专题10类比、拓展探究题

专题10类比、拓展探究题考向1图形旋转引起的探究【母题来源】2021年中考日照卷【母题题文】问题背景：如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，∠ABD＝30°，点E是边AB的中点，过点E作EF⊥AB交BD于点F．实验探究：（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，如图2所示，得到结论：①QUOTE；②直线AE与DF所夹锐角的度数为．（2）小王同学继续将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．拓展延伸：在以上探究中，当△BEF旋转至D、E、F三点共线时，则△ADE的面积为QUOTEQUOTE．【试题解析】解：（1）如图1，∵∠ABD＝30°，∠DAB＝90°，EF⊥BA，∴cos∠ABD，如图2，设AB与DF交于点O，AE与DF交于点H，∵△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，∴∠DBF＝∠ABE＝90°，∴△FBD∽△EBA，∴，∠BDF＝∠BAE，又∵∠DOB＝∠AOF，∴∠DBA＝∠AHD＝30°，∴直线AE与DF所夹锐角的度数为30°，故答案为：，30°；（2）结论仍然成立，理由如下：如图3，设AE与BD交于点O，AE与DF交于点H，∵将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，∴∠ABE＝∠DBF，又∵，∴△ABE∽△DBF，∴，∠BDF＝∠BAE，又∵∠DOH＝∠AOB，∴∠ABD＝∠AHD＝30°，∴直线AE与DF所夹锐角的度数为30°．拓展延伸：如图4，当点E在AB的上方时，过点D作DG⊥AE于G，∵AB＝2，∠ABD＝30°，点E是边AB的中点，∠DAB＝90°，∴BE，AD＝2，DB＝4，∵∠EBF＝30°，EF⊥BE，∴EF＝1，∵D、E、F三点共线，∴∠DEB＝∠BEF＝90°，∴DE，∵∠DEA＝30°，∴DGDE，由（2）可得：，∴，∴AE，∴△ADE的面积AE×DG；如图5，当点E在AB的下方时，过点D作DG⊥AE，交EA的延长线于G，同理可求：△ADE的面积AE×DG；故答案为：或．【命题意图】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力。【命题方向】本题是几何变换综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，旋转的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键，一般为压轴题型。【得分要点】类比、拓展探究题的解题通法:1.类比、拓展探究题一般会有三问,每一问都是对前一问的升华和知识迁移应用,解题的一般思路:(1)第一问通过操作发现,找到解决问题的思路和方法;(2)第二问通常是在第一问的基础上,改变其中的一个条件,只需观察改变的条件,即可利用同样的思路解决问题;(3)第三问通常将原题中的特殊情况推广到一般情况,利用前两问的做题思路进行求解.2.关于探究两条线段之间的数量关系:(1)两条线段相等,通常通过特殊四边形和三角形全等来证明.(2)两条线段有倍数关系,通常通过构造基本图形模型来证明:①利用三角形的中位线或含有30°角的直角三角形证明2倍关系;②利用等腰直角三角形证明倍关系;③利用含有30°角的直角三角形证明倍关系.3.关于探究两条线段之间的位置关系:(1)平行,通常用以下方法进行证明:①平行线判定定理;②平行四边形对边平行;③三角形中位线的性质.(2)垂直,通常用以下方法进行证明:①两线段所在直线夹角为90°;②两线段是矩形的邻边;③两线段是菱形的对角线;④勾股定理的逆定理;⑤等腰三角形三线合一的性质.考向2动点引起的探究【母题来源】2021年中考重庆卷【母题题文】在等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，垂足为D，点E为AB边上一点，点F为直线BD上一点，连接EF．（1）将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，连接FG．