河北省保定市部分高中2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题（解析版）

高二数学考试注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册，选择性必修第一册第一章.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据复数乘除法运算直接计算即可.【详解】因为，所以.故选：C.2.已知的三个顶点分别为，且，则（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】利用向量垂直的充要条件,列方程求解即得.【详解】由可得，，因，故，解得.故选：D.3.若是空间的一个基底，则下列向量不共面的为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据空间基底的概念对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，是空间的一个基底，A选项，由于，所以共面，A选项错误.B选项，由于不存在实数，使得，所以不共面，所以B选项正确.C选项，由于，所以共面，C选项错误.D选项，由于，所以共面，D选项错误.故选：B4.已知平面的一个法向量为，点在外，点在内，且，则点到平面的距离（）A.1 B.2 C.3 D.【答案】A【解析】【分析】由点到平面的距离的向量法公式直接计算求解即可.【详解】由题得.故选：A.5.续航能力关乎无人机的“生命力”，太阳能供能是实现无人机长时续航的重要路径之一.某大学科研团队利用自主开发的新型静电电机，成功研制出仅重克的太阳能动力微型无人机，实现纯自然光供能下的持续飞行.为激发同学们对无人机的兴趣，某校无人机兴趣社团在校内进行选拔赛，8名参赛学生的成绩依次为，则这组数据的上四分位数（也叫第75百分位数）为（）A.93 B.92 C. D.【答案】D【解析】【分析】根据百分位数的定义和求解的方法步骤即可计算求解.【详解】8名学生的成绩从低到高依次为，且，故上四分位数为.故选：D.6.在中，角的对边分别为，若，则（）A.6 B.4 C.3 D.2【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理结合整体代入思想求解即可.【详解】因为，所以，而，在中，，所以，故，由余弦定理得，代入得，，故，故，故B正确.故选：B7.某人忘记了一位同学电话号码的最后一个数字，但确定这个数字一定是奇数，随意拨号，则拨号不超过两次就拨对号码的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，事件可表示为第一次拨对和第一次没拨对第二次拨对的互斥事件的和，再由互斥事件概率加法公式及古典概型求解.【详解】设第次拨号拨对号码.拨号不超过两次就拨对号码可表示，所以拨号不超过两次就拨对号码的概率为.故选：B8.已知圆锥在正方体内，，且垂直于圆锥的底面，当该圆锥的底面积最大时，圆锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意分析出当圆锥底面与正六边形相内切时，圆锥体积最大，结合正方体性质计算即可.【详解】取的中点，分别记为，连接，，如图所示，根据正方体的性质易知六边形为正六边形，此时的中点为该正六边形的中心，且平面，当圆锥底面内切于正六边形时，该圆锥的底面积最大.设此时圆锥的底面圆半径为，因为，所以，所以，圆锥的底面积，圆锥的高，所以圆锥的体积.故选：C二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题为真命题的有（）A.若，则B.若，则C.若，则或D.若，相交，则【答案】BC【解析】【分析】根据直线与平面的平行的判定与性质判定A，由线面垂直的性质判断B，根据线面垂直的性质判断C，由线面平行的判定判断D.【详解】对于A，若，，则直线可能相交或平行或异面，故A错误.对于B，若，则，故B正确.对于C，若，则或，故C正确.对于D，若相交，则或与相交，故D错误.故选：BC10.已知事件两两互斥，若，则（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根据互斥事件的概念、互斥事件概率加法公式得解.【详解】对于A，因为事件两两互斥，所以，故A错误.对于B，由，得，故B正确.对于D，由，得，故D正确.对于C，因为，所以C正确.故选：BCD11.已知厚度不计的容器是由半径为，圆心角为的扇形以一条最外边的半径为轴旋转得到的，下列几何体中，可以放入该容器中的有（）A.棱长为的正方体B.底面半径和高均为的圆锥C.棱长均为的四面体D.半径为的球【答案】AC【解析】【分析】根据所得图形，数形结合，可判断A，再由图形内接正四面体可判断C，由C求三角形外接圆半径判断B，根据截面图计算可判断D.【详解】设扇形所在圆的半径为，对于A，设正方体的棱长为，如图，则可容纳的最长对角线，解得，故A正确.对于C，如图，取三段圆弧的中点，则四面体的棱长均为2m，所以可以容纳，故C正确.对于B，如图，同选项C的分析，的外接圆半径为，所以不可以容纳，故B错误.对于D，如图，设球的半径为，按正中间剖开所得的轴截面，如图，可知圆与圆内切，，解得，所以不可以容纳，故D错误.故选：AC三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12.《九章算术》中将正四棱台称为方亭，现有一方亭，体积为13，则该方亭的高是______.【答案】3【解析】【分析】根据正四棱台的体积公式计算即可.【详解】设正四棱台的高为.