2025年高考数学大题复习训练：分组法和并项法求数列前n项和（解析）

第03讲分组法和并项法求数列前n项和

考法呈现

弘考法一：分组法求数列前n项和

［例题分析

［例1］已知数列5｝满足号+||+…+(冶(neN*).

(1)求｛an｝的通项公式；

(2)在｛册｝相邻两项中间插入这两项的等差中项，求所得新数列｛6n｝的前2〃项和72n.

【答案】(1)%=351(>16用)

(2)7'2n=f(3"-l)

【分析】(1)£+墨+…+$=N*),可得n22时，■+墨+…+|^r=*，两式相减，可得斯=

3”i(n22),检验的即可得答案;

(2)设数列｛%｝满足7=吟胆=2X3"T,｛aj的前n项和为Sn,｛%｝的前n项和为洒,则T2n=&+S”,

根据等比数列求和公式，代入计算，即可得答案.

【详解】⑴因为,+£+…+S=((neN*)①,

所以九22时，岸+墨+…+箫=?②，

①一②得：瑞=］一空=/即％=37(践22),

又n=l时，年=%所以的=1也满足上式，

故｛%｝的通项公式为册=3n-1(neN*).

(2)设数列｛0｝满足c”=主产=2x3f

记｛%｝的前几项和为Sn，｛%｝的前几项和为Rn，则72n=Rn+Sn.

n

由等比数列的求和公式得：S,=S=:(3n—1),Rn=2Sn=3-1.

所以T2n=Rn+Sn=|(3"l).

即新数列｛3｝的前2n项和72n=|(3八—1).

满分秘籍

若数列｛潟的通项公式为4=当土如且｛aj,｛划为等差或等比数列，可

采用分组分别求和法求数列｛5｝的前A项和.

变式训练

【变式1-1］已知正项数列｛an｝的前兀项和为5几，满足an=2户-1.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

(2)若"=ancos等，求数列｛0｝的前3n+1项和T^+r

【答案】(1)%=2九—1

⑵弓+1=三

【分析】(1)利用和与项的关系可得(an+a,l-i)(an—an-i-2)=0,由an+an_1*0可得an—%-1=2,

再利用等差数列的通项公式即可求解；

(2)根据cos等的周期性，利用分组求和的方法即可求解.

2

【详解】⑴an=2y/~S^—1=>(an+l)=4Sn,

当九22时，(册_i+1)2=4S九_i，两式子作差可得

2a

碎-«n-i+n-20n_1=4an=成一碎_1-23n+On_1)=0=(册+%_i)(Qn一-2)=0,

又a九+。九—1W0,所以a九—a九—1—2=0a九—a九—i=2,

可得数列｛%｝为公差为2的等差数列，

当九二1时，的=2y[s[—1今%—2y/a[+1=0=>—I)2=0=%=1,

所以，数列｛册｝的通项公式为斯=%+(几一l)d=2n-1.

(2)bn=QnCOS等=(2n—1)COS等,73n+1=瓦+勾+/+b3n一2+b3n-l+b3n+力3九+1'

r=ix(-|)3x(-|+5x1+…+(6n-5)x(一；I)+(6n-1)x1

3n+1++(6n—3)x

+(6n+1)x£

n(l+6n—5)n(3+6n—3)n(5+6n—1)

---------------------xI+---------------------x+x1+(6n+1)x

222

3n23n22।o

---------Fn---------1-o3n”+2n—3cn—1二—1

2222

所以，数列｛%｝的前3n+1项和73n+l=-1

【变式1-2】在等比数列｛册｝中，已知助=4,⑥=32.

⑴求数列｛册｝的通项公式;

n

(2)设与=(-l)-log2an,求数列｛%｝的前几项和Sn.

【答案】(1知=2n

—手1，n为奇数

(2凡=

],n为偶数

【分析】(1)利用等比数列的通项公式得到关于ai，q的方程组，解之即可;

(2)先由(1)得bn=(-l)n-n,再分类讨论n为奇数与n为偶数两种情况，利用并项求和法即可得解.

【详解】(1)因为在等比数列｛aj中,a2=4,a5=32,设其公比为q,

嘉二〉解得a1=2

所以

.q=2

所以数列｛aj的通项公式a。=2x2-1=2n.

