专题02特殊的平行四边形中的最值模型-胡不归模型(原卷版+解析)

专题02特殊的平行四边形中的最值模型--胡不归模型胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。【模型背景】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.补充知识：在直角三角形中锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即。若无法理解正弦，也可考虑特殊直角三角形（含30°，45°，60°）的三边关系。【模型解读】一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）1），记，即求BC+kAC的最小值.2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值.3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短。例1．（2023·四川乐山·统考二模）如图，菱形中，，，是对角线上的任意一点，则的最小值为（

）．

A． B． C． D．例2．（2023·四川宜宾·校考模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于________．例3．（2023秋·山东日照·九年级校联考期末）如图，在矩形中，，，点P是对角线上的动点，连接，则的最小值为（

）A． B．6 C． D．4例4．（2022·广东佛山·校考一模）在边长为1的正方形中，是边的中点，是对角线上的动点，则的最小值为___________．例5.

（2023.绵阳市八年级期中）P是正方形对角线上一点，AB=2，则PA+PB+PC的最小值为。例6．（2022·山东济宁·校考模拟预测）如图，矩形的对角线，相交于点，关于的对称图形为．（1）求证：四边形是菱形；（2）连接，若，．①求的值；②若点为线段上一动点（不与点重合），连接，一动点从点出发，以的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动．当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间．变式1．（2022·重庆·九年级期中）如图所示，菱形的边长为5，对角线的长为，为上一动点，则的最小值为A．4 B．5 C． D．变式2．（2022·云南昆明·统考二模）如图，正方形边长为4，点E是边上一点，且．P是对角线上一动点，则的最小值为（

）A．4 B． C． D．变式3．（2022·湖北武汉·九年级期末）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______．变式4．（2023·陕西宝鸡·统考二模）如图，在矩形中，，，点是对角线上的动点，连接，则的最小值为______．变式5．（2022春·湖南湘西·八年级统考阶段练习）如图，已知菱形ABCD的边长为4，点是对角线AC上的一动点，且∠ABC=120°，则()的最小值是____________．课后专项训练1．（2023·四川攀枝花·统考二模）如图，中，，，，为边上的一动点，则的最小值等于（）A．2 B．4 C．3 D．52．（2023春·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，菱形的边长为5，对角线的长为，为上一动点，则的最小值等于______．3．（2021·眉山市·中考真题）如图，在菱形中，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值是______．4．（2023·黑龙江佳木斯·统考一模）如图，菱形ABCD中，，边长为3，P是对角线BD上的一个动点，则的最小值是______．5．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，矩形ABCD中AB＝3，BC，E为线段AB上一动点，连接CE，则AE＋CE的最小值为___．6．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+PD的最小值等于______.7．（2022·江苏镇江·统考一模）如图，在平行四边形中，，E为边上的一动点，那么的最小值等于______．8．（2022·陕西西安·校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点P是对角线AC上的动点，连接PD，则PA＋2PD的最小值________．9．（2022·四川眉山·统考一模）两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD．如图所示若，P是对角线BD上的一个动点，则的最小值是______．10．（2022·湖南·九年级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝6，△BCD为等边三角形点E为△BCD围成的区域（包括各边）的一点过点E作EM∥AB，交直线AC于点M作EN∥AC交直线AB于点N，则AN+AM的最大值为．11．（2023·内蒙古通辽·统考一模）如图，已知菱形ABCD的边长为8，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC=120°，则MA+MB+MD的最小值是________．12．（2021·山东淄博市·中考真题）两张宽为的纸条交叉重叠成四边形，如图所示．若，则对角线上的动点到三点距离之和的最小值是__________．13．（2023·广东广州·铁一中学校考二模）如图，菱形中，，，点、分别为线段、上的动点，点为边的中点，连接，．(1)求的长；(2)连接，若，求证：；(3)若，试求的最小值．