因为，所以方亭的体积，解得.故答案为：313.在空间直角坐标系中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______.【答案】##0.2【解析】【分析】求出，结合向量夹角余弦公式得到异面直线所成角的余弦值.【详解】依题意可得，则，故异面直线与所成角的余弦值为.故答案为：14.在中，点在边上，，则的外接圆的半径为______.【答案】【解析】【分析】设，则由题以及正弦定理形式的面积公式结合可得，进而可求出，再由即可得解.【详解】设，则，由，得，即，又，所以，即，又，所以，所以，则，所以，所以，则外接圆的半径为.故答案为：.【点睛】关键点睛：根据已知条件的结构特征可知解决本题的关键是利用即求出.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.某高中为了解本校高二年级学生的体育锻炼情况，随机抽取100名学生，统计他们每天体育锻炼的时间，并以此作为样本，按照进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.已知样本中体育锻炼时间在内的学生有10人.（1）求频率分布直方图中和的值；（2）估计样本数据的中位数和平均数（求平均数时，同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）.【答案】（1），（2）中位数是72分钟；平均数是72分钟【解析】【分析】（1）求出在[50，60）内的频率即可求出，根据频率之和为1即可列式求.（2）先求出前3组的频率之和以及前4组的频率之和得样本数据的中位数x在第4组，再依据频率分布直方图所给数据列出等量关系式求解即可；由平均数的定义和公式直接计算即可.【小问1详解】由题意可知，学生每天体育锻炼的时间在[50，60）内的频率为，则，由各组频率之和为1，可知，解得.【小问2详解】前3组的频率之和为，前4组的频率之和为，所以样本数据的中位数在第4组，设为，所以，解得，估计样本数据的中位数是72分钟；估计平均数分钟.16.在中，角的对边分别是，已知.（1）证明：.（2）若的面积为1，求.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据和差角公式可得，即可利用正弦定理边角互化求解，（2）根据面积公式可得，进而可得，由余弦定理即可求解.【小问1详解】由可得，故，,即,由正弦定理可得，故【小问2详解】由可得，故结合得,故，又,故，故，由余弦定理可得17.如图，在四棱锥中，已知底面是边长为的菱形，，且平面，垂足为.（1）证明：平面.（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）作出辅助线，由线面垂直得到，结合正三角形，故，并得到为等边三角形，，故，即，结合，得到线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的夹角公式得到答案.【小问1详解】连接，因为平面，平面，所以，，，由勾股定理得，，因为，所以.又四边形是菱形，，所以是正三角形，所以.由，得是正三角形，.所以，即.由平面，平面，可得.因为，平面，所以平面.【小问2详解】以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.因为，所以，则，，.设是平面的一个法向量，由得取，可得.设直线与平面所成的角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为.18.在正四棱柱中，已知，点分别在棱上，且四点共面，.（1）若，记平面与底面的交线为，证明：.（2）若，记四边形的面积为，求的最小值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由线面平行的判定定理得线面平行，再由线面平行的性质定理得线线平行即可；（2）利用平行四边形面积公式得出关于关系式，再由两角和正切公式及变形，结合均值不等式，二次函数求最值即可.【小问1详解】连接，因为，所以，则.在正四棱柱中，易知，所以四边形是平行四边形，从而.又平面，平面，所以平面.又平面，平面平面，所以.【小问2详解】由正四棱柱对面平行，根据面面平行的性质可得，即四边形为平行四边形.以为坐标原点，，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.，则，，，化简可得.因为，所以，整理得.由，可得.，易知在上单调递减，所以当时，，当且仅当时，取得最小值.19.给定平面上一个图形D，以及图形D上的点，如果对于D上任意的点P，为与P无关的定值，我们就称为关于图形D的一组稳定向量基点.（1）已知为图形D，判断点是不是关于图形D的一组稳定向量基点；（2）若图形D是边长为2的正方形，是它的4个顶点，P为该正方形上的动点，求的取值范围；（3）若给定单位圆及其内接正2024边形为该单位圆上的任意一点，证明是关于圆的一组稳定向量基点，并求的值.【答案】（1）不是（2）（3）证明见解析，4048【解析】【分析】（1）分别计算与重合和与重合时这两种情况下的结果，再依据一组稳定向量基点的定义得解.（2）根据向量运算法则得，再结合正方形结构性质可得的最大值和最小值，进而得解.（3）先转化，从而得，再结合和偶数边正多边形图形结构性质即可得解.【小问1详解】点不是关于的一组稳定向量基点，理由如下：当与重合时，有，当与重合时，有，故不是关于的一组稳定向量基点.【小问2详解】因为，所以，故由正方形结构性质得：当与重合时，取得最大值；当与重合时，取得最小值0.所以的取值范围为.【小问3详解】设单位圆的圆心为，则，所以，因