第05讲旋转(3大考点12种解题方法)(原卷版+解析)

第05讲旋转（3大考点12种解题方法）考点考向考点考向1.生活中的旋转现象（1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点．（2）注意：①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键．②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向．③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点．．2.旋转的性质旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等。②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．旋转三要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．3.旋转对称图形（1）旋转对称图形如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．（2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．4.坐标与图形变化-旋转（1）关于原点对称的点的坐标P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y）（2）旋转图形的坐标图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．5.中心对称（1）中心对称的定义把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．．（2）中心对称的性质①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．6.中心对称图形（1）定义把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．（2）常见的中心对称图形平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．7.关于原点对称的点的坐标关于原点对称的点的坐标特点（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形．注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．考点精讲考点精讲一．生活中的旋转现象（共3小题）1．（2021秋•汕尾期末）下列运动中，属于旋转运动的是（）A．小明向北走了4米 B．一物体从高空坠下 C．电梯从1楼到12楼 D．小明在荡秋千2．（2022春•武冈市期末）下列运动属于旋转的是（）A．足球在草地上滚动 B．火箭升空的运动 C．汽车在急刹车时向前滑行 D．钟表的钟摆的摆动3．（2022春•晋中期末）如图，一个小孩坐在秋千上，秋千绕点O旋转了86°，小孩的位置也从A点运动到了A'点，则∠OAA'＝度．二．旋转的性质（共4小题）4．（2022•巩义市模拟）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE，AD与BC相交于点F，若∠E＝80°且△AFC是以线段FC为底边的等腰三角形，则∠BAC的度数为（）A．55° B．60° C．65° D．70°5．（2022•方城县三模）如图，射线OM，ON互相垂直，OA＝8，点B位于射线OM的上方，且在线段OA的垂直平分线l上，连接AB，AB＝5．将线段AB绕点O按逆时针方向旋转得到对应线段A'B'，若点B'恰好落在射线ON上，则点A'到射线ON的距离是（）A． B． C．4 D．6．（2022•太原二模）问题：“如图1，平面上，正方形内有一长为12，宽为6的矩形纸片，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数n．”甲、乙、丙三名同学分别作了自认为边长最小的正方形，求出该正方形的边长x，再取最小整数n．甲：如图2，思路是当x为矩形对角线长时就可以移转过去；结果取n＝13．乙：如图3，思路是当x为矩形外接圆直径长时就可以移转过去；结果取n＝14．丙：如图4，思路是当x为矩形的长与宽之和时就可以移转过去；结果取n＝18．对甲、乙、丙评价正确的是（）A．甲的思路错，n值正确 B．乙的思路对，n值正确 C．丙的思路对，n值正确 D．甲、乙的思路都错，丙的思路对7．（2022•二道区模拟）如图，在△AOB中，AO＝2，BO＝AB＝3．将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A′OB′，连接AA′．则线段BB′的长为（）A．2 B． C．3 D．三．旋转对称图形（共3小题）8．（2021秋•北仑区期末）下列正多边形，绕其中心旋转72°后，能和自身重合的是（）A． B． C． D．9．（2022•南关区校级四模）如图所示的正六边形花环绕中必至少旋转α度能与自身重合，则α为（）A．30 B．60 C．120 D．