14．（2023·吉林长春·统考一模）（1）【问题原型】如图①，在，，，求点到的距离．（2）【问题延伸】如图②，在，，．若点在边上，点在线段上，连结，过点作于，则的最小值为______．（3）【问题拓展】如图（3），在矩形中，．点在边上，点在边上，点在线段上，连结．若，则的最小值为______．15．（2022··达州市九年级期中）如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边、、轴分别交于点、、，，并且满足，点是线段上的一个动点．（1）求的值；（2）连接，若的面积与四边形的面积之比为，求点的坐标；（3）求的最小值．16．（2022·江苏·统考一模）如图1，平面内有一点到的三个顶点的距离分别为、、，若有，则称点为关于点的勾股点．（1）如图2，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、、、、、均在小正方形的顶点上，则点E是关于点B的勾股点.（2）如图3，是矩形内一点，且点是关于点的勾股点,①求证：；②若，，求的度数．（3）如图3，矩形中，，，是矩形内一点，且点是关于点的勾股点．①当时，求的长；②直接写出的最小值．17．（2023春·广东广州·八年级广州市第七中学校考期中）在菱形中，．(1)如图1，过点B作于点E，连接，点是线段的中点，连接，若，求线段的长度；(2)如图2，连接．点Q是对角线上的一个动点，若，求的最小值．

专题02特殊的平行四边形中的最值模型--胡不归模型胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。【模型背景】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.补充知识：在直角三角形中锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即。若无法理解正弦，也可考虑特殊直角三角形（含30°，45°，60°）的三边关系。【模型解读】一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）1），记，即求BC+kAC的最小值.2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值.3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短。例1．（2023·四川乐山·统考二模）如图，菱形中，，，是对角线上的任意一点，则的最小值为（

）．

A． B． C． D．【答案】B【分析】如图：过点E作，过点B作，连接,由菱形的性质结合题意可得结合可得，则,即；再根据三角形的三边关系可得,则当时，即F与重合时，有最小值，最后解直角三角形求出即可．【详解】解：如图：过点E作，过点B作，连接．

∵在菱形中，，∴，∵，∴，，即．∴．∴．∵∴当时，即F与重合时，有最小值∴的最小值．故选B．【点睛】本题考查菱形的性质、解直角三角形等知识点，找到有最小值的位置是解答本题的关键．例2．（2023·四川宜宾·校考模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于________．【答案】【分析】过点P作PQ⊥AD于点Q，由于∠PDQ=60°，因此，由此可知当B、P、Q三点共线时有最小值，然后利用解直角三角形的知识进行求解即可.【详解】过点P作PQ⊥AD，垂足为Q，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC//AB，∴∠QDP=∠DAB=60°，∴PQ=PD•sin∠QDP=PD，∴=BP+PQ，∴当点B、P、Q三点共线时有最小值，∴的最小值为，故答案为：3.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，线段之和最短问题，正确添加辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键.例3．（2023秋·山东日照·九年级校联考期末）如图，在矩形中，，，点P是对角线上的动点，连接，则的最小值为（

）A． B．6 C． D．4【答案】B【分析】直接利用已知得出，再将原式变形，进而得出最小值，进而得出答案．【详解】解：过点A作，过点D作于点M，交于点P，∵在矩形中，，，∴，∴，则，∴，∴，．即的最小值为6．故选B．【点睛】本题考查的是矩形的性质，锐角三角函数的应用，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键．例4．（2022·广东佛山·校考一模）在边长为1的正方形中，是边的中点，是对角线上的动点，则的最小值为___________．【答案】0【分析】作于，可得出，从而得的最小值，将变形为，进一步得出结果．【详解】解：如图，作于，∵四边形是正方形，，，的最小值为0，∵，∴的最小值为0，故答案为：0．【点睛】本题考查了正方形的性质，解直角三角形等知识，解题关键是作辅助线转化线段．例5.