①如图1，当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，连接DG，求线段DG的长；②如图2，点E不与点A，B重合，GF的延长线交BC边于点H，连接EH，求证：BE+BHBF；（2）如图3，当点E为AB中点时，点M为BE中点，点N在边AC上，且DN＝2NC，点F从BD中点Q沿射线QD运动，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，连接FP，当NPMP最小时，直接写出△DPN的面积．【试题解析】（1）①过D作DH⊥GC于H，如图：∵线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，点E与点B重合，且GF的延长线过点C，∴BG＝BF，∠FBG＝60°，∴△BGF是等边三角形，∴∠BFG＝∠DFC＝60°，BF＝GF，∵等边△ABC，AB＝6，BD⊥AC，∴∠DCF＝180°﹣∠BDC﹣∠DFC＝30°，∠DBC∠ABC＝30°，CDACAB＝3，∴∠BCG＝∠ACB﹣∠DCF＝30°，∴∠BCG＝∠DBC，∴BF＝CF，∴GF＝CF，Rt△FDC中，CF2，∴GF＝2，Rt△CDH中，DH＝CD•sin30°，CH＝CD•cos30°，∴FH＝CF﹣CH，∴GH＝GF+FH，Rt△GHD中，DG；②过E作EP⊥AB交BD于P，过H作MH⊥BC交BD于M，连接PG，作BP中点N，连接EN，如图：∵EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，∴△EGF是等边三角形，∴∠EFG＝∠EGF＝∠GEF＝60°，∠EFH＝120°，EF＝GF，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠ABC+∠EFH＝180°，∴B、E、F、H共圆，∴∠FBH＝∠FEH，而△ABC是等边三角形，BD⊥AC，∴∠DBC＝∠ABD＝30°，即∠FBH＝30°，∴∠FEH＝30°，∴∠FHE＝180°﹣∠EFH﹣∠FEH＝30°，∴EF＝HF＝GF①，∵EP⊥AB，∠ABD＝30°，∴∠EPB＝60°，∠EPF＝120°，∴∠EPF+∠EGF＝180°，∴E、P、F、G共圆，∴∠GPF＝∠GEF＝60°，∵MH⊥BC，∠DBC＝30°，∴∠BMH＝60°，∴∠BMH＝∠GPF②，而∠GFP＝∠HFM③，由①②③得△GFP≌△HFM（AAS），∴PF＝FM，∵EP⊥AB，BP中点N，∠ABD＝30°，∴EPBP＝BN＝NP，∴PF+NP＝FM+BN，∴NFBM，Rt△MHB中，MHBM，∴NF＝MH，∴NF+BN＝MH+EP，即BF＝MH+EP，Rt△BEP中，EP＝BE•tan30°BE，Rt△MHB中，MH＝BH•tan30°BH，∴BFBEBH，∴BE+BHBF；（2）以M为顶点，MP为一边，作∠PML＝30°，ML交BD于G，过P作PH⊥ML于H，设MP交BD于K，如图：Rt△PMH中，HPMP，∴NPMP最小即是NP+HP最小，此时N、P、H共线，∵将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，∴F在射线QF上运动，则P在射线MP上运动，根据“瓜豆原理”，F为主动点，P是从动点，E为定点，∠FEP＝60°，则F、P轨迹的夹角∠QKP＝∠FEP＝60°，∴∠BKM＝60°，∵∠ABD＝30°，∴∠BMK＝90°，∵∠PML＝30°，∴∠BML＝60°，∴∠BML＝∠A，∴ML∥AC，∴∠HNA＝180°﹣∠PHM＝90°，而BD⊥AC，∴∠BDC＝∠HNA＝∠PHM＝90°，∴四边形GHND是矩形，∴DN＝GH，∵等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，∴CD＝3，又DN＝2NC，∴DN＝GH＝2，∵等边△ABC中，AB＝6，点E为AB中点时，点M为BE中点，∴BM，BD＝AB•sinA＝6×sin60°＝3，Rt△BGM中，MGBM，BG＝BM•cos30°，∴MH＝MG+GH，GD＝BD﹣BG，Rt△MHP中，HP＝MH•tan30°，∴PN＝HN﹣HP＝GD﹣HP，∴S△DPNPN•DN．