18010．（2021秋•渝中区校级期末）把一个正六边形绕其中心旋转，至少旋转度，可以与自身重合．四．坐标与图形变化-旋转（共4小题）11．（2022•南京模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，0）、B（0，3），对△AOB连续作旋转变换依次得到三角形（1），（2），（3），（4），…，则第（6）个三角形的直角顶点的坐标是（）A．（12，0） B．（12，5） C．（24，0） D．（24，3）12．（2022春•泰州期末）如图，在正方形网格中，线段AB绕点O旋转一定的角度后与线段CD重合（C、D均为格点，A的对应点是点C），若点A的坐标为（﹣1，5），点B的坐标为（3，3），则旋转中心O点的坐标为（）A．（1，1） B．（4，4） C．（2，1） D．（1，1）或（4，4）12．（2022•河南三模）如图，在平面直角坐标系中，OA1＝OB1，∠A1OB1＝120°，将△A1OB1绕点O顺时针旋转并且按一定规律放大，每次变化后得到的图形仍是顶角为120°的等腰三角形．第一次变化后得到等腰三角形A2OB2，点A1（1，0）的对应点为A2（﹣1，﹣）；第二次变化后得到等腰三角形A3OB3，点A2的对应点为A3（﹣，）；第三次变化后得到等腰三角形A4OB4，点A3的对应点为A4（4，0）…依此规律，则第2022个等腰三角形中，点B2022的坐标是（）A．（2022，0） B． C． D．14．（2022•绥化）如图，线段OA在平面直角坐标系内，A点坐标为（2，5），线段OA绕原点O逆时针旋转90°，得到线段OA'，则点A'的坐标为（）A．（﹣5，2） B．（5，2） C．（2，﹣5） D．（5，﹣2）五．中心对称（共4小题）15．（2022•济源模拟）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，动点P从点A出发沿AD向点D移动，移动到点D停止，延长PO交BC于点Q，则四边形APCQ形状的变化依次为（）A．平行四边形一矩形一平行四边形一矩形 B．平行四边形一矩形一菱形一矩形 C．平行四边形一菱形一平行四边形一矩形 D．平行四边形一菱形一平行四边形16．（2022•徐州一模）已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点A、B、C、D按逆时针依次排列，若A点的坐标为（3，5），则点B与点C的坐标分别为（）A．（﹣3，5），（﹣3，﹣5） B．（﹣5，3），（5，﹣3） C．（﹣5，3），（3，﹣5） D．（﹣5，3），（﹣3，﹣5）17．（2022•青龙县一模）如图，已知点A与点C关于点O对称，点B与点D也关于点O对称，若BC＝3，OD＝4．则AB的长可能是（）A．3 B．4 C．7 D．1118．（2022•碑林区校级四模）如图，在菱形ABCD中，AB＝8，∠A＝120°，过菱形ABCD的对称中心O作EG⊥CD于点G，交AB于点E，作HF⊥BC于点F，交AD干点H，连接EH，则EH的长度为（）A．5 B．4 C．3 D．2六．中心对称图形（共3小题）19．（2022春•府谷县期末）围棋起源于中国，古代称之为“恋”，至今已有4000多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（）A． B． C． D．20．（2022•泰安三模）下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．21．（2022•东莞市校级二模）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．七．关于原点对称的点的坐标（共4小题）22．（2022•钦州一模）在平面直角坐标系中，若点（3，2）与点（m，﹣2）关于原点对称，则m的值是（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣323．（2022春•青羊区校级期中）已知点P（m﹣3，m﹣1）关于原点的对称点P′在第四象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．24．（2022•安顺模拟）已知点M（a，2）在第二象限，且|a|＝1，则点M关于原点对称的点的坐标是（）A．（﹣2，1） B．（﹣1，2） C．（2，﹣1） D．（1，﹣2）25．（2022•花都区一模）（﹣1，2）关于原点对称的点的坐标为（）A．（﹣1，﹣2） B．（1，2） C．（﹣1，2） D．（1，﹣2）八．利用轴对称设计图案（共3小题）26．（2022•威县校级模拟）如图，在由小正方形组成的网格图中再涂黑一个小正方形，使它与原来涂黑的小正方形组成的新图案为轴对称图形，则涂法有（）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种27．（2020•高阳县模拟）如图所示，淇淇用一个正方形田字格设计了一个图案，其中部分小三角形已经涂上了灰色，她想再将图案中的①②③④中的一个小三角形涂灰，使得整个图案构成轴对称图形，则应该涂灰的小三角形是（）A．① B．② C．③ D．④28．