（2023.绵阳市八年级期中）P是正方形对角线上一点，AB=2，则PA+PB+PC的最小值为。解析：PA+PB+PC=2PA+PB=2（PA+PB）连接AC交BD于O，作BE使∠PBE=30°，过点P作PF⊥BE，PF=PB.显然A、P、F共线时PA+PB最小。此时

PA+PB=AF∵AB=2,∴AO=BO=,∵∠PBE=30°,∴OE=,BE=利用等面积法:×AF×BE=×AE×BO解得：AF=注意：本题也可以利用费马点（旋转作图）来解决。例6．（2022·山东济宁·校考模拟预测）如图，矩形的对角线，相交于点，关于的对称图形为．（1）求证：四边形是菱形；（2）连接，若，．①求的值；②若点为线段上一动点（不与点重合），连接，一动点从点出发，以的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动．当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间．【答案】（1）证明见解析；（2）①；②和走完全程所需时间为．【分析】（1）利用四边相等的四边形是菱形进行证明即可；（2）①构造直角三角形求即可；②先确定点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时的位置，再计算运到的时间．【详解】（1）四边形是矩形，，与交于点O,且关于对称，，，四边形是菱形；（2）①连接,直线分别交于点,交于点，关于的对称图形为，，在矩形中，为的中点，且O为AC的中点，为的中位线，

，同理可得：为的中点，，

，；②过点P作交于点，由运动到所需的时间为3s，由①可得，，点Q以的速度从P到A所需的时间等于以从M运动到A，即：，由O运动到P所需的时间就是OP+MA和最小.如下图，当P运动到,即时，所用时间最短.，在中，设，，，解得：，，和走完全程所需时间为．变式1．（2022·重庆·九年级期中）如图所示，菱形的边长为5，对角线的长为，为上一动点，则的最小值为A．4 B．5 C． D．解：如图，过点作于点，过点作于点，连接交于点．四边形是菱形，，，，，，，，，，，，，的最小值为4，故选：．变式2．（2022·云南昆明·统考二模）如图，正方形边长为4，点E是边上一点，且．P是对角线上一动点，则的最小值为（