(2)由(1)得bn=(-l)n・log2an=(-l)n・n,

所以数列｛bn｝的前n项和Sn=-1+2-3+4-54-6-7+8+-+(-l)n«n,

n—1n+1

当n为奇数时，S=-1+2-3+4-5+6-7+84--—n=--------n=---------：

n22

当n为偶数时，Sn=-1+2—3+4—5+6—7+8+…+n=5；

-等,n为奇数

所以Sn='

：,n为偶数

【变式1-3］在等比数列｛an｝中,a7=8a4,且轲，。3—4,。4-12成等差数列.

(1)求｛%｝的通项公式；

n

(2)设"=(-l)log2an,数列｛bj的前n项和为〃，求满足I限I=20的人的值.

【答案】⑴a0=2叫

(2)40或37.

【分析】(1)利用等比数列的通项公式，结合等差中项的意义求出公比及首项作答.

(2)由(1)的结论求出味，再分奇偶求和作答.

【详解】(1)设｛aj的公比为q,由27=824,得a4q3=8a4，解得q=2,

由5a2,a3—4,—12成等差数列，得2(S3—4)=ga2+-12,即2(4a1—4)=a1+8al—12,解得a1=4,

所以数列｛aQ的通项公式是an=4x211-1=2n+1.

nn21112n

(2)由(1)知，bn=(-l)log2an=(-l)(n+l),+b2n=(-I)--2n+(-l)(2n+1)=1,

当k为偶数时，Tk=⑸+b2)+(b3+b4)+-+(bk_i+bk)=p令人|=T=20,得k=40；

当k为奇数时，Tk=Tk+i—bk+i=等一(k+2)=—警，令|Tkl=^=20,得k=37,

所以k=40或37.

【变式1-4】Sn为数列｛册｝的前7i项和，已知6Sn=碎+3an-4,且册＞0.

(1)求数列｛%｝的通项公式an；

2345678910

(2)数列出„｝依次为：的,3,a2l3,3,a3l3,3,3,a4,3,3,3,3-,规律是在以和依+i中间插入k(keN*)

项，所有插入的项构成以3为首项，3为公比的等比数列，求数列｛%｝的前100项的和.

【答案】(l)an=3n+l

(2号

【分析】(1)利用项与和的关系即可求解；

(2)先确定数列｛、｝的前100项中含有｛aj的前13项，含有｛3口中的前87项，再利用分组求和的方法即可

求解.

【详解】(1)当n=l时，6sl=6al=a,+3al—4,解得a1=4(a]=—1舍去),

由6Sn=a,+3an—4得nN2时,6Sn_t=区_1)2+3an_r-4,

aaa

两式相减得6an=aR-a„-i+^n-3an_^,(an+an-i)(n—n-i_3)=0,

因为an>0,所以an-an_i=3,

所以相口是等差数列，首项为4,公差为3,

所以Hn=4+3(n-1)=3n+1；

(2)由于1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78,78+12<100,

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13=91,91+13>104

因此数列｛bn｝的前100项中含有｛an｝的前13项，含有｛3口中的前87项，

匚工ndc4,13x12c.3(1-387)388+569

所求和为S=4X13+——X3+\)=―--.

为考法二：并项法求数列前n项和

悬，例题分析

【例2］已知数列｛an｝的前n项和无满足2Sn=(n+l)an,且即=1.

(1)求｛册｝的通项公式;

n

(2)若“=(一l)a„,求数列｛bj的前？I项和7n.

【答案】(1月=n

(号\n为偶数

⑵Tn=l-争,n为奇数

【分析】(1)根据a。=Sn-Sn_1(n>2)作差得到(n-l)an=na-i，即可得到曰=署，从而得至U｛半｝是常

数数列，即可得解；

(2)由(1)可得bn=(-l)nxn2,对n分奇、偶两种情况讨论，利用并项求和法计算可得.

【详解】(1)因为2Sn=(n+l)an，当n22时25-1=皿-1，

所以2Sn—2Sn_i=(n+l)an-nan_i，即2an=(n+l)an-nan_x,

所以(n-l)an=nan_v

所以£=普，即｛?｝是常数数列，又ai=l，所以4=1，则an=n.