（2021•奉化区校级模拟）如图，在2×2的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中△ABC是一个格点三角形．请在下面每一个图中，作出一个与△ABC成轴对称的格点三角形．（画三个，不能重复）九．利用平移设计图案（共3小题）29．（2022春•满洲里市校级期末）观察下面图案，在A、B、C，D四幅图案中，能通过如图图案的平移得到的是（）A． B． C． D．30．（2020秋•白云区校级期中）关于这一图案，下列说法正确的是（）A．图案乙是由甲绕BC的中点旋转180°得到的 B．图案乙是由甲绕点C旋转108°得到的 C．图案乙是由甲沿AB方向平移3个边长的距离得到的 D．图案乙是由甲沿直线BC翻转180°得到的31．（2020春•渌口区期末）如图，在5×5方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么正确的平移方法是．一十．作图-旋转变换（共3小题）32．（2021秋•南沙区期末）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转α，得到△ADE，若点D恰好在CB的延长线上，则∠CDE等于（）A．α B．90°+ C．90°﹣ D．180°﹣2α33．（2022•桥西区校级模拟）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，底边上的高AD＝1，E是AB中点．P是DC上一点，连接PE，将PE绕点E逆时针旋转60°交DA的延长线于点F．（1）若∠AFE＝40°，则∠PED＝°；（2）若P为DC的中点，则AP′＝．34．（2022春•泾阳县期末）如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点A的坐标为（﹣4，1），点B的坐标为（﹣1，1）．（1）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A1BC1，并写出点A的对应点A1的坐标；（2）画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2．一十一．利用旋转设计图案（共3小题）35．（2022•海淀区一模）北京2022年冬奥会的开幕式上，各个国家和地区代表团入场所持的引导牌是中国结和雪花融合的造型，如图1是中国体育代表团的引导牌．观察发现，图2中的图案可以由图3中的图案经过对称、旋转等变换得到．下列关于图2和图3的说法中，不正确的是（）A．图2中的图案是轴对称图形 B．图2中的图案是中心对称图形 C．图2中的图案绕某个固定点旋转60°，可以与自身重合 D．将图3中的图案绕某个固定点连续旋转若干次，每次旋转120°，可以设计出图2中的图案36．（2022•深圳三模）如图，将一个正方形纸片沿图中虚线剪开，能拼成下列四个图形，其中是中心对称图形的是（）A． B． C． D．37．（2022春•岳麓区校级期末）在平面直角坐标系中，将坐标为（0，0），（1，3），（2，0），（3，3）的点用线段依次连接起来得到一个图案N．（1）在图（1）中，分别画出图案N关于x轴和y轴对称的图案；（2）在图（2）中，将图案N先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，画出第二次平移后的图案；（3）在图（3）中，以原点为对称中心，画出与图案N成中心对称的图案．一十二．几何变换的类型（共6小题）38．（2022•内江）如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E在y轴上，点C的坐标为（0，1），AC＝2，Rt△ODE是Rt△ABC经过某些变换得到的，则正确的变换是（）A．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1个单位 B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1个单位 C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3个单位 D．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位39．（2021秋•介休市期中）如图是世界休闲博览会吉祥物“晶晶”．右边的“晶晶”是由左边的“晶晶”经下列哪个变换得到的（）A．平移变换 B．旋转变换 C．轴对称变换 D．相似变换40．（2021秋•洪洞县期中）如图，在测量某物体的长度时，若看不清标尺上的刻度，可利用放大镜将标尺上的数码放大，这种图形变换是（）A．平移变换 B．旋转变换 C．轴对称变换 D．相似变换41．（2021•兰陵县一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB经过两次图形的变换（平移、轴对称、旋转）得到△OCD，这个变化过程不可能是（）A．先平移，再轴对称 B．先轴对称，再平移 C．先轴对称，再旋转 D．先旋转，再平移42．（2021•抚顺模拟）如图，平面内某正方形内有一长为10宽为5的矩形，它可以在该正方形的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放，则该正方形边长的最小整数n为（）A．