）A．4 B． C． D．【答案】D【分析】连接AC，作，证明当取最小值时，A，P，G三点共线，且，此时最小值为AG，再利用勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半即可求出结果．【详解】解：连接AC，作∵是正方形且边长为4，∴，，，∵，∴，∴，∴当取最小值时，A，P，G三点共线，且，此时最小值为AG，∵，，∴，∵，∴，设，则，∴，解得：，设，则，∵，∴，解得：∴，故选：D【点睛】本题考查正方形的性质，动点问题，勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半，解题的关键是证明当取最小值时，A，P，G三点共线，且，此时最小值为AG．变式3．（2022·湖北武汉·九年级期末）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______．【答案】【分析】作PH丄AD交AD的延长线于H，由直角三角形的性质可得HP=DP，因此PD+2PB=2(DP+PB)=2(PH+PB)，当H、P、B三点共线时HP+PB有最小值，即PD十2PB有最小值，即可求解．【详解】如图，过点作，交的延长线于，四边形是平行四边形，，∴∵PH丄AD∴∴，，∴当点，点，点三点共线时，HP+PB有最小值，即有最小值，此时，，，∴，则最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识．构造直角三角形是解题的关键．变式4．（2023·陕西宝鸡·统考二模）如图，在矩形中，，，点是对角线上的动点，连接，则的最小值为______．【答案】【分析】直接利用已知得出，再将原式变形，进而得出最小值，进而得出答案．【详解】过点A作，过点D作于点H，交于点，∵在矩形中，，∴，∴，则，∵，此时最小，∴的最小值是．故答案为：．【点睛】此题主要考查了胡不归问题，正确作出辅助线是解题关键．变式5．（2022春·湖南湘西·八年级统考阶段练习）如图，已知菱形ABCD的边长为4，点是对角线AC上的一动点，且∠ABC=120°，则()的最小值是____________．【答案】【分析】作DE⊥AB于E点，连接BD，根据垂线段最短，此时DE最短，即PA+PB+PD最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出DE的长，进而得出结论．【详解】解：如图，作DE⊥AB于E点，连接BD∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°∴∠DAB=60°，则△ABD为等边三角形∴∠PAE=30°∴AP=2PE∵PD=PB∴PA+PB+PD=2PE+2PD=2DE根据垂线段最短，此时DE最短，即PA+PB+PD最小∵菱形的边长为4∴AB=4，AE=2∴DE=∴2DE=∴PA+PB+PD最小值为故答案为：【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，掌握菱形的性质，将多条线段转化是解题关键．课后专项训练1．（2023·四川攀枝花·统考二模）如图，中，，，，为边上的一动点，则的最小值等于（）A．2 B．4 C．3 D．5【答案】C【分析】过点作，交的延长线于点，由锐角三角函数可得，即，则当点，点，点三点共线且时，有最小值，由可求最小值为．【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，，，，，，当点，点，点三点共线且时，有最小值，即最小值为，，．故答案为3．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短和锐角三角函数的性质，熟练应用相关性质是解题的关键．2．（2023春·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，菱形的边长为5，对角线的长为，为上一动点，则的最小值等于______．【答案】4【分析】由四边形是菱形，根据已知线段长度，将转化，再根据垂线段最短即可求解．【详解】解：如图，连接交于点M，过点M作于点H，过点A作于点G，交于点P，四边形是菱形，边长为5，，，，，，，，，，，，，，即，，当A，P，G三点共线且时，取最小值，最小值为，菱形的面积，，的最小值是4．故答案为：4．【点睛】本题考查菱形的性质，解直角三角形，以及最短路径问题，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，菱形的面积公式，将转化为是解题的关键．3．（2021·眉山市·中考真题）如图，在菱形中，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值是______．