

所以当。=即寸，2+〃取最大值，此时4="=噌,

所以而=AAB+liAD=—(AB+AD),

8

所以|存|2=(如鸟2(四+而)2=9+4V2=(2A/2+I)2,

所以|函=2V2+1.

故答案为:g勺；2V2+1

44J

【点睛】方法点睛：对于较复杂的平面向量中涉及范围的问题，通过建模，将问题转化向量

的坐标运算，从代数角度出发进行解答，从而降低难度.

【变式1-3]5.(2023・全国•高三专题练习)在直角梯形A8CD中,AB1AD,AB〃DC,AD=

DC=1AB^2动点P在以点C为圆心，目与直线8。相切的圆上或圆内移动设方=AAD+

46R),则不+(%〃最大值是.

【分析】建立合适的直角坐标系，求出各个点的坐标，根据点到直线的距离公式求得圆C的

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方程，再求出P点坐标，建立关于尢4的不等式，令t=代入不等式，根据判别式大于

零可得t的范围，化简於+：川为关于4的二次函数，开口向下，可取得最大值，求出最大值

时4,〃工的值可证明其存在，即可得出结果.

【详解】解：以4为原点，分别以方向为居y轴，建立如图所示直角坐标系：

所以4(0,0),8(2,0),C(l,l),D(0,l),所以前=(0,1),AB=(2,0),

因为圆C直线BD相切,而+2y-2=0,圆心C(l,l),

所以半径r=^=g,所以圆。：(x-l)2+(y-l)2-|,

因为布=AAD+fiAB=2(0,1)+(1(2,0)=(2%4),

即P(2〃")，因为动点P在圆C上或圆C内移动，

所以(2〃-1)2+("1)2.，设t=2+〃，则4=t_“，

所以不等式可化为：(2〃-l)2+(t-l-M)2<|,

所以5r—(2t+2)〃+Q—1)2+?w0,易得不等式有解，贝必20,

所以(2t+2)2—4X5x((t—I)?+()20,即严—3t+2W0,解得1<t<2,

所以原式下+—A2+=—|A2+

=--(A--V+-t2<-t2,

2\1074040

所以当t=2=?即4=(,〃=|时，(万+三加)=得

XUbb\jy^aX

故答案为：

【点睛】思路点睛:该题考查向量结合直线与圆的综合应用，属于难题，关于该题的思路有：

(1)图形比较规则，建立直角坐标系来解决向量问题；

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(2)得到关于尢〃的不等式中没有a-M,所以取t=4+〃，建立；之间的关系；

(3)用判别式求得珀勺范围，化简所求式子至二次函数的形式；

(4)根据二次函数的最值及珀勺范围求出最值.

♦类型4等和线法法

*上噌重点

等和线原理：0A=AOB+iiOC<=>A+/z=1

OF=MB+IJ.OC<=>%+〃=mm=—,

【例题1-412023•全国•高三专题练习旧知4B、C是圆。：/+>2=4上的三点^AOB=

y,C。的延长线与线段48交于点。,若反=mOA+nOB,则血+n的取值范围为.

【答案】[-2,-1]

【详解】解法一：如图1,不妨设4(2,0),B(-l,圾,C(2cosa,2sina),其中aG卜兀,-外，

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贝！]沆=(2coscr,2sina),o7=(2,0),OB=(-1,V3),

因为元=2m—n=2coscr

V3n=2sina

所以zn=—sina+cosa,n=—sina,故TH+n=V3sin(z+cosa=2sin(a+,因为aE

33\6/

所以a+,€,故sin(a+?)e1,—|],即m+nE[—2,—1].

解法二：如图2，由等和线定理，当点C与点G或点心重合时，爪+n取得最大值，设直线。停2

与直线。。交于点E,/LAOB=等=乙BOD=-^>\0D\=\0B\'coszBOD=1=>\OE\=1n

幽=]

I。叫'

所以6+n的最大值为-1；将直线4B向下平移至直线2,使1与圆。相切于点C3,

当点C与。3重合时，m+八取得最小值，当点c与。3重合时，m+n取得最小值，

当第=2,所以m+ri的最小值为一2,从而m+nC[-2,-1].

题型2向量数量积最值取值范围问题

一料均重盒

求两个向量的数量积有三种方法：

(1)利用定义(包括向量数量积几何意义)

(2)利用向量的坐标运算(自主建系，只要题目有可以建系的条件，可通过建系法求解)；

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（3）利用向量三角不等式

♦类型1定义法

【例题2-1］（2023・全国•高三专题练习）如图，△4BC中，“=£,AC=2,BC=巡+&.