(2)因为bn=(-l)na2=(—l)nXn2,

当n为偶数时，Tn=-l2+22-32+42+•-•+[-(n-I)2]+n2

=(22-l2)+(42-32)++[n2-(n-l)2]

=(2—1)(2+1)+(4—3)(4+3)+■■,+[n—(n-1)][n+(n—1)]

=2+l+4+3+…+n+(n-1)=

当n为奇数时，T；=一l2+22-32+42+…+(n-l)2-n2

=(22-l2)+(42-32)+…+[(n-I)2-(n-2)2]-n2

=(2—1)(2+1)+(4—3)(4+3)+,,,+[(n—1)—(n—2)][(n—1)+(n—2)]—n2

=2+1+4+3+•■■+(n-2)+(n-1)-n2=芈-'-M

警,n为偶数

综上可得兀=

-4,n为奇数

满分秘籍

“并项求和”一般包括两类问题：①同一数列的相邻两项（三项或多项）

并成“大项”之后，各个“大项”又呈现出有规律特征，进而通过“大项”的

求和得出结果.②两个数列对应项的和（差）并成“大项”，通过求“大项”的

和得出结果.

变式训练

【变式2-1］已知｛%｝是等差数列,的=1,d不0,且的,a2,成等比数列.

⑴求数列｛%｝的通项公式;

9

Q)令bn=CLn(n+l)记％=-历+82—+…+(-1)”九，求S葭.

【答案】（l）an=n

为奇数

(2)S=

n华,n为偶数

【分析】(1)根据等比中项的性质及等差数列通项公式得到方程，求出d,即可求出通项；

(2)由(1)可得bn=n(n+l),在分n为偶数、奇数两种情况讨论，利用并项求和法计算可得.

【详解】(1)因为｛aj是等差数列，a1=l,dWO,且a2,成等比数列，

所以=^29即(1+d>=1x(1+3d),解得d=1或d=0(舍去)，

所以an=l+(n—l)xl=n.

(2)由题意an=n知，bn=an(n+1)=n(n+1),

n

所以Sn=-bi+b2—b3+•••(—l)bn

=-1x2+2x3-3x44-4x5——+(—l)nn(n+1).

当n为偶数时，

Sn=(b2—b。+(b4—bg)+,,,+(bn-bn-i)=2x2+2x4+…+2xn

=2(2+4+…+n)=2[2x2+3目)x2]=

'7222

当n为奇数时，

(n+i)2；2(n+i)_(n+i)(n+2)=-吟.

Sn=Sn+i—bn+1

-为奇数

综上Sn=

牛,n为偶数

【变式2-2］记外为数列｛册｝的前n项和，已知的=1,且满足n%+i-(n+l)an+1.

(1)证明：数列｛an｝为等差数歹(J；

(2)设0=小泞cosn兀，求数列｛bj的前2n—1项和72-1.

【答案】(1)证明见解析

(2)T2n_!=-n-2

【分析】(1)方法1：由皿叶1=(n+l)an+l可得筑一£=版扁，由累加法求出场户，再证明数列｛aj

+

为等差数列；方法2：由nan+1=(n+l)an+1可得黑+^=7?可证得｛乎+§为常数数列，求出耳｝,

再证明数列｛aj为等差数列；方法3：由初叶1=8+1/11+1可得1^11+1=(11+1/11+1,两式相减可明

数列｛aj为等差数列；

(2)由⑴知Sn=岛所以bn=(—l)n(n+2),方法1：由并项求和法求出数列｛、｝的前2n-1项和T?2;

方法2：由错位相减求和求出数列｛bj的前2n-1项和T2-1.

【详解】（1）方法1：

na=(n+l)a+1,皿1=-+1

叱n+1'，1n1n+1nn(n+l)

...n22时，^=^-+-1-,

nn—1n(n—lj

累加得：啊=?+1_工=吧，

n1nn

an=2n—1,n=1时也成立，an=2n—1.

an—an.i=2,.・・{an}是等差数列

方法2：

:na^=(n+l)a+1,电斗=-H-

n+i、7nnn+lnn(n+l)

,an+l।1_3n_|_工

n+ln+lnn

.•.伊+4为常数数列，.•.&+□=?+1=2,

InnJnn1

an=2n-1,an-an_x=2,{aj是等差数列.