【答案】【分析】过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时的长度最小为MH，再算出MC的长度，在直角三角形MPC中利用三角函数即可解得MH【详解】过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时的长度最小∵菱形中，∴AB=BC=AC=10，△ABC为等边三角形∴∠PBC=30°，∠ACB=60°∴在直角△PBH中，∠PBH=30°∴PH=∴此时得到最小值，∵AC=10，AM=3,∴MC=7又∠MPC=60°∴MH=MCsin60°=故答案为：【点睛】本题主要考查了菱形的性质与三角函数，能够找到最小值时的P点是解题关键.4．（2023·黑龙江佳木斯·统考一模）如图，菱形ABCD中，，边长为3，P是对角线BD上的一个动点，则的最小值是______．【答案】【分析】求两条线段之和的最小值问题，通常转化为两点之间的距离，在平面中，两点间的距离最短．【详解】解：如图所示：过点作交于点，过点作交于点，四边形是菱形，，∴∠ABP=30°，，，由垂线段最短可知，的最小值为的长，，即的最小值是：，故答案是：．【点睛】本题考查了动点中的最短路径问题，解题的关键是：通过等量代换，转化为两点之间的距离．5．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，矩形ABCD中AB＝3，BC，E为线段AB上一动点，连接CE，则AE＋CE的最小值为___．【答案】3【详解】思路引领：在射线AB的下方作∠MAB＝30°，过点E作ET⊥AM于T，过点C作CH⊥AM于H．易证ETAE，推出AE+EC＝CE+ET≥CH，求出CH即可解决问题．答案详解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴tan∠CAB，∴∠CAB＝30°，∴AC＝2BC＝2，在射线AB的下方作∠MAB＝30°，过点E作ET⊥AM于T，过点C作CH⊥AM于H．∵ET⊥AM，∠EAT＝30°，∴ETAE，∵∠CAH＝60°，∠CHA＝90°，AC＝2，∴CH＝AC•sin6°＝23，∵AE+EC＝CE+ET≥CH，∴AE+EC≥3，∴AE+EC的最小值为3，故答案为3．6．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+PD的最小值等于______.【答案】【分析】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，根据四边形ABCD是平行四边形，得到AB∥CD，推出PE=PD，由此得到当PB+PE最小时2PB+PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，利用∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6求出PB+PE的最小值=AB=3，得到2PB+PD的最小值等于6.【详解】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EDC=∠DAB＝30°，∴PE=PD，∵2PB+PD=2（PB+PD）=2(PB+PE)，∴当PB+PE最小时2PB+PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，∵∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6，∴PB+PE的最小值=AB=3，∴2PB+PD的最小值等于6，故答案为：6.【点睛】此题考查平行四边形的性质，直角三角形含30°角的问题，动点问题，将线段2PB+PD转化为三点共线的形式是解题的关键.7．（2022·江苏镇江·统考一模）如图，在平行四边形中，，E为边上的一动点，那么的最小值等于______．【答案】3【分析】如图，过作交的延长线于点，根据平行四边形的性质，推出，从而得到，进而得到，根据，可知，当三点共线时，线段的和最小，利用所对的直角边是斜边的一半即可得解．【详解】解：如图，过作交的延长线于点，∵四边形为平行四边形，∴，∴，∴，∴，∵，∴当三点共线时，线段的和最小，∵，，∴，即：的最小值等于3；故答案为：3．【点睛】本题考查平行四边形的性质，以及含的直角三角形．通过添加辅助线，构造含的直角三角形，利用垂线段最短进行求解，是解题的关键．本题是胡不归模型，平时多归纳总结，可以快速解题．8．（2022·陕西西安·校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点P是对角线AC上的动点，连接PD，则PA＋2PD的最小值________．【答案】6【分析】直接利用已知得出∠CAB=60°，再将原式变形，进而得出PA+PD最小值，进而得出答案．