在△ABC所在的平面内，有一个边长为1的正方形4DEF绕点4按逆时针方向旋转（不少于1

A.[—3,5]B.[—4,6]C,[—5,9]D.[—3,4]

【答案】A

【分析】由余弦定理求得AB=2V2，由正方形4DEF的边长为1，求得4E=6/DAE=45。，

利用向量的数量积的公式，化简得到版•丽=荏・（而-布）==1-4COSNB4E,结合

cos^BAEe[-1,1],即可求解.

【详解】在△ABC中，乙C=二｛AC=2,BC=网+正，

4

由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC-BCcosC=4+（迎+V2）2-2x2（V6+V2）x

—=8,

2

所以AB=2V2,

又由正方形ADE尸的边长为1,可得4E=a/DAE=45°,

则AE-BD^AE■（AD-AB）^AE-AD-AE-AB^\AE\\AD\cos/.DAE-

网函cosNBAE

=A/2x1xcos45°—A/2X2y/2cosz.BAE=1-4-cos/-BAE,

正方形4DEF绕点4按逆时针方向旋转（不少于1周），可得COSNBHEG[-1,1],

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所以1-4coszBX£e[-3,5],即版•前的取值范围是[—3,5].

故选：A.

【变式2-1]1.(2023•全国•高三专题练习)在44BC中，N4=60。，BC=2百，O为&ABC

的外心,D,E,F分别为AB,BC,CA的中点,且亦+律+律=4,贝奥-OB+OB-

OC+OC-OA=.

【答案】-4

【分析】先求出|示|=\OB\-|OC|=2.设乙4OB=a/BOC=£厕乙40c=2n—a—/?.由

OD2+OE2+OF24,利用二倍角公式求出cosa+cos/?+cos(cr+/?)=-1,根据数量积

的定义直接求解.

【详解】如图示，作出△力BC的外接圆O,设半径为R.

DyB

由正弦定理得：煞=2R,即孺=2R,解得：R=2,所以|西=|函=\0C\=2.

设乙4。8=a,乙BOC=0,贝!U40C=2n—a—0.

所以OA-OB+0B-OC+0C-0A=\0A\■|0B|cosa+\0B\■|OC|cos/?+|0C|•

|OA|COS(2TT—a—/?)

=4cosa+4cos£+4cos(a+/?).

因为0为AABC的外心,所以N&。。=^z.AOB=*所以|而|=|OX|cos^=2cos/

同理：|西=2cos|,|OF|=2cosq.

因为^^2+OF2+OF2=4,所以(2cos。+^2cos=4,

所以cos2]+cos2与+cos2=1.

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由二倍角的余弦公式可得：coscr+cos0+cos(cr+£)=-：!.

所以。2-OB+OB-OC+OC-OA—4cosa+4cos£+4cos(a+£)=—4.

故答案为：-4.

【点睛】向量的基本运算处理的常用方法：

(1)向量几何化：画出合适的图形，利用向量的运算法则处理；

(2)向量坐标化：建立适当的坐标系，利用向量的坐标运算处理

【变式2-1]2.(2023秋•上海浦东新•高三上海市实验学校校考开学考试)“圆幕定理”是

平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条

相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆。的半径2，点P是圆。内的定点，

且。P=V2,弦4C,BD均过点P,则下列说法错误的是()

K.PA-而为定值B.0A-方的取值范围是[-2,0]

C.当2C1BD时，AB■而为定值D.|前卜|丽|的最大值为12

【答案】B

【分析】过。,P作直径EF,利用向量加减几何意义得同•丽==-(|0F|-\0P\X\0F\+

I加I)判断A；若M为4C中点，连接。M,应用向量线性运算的几何意义及数量积的运算律、

圆的性质得色？-OC=2»-4进而求范围判断B根据垂直关系及屈-CD=(AP+PBy

(而+而)、数量积得运算律化简判断C；若N为BD中点,连接。N,圆的性质易得

2222

\AC\画2=16(4-0M)-(4一0N),应用基本不等式及。肥+ON>OP?求最值,

注意取值条件判断D.

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【详解】如图，过O,p作直径EF,

由题意方•元=-\PA\\PC\=-\PF\\PE\=-\0F-OP\\OE+P0\,

所以万•丽=-\0F-OP\\-(OF+0P)\=-\0F-OP\\OF+0P\

=-(|0F|-|OP|)(|OF|+|函)=函2-।函2)=—2为定值，A对；

若M为4C中点，连接。M,则

OA-OC(0M+MX)-(0M+MC)=0M2+0M-(MA+MC)+~MA-MC

=~0M2-(4-丽2)=2OM2-4,

由题意0<OM2<0P2=2,则②5-OC6[-4,0],B错；

若AC1BD,故而CP=APPD=O,

贝(W-CD=(AP+PB)•(C?+RD)=AP-CP+PB-CP+AP-7D+PB-PD,

又港-PC=-2,则Q-CP=-2,同理可得丽-PD=-2,故国・丽=一4,C对；

若N为BD中点，连接。N,则

\AC\2■\BD\2=16(4-OM2)-(4-ON2)<16•岭"：")”,

当且仅当4-OM2=4-ON2,即OM?=ON?时等号成立，

此时。M2+ON2>OP2=2,即|前『.\BD\2<144,贝!!|前|•|丽|<12,

综上，当且仅当。M2=ON2=1时|荷•|丽|的最大值为12,D对.