10 B．11 C．12 D．1343．（2021•成都模拟）在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应的线段的比值为k；再将所得多边形以点O为旋转中心，逆时针旋转一个角度θ，这种经过相似和旋转变化的图形变换叫做旋转相似变换，记为O（k，θ），O为旋转相似中心，k为相似比，θ为旋转角．如图，△ABC是边长为1cm的等边三角形，将它作旋转相似变化A（，90°）得到△ADE，则BD长cm．巩固提升巩固提升一、单选题1．（2021·福建省福州第十九中学九年级开学考试）下列几何图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A．矩形 B．菱形 C．正五边形 D．正八边形2．（2021·广州市黄埔华南师范大学附属初级中学九年级期中）已知点坐标为（－3，1），则点关于原点中心对称的点坐标为（）．A．（－3，－1） B．（3，1） C．（3，－1） D．（1，－3）3．（2021·广州市第五中学）如图，是等边三角形，为边上的点，绕点沿逆时针方向旋转后到达的位置，那么旋转了（）A． B． C． D．4．（2021·江西九年级期末）如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°，得△A′B′O，则点A′的坐标为（）A．（3，1） B．（3，2） C．（2，3） D．（1，3）5．（2021·长沙市雅礼实验中学九年级月考）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°得到△AB′C′，若点B′恰好落到边BC上，则∠CB′C′的度数为（）A．50° B．60° C．70° D．80°6．（2021·西宁市教育科学研究院中考真题）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．三角形 B．等边三角形C．平行四边形 D．菱形7．（2021·广东深圳第二实验学校九年级开学考试）如图，在坐标系中，满足将O﹣A﹣B﹣C﹣D﹣E﹣O所围成的面积平分的直线有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条8．（2021·靖江市靖城中学九年级一模）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．9．（2021·连云港市新海实验中学九年级二模）如图，在RtABC中，∠ACB=90°，BC=2，∠BAC=30°，将ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C'，M是BC的中点，P是A'B'的中点，连接PM，则线段PM的最大值是（）A．4 B．2 C．3 D．10．（2021·广东九年级期末）如图，将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°至矩形EBGF的位置，连接AC、EG，取AC、EG的中点M、N，连接MN，若AB=8，BC=6，则MN=（）A．8 B．6 C．5 D．11．（2021·广州市南武实验学校九年级期末）下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．二、填空题12．（2021·全国九年级课时练习）中心对称是一种特殊的旋转，其旋转角是___________．13．（2021·浙江杭州·翠苑中学九年级二模）已知坐标系中点和点关于原点中心对称，则__________．14．（2021·广东九年级期末）点P（3，-2）关于原点对称的点在第___________象限．15．（2021·全国九年级课时练习）在直角坐标系中，已知A（4，0）、B（0，－3）、C（6，5）、D（－3，4），作出A、B、C、D点关于原点O的中心对称点，并写出它们的坐标．A（4，0），A′_____________B（0，-3），B′_____________C（6，5），C′______________D（－3，4），D′______________16．（2021·全国九年级课时练习）如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点P和P′叫做这个旋转的_____________．旋转中心是_________，旋转角度是_________．17．（2021·全国九年级课时练习）下列这些字母中有_____个是中心对称的图形．有____个是轴对称的图形．18．（2021·全国九年级课时练习）如图，已知四边形ABCD和点O，试画出四边形ABCD关于点O成中心对称的图形A′B′C′D′．作法：①连接AO并延长到A′，使OA′＝_____，得到点A的对应点____；②同理，可作出点B，C，D的对应点___，C′，D′；③顺次连接A′，B′，C′，D′，则四边形_______即为所作．19．