【命题意图】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力；模型思想；应用意识【命题方向】本题考查等边三角形性质及应用，涉及旋转变换、解直角三角形、三角形全等的判定及性质、矩形的判定及性质等知识，难度较大，解题的关键是构造辅助线，一般为压轴位置．考向3图形变化引起的探究【母题来源】2021年中考赤峰卷【母题题文】数学课上，有这样一道探究题．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝m，BC＝n，∠BAC＝α（0°＜α＜180°），点P为平面内不与点A、C重合的任意一点，连接CP，将线段CP绕点P顺时针旋转α，得线段PD，连接CD、AP点E、F分别为BC、CD的中点，设直线AP与直线EF相交所成的较小角为β，探究的值和β的度数与m、n、α的关系．请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：（1）填空：【问题发现】小明研究了α＝60°时，如图1，求出了的值和β的度数分别为，β＝；小红研究了α＝90°时，如图2，求出了的值和β的度数分别为，β＝；【类比探究】他们又共同研究了α＝120°时，如图3，也求出了的值和β的度数；【归纳总结】最后他们终于共同探究得出规律：（用含m、n的式子表示）；β＝（用含α的式子表示）．（2）求出α＝120°时的值和β的度数．【试题解析】（1）如图1，连接AE，PF，延长EF、AP交于点Q，当α＝60°时，△ABC和△PDC都是等边三角形，∴∠PCD＝∠ACB＝60°，PC＝CD，AC＝CB，∵F、E分别是CD、BC的中点，∴，，∴，又∵∠ACP＝∠ECF，∴△ACP∽△ECF，∴，∠CEF＝∠CAP，∴∠Q＝β＝∠ACB＝60°，当α＝90°时，△ABC和△PDC都是等腰直角三角形，∴∠PCD＝∠ACB＝45°，PCCD，ACCB，∵F、E分别是CD、BC的中点，∴，，∴，又∵∠ACP＝∠ECF，∴△ACP∽△ECF，∴，∠CEF＝∠CAP，∴∠Q＝β＝∠ACB＝45°，由此，可归纳出，β＝∠ACB；（2）当α＝120°，连接AE，PF，延长EF、AP交于点Q，∵AB＝AC，E为BC的中点，∴AE⊥BC，∠CAE＝60°∴sin60°，同理可得：，∴，∴，又∵∠ECF＝∠ACP，∴△PCA∽△FCE，∴，∠CEF＝∠CAP，∴∠Q＝β＝∠ACB＝30°．【命题意图】图形的相似；模型思想．【命题方向】考查学生的探究能力，综合性较强，一般为压轴题.【得分要点】本题主要考查了三角形相似的判定与性质，通过解决本题感受到：图形在变化但解决问题的方法不变，体会“变中不变”的思想．1．（2021•范县模拟）在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，D为△ABC内一点，将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CBE，点A，D的对应点分别为点B，E．（1）如图1，若A，D，E三点在同一直线上，则∠CDE＝（用含α的代数式表示）；（2）如图2，若A，D，E三点在同一直线上，α＝60°，过点C作CF⊥AE于点F，然后探究线段CF，AE，BE之间的数量关系，并证明你的结论；（3）图3中，若CA＝2，CD＝2，将△DCE绕点C旋转，当α＝90°或270°时，△CAD的面积最大，最大面积是2．解：（1）如图1中，∵将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CBE，∴△ACD≌△BCE，∠DCE＝α，∴CD＝CE，∴∠CDE．故答案为：．（2）AE＝BECF．理由如下：如图2中，∵将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角60°得到△CBE，∴△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，CD＝CE，∠DCE＝60°，∴△CDE是等边三角形，且CF⊥DE，∴DF＝EFCF，∵AE＝AD+DF+EF，∴AE＝BECF．