高二数学期中模拟卷02（全解全析）

-2025学年高二数学上学期期中模拟卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：空间向量与立体几何+直线和圆的方程+椭圆。5．难度系数：0.62。第一部分（选择题共58分）选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】B【详解】对于A，设，即，解得，所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故A错误；对于B，设，无解，所以不共面，能构成空间的一组基底，故B正确；对于C，设，解得，所以共面，不能构成空间的一个基底，故C错误；对于D，设，解得，所以共面，不能构成空间的一个基底，故D错误.故选：B.2．直线与直线的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设两直线的倾斜角分别为，由，则，由，则，即，则两直线夹角为.故选：B.3．设定点，，动点满足条件，则点的轨迹是（

）A．椭圆 B．线段 C．射线 D．椭圆或线段【答案】D【详解】因为，所以，当且仅当时等号成立，当时，，而，此时点的轨迹是线段；当时，，此时点的轨迹是以、为焦点的椭圆．综上所述，点的轨迹是以、为焦点的椭圆或线段.故选：D.4．如图所示，在棱长为2的正方体中，E为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（

）

A． B． C． D．【答案】C【详解】如图，以D为原点，分别以所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，因为正方体的棱长为2，则.所以，又所以.

故选：C.5．已知直线：和直线：，则“”是“∥”的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】当时，，解得或，当时，两直线分别为，符合题意，当时，两直线分别为符合题意，所以“”是“∥”的充分不必要条件故选：B6．已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，为的中点，且，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】如下图所示：

根据题意可知，由椭圆定义可得，又为的中点，可得，因为，由勾股定理可得，即；结合整理可得，即，解得或（舍）.故选：C7．已知两个不同的圆，均过定点，且圆，均与轴、轴相切，则圆与圆的半径之积为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】当点在第一象限时，圆，的方程为的形式，代入点的坐标，可得关于的方程，圆，的半径，是该方程的两个不同实根，所以，同理，当点在第二、三、四象限时也可得．当点在轴上时，，此时圆，的圆心分别位于第一、二象限（或第三、四象限），两圆在点处相切，且，满足．同理，当点在轴上时，，同样满足．故选：C.8．如图所示，四面体的体积为，点为棱的中点，点分别为线段的三等分点，点为线段的中点，过点的平面与棱分别交于，设四面体的体积为，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】连接，由题意知：；令，则，，四点共面，（当且仅当时取等号），；设点到平面的距离为，则点到平面的距离为，又，，，即的最小值为.故选：C.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（

）A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则B．两个不同的平面，的法向量分别是，，则C．直线的方向向量，平面的法向量是，则D．直线的方向向量，平面的法向量是，则【答案】AB【详解】两条不重合直线，的方向向量分别是，，则，所以，A正确；两个不同的平面，的法向量分别是，，则，所以，B正确；直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以或，C错误；直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以，D错误．故选：AB10．已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（

）A．的最大值为5B．的最大值为C．直线与圆相切时，D．圆心到直线的距离最大为4【答案】BC【详解】圆的方程可化为，所以圆的圆心为，半径.，Px0所以的最大值为，A选项错误.如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大，此时，且，B选项正确.直线，即，过定点，若直线与圆相切，则圆心到直线的距离为，即，解得，所以C选项正确.圆心到直线的距离，当时，，当时，，所以D选项错误.故选：BC11．已知直线交椭圆于A，B两点，，为椭圆的左、右焦点，M，N为椭圆的左、右顶点，在椭圆上与关于直线l的对称点为Q，则（

