专题14 一元二次方程的整数根问题-（原卷版）

专题14一元二次方程的整数根问题考向1一元二次方程的整数根问题【母题来源】2021年中考湖北省十堰卷【母题题文】已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个不相等的实数根．（1）求实数m的取值范围；（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值．解：（1）根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4（﹣2m+5）＞0，解得m＞1所以实数m的取值范围为m＞1（2）设x1，x2是方程的两根，根据题意得x1+x2＝4＞0，x1x2＝﹣2m+5＞0，解得m＜52，而m所以m的取值范围为12＜m当m＝1时，方程两根都是整数；当m＝2时，方程两根都不是整数；所以整数m的值为1．考向2函数中的一元二次方程整数根问题【母题来源】2021年中考山东省威海卷【母题题文】在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+2mx+2m2﹣m的顶点为A．（1）求顶点A的坐标（用含有字母m的代数式表示）；（2）若点B（2，yB），C（5，yC）在抛物线上，且yB＞yC，则m的取值范围是；（直接写出结果即可）（3）当1≤x≤3时，函数y的最小值等于6，求m的值．解：（1）解法一：y＝x2+2mx+2m2﹣m＝（x+m）2﹣m2+2m2﹣m＝（x+m）2+m2﹣m，∴顶点A（﹣m，m2﹣m），解法二：∵抛物线的对称轴为直线x=−∴代入关系式得，y＝（﹣m）2+2m（﹣m）+2m2﹣m＝m2﹣m，∴顶点A（﹣m，m2﹣m），（2）解法一：∵2+52∴当对称轴大于3.5时满足题意，∴﹣m＞3.5，∴m＜﹣3.5，解法二：∵点B（2，yB），C（5，yC）在抛物线y＝x2+2mx+2m2﹣m上，∴yB＝4+4m+2m2﹣m，yC＝25+10m+2m2﹣m，又∵yB＞yC，∴yB﹣yC＝（4+4m）﹣（25+10m）＞0，解得，m＜﹣3.5，故答案为：m＜﹣3.5；（3）分三种情况讨论：①当对称轴x＝﹣m≤1即m≥﹣1时，如图，当x＝1时，y＝6，∴6＝1+2m+2m2﹣m，整理得，2m2+m﹣5＝0，解得，m1=41−1②当1＜﹣m≤3即﹣3≤m＜﹣1时，如图，当x＝﹣m，y＝6，∴6＝m2﹣m，整理得，m2﹣m﹣6＝0，解得，m1＝﹣2，m2＝3（舍），∴m＝﹣2，③当﹣m＞3即m＜﹣3时，如图，当x＝3时，y＝6，∴6＝9+6m+2m2﹣m，整理得，2m2+5m+3＝0，解得，m1综上所述：m＝﹣2或m=41【试题解析】（1）利用配方法或者利用对称轴公式求解即可；（2）根据题意可得，当对称轴大于3.5时满足题意，即可得到答案，或者代入x值，根据题意计算两数差值即可；（3）分三种情况进行讨论，对称轴在1左侧，在1和3之间，在3右侧，然后求出m的值进行取舍即可得到答案．【命题意图】利用二元一次方程的性质以及二次函数的图像与性质，解决相关取值范围的问题.【命题方向】主要设问形式为解答题，一般设置为压轴题.【得分要点】（1）利用一元二次方程的整数根进行分析关键点；（2）数形结合判断出取值范围．1．（2021•甘肃模拟）已知关于x的方程x2+（m﹣2）x﹣2m＝0．（1）求证：不论m取何值，此方程总有实数根；（2）若m为整数，且方程的一个根小于2，请写出一个满足条件的m的值．2.（2021•湖北十堰一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若方程的两根都为整数，求正整数m的值．3.（2021•湖北荆州三模）某数学兴趣小组在探究函数y＝x2﹣2|x|+3的图象和性质时，经历了以下探究过程：（1）研究函数特点：该小组认为，可以将该函数转化为已经学过的二次函数来研究，即将绝对值符号去掉，得到分段函数（每段均为二次函数），其解析式为（填空）：y＝x2﹣2|x|+3=(（2）画图象：在给出的坐标系中，分别画出当x≥0时和x＜0时所对应的二次函数的图象；（要求描出横坐标分别为﹣3，﹣2，﹣1，0．，1，2，3所对应的点）（3）研究性质：根据函数图象，完成以下问题：①观察函数y＝x2﹣2|x|+3的图象，以下说法正确的有（填写正确选项的代码）．A．对称轴是直线x＝1B．函数y＝x2﹣2|x|+3的图象有两个最低点，其坐标分别是（﹣1，2）、（1，2）C．当﹣1＜x＜1时，y随x的增大而增大D．当函数y＝x2﹣2|x|+3的图象向下平移3个单位长度时，图象与x轴有三个公共点．②结合图象探究发现，当m满足时，方程x2﹣2|x|+3＝m有