（3）如图，过点D作DF⊥AC于点F，∵S△ACDAC•DFDF，∴当DF取得最大值时，△CAD面积最大，又∵在△CFD中，DF＜CD，∴只有当CD旋转到与AC垂直时，FD才能取得最大值，即FD＝CD＝2，∵旋转角度为0°＜α＜360°，∴当α＝90°或270°时，△CAD的面积最大，最大面积是2，故答案为α＝90°或270°；2．2．（2021•宛城区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，过A作AD⊥BC于点D，点E为直线AD上一动点，把线段CE绕点E顺时针旋转α，得到线段EF，连接FC、FB，直线AD与BF相交于点G．（1）[发现]如图1，当α＝60°时，填空：①的值为；②∠AGB的度数为；（2）[探究]如图2，当α＝120°时，请写出的值及∠AGB的度数，并就图2的情形给出证明；（3）[应用]如图3，当α＝90°时，若AB＝2，∠ACE＝15°，请直接写出△DFG的面积．解：（1）①∵α＝60°，∴∠BAC＝∠CEF＝60°，∵AB＝AC，线段CE绕点E顺时针旋转得到线段EF（CE＝EF），∴△ABC和△EFC是等边三角形，∴BC＝AC，FC＝EC，∠BCA＝∠FCE＝∠ACB＝60°，∴∠FCB＝∠ECA，∴△FCB≌△ECA（SAS），∴BF＝AE，∴1；故答案为：1；②由①得△FCB≌△ECA，∴∠FBC＝∠EAC，∵∠BDG＝∠ADC，∴∠BGD＝∠ACD＝60°，即∠AGB＝60°，故答案为：60°；（2），∠AGB＝30°，证明如下：设CF与AD交于M，如图：∵α＝120°，∴∠BAC＝∠CEF＝120°，∵AB＝AC，线段CE绕点E顺时针旋转得到线段EF（CE＝EF），∴∠BCA＝∠FCE＝30°，，∴∠FCB＝∠ECA，△ABC∽△EFC，∴，∴△FCB∽△ECA，∴，∠BFC＝∠AEC，∵∠FMG＝∠EMC，∴∠AGB＝∠FCE＝30°，在Rt△ACD中，cos30°，∴，∴；（3）①当E在线段AD上时，连接FD，过F作FK⊥AG于K，如图：∵α＝90°，AB＝AC，线段CE绕点E顺时针旋转α，得到线段EF，∴△ABC和△EFC是等腰直角三角形，∴∠ACB＝45°，∵∠ACE＝15°，∴∠DCE＝30°，∵AB＝2，∴AC＝2，，BC＝2，∵AD⊥BC，∴BD＝CD，在Rt△ECD中，cos30°，∴CE＝2EF，∵∠DEC＝90°﹣∠DCE＝60°，∴∠FEK＝30°，∴FKEF，∵，∠BCF＝45°﹣∠BCE＝∠ACE，∴△BCF∽△ACE，∴∠FBC＝∠EAC＝45°，∵AD⊥BC，∴△BDG时等腰直角三角形，∴DG＝BD，∴△DFG的面积为DG•FK；②当E在DA延长线上时，连接FD，过F作FT⊥AD于T，如图：∵∠ACE＝15°，∠ACD＝45°，∴∠ECD＝60°，∴∠DEC＝30°，∠EFD＝60°，∵CD，∴CE＝FE＝2，在Rt△EFT中，FT＝FE•sin60°＝3，∵，∠BCF＝45°﹣∠ACF＝∠ACE＝15°，∴△BCF∽△ACE，∴∠BFC＝∠AEC＝30°，∴∠DGB＝∠BFC+∠BCF＝45°，∴△BDG是等腰直角三角形，∴DG＝BGBC，∴△DFG的面积为DG•FT33；综上所述，△DFG的面积为或3．3．（2021•南关区校级一模）【教材呈现】华师版九年级上朋数学教材第77页的部分内容：如图1，在△ABC中，点D、E分别是AB，AC的中点，可以猜想：DE∥BC且DEBC．请根据教材内容，结合图1，写出证明过程．【结论应用】如图2，在△ABC中AD垂直于∠ABC的平分线BE于点E，且交BC边于点D，点F为AC的中点．若AB＝5，BC＝9，求EF的长．【拓展廷仲】如图3，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3，D为AC中点，将AD绕点A逆时针旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到线段AD1，连结CD1，取CD1的中点E，连结BE．则△BEC面积的最大值为．解：【教材呈现】如图1中，作CT∥AD交DE的延长线于点T．∴∠A＝∠ECT，在△AED和△CET中，，∴△AED≌△CET（ASA），∴AD＝CT，DE＝ET，∵AD＝BD，∴BD＝CT，∵BD∥CT，∴四边形BDTC是平行四边形，∴DT＝BC，DT∥BC，∵DEDT，∴DEBC，DE∥BC．