）A．若，则椭圆的离心率为B．若，则椭圆的离心率为C．D．若直线平行于x轴，则【答案】ACD【详解】如图，直线l与交于G，对于A，若，则，所以，所以，故A正确；对于B，设Ax0,y0，则，且所以，所以，故B错误；对于C，由题意可知是中位线，故，故C正确；对于D，设点，则直线，因为直线平行于x轴，所以点的中点，所以由点G在直线l上且得，解得，即，因此，故D正确.故选：ACD．第二部分（非选择题共92分）填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知点在圆上，点，当最小时，.【答案】【详解】设圆的圆心为，半径为4，如图所示：当最小时，与圆M相切，连接，则，，而，由勾股定理得，所以当最小时，.故答案为：.13．下列关于直线方程的说法正确的是.①直线的倾斜角可以是；②直线l过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为；③过点的直线的直线方程还可以写成；④经过，两点的直线方程可以表示为.【答案】①③【详解】对于①，当时，直线方程为：，此时直线倾斜角为，①正确；对于②，当直线过坐标原点时，，此时其在两坐标轴上的截距相等；当直线不过坐标原点时，设，则，；综上所述：过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为：或，②错误；对于③，在直线上，，则，，③正确；对于④，若或，则过两点的直线无法表示为，④错误.故答案为：①③.14．正方体的棱长为，是侧面（包括边界）上一动点，是棱上一点，若，且的面积是面积的倍，则三棱锥体积的最大值是．【答案】【详解】由已知平面，平面，所以,因为平面，平面，所以，所以，又，所以，又的面积是面积的倍，所以，以点为原点，为轴建立空间直角坐标系，则，，设点的坐标为，则，，由已知，所以，所以，其中，，所以点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆在侧面内的一段圆弧，过点作，因为平面，所以平面，即平面，所以为三棱锥的高，所以三棱锥的体积，因为，，所以，，所以当时，取最大值，最大值为，所以当时，三棱锥体积取最大值，最大值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知直线的方程为：.(1)求证：不论为何值，直线必过定点；(2)过点引直线交坐标轴正半轴于两点，当面积最小时，求的周长.【详解】（1）证明：由可得：，令，所以直线过定点．5分（2）由（1）知，直线恒过定点，由题意可设直线的方程为，设直线与轴，轴正半轴交点为，令x=0，得；令，得，7分所以面积，当且仅当，即时，面积最小，11分此时，，，的周长为.所以当面积最小时，的周长为13分16．（15分）如图，在三棱柱中，平面.(1)求证：平面平面；(2)设点为的中点，求平面与平面夹角的余弦值.【详解】（1）证明平面平面，.又，且平面，平面.平面.又，且平面，平面.平面，平面平面6分（2）由（1）知，所以四边形为正方形，即，且有.以点为原点，以所在直线分别为轴，以过点和垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，所以，设平面的一个法向量n=x,y,z，则即取，同理可得平面的一个法向量，所以，所以平面与平面夹角的余弦值为15分17．（15分）已知椭圆C：的焦距为，离心率为.(1)求C的标准方程；(2)若，直线l：交椭圆C于E，F两点，且的面积为，求t的值.【详解】（1）由题意得，，，又，则，则，所以C的标准方程为5分（2）由题意设，，如图所示：联立，整理得，，则，，故设直线l与x轴的交点为，又，则，故，结合，解得15分18．（17分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，.(1)求证：平面.(2)求直线与平面所成角的正弦值.(3)在棱上是否存在点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【详解】（1）∵平面平面，且平面平面，且，平面，∴平面，∵平面，∴，又，且，平面，∴平面；5分（2）取中点为，连接，又∵，∴．则，∵，∴，则，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，则，，，，设为平面的一个法向量，则由，得，令，则．设与平面的夹角为，则；11分（3）假设在棱上存在点点，使得平面.设，，由（2）知，，，，则，，，由（2）知平面的一个法向量．若平面，则，解得，又平面，故在棱上存在点点，使得平面，此时17分19．（17分）已知圆O的方程为．(1)求过点的圆的切线方程；(2)已知两个定点，，其中，．为圆上任意一点，（为常数），①求常数的值；②过点作直线与圆交于、两点，若点恰好是线段的中点，求实数的取值范围．【详解】（