【详解】过点A作∠CAN=30°，过点D作DM⊥AN于点M，交AC于点P，∵在矩形ABCD中，AB=2，BC=，∴tan∠CAB=，∴∠CAB=60°，则∠DAC=30°，∵PA+2PD=2（PA+PD），，此时PA+PD最小，∴PA+2PD的最小值是2×3=6．故答案为：6．【点睛】此题主要考查了胡不归问题，正确作出辅助线是解题关键．9．（2022·四川眉山·统考一模）两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD．如图所示若，P是对角线BD上的一个动点，则的最小值是______．【答案】【分析】先证明四边形ABCD是菱形，过点D作DE⊥BC于点E，连接AC，交BD于点O，可得，，然后根据勾股定理可得，则，进而求出，要使的值最小，则需要满足为最小，即为最小，当B、P、M在同一直线上时，为最小，过点A作AM⊥AP，且使，连接BM，进而求解即可．【详解】两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD，即，四边形ABCD是平行四边形，，，四边形ABCD是菱形，过点D作DE⊥BC于点E，连接AC，交BD于点O，如图，，，，，，，，，过点A作AM⊥AP，且使，连接BM，如图，，要使的值最小，则需要满足为最小，即为最小，当B、P、M在同一直线上时，为最小，如图，，，的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了三角函数、菱形的性质与判定及含30°直角三角形的性质，解题的关键是利用“胡不归”原理找到最小值的情况，然后根据三角函数及菱形的性质进行求解即可．10．（2022·湖南·九年级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝6，△BCD为等边三角形点E为△BCD围成的区域（包括各边）的一点过点E作EM∥AB，交直线AC于点M作EN∥AC交直线AB于点N，则AN+AM的最大值为．【解答】解：过E作EH⊥AC交AC的延长线于点H，∵EN∥AC，EM∥AB，∴四边形ANEM是平行四边形，∠HME＝∠A＝60°，设EM＝AN＝a，AM＝b，Rt△HEM中，∠HEM＝30°，∴MH＝ME＝a，∴AN+AM＝a+b＝MH+AM＝AH，当E在点D时，AH的值最大是：3+4.5＝7.5，AN+AM的最大值为7.5，故答案为：7.5．11．（2023·内蒙古通辽·统考一模）如图，已知菱形ABCD的边长为8，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC=120°，则MA+MB+MD的最小值是________．【答案】【分析】过点D作DE⊥AB于点E，连接BD，根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出DE的长，进而可得结论．【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，连接BD，∵菱形ABCD中，∠ABC=120°，∠MAE=30°，∴∠DAB=60°，AD=AB=DC=BC，MD=MB，∴△ADB是等边三角形，∵∠MAE=30°，∴AM=2ME，∵MD=MB，∴MA+MB+MD=2ME+2DM=2DE，根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，∵菱形ABCD的边长为8，∴DE=，∴2DE=8．∴MA+MB+MD的最小值是8．故答案为：8．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质．12．（2021·山东淄博市·中考真题）两张宽为的纸条交叉重叠成四边形，如图所示．若，则对角线上的动点到三点距离之和的最小值是__________．【答案】【分析】由题意易得四边形是菱形，过点D作DE⊥BC于点E，连接AC，交BD于点O，易得，，然后根据勾股定理可得，则，，进而可得，要使为最小，即的值为最小，则可过点A作AM⊥AP，且使，连接BM，最后根据“胡不归”问题可求解．【详解】解：∵纸条的对边平行，即，∴四边形是平行四边形，∵两张纸条的宽度都为，∴，∴，∴四边形是菱形，过点D作DE⊥BC于点E，连接AC，交BD于点O，如图所示：∴，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴，，∴，过点A作AM⊥AP，且使，连接BM，如图所示：∴，要使的值为最小，则需满足为最小，根据三角不等关系可得：，所以当B、P、M三点共线时，取最小，即为BM的长，如图所示：∴，∴，∴的最小值为，即的最小值为；故答案为．【点睛】本题主要考查三角函数、菱形的性质与判定及含30°直角三角形的性质，解题的关键是利用“胡不归”原理找到最小值的情况，然后根据三角函数及菱形的性质进行求解即可．13．（2023·广东广州·铁一中学校考二模）如图，菱形中，，，点、分别为线段、上的动点，点为边的中点，连接，．