【结论应用】如图2中，∵BE⊥AD，∴∠BEA＝∠BED＝90°，∵BE平分∠ABE，∴∠ABE＝∠DBE，∵∠ABE+∠BAE＝90°，∠DBE+∠BDE＝90°，∴∠BAE＝∠BDE，∴BA＝BD，∴AE＝DE，∵AF＝FC，∴EFCD，∵AB＝BD＝5，BC＝9，∴CD＝BC﹣BD＝9﹣5＝4，∴EFCD＝2．【拓展廷仲】如图3中，连接DE，过点D作DH⊥BC于H．在Rt△ABC中，AB＝2，BC＝3，∴AC，∵AD＝DC，∴ADAC，∵DH∥AB，AD＝DC，∴BH＝HC，∴DHAB＝1，∵AD＝DC，ED1＝EC，∴DEAD1，∴点E在以D为圆心，为半径的圆上运动，∴点E到直线BC的最大距离＝DE+DH1，∴△BCE的面积的最大值3×（1）．故答案为：．4．（2021•市南区校级二模）如图，等腰三角形△ABC的腰长AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，动点P从B出发沿BC向C运动，速度为2cm/s．动点Q从C出发沿CA向A运动，速度为1cm/s，当一个点到达终点时两个点同时停止运动．点P'是点P关于直线AC的对称点，连接PP′和P′Q，P′P和AC相交于点E．设运动时间为t秒．（1）若当t的值是多少时，P'P恰好经过点A？（2）设△P′PQ的面积为y，求y与t之间的函数关系式（0＜t≤4）；（3）是否存在某一时刻t，使PQ平分∠P′PC？若存在，求出相应的t值，若不存在，请说明理由．（4）是否存在某一时刻t，使点Q在PC的垂直平分线上？若存在，求出相应的t值，若不存在，请说明理由．解：（1）如图1中，作AM⊥BC于M．∵AB＝AC＝5，AM⊥BC，∴BM＝MC＝4，在Rt△ABM中，AM3，当PP′恰好经过点A，∵cos∠C，∴，∴t．（2）如图2中，设PP′交AC于N．当0＜t时，由△PCN∽△ACM，可得PC＝8﹣2t，PN＝P′N（24﹣6t），CN（32﹣8t），∵CQ＝t，∴NQ＝CN﹣CQ（32﹣13t），∴y•PP′•NQ（48﹣12t）（32﹣13t）t2t（0＜t）．当t≤4时，y•PP′•NQ（48﹣12t）（13t﹣32）t2t（t≤4）．综上所述，y．（3）存在．理由如下：如图3中，作QE⊥BC于E．∵PQ平分∠CPP′，QE⊥PC，QN⊥PP′，∴QN＝QE，∵sin∠C，∴，∴t＝2，∴t＝2时，PQ平分角∠P′PC．（4）存在．理由：如图3中，当点Q在CP的垂直平分线上时，PE＝EC＝CQ•cosC，∴（8﹣2t）＝t•，∴t．∴t时，点Q在CP的垂直平分线上．5．（2021•朝阳二模）如图：△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，经过点A的直线MN∥BC，D是直线MN上的一个动点，射线DB绕点D逆时针旋转90°交直线AC于点E．（1）若∠ABC＝45°．①如图1，当点E在线段AC上时，直接写出线段AB，AE，AD之间的数量关系，不用证明；②如图2，当点E在线段AC的延长线上时，①中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，请写出正确结论，并证明．（2）如图3，若∠ABC＝60°，BC＝8，AE＝2，其他条件不变，直接写出AD的长．解：（1）①结论：AB﹣AEAD．理由：如图1中，过点D作DF⊥MN交AB于点F，设DE交AB于点O．∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵DF⊥AD，∴∠ADF＝90°，∴∠AFD＝∠FAD＝45°，∴DA＝DF，AFAD，∵∠EAO＝∠ODB＝90°，∠AOE＝∠DOB，∴∠AED＝∠FBD，∴△ADE≌△FDB（AAS），∴AE＝BF，∴AB﹣AE＝AB﹣BF＝AFAD．②结论不成立．结论：AE﹣ABAD．理由：过点D作DT⊥MN交BA的延长线于T，设AC交BD于点J．∵BC∥MN，∴∠DAT＝∠ABC＝45°，∵DT⊥DA，∴∠ADT＝90°，∴∠T＝∠DAT＝45°，∴DA＝DT，ATAD，∵∠BDE＝∠ADT＝90°，∴∠ADE＝∠TDB，∵∠EDJ＝∠JAB＝90°，∠DJE＝∠AJB，∴∠DEJ＝∠ABJ，∴△ADE≌△TDB（AAS），∴AE＝BT，∴AE＝AB＝BT﹣AB＝ATAD．（2）当点E在线段AC上，如图3中，过点D作DK⊥AD交BA的延长线于点K，设AE交BD于点Q．