（2021·全国九年级课时练习）如图，△ABC是等边三角形，D是BC边上的中点，△ABD经过旋转后到达△ACE的位置，那么（1）旋转中心是_________；（2）点B、D的对应点分别是点_________；（3）线段AB、BD、DA的对应线段分别是___________；（4）∠B的对应角是_________；（5）旋转角度为_________；（6）△ACE的形状为_____________；20．（2021·全国九年级课时练习）下列这些数字中有_____个是中心对称的图形．有_____个是轴对称的图形．21．（2021·全国九年级课时练习）轴对称图形的性质：（1）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的_____________．（2）类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的_______________．22．（2021·广州市第五中学）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点是__________．23．（2021·长沙市雅礼实验中学九年级月考）若点M（3，a﹣2），N（b，a）关于原点对称，则a＋b＝_____．24．（2021·广州市南武实验学校九年级期末）若点A（1，a）关于原点的对称点是B（b，﹣2），则ab的值是__．25．（2021·江苏九年级期中）如图，等边的边OB在x轴上，点B坐标为，以点О为旋转中心，把顺时针旋转90°，则旋转后点A的对应点的坐标是__________．26．（2021·广东九年级期末）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，CD＝4，BC＝9，以A为旋转中心将腰AB顺时针旋转90°至AE，连接DE，若DE=DB，则△ADE的面积等于_________．三、解答题27．（2021·江苏盐城·景山中学九年级月考）如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．（1）求证：EF＝BC；（2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数．28．（2021·福建省福州延安中学九年级月考）如图，已知是等边三角形，点B是边AD上一点，连接EB，将绕点E顺时针旋转，点D与点A重合，得到，求证：是等边三角形．29．（2021·哈尔滨市萧红中学九年级三模）图a、图b是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，点、在小正方形的顶点上．（1）在图a中画出（点在小正方形的顶点上），使为以为直角顶点的等腰直角三角形，并直接写出三角形ABC的周长；（2）在图b中画出四边形（点、都在小正方形的顶点上），使四边形为中心对称图形且面积为3，为钝角．30．（2021·江西九年级期末）（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．则：①∠AEB的度数为°；②线段AD、BE之间的数量关系是．（2）拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，若AD＝a，AE＝b，AB＝c，求a、b、c之间的数量关系．（3）探究发现：图1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋转过程中，当点A，D，E不在同一直线上时，设直线AD与BE相交于点O，试在备用图中探索∠AOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．31．（2021·江苏苏州市振华中学校九年级月考）对于平面内三点M，N，P，我们规定：若将点M绕点P顺时针旋转α（0°<α<360°）后能与点N重合，就将其简记为：R(P，α)：M→N．在平面直角坐标系xOy中，P(1，0)，S(－1，0)，解决下面的问题：（1）如图1，若R(P，90°)：S→T，画出点T并直接写出点T的坐标；（2）如图2，A(0，)，B(0，)，直线与x轴的交点为C．①若R(P，α)：S→Q，且点Q落在直线上，求α的值：②若点E在四边形ASBP的边上运动，在直线上存在相应的点F，使得R(P，α)：E→F，请直接写出点E的横坐标的取值范围．第05讲旋转（3大考点12种解题方法）考点考向考点考向1.生活中的旋转现象（1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点．（2）注意：①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键．②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向．③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点．．2.旋转的性质旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等。②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．旋转三要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．