方法3：

当n22时，(n-l)an=nan^+1①，

nan+1=(n+l)an+1②，

②-①可得：nan+1-(n-l)an=(n+l)an-nan_x

2an=an_1+an+1,

{aj是等差数列，因为a】=1,a2=3,an=2n-1.

(2)由(1)知Sn=n2,所以bn=(—l)n(n+2),

方法1:并项求和

当n为偶数时，

n

bn+bn+1=(-l)(n+2)+(-l)n+i(n+3)=-1,

T2n-i=bx+(b2+b3)+…+(b2n-2+bzn-i)=-3+(n-1)x(-1)=-n—2

方法2：错位相减求和

T2n_1=—3+4-5+6+……+(-l)2n-i(2n+1)①

(―1)丁2-1=3-4+5-6+……+(-l)2n(2n+1)②

①-②：2T2n-i=-3+1—1+1—1+........+1+(―1)—(2n+1)=-4—2n

•••T2n-i-n—2

【变式2-3］已知｛aj是各项均为正数的数列，Sn为｛“；｝的前〃项和，且何，Sn,0n-2成等差数歹人

(1)求｛an｝的通项公式;

(2)已知bn=(-1T时,求数列｛%｝的前n项和7n.

【答案】(1岛=(n+I)2

-n2-3n—4

,n为奇数

⑵Tn=

n2+3n

n为偶数

2，

【分析】(1)由恒，sn,an—2成等差数列，得2Sn=佝;+an—2,n=l时得炳=2；nN2时求得相一

佝五=1，可知｛何｝是首项为2,公差为1的等差数列，利用等差数列的通项公式可求得相，进而求得an；

(2)由(1)知bn=(—l)n(n+l)2,分n是奇数、偶数可得Tn.

【详解】⑴由相，sn,2成等差数列，得2Sn=V^+an—2,①

当n=1时，+3i-2,

/.aT-751—2=0,得洞^=2(07=-1舍去)，

aa

当nN2时，2Sn_i=Vn-1+n-i-②

①一②得，V^n-l+Hn—3n-1f

・・V^n+-\/an-l=an-an-l=(V^n+Van-l)(V^n—Van-1)，

又+V^n—1H°，,•-V^n—1=1，

，｛相｝是首项为2,公差为1的等差数列，

-^5^=2+n—l=n+l,

故an=(n+l)2；

(2)由(1)知bn=(-l)n(n+1)2,

当n是奇数时，Tn=-22+32-42+52-62+72--------(n-I)2+n2-(n+I)2

=(3-2)(3+2)+(5-4)(5+4)+(7-6)(7+6)+-••+[n-(n-l)](n+n-1)-(n+l)2

5+2n—1n—1

=5+9+13+…+(2n—1)—(n+1)9—-------------x--------(n+1)9

_—n2—3n—4

―2'

22222222

当n是偶数时，Tn=-2+3-4+5-6+7--+n-(n+l)

=(3-2)(3+2)+(5-4)(5+4)+(7-6)(7+6)+…+[(n+1)-n](n+n+1)

5+2n+lnn2+3n

=5+9+13+…+(2n+1)=X-=

222

n2—3n—4

,n为奇数

综上冗=■2

n2+3n

n为偶数

、~~2~，

【变式2-4】设等比数列｛册｝的首项为的=2,公比为q(q为正整数)，且满足3a3是8al与的等差中项;

数列｛%｝满足2712一(t+6n)兀+|垢=0(teR，n€N*).

(1)求数列｛册｝的通项公式；

(2)试确定t的值，使得数列｛%｝为等差数列；

(3)当｛%｝为等差数列时，对每个正整数匕在以与在+i之间插入为个2,得到一个新数列｛cj设〃是数列｛品｝

的前几项和，试求Boo.

【答案】⑴an=2n

(2)t=3

(3)2226

【分析】(1)由已知可求出q的值，从而可求数列｛aQ的通项公式；

(2)由已知可得,=空常，根据数列｛、｝为等差数列，得到bi+b3=2b2,再求出t的值即可；

n-

(3)根据题意可知｛.｝的前100项，由90个2,ai，a2，a3,…,a/aio构成，再利用分组求和法求解即可.