(1)求的长；(2)连接，若，求证：；(3)若，试求的最小值．【答案】(1)(2)见解析(3)【分析】（1）证明是等边三角形，即可求解；（2）延长至，使得，在上取，连接，证明，可得，，证明四边形是平行四边形，可得，即可得出，进而证明，即可得证；（3）将绕点逆时针旋转得到，连接，则，当三点共线时，，此时取得最小值，为的中点，当为的中点时（或者设其他点为中点，再证明为中点），过点作于点，勾股定理解直角三角形，即可求解．【详解】（1）解：∵菱形中，，∴，∵，∴是等边三角形，又∵，∴；（2）解：如图所示，延长至，使得，在上取，连接，

在与中，∴∴，∵是等边三角形，∴，，∴，∴四边形是平行四边形，∴，，∴，∵，设，则在中，，∴，∴∵∴，∴在中，∴，∴，∴；（3）如图所示，连接，过点作于点，

将绕点逆时针旋转得到，连接，则，当三点共线时，，此时取得最小值，∵是等腰直角三角形，∴，∵三点共线∴，∴，∵为的中点，当为的中点时，∴，，则，∴，，∵∴，∵∴又，∴，∴，∴当是的中点时，三点共线，过点作于点，∴，，∴，在中，，∵，∴，即的最小值为．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．14．（2023·吉林长春·统考一模）（1）【问题原型】如图①，在，，，求点到的距离．（2）【问题延伸】如图②，在，，．若点在边上，点在线段上，连结，过点作于，则的最小值为______．（3）【问题拓展】如图（3），在矩形中，．点在边上，点在边上，点在线段上，连结．若，则的最小值为______．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）过点作于，过点作于，根据等腰三角形的性质可得，再由勾股定理可得的长，再由，即可求解；（2）连接，过点作于，过点作于．根据题意可得的最小值等于的长，再由当时，的长最小，可得的最小值等于的长，再根据等腰三角形的性质可得，再由勾股定理可得的长，再由，即可求解；（3）过点F作于点H，连接，过点E作于点G，根据直角三角形的性质可得在，从而得到，继而得到的最小值等于，再由当时，的长最小，即的长最小，可得的最小值等于，即可求解．【详解】解：（1）如图，过点作于，过点作于．∵，∴．在中，．∵，∴．∴点到的距离为．（2）如图，连接，过点作于，过点作于．∵，∴的最小值等于的长，∵当时，的长最小，此时点Q与点H重合，∴的最小值等于的长，∵，∴．在中，．∵，∴．即的最小值为；故答案为：（3）如图，过点F作于点H，连接，过点E作于点G，在中，，∴，∴，∴的最小值等于，∵当时，的长最小，即的长最小，此时点H与点G重合，∴的最小值等于，∵四边形是矩形，∴，∴，∴，即的最小值等于．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．15．（2022··达州市九年级期中）如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边、、轴分别交于点、、，，并且满足，点是线段上的一个动点．（1）求的值；（2）连接，若的面积与四边形的面积之比为，求点的坐标；（3）求的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）利用矩形的性质，用表示点的坐标，再利用待定系数法即可求解；（2）首先求出四边形的面积，再根据条件求出的面积，即可解决问题；（3）过点作轴交于点，则，即可转化为求的最小值，作点关于一次函数的对称点，过点作轴的垂线交轴于点，交一次函数于点，即的最小值为，算出长度即可．【详解】（1）在中，令，则，点的坐标为，，，，把代入中得：，解得：；（2）由（1）得一次函数为，，，，，，，的面积与四边形的面积之比为，的面积与四边形的面积之比为，，设点的横坐标为，则，解得：，把代入中得：，；（3）如图所示，过点作轴交于点，，，，作点关于一次函数的对称点，且OO’与直线DF交于Q点，过点作轴的垂线交轴于点，，，当、、在同一直线时最小，即的最小值为，，，，，在中，，，在中．，的最小值为．【点睛】本题考查几何图形与函数的综合题，包括一次函数、矩形的性质、四边形的面积，解直角三角形以及胡不归问题，属于中考压轴题．16．（2022·江苏·统考一模）如图1，平面内有一点到的三个顶点的距离分别为、、，若有，则称点为关于点的勾股点．（1）如图2，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、、、、、均在小正方形的顶点上，则点E是关于点B的勾股点.（2）如图3，是矩形内一点，且点是关于点的勾股点,①求证：；②若，，求的度数．（3）如图3，矩形中，，，是矩形内一点，且点是关于点的勾股点．①当时，求的长；②直接写出的最小值．【答案】（2）①证明见解析；②30°；（3）①AE的长为或；②．【分析】（2）①由矩形性质得∠ADC=90°，可得AD2+DC2=AC2；根据勾股数得BC2+EC2=AC2，又因为AD=BC，即得CE=CD．②设∠CED=α，根据∠AEC=135°和CE=CD即∠ADC=90°，可用α表示△ADE的三个内角，利用三角形内角和180°为等量关系列方程，即求出α进而求出∠ADE．（3）由条件“点C是△ABE关于点A的勾股点”仍可得CE=CD=5，作为条件使用．①△ADE是等腰三角形需分3种情况讨论，把每种情况画图再根据矩形性质和勾股定理计算，即能求AE的长．②在CB上截取CH=，利用两边对应成比例及夹角相等构造△ECH∽△BCE，把BE转化为EH，所以当点A、E、H在同一直线上时，AE+BE=AH取得最小值，利用勾股定理求出AH即可．【详解】解：（2）①证明：∵点C是△ABE关于点A的勾股点∴CA2=CB2+CE2∵四边形ABCD是