3.旋转对称图形（1）旋转对称图形如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．（2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．4.坐标与图形变化-旋转（1）关于原点对称的点的坐标P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y）（2）旋转图形的坐标图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．5.中心对称（1）中心对称的定义把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．．（2）中心对称的性质①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．6.中心对称图形（1）定义把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．（2）常见的中心对称图形平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．7.关于原点对称的点的坐标关于原点对称的点的坐标特点（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形．注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．考点精讲考点精讲一．生活中的旋转现象（共3小题）1．（2021秋•汕尾期末）下列运动中，属于旋转运动的是（）A．小明向北走了4米 B．一物体从高空坠下 C．电梯从1楼到12楼 D．小明在荡秋千【分析】在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转，结合选项进行判断即可．【解答】解：A、不是旋转，是平移，故本选项不符合题意；B、不是旋转，是平移，故本不符合题意；C、不是旋转，是平移，故本选项不合题意；D、属于旋转，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查旋转的判断方法，判断是否属于旋转，要看是否有旋转中心，旋转角，旋转方向且变化前后图形大小是否发生变化．2．（2022春•武冈市期末）下列运动属于旋转的是（）A．足球在草地上滚动 B．火箭升空的运动 C．汽车在急刹车时向前滑行 D．钟表的钟摆的摆动【分析】根据旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转进行分析即可．【解答】解：A、足球在草地上滚动，不是绕着某一个固定的点转动，不属旋转，故此选项不符合题意；B、火箭升空的运动，是平移，故此选项不符合题意；C、汽车在急刹车时向前滑行，是平移，故此选项不符合题意；D、钟表的钟摆的摆动的过程，是旋转，故此选项符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了生活中的旋转，关键是掌握旋转定义．3．（2022春•晋中期末）如图，一个小孩坐在秋千上，秋千绕点O旋转了86°，小孩的位置也从A点运动到了A'点，则∠OAA'＝47度．【分析】根据旋转的性质可得∠AOA′＝86°，OA＝OA′，然后利用等腰三角形的性质进行计算，即可解答．【解答】解：由旋转得：∠AOA′＝86°，OA＝OA′，∴∠OAA′＝∠OA′A＝（180°﹣∠AOA′）＝47°，故答案为：47．【点评】本题考查了生活中的旋转现象，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．二．旋转的性质（共4小题）4．（2022•巩义市模拟）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE，AD与BC相交于点F，若∠E＝80°且△AFC是以线段FC为底边的等腰三角形，则∠BAC的度数为（）A．55° B．60° C．65° D．70°【分析】由旋转的性质得出∠E＝∠C＝80°，∠BAD＝40°，由等腰三角形的性质得出∠C＝∠AFC＝80°，求出∠CAF＝20°，根据∠BAC＝∠BAD+∠CAF可得出答案．【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE，∴∠E＝∠C＝80°，∠BAD＝40°，又∵△AFC是以线段FC为底边的等腰三角形，∴AC＝AF，∴∠C＝∠AFC＝80°，∴∠CAF＝180°﹣∠C﹣∠AFC＝180°﹣80°﹣80°＝20°，∴∠BAC＝∠BAD+∠CAF＝40°+20°＝60°．故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．5．（2022•方城县三模）如图，射线OM，ON互相垂直，OA＝8，点B位于射线OM的上方，且在线段OA的垂直平分线l上，连接AB，AB＝5．将线段AB绕点O按逆时针方向旋转得到对应线段A'B'，若点B'恰好落在射线ON上，则点A'到射线ON的距离是（）A． B． C．4 D．