【详解】(1)由题意，可得6a3=8a1+as，所以6q2=8+q3

解得q2=4或q2=2(舍)，则q=2,

又a1=2,所以an=2n.

(2)由2n2-(t+bjn+jbn=0,得味=

2n--

所以b]=2t—4,b2=16—4t,bg=12—2t,

因为数列｛bj为等差数列，所以bi+b3=2b2,解得t=3,

所以当t=3时，bn=2n,由bn+1-bn=2(常数)知此时数列｛bn｝为等差数列.

(3)因为bi=2,所以a1与a2之间插入2个2,

b2=4,所以a2与a?之间插入4个2,

b3=6,所以a?与之间插入6个2,

则｛7｝的前100项,由90个2,21*2*3,…,a5a］。构成,

所以Two=(+a+…+a)+2x90=2(二)+180=2226.

ai2101—2

真题专练

1.己知｛an｝为等差数列，0=fn—6'"”，，记5?1,〃分别为数歹11｛册｝，｛九｝的前〃项和，S4=32,73=16.

I2a”,n为偶数

(1)求｛册｝的通项公式；

(2)证明：当n>5时，Tn>Sn.

【答案】⑴an=2n+3；

(2)证明见解析.

【分析】(1)设等差数列｛aj的公差为d,用ai，d表示Sn及几，即可求解作答.

(2)方法1,利用(1)的结论求出Sn，bn，再分奇偶结合分组求和法求出Tn，并与作差比较作答；方法

2,利用(1)的结论求出Sn，bn，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出Tn，并与Sn作差比较作答.

【详解】(1)设等差数列｛aj的公差为d,而*:1,kCN*,

(n—ZK

则bi=a1—6,b2=2a2=2al+2d,b?=a?-6=a1+2d-6,

1

于是4rt6dB,解得a1=5,d=2,an=a1+(n-l)d=2n+3,

(I3—十4cl—1Z—lo

所以数列｛aj的通项公式是an=2n+3.

(2)方法1:由(1)知，Sn=M5+jn+3)=n2+4n,6=f，kCN*,

ZI4tllTO,11-乙K

当n为偶数时，bn_i+bn=2(n-l)-3+4n+6=6n+l,

_13+(6n+l)J1_37

n2+n，

TL—2—,2-22

当n>5时，Tn-Sn=(|n2+(n)—(n2+4n)=Tn(n—l)>0,因此又>Sn，

2

当n为奇数时，Tn=Tn+1-bn+1=|(n+1)2+_(n+1)-[4(n+1)+6]=|n+|n-5,

35

Tsz2

--(-n+-n

nnk221(n+2)(n-5)>0,因止匕Tn>Sn，

所以当n>5时，Tn>Sn.

n(5+n+3)2

方法2：由⑴知，Sn=^=n+4n,'=F)一加=2院1次eN*,

n211(4n+6,n=2k

当n为偶数时,Tn=(bl+b3+…+b—i)+(b2+b4+…+bn)=-1+2(『)-3,n+i4+：n+6,£_|n2+gn,

22

当n>5时，又一Sn=(|n+|n)—(n+4n)=|n(n—1)>0,因此又>Sn,

当n为奇数时，若nN3,则几=(尻+b?+…+bj+(b?++…+b.i)=一"；"一3.等+14+4(；T)+6.

n—1

—

=|n2+|n-5,显然—=bi=-1满足上式，因此当n为奇数时，-5,

当n>5时，Tn-Sn=(|n2+qn-5)-(n2+4n)=/n+2)(n-5)>0,因此冗>Sn，

所以当n>5时，Tn>Sn.

2.已知数列｛an｝和｛bn｝满足:的=1,On+bn=an+1,%-%=4(2为常数，且2左1).

(1)证明：数列｛九｝是等比数列；

(2)若当n=3和九=4时，数列｛%｝的前n项和S”取得最大值，求Sn的表达式.

【答案】(1)证明见解析；

⑵Sn*-32—).

【分析】（1）根据题意消元可得，，+1=2几，即可根据定义证出；

（2）由（1）知味=（1—入）•2—1,从而得出an=（1-入）•2―1+入,根据邻项变号法可知，a4=0,进而

求出入，得到an的表达式，求出Sn.