故选：B

【点睛】关键点点睛：根据定义及向量线性运算的几何意义，结合数量积的运算律转化各项

数量积或乘积关系，再由圆的性质、基本不等式判断各项正误.

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【变式2-1]3.(2023春福建福州•高三校考阶段练习)圆。为锐角4A8C的外接圆，AC=

2AB=2,点P在圆。上,则丽•前的取值范围为()

A.[-|,4)B.[0,2)C.[-|,2)D.[0,4)

【答案】C

【分析】把丽­而转化为前AO+OPAO，由余弦定理、数量积的定义得前-AO=r2-^,

讨论P的位置得丽-XOG[-1,2r2-|],结合锐角三角形BC=2rsinzS4C＜遮恒成立，即

可得范围.

【详解】由AABC为锐角三角形，则外接圆圆心在三角形内部，如下图示，

P

又於-AO^(BO+OP)-Ad^BO-Ad+OP-AO,而AC=248=2,若外接圆半径为r,

则2r2(1-cos^AOB)=2r2(1-Cos2C)=1,故cos2c=1-白，且2r>2,即r>1,

由8。-AO=\BO\\AO\cosz.AOB=r2cos2c=r2—|,

对于■而且P在圆。上,当4P为直径时而-AO^r2,当4P重合时m-AO^-r2,

所以-AOe[—r2,r2],

综上，前.南€[一|,2「2心，

锐角三角形中NB4C<90°,则BC<山1羊2+45=V5,即BC=2rsinz.BAC<代恒成立，

所以1<r<苧,则2r2_1<2恒成立,

综上,BP-AOG[―|,2).

故选:C

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【变式2-1]4.（2023,全国,局）三专题练习）已知△28C中,/.A=60°,AB—6,AC=4,

。为△ABC的夕卜心，若同=4屈+〃就，贝（M+4的值为.

【答案】

lo

【分析】由题意可知，0为4ABC外接圆的圆心，过0作0D1AB,OELAC,已知等式两

边同乘以南,结合数量积定义得64+2〃=3,同理得32+4〃=2,从而两式联立即可求得

2+〃的值.

【详解】由题意可知,。为A4BC的外心,

设半径为r,在圆。中，过0作。。1AB,OEVAC,垂足分别为D,E,

因为而=AAB+iiAC,两边乘以荏,即而­AB=AAB2+（1AC-AB,

6

而，荏的夹角为,而coszOAD=£=}='

贝!]rx6x：=36/l+〃x4x6x],得62+2〃=3①，

同理前=AAB+〃前两边,即而•AC=AAB-AC+fiAC2,coszOXC=|,

则rx4x；=/Lx6x4x[+16%得34+4“=2②，

①②联立解得4=£,〃=；,

yo

所以，+〃=*=!

故答案为：2

lo

【点睛】关键点睛：解答本题的关键是将而=力而+〃前两边分别乘以荏，前，结合数量

积定义化简得到关于九〃的方程，求得答案.

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【变式2-1］5.(2023・全国•高三专题练习)如图，菱形28CD的边8C上有一点E,边DC上

有一点尺E尸不与顶点重合)且|8引〉］。靖，若ANEF是边长为旧的等边三角形,^］BA-BE

的范围是

【答案】(1.

【分析】过4作AG1BC于G,AH1CD于H,根据已知得出Rt△AGE=RtAAHF,即可得

出NGA"=Z.EAF，则NB=T，设4B=a,BE=b，可得］<b<a，且根据余弦定理在△ABE

可得3=a?+62一防，设［防=S,根据三<b<a结合不等式性质得出S<广<2S,设函

数9(%)=岑+%—2S，根据对钩函数单调性得出g(2S)<。(炉)<g(s)，根据3a2+b2-

ab结合［ab=S得出3=衰+块_2S,即可由g(2S)<g(b2)<g(S)解出S的范围,再根据

向量数量积的定义得出瓦？,靛=：ab=S即可得出答案.

【详解】如图所示：过4作AG1BC于G,AH1CD于H,

・•・ABC。为菱形，

•••AG^AH,

4EF是等边三角形，