【分析】设OA的垂直平分线与OA交于C，将线段AB绕点O按逆时针方向旋转得到对应线段A′B′，C随之旋转到C'，过A'作A'H⊥ON于H，过C'作C'D⊥ON于D，过A'作A'E⊥DC'于E，由OA＝8，AB＝5，BC是OA的垂直平分线，可得OB＝5，OC＝AC＝4，BC＝3，cos∠BOC＝＝，sin∠BOC＝＝，证明∠BOC＝∠B'C'D＝∠C'A'E，从而在Rt△B'C'D中求出C'D＝，在Rt△A'C'E中，求出C'E＝，得DE＝C'D+C'E＝，即可得到A'到ON的距离是．【解答】解：设OA的垂直平分线与OA交于C，将线段AB绕点O按逆时针方向旋转得到对应线段A′B′，C随之旋转到C'，过A'作A'H⊥ON于H，过C'作C'D⊥ON于D，过A'作A'E⊥DC'于E，如图：∵OA＝8，AB＝5，BC是OA的垂直平分线，∴OB＝5，OC＝AC＝4，BC＝3，cos∠BOC＝＝，sin∠BOC＝＝，∵线段AB绕点O按逆时针方向旋转得到对应线段A′B′，C随之旋转到C'，∴B'C'＝BC＝3，A'C'＝AC＝4，∠BOC＝∠B'OC'，∵∠B'C'D＝∠B'C'O﹣∠DC'O＝90°﹣∠DC'O＝∠B'OC'，∴cos∠B'C'D＝，Rt△B'C'D中，＝，即＝，∴C'D＝，∵AE∥ON，∴∠B'OC'＝∠C'A'E，∴sin∠C'AE＝sin∠B'OC'＝sin∠BOC＝，Rt△A'C'E中，＝，即＝，∴C'E＝，∴DE＝C'D+C'E＝，而A'H⊥ON，C'D⊥ON，A'E⊥DC'，∴四边形A'EDH是矩形，∴A'H＝DE，即A'到ON的距离是．故选：A．方法二：过A作AC⊥OB于C，如图：由旋转可知：点A′到射线ON的距离d＝AC，∵OB•AC＝OA•BD，∴AC＝＝．故选：A．【点评】本题考查线段的垂直平分线及旋转变换，涉及三角函数及矩形等知识，解题的关键是在Rt△B'C'D中和Rt△A'C'E中，求出求出C'D＝，C'E＝．6．（2022•太原二模）问题：“如图1，平面上，正方形内有一长为12，宽为6的矩形纸片，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数n．”甲、乙、丙三名同学分别作了自认为边长最小的正方形，求出该正方形的边长x，再取最小整数n．甲：如图2，思路是当x为矩形对角线长时就可以移转过去；结果取n＝13．乙：如图3，思路是当x为矩形外接圆直径长时就可以移转过去；结果取n＝14．丙：如图4，思路是当x为矩形的长与宽之和时就可以移转过去；结果取n＝18．对甲、乙、丙评价正确的是（）A．甲的思路错，n值正确 B．乙的思路对，n值正确 C．丙的思路对，n值正确 D．甲、乙的思路都错，丙的思路对【分析】根据矩形长为12宽为6，可得矩形的对角线长为：，由矩形在该正方形的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放，可得该正方形的边长不小于6，进而可得正方形边长的最小整数n的值．【解答】解：∵矩形长为12宽为6，∴矩形的对角线长为：，∵矩形在该正方形的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放，∴该正方形的边长不小于6，∵13＜6＜14，∴该正方形边长的最小正数n为14．∴甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，但是计算错误，应为n＝14；乙的思路与计算都正确；丙的思路与计算都错误；故选：B．【点评】本题考查了矩形的性质与旋转的性质，熟练运用矩形的性质是解题的关键．7．（2022•二道区模拟）如图，在△AOB中，AO＝2，BO＝AB＝3．将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A′OB′，连接AA′．则线段BB′的长为（）A．2 B． C．3 D．【分析】由旋转的性质可得BO＝B'O＝3，∠BOB'＝90°，由勾股定理可求解．【解答】解：∵将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，∴BO＝B'O＝3，∠BOB'＝90°，∴BB'＝＝＝3，故选：D．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理掌握旋转的性质是解题的关键．三．旋转对称图形（共3小题）8．（2021秋•北仑区期末）下列正多边形，绕其中心旋转72°后，能和自身重合的是（）A． B． C． D．【分析】求出各个选项图形的最小旋转角度，即可做出判断．【解答】解：A、正三角形的最小旋转角度为120°，故本选项不符合题意；B、正方形的最小旋转角度90°，故本选项不符合题意；C、正误边形的最小旋转角度为＝72°，故本选项符合题意；D、正六边形的最小旋转角度为＝60°，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了旋转对称图形的知识，解答本题的关键是求出各图形的最小旋转角度．9．（2022•南关区校级四模）如图所示的正六边形花环绕中必至少旋转α度能与自身重合，则α为（）A．30 B．60 C．120 D．180【分析】观察可得图形有6部分组成，从而可得旋转角度．【解答】解：该图形围绕自己的旋转中心，至少针旋转＝60°后，能与其自身重合．