∵BC∥MN，∴∠DAK＝∠ABC＝60°，∵DK⊥AD，∴∠ADK＝90°，∴DKAD，∵∠EDB＝∠ADK＝90°，∴∠EDA＝∠KDB，∵∠EQD＝∠BQA，∠EDQ＝∠QAB＝90°，∴∠DEA＝∠DBK，∴△BDK∽△EDA，∴，∴BKAE＝6，∵∠BCA＝90°﹣∠ABC＝30°，BC＝8，∠CAB＝90°，∴ABBC＝4，∴AK＝BK﹣BC＝2，∵∠K＝90°﹣∠DAK＝30°，∴ADAK＝1．当点E在CA的延长线上时，如图4中，过点B作BH⊥AD于点H．∵AB＝4，AE＝2，∠BAE＝90°，∴BE2，∵∠BAE＝∠BED＝90°，∴A，B，D，E四点共圆，∴∠BED＝∠BAD＝60°，∴BD＝BE•sin60°，∵BH＝AB•sin60°＝2，AHAB＝2，∴DH3，∴AD＝AH+DH＝2+3＝5．综上所述，AD的值为1或5．6．（2021•寻乌县模拟）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，∠ABC＝30°，点A关于直线BC的对称点为A′，连接A′B，点P为直线BC上的动点（不与点B重合），连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PD，连接A′D，BD．【问题发现】（1）如图1，当点D在直线BC上时，线段BP与A′D的数量关系为，∠DA′B＝；【拓展探究】（2）如图2，当点P在BC的延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；【问题解决】（3）当∠BDA′＝30°时，求线段AP的长度．解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，∠ABC＝30°，点A关于直线BC的对称点为A′，则∠ABC＝∠A′BC＝30°，AB＝A′B．∴∠ABA′＝60°．∴△ABA′是等边三角形，∴∠AA′B＝60°．∵∠APD＝60°，∴∠BAP＝∠ABP＝∠PAC＝30°，∴AP＝PB，PCAP，∵AP＝PD，∴PCPD，∴PC＝CD，∵AC＝A′C，∠ACP＝∠A′CD，∴△APC≌△A′DC（SAS），∴DA′＝AP，∠CA′D＝∠PAC＝30°，∴PB＝DA′，∠BA′D＝60°+30°＝90°，故答案为：相等；90°；（2）成立，证明如下：如图②，连接AD，∵△AA′B是等边三角形，∴AB＝AA′，由旋转的性质可得：AP＝DP，∠APD＝60°，∴△APD是等边三角形，∴PA＝PD＝AD，∴∠BAP＝∠BAC+∠CAP，∠A′AD＝∠PAD+∠CAP，∠BAC＝∠PAD，∴∠BAP＝∠A′AD，在△BAP与△A′AD中，∵，∴△BAP≌△A′AD（SAS），∴BP＝A′D，∠AA′D＝∠ABC＝30°．∵∠BA′A＝60°，∴∠DA′B＝∠BA′A+∠AA′D＝90°；（3）如图③，当点P在BC的延长线上时，由（2）知，∠BA′D＝90°∵∠BDA′＝30°，∴∠DBA′＝60°，∴D在BA的延长线上，由旋转的性质可得：AP＝DP，∠APD＝60°，∴△APD是等边三角形，∴PA＝PD＝AD，∵BA′＝4，∴BD＝8，∴AP＝AD＝4；如图④，当点P在CB的延长线上时，由（2）知，∠BA′D＝90°，∵∠BDA′＝30°，∵BA′＝4，∴DA′＝4，由旋转的性质可得：AP＝DP，∠APD＝60°，∴△APD是等边三角形，∴PA＝PD＝AD，∠PAD＝∠BAA′＝60°，∴∠PAB＝∠DAA′，∵AB＝AA′，∴△ABP≌△AA′D（SAS），∴PB＝DA′＝4，∵AC＝2，BC＝2，∴CP＝6，∴AP4．综上所述，线段AP的长度为4或4．7．（2021•太原二模）综合与实践问题背景数学小组在一次课外学习交流时，组内一同学提出如下问题：在△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC边上一点，但不与点B，点C重合，过点D作DE⊥AB于点E．连接AD，M为AD的中点，连接EM，CM．观察发现（1）如图1，EM与CM之间的数量关系是EM＝CM；思考分享（2）如图2，将△BDE绕点B顺时针旋转，其他条件不变，则（1）中的结论还成立，请证明．