【详解】⑴因为an-bn=入，BPbn=an-A,

=

所以b]—a1—A—1—入W0,而bn+iHn+l—入=Hn+bn—入=Qn—入）+bn—2bn,

所以bnHO,即售=2,即数列｛bn｝是以1-入为首项，2为公比的等比数列.

（2）由（1）知bn=（l—入）—2-1,所以an=bn+入=（1一入）•2-1+-

因为当n=3和n=4时，数列｛aj的前n项和Sn取得最大值，所以=0,

即8（1-入）+入=0,解得入=*

所以an智三x2nT.

经检验，当nW3时，an>0,当n25时，an<0,所以Sn先增后减,

在n=3和n=4时取得最大值，符合题意.

818

12

-n--++-n11-2°81,„

777-x---=-n——(2nn-1).

71-27717

3.已知数列｛an｝的刖71项和为%,满足S"=2(an-1).等差数列｛bn"两足时=a2,b8=a3.

⑴求｛an｝,｛%｝的通项公式；

(2)将数列｛册｝满足(在①②中任选一个条件)的第m项0m取出，并按原顺序组成一个新的数列｛%｝，

求｛%｝的前20项和Ro.①=勿，②=3久+1,其中keN*.

n

【答案】(l)an=2,bn=n

20

(2)T20^^(4-l)

【分析】(l)根据Sn=2(an-1)利用Sn-S-1=a。可得an=2%利用等差数列定义可求得bn=n；

(2)选择①②都可以得到新组成的数列｛%｝是原来数列的偶数项，利用等比数列前n项和公式即可得T20=

|(420-1).

【详解】(1)因为数列闻｝满足Sn=2区-1)①,

当n=l时，ai=2(ai-l),解得a1=2；

当n22时，S-i=2(an_i-1)2,②

②-①得an=2(an-1)-2(an_1-1),即an=2an_i

因a1=2,所以an>0,从而3-=2)

an-l

所以数列｛aj是以a】=2为首项，q=2为公比的等比数列.

所以an=aiqnT=2n.

因为等差数列｛bj满足b4=a2,b8=a3.所以b4=4,b8=8.

设｛bj公差为d,则比+3d=4,%+7d=8,解得bi=l,d=l.

所以bn=bl+(n-l)d=n.

所以数列｛aj的通项公式为an=2n,数列｛bj的通项公式为bn=n；

(2)若选①log4am=bk,则有log42m=k,m=2k,k€N*.

所以收户取出的项就是原数列的偶数项，

所以｛7｝是以4为首项，4为公比的等比数列，

所以12。=处产=式42。—1);

若选②am=3bk+l,则有2m=3k+1,

因为m€N*,k€N*

所以当m=2n时，对应的k=卓匚=色婴匚，

由二项展开式可知(3+l)n-1=C°-3n+-311-1+……+C『i•3】+Cb3°-1

=3(Cg-+Cj-3n-+……+CT】)能被3整除，

此时k为整数，满足题意；

当m=2n—1时，对应的k=2^2.=(3T)：J,

由二项展开式可知

(3—1产-1-1=1-1•32n-l.(-1)0+C/1•32-2,(-1)1+……+嗡-「31•(―l)2n+C矣W•3。

•(一1产-1-1

=3©「1•32-2.(-1)0+*.32-3.(_1)1+……+嘲_].(一8—2

所以(3-1)2-1一I除以3的余数是1,不能整除，即此时k不是整数，不满足题意；

所以｛aQ取出的项就是原数列的偶数项，

所以｛.｝是以4为首项，4为公比的等比数列，

所以丁20=处产=家420_1).

4.已知数列｛an｝的前几项和为S“,的=l,a2=2,(2n+3)Sn+1=(n+2)Sn+(n+l)Sn+2(n6N*).

(1)求数列｛册｝的通项公式；

(2)已知数歹U｛log2臂号的前n项和为7\,Cn=[T„](取整函数区表示不超过x的整数，如[2.1]=2),求数列｛0｝

的前100项的和Mio。-

【答案】(l)an=n

(2)486

【分析】(1)由an=Sn-Sn_i求出皿=坐，利用累乘法求出=n;(2)利用累加法求出兀，根据取整

an+ln+1

函数[x]求出Cn，进而求和.