小明是这样思考的：延长DE至点D'，使得ED′＝DE，连接AD′运用三角形中位线定理，…，按照他的思路或采用其他方法证明；探究计算（3）若∠ABC＝30°，AC＝4，DE＝2，在△BDE绕点B旋转一周的过程中，当直线DE经过点A时，线段AD的长为．解：（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，M为AD的中点，∴CM＝MD，∵DE⊥AB，∴△AED是直角三角形，∴EM＝MD，∴CM＝EM，故答案为CM＝EM；（2）成立，理由如下：如图1，延长DE到点D'，使得D'E＝DE，延长AC到点A'，使得A'C＝AC，分别连接D'A，D'B，A'B、A'D，∵DE⊥BE，∴BE为DD'的垂直平分线，∴BD'＝BD，∴∠D'BD＝2∠DBE，同理可得，BA＝BA'，∠ABA'＝2∠ABC，∵∠DBE＝∠ABC，∴∠D'BD＝∠ABA'∴∠D'BD+∠ABD＝∠ABA'+∠ABD，∴∠D'BA＝∠DBA'，在△D'BA和△DBA中，，∴△D'BA≌△DBA'（SAS），∴D'A＝DA'，∵DE＝D'E，AM＝DM，AC＝A'C，∴ME、MC分别是△D'DA和△ADA'的中位线，∴EMD'A，CMDA'，∴EM＝CM；（3）如图2，当旋转角小于180°时，∵∠ABC＝30°，AC＝4，ED＝2，∴AB＝8，BC＝4，BD＝4，BE＝2，∵BE⊥ED，∴△ABE是直角三角形，∴AE2＝AB2﹣BE2，即AE2＝64﹣12＝52，∴AE＝2，∴AD＝22；如图3，当旋转角大于180°时，∵BE⊥ED，∴△ABE为直角三角形，∴AE2＝AB2﹣BE2，即AE2＝64﹣12＝52，∴AE＝2，∴AD＝22；综上所述，AD的长为22或22，故答案为22或22．8．（2021•重庆模拟）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，以正方形的边长BC为斜边在正方形内作Rt△BEC，∠BEC＝90°．（1）求证：BE﹣CEOE；（2）若CE＝3，BE＝4，①△OBE的面积为（直接写出结果）；②点P为BC边上的动点，则△OPE周长的最小值为（直接写出结果）．（1）证明：如图1中，设BE交AC于点J，过点O作OT⊥OE交BE于T．∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OB＝OD＝OA＝OC，∴∠BOC＝∠TOE＝90°，∴∠BOT＝∠COE，∵∠BOJ＝∠CEJ＝90°，∠OJB＝∠CJE，∴∠OBJ＝∠ECJ，∴△OBT≌△OCE（ASA），∴BT＝CE，OT＝OE，∴△OET是等腰直角三角形，∴∠OEB＝45°，∴ETOE，∵BE＝BT+ET，∴BE＝ECOE，∴BE﹣ECOE．（2）解：①如图2中，过点O作OT⊥BE于T．∵BE＝4，EC＝3，BE﹣ECOE，∴OE，∵∠OME＝90°，∠OEM＝45°，∴OM＝EM，∴S△OBE•BE•OM41．故答案为：1．②如图3中，作点O关于BC的对称点N，连接ON交BC于R，连接ER，EN，EN交BC于O，连接OP，此时PE+PO的值最小，△OPE的周长也最小．∵OB＝OC，ON⊥BC，∴RB＝RC，∵∠BOC＝∠BEC＝90°，∴OR＝ER＝BR＝CR＝NR，∴B，C，E，O四点共圆，OT是直径，∴∠OEN＝90°，∵BC5，∴ON＝5，∵OE，∴EN，∴OP+PE的最小值＝EN，∴△POE的周长的最小值为4．故答案为：4．9．（2021•环翠区模拟）在△ABC中，AB＝AC，点P在平面内，连接AP并将线段AP绕点A顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AQ，连接BQ．（1）发现问题如图1，如果点P是BC边上任意一点，则线段BQ和线段PC的数量关系是BQ＝PC；（2）类比探究如图2，如果点P为平面内任意一点，前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．请仅以图2所示的位置关系加以证明；（3）迁移应用如图3，在△ABC中，AC＝2，∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，P是线段BC上的任意一点．连接AP，将线段AP绕点A顺时针方向旋转45°，得到线段AQ，连接BQ，试求线段BQ长度的最小值．解：（1）由旋转知：AQ＝AP，∵∠PAQ＝∠BAC，∴∠PAQ﹣∠BAP＝∠BAC﹣∠BAP，∴∠BAQ＝∠CAP，∵AB＝AC，∴△BAQ≌△CAP（SAS），∴BQ＝PC，故答案为：BQ＝PC；（2）结论：BQ＝PC依然成立，理由：由旋转知，AQ＝AP，∵∠PAQ＝∠BAC，∴∠PAQ﹣∠BAP＝∠BAC﹣∠BAP，∴∠BAQ＝∠CAP，∵AB＝AC，∴△BAQ≌△CAP（SAS），∴BQ＝PC；（3）如图3，在AC上取一点E，使AE＝AB，连接PE，过点E作EF⊥BC于F，由旋转知，AQ＝AP，∠PAQ＝45°，∵∠PAQ＝∠BAC，∴∠PAQ﹣∠BAP＝∠BAC﹣∠BAP，∴∠BAQ＝∠CAP，在△ABQ和△AEP中，，∴△ABQ≌△AEP（SAS），∴BQ＝EP，要使BQ最小，则有EP最小，而点E是定点，点P是AB上的动点，∴当EP⊥BC时（点P与点F重合时），EP最小，在Rt△ABC中，AC＝2，∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，∴AB＝AC•sin∠ACB＝2×sin45°，∴AE＝AB，∴CE＝AC﹣AE＝2，∴EF＝CE•sin∠ACB＝（2）1，故线段BQ的长度最小值是1．10．（2021•宁波模拟）如图（1），在平面直角坐标系中，O为原点，点A是y轴的正半轴上的动点，点B是x轴的正半轴上的动点，连结AB，以A为直角顶点作等腰直角三角形ABC（点B、A、C按顺时针方向排列），以y轴为对称轴作等腰三角形ABE，直线CE交y轴于点F．（1）若∠OAB＝20°，求∠ACE的度数．（2）连结BF，请你用等式写出关于EF，CF和AB的数量关系，并结合图（1）加以证明．（3）当点A，点B在运动过程中，若AB，EF•CF＝3，求EC的长，并直接写出此时点C的坐标．解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝90°，∵△ABE是等腰三角形，AO⊥BE，∴∠BAO＝∠EAO＝20°，AE＝AB，∴∠EAC＝130°，AE＝AB＝AC，∴∠ACE＝25°；（2）EF2+CF2＝2AB2，理由如下：如图1，连接BF，∵AO⊥BE，AE＝AB，∴AO垂直平分BE，∴BO＝EO，EF＝BF，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝90°，BCAB，∠ACB＝45°，∵△ABE是等腰三角形，AO⊥BE，∴∠BAO＝∠EAO，AE＝AB，∴∠EAC＝90°+2∠BAO，AE＝AB＝AC，∴∠ACE＝45°﹣∠BAO，∴∠BCE＝∠BAO，∴点A，点F，点B，点C四点共圆，∴∠BAC＝∠BFC＝90°，∴BF2+CF2＝BC2，∴EF2+CF2＝2AB2；（3）如图2，当点A在点F上方时，过点C作CG⊥x轴于G，∵EF2+CF2＝2AB2，AB，∴EF2+CF2＝12，∴（EF+CF）2﹣2EF•CF＝12，又∵EF•CF＝3，∴EF+CF＝3，∴EC＝3，∵EF＝BF，∠EFB＝90°，∴∠FEB＝45°，∴∠FEB＝∠ECG＝45°，∴CG＝EG，∴ECCG＝3，∴CG＝EG＝3，在Rt△CBG中，BG，∴BE＝3，∴EO，∴GO＝3，∴点C（，3）；如图3，当点A在OF上时，过点C作CG⊥x轴于G，同理可求点C（，3）；综上所述：点C的坐标为（，3）和（，3）．11．（2021•东丽区二模）已知点A（4m﹣6，0），B（0，m+3）分别为两坐标轴正半轴上一点，OA＝OB．（Ⅰ）求m的值及点A、点B的坐标：（Ⅱ）若点D为线段OA上一点（不与O，A重合）．①如图1，将线段BO沿直线BD翻折，使点O落在AB边上的点E处，点P是直线BD上一动点，求△PEA的周长的最小值；②如图2，点F为AB的中点，点C在y轴负半轴上，若AD+OC＝CD，则∠CFD的大小是否发生改变，若不变，请求出∠CFD度数；若变化，请说明理由．解：（1）∵OA＝OB，又∵点A（4m﹣6，0），B（0，m+3），∴4m﹣6＝m+3，∴m＝3，∴点A（6，0），点B（0，6），∴m＝3，A（6，0），B（0，6）；（2）①如图，连接OP，∵点A（6，0），点B（0，6），在Rt△AOB中，AO＝BO＝6，∴AB6，∵将线段BO沿直线BD翻折，使点O落在