【详解】⑴•••(2n+3)Sn+1=(n+2)Sn+(n+l)Sn+2,

(n+l)(Sn+2—Sn+1)=(n+2)(Sn+1—Sn),

即(n+l)an+2=(n+2)an+1,=鬻,

an+ln+l

••.当门23时，上=」)，又型=2适合上式，所以当n22时，二=」7，

an-in—1aian-in—1

所以当n22时，an=工.〜.一.•…•31=—•—•—…―-x2x1-n,

an_ian_2an_3a±n—1n—2n—32

当n=l时，ax=1,符合上式，・•・an=n.

(2)••・a=n,Alog—=log(n+1)-logn,

n2an22

Tn=(log22-log2l)+(log23-log22)+…+(log2(n+1)-log2n)=log2(n+1),

则G=[Tn]=[log2(n+1)],.1-M100=[log22]+[log23]+…+[log2101],

[log22]=[log23]=1,[log24]=[log25]=

[log26]=[log27]=2,—,[log264]=­•-=[log2101]=6,

25

M100=2xl+2x2+---+2x5+38x6=486.

5.已知各项均不为零的数列｛aj满足的=L其前«项和记为方,且金圣1=2n2,n£N*,n>2,数列仍“｝

an

?两足b九—a九+。九+1、，KEN•

(1)求。2，Si。？；

(2)求数列｛(1+3")〃｝的前n项和〃.

【答案】(1间=6,a3=4,10507

f28n—1

㈠n-12n.3n+1+2n2+4n+4n>2

【分析】(1)首先利用数列an与Sn的关系，求得Sn+SnT=2n2,再赋值求a2,23,再利用nN2时,an=Sn-

Sn-1，即可求得S102;

(2)由(1)可知，Cn=(1+3n)bn=1+3琮Z：:;)n22'再利用分组转化，以及错位相减法求和.

【详解】(1)因为蹉—S-i=2n2an=2n2(Sn—Sn-i)，n>2,又数列｛aj各项均不为零，所以

2

Sn+Sn-i=2n.当n=2时，S2+S1=a1+a2+a[=8,所以a2=6

当n=3时，S3+S2=2(a1+a2)+a3=18,所以a?=4,

11

•••LS：：2：2；22,两式相减可得+an=4n+2,n>2,

(Sn+1+Sn=2(n+iy,n>1

•*-S102=3i+a2)+(a3+a4)H----F(aioi+^102)=1+6+4(3101)+2x50

=7+4x过产X50+100=10507；

⑵由⑴可知，b—jL

设Cn=(1+3n)bn=[(]+3n储n+2),n>2,

当n=l时，数列｛.｝的前n项和为28,

当n22,数列｛0｝的前n项和为，

3n

Tn=28+(1+32)(4X2+2)+(1+3)(4X3+2)+...+(1+3)(4n+2)

=28+10+14+...+(4n+2)+[3^x10+3^x14+...+3n,(4n+2)]

设T'n=32x10+33X14+...+3nx(4n+2)

34nn+1

3Tn=3X10+3X14+...+3X(4n-2)+3X(4n+2),

两式相减得-2Tn=90+4(33+34+...+3n)-3n+1X(4n+2),

-2Tn=90+4x27(：,)-3n+1*(和+2),

n+1

解得：Tn=-18+2n-3,

10+14+…+(4n+2)=(nT)O；+4n+2)=g+6)(n-1)=2n2+4n-6,

所以几=28+2n2+4n-6-18+2n-3n+1=2n-3n+1+2n2+4n+4,n>2,

所以Tn=｛2n.3n+i+22+^+4)'n>2,

6.设数列｛3J的前n项和Sn满足Sn=2册一的，且的，a2-1,口3-3成等比数列.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)设七%+册｝是首项为1,公差为2的等差数列，求数列｛0｝的通项公式与前几项和7\.

111

[答案](l)an=2-

n2n+1

(2)bn=2(2n-1)-2,Tn=2n-2+2

【分析】(1)先根据an=Sn-Sn-1得到an=2an_i，利用a1，a2—1,a3-3成等比数列，可得a1=1,可

判断数列｛aj是首项为1,公比为2的等比数列，即可得an=2-1.

(2)由an=2n-^^bn=2(2n—l)—2n,利用分组求和法可得.

【详解】(1)由已知Sn=2an-a。有an=Sn-Sn-1=2an-2an_i(n22),

BPan=2an-i(n>2),从而a?=2ai，a3=2a2=4a4

又因为a°a2-1,a3-3成等比数列，即(a2-1)2=a乂a?-3),

所以(2a1一I)2=ai(4ai-3),解得a1=1,

所以，数列｛aj是首项为1,公比为2的等比数列，

故an=211-1.

(2)因为《bn+aj是首项为1,公差为2的等差数列，所以?bn+an=l+2(n-l),

所以数列｛bn｝的通项公式为bn=2(2n-l)-2n,

12n

Tn=2[1+3+•••+(2n-1)]-(2+2++2)

n[l+(2n-l)]2(1-2n)

=L--------------------------

21-2

=2n2-2n+1+2.

7.7知正项数列｛册｝满足的=1,a"[一成=8n.

(1)求｛册｝的通项公式；

(2)记0=an-sin管,兀),求数列也｝的前2023项的和.

【答案】(l)an=2n—1

(2)2023

【分析】(1)由递推关系式，结合累加法求得晶的通项公式，分析可得｛aj的通项公式；

(2)根据咏的关系式，结合并项求和即可得｛、｝的前2023项的和.

【详解】(1)对任意的nEN*,因为aMi—a^=8n,

当nN2时，=(a^-a，[)+…+(a^-a？)+a,

=8(n-1)+…+8x1+1=8[1+2+3+…+(n-1)]+1=8X+1=(2n-I)2,

因为an>0,故an=2n-1.当n=1时，a1=1符合an=2n-1,

所以an=2n-l,neN*.

n+1

(2)bn=an-sin管=(-l)(2n-1),

所以当k€N*时，b2k+b2k+i=—(4k—1)4-4k+1=2,

故bi+b2+b3H---Fb2023=E+(b2+b3)+(b4+b5)H---F(b2022+^2023)=1+2x1011=2023.

8.已知等比数列｛a九｝的公比q>L前几项和为Sn,满足：S3=13,aj=3a6.

(1)求｛%J的通项公式；

⑵设数，求数歹/｝的前弱项和a

【答案】(l)an=3-1

n

9—1o2

(2)T2n=^+n+n

【分析】(1)法一：利用等比数列的通项公式和前n项和公式得到关于基本量a1,q的方程组，解之即可求

得an=3-1；

法二：利用等比数列的性质和前n项和公式依次转化得到关于a1,a3的方程组，解之即可求得a”=3"-1；

(2)分类讨论，的通项公式，注意当n为偶数时，n-1为奇数，从而利用分组求和法可求得S2n.

【详解】(1)法一：

因为｛aj是公比q>1的等比数列，

所以由佗13，得13,卜式l+q+q?=13,

描=3a6[(aiq)=3aiq\[a】q=3

两式相除得匕史正=拼整理得3q2—10q+3=0,即(3q—l)(q—3)=0,

解得q=3或q=g,又q>l,所以q=3,故ai=；=l,

所以an=aiq—1=3-1

法二：因为｛aj是公比q>1的等比数列，

+a2+a?=13，a]+a3=10Hi4-a=10

所以由3

a2a6=3a632=9a'=9=

<:1(舍去)，

故q2=£=9,则q=3,所以an=a^nT=3。-t

n-1

(2)当n为奇数时，bn=an=3,

当n为偶数时，bn=，,1+n=3n-2+n,

所以T2n=bi+b2+b3+b4+…+b2n-i+b2n

=(bi+b3+—Fb2n_i)+(b2+b4H------Fb2n)

=(3°+32+--+32n-2)+(3°+2+32+4+…+32n-2+2n)

=2(3°+32+…+32n-2)+(2+4+…+2n)

01-(32)nn(2n+2)

1-322

9n—1.2I

=-------Fnz+n.

4

9.已知等差数列&｝与等比数列也｝的前几项和分别为:5.,且满足:%=3,等=竺萼，餐®=2一层_

Snn+Z4

71—1

⑴求数列｛aJ｛%｝的通项公式；

(n为奇数、