故选：B．【点评】本题考查了旋转角的定义及求法，对应点与旋转中心所连线段的夹角叫做旋转角．10．（2021秋•渝中区校级期末）把一个正六边形绕其中心旋转，至少旋转60度，可以与自身重合．【分析】正六边形可以被经过中心的射线平分成6个全等的部分，则旋转的角度即可确定．【解答】解：正六边形可以被经过中心的射线平分成6个全等的部分，则旋转至少360÷6＝60度，能够与本身重合．故答案为：60．【点评】此题主要考查旋转对称图形，注意正六边形是旋转对称图形，确定旋转角的方法是需要准确掌握的内容．四．坐标与图形变化-旋转（共4小题）11．（2022•南京模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，0）、B（0，3），对△AOB连续作旋转变换依次得到三角形（1），（2），（3），（4），…，则第（6）个三角形的直角顶点的坐标是（）A．（12，0） B．（12，5） C．（24，0） D．（24，3）【分析】由图可知，每三次旋转为一个循环单元，根据一个循环单元的长度为12，可求出第六个三角形的直角顶点坐标．【解答】解：由图可知，每三次旋转为一个循环单元，一个循环单元的长度为12，第（6）个三角形相当于第（3）个三角形向右平移12个单位，∵第（3）个三角形的直角顶点的坐标是（12，3），∴第（6）个三角形的直角顶点的坐标是（24，3），故选：D．【点评】本题考查了坐标与图形的旋转变化，解题关键在于能够正确找出第（6）个三角形所对应第（3）个三角形的顶点坐标．12．（2022春•泰州期末）如图，在正方形网格中，线段AB绕点O旋转一定的角度后与线段CD重合（C、D均为格点，A的对应点是点C），若点A的坐标为（﹣1，5），点B的坐标为（3，3），则旋转中心O点的坐标为（）A．（1，1） B．（4，4） C．（2，1） D．（1，1）或（4，4）【分析】画出平面直角坐标系，对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．【解答】解：作AC、BD的垂直平分线交于点E，点E即为旋转中心，E（1，1），故选：A．【点评】本题考查坐标与图形变换旋转，解题关键在于理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．13．（2022•河南三模）如图，在平面直角坐标系中，OA1＝OB1，∠A1OB1＝120°，将△A1OB1绕点O顺时针旋转并且按一定规律放大，每次变化后得到的图形仍是顶角为120°的等腰三角形．第一次变化后得到等腰三角形A2OB2，点A1（1，0）的对应点为A2（﹣1，﹣）；第二次变化后得到等腰三角形A3OB3，点A2的对应点为A3（﹣，）；第三次变化后得到等腰三角形A4OB4，点A3的对应点为A4（4，0）…依此规律，则第2022个等腰三角形中，点B2022的坐标是（）A．（2022，0） B． C． D．【分析】由题意，点B3，B6，B9在第三象限，OB3＝3，OB6＝6，OB9＝9，推出OB2022＝2022，可得结论．【解答】解：由题意，点B3，B6，B9在第三象限，OB3＝3，OB6＝6，OB9＝9，∴OB2022＝2022，∴B2022（﹣1011，﹣1011），故选：D．【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，规律型问题等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．14．（2022•绥化）如图，线段OA在平面直角坐标系内，A点坐标为（2，5），线段OA绕原点O逆时针旋转90°，得到线段OA'，则点A'的坐标为（）A．（﹣5，2） B．（5，2） C．（2，﹣5） D．（5，﹣2）【分析】过点A作AB⊥x轴于点B，过点A′作A′C⊥x轴于点C，利用旋转的性质和全等三角形的判定与性质解答即可．【解答】解：过点A作AB⊥x轴于点B，过点A′作A′C⊥x轴于点C，如图，∵A点坐标为（2，5），∴OB＝2，AB＝5．由题意：∠AOA′＝90°，OA＝OA′．∴∠AOB+∠A′OC＝90°．∵∠A′OC+∠A′＝90°，∴∠A′＝∠AOB．在△A′OC和△OAB中，，∴△A′OC≌△OAB（AAS）．∴A′C＝OB＝2，OC＝AB＝5，∴A′（﹣5，2）．故选：A．【点评】本题主要考查了图形的旋转与坐标的变化，点的坐标的特征，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．五．中心对称（共4小题）15．（2022•济源模拟）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，动点P从点A出发沿AD向点D移动，移动到点D停止，延长PO交BC于点Q，则四边形APCQ形状的变化依次为（）A．平行四边形一矩形一平行四边形一矩形 B．平行四边形一矩形一菱形一矩形 C．平行四边形一菱形一平行四边形一矩形 D．平行四边形一菱形一平行四边形【分析】根据对称中心的定义，根据矩形的性质，可得四边形APCQ形状的变化情况：这个四边形先是平行四边形，当对角线互相垂直时是菱形，然后又是平行四边形，最后点A与点D重合时是矩形．【解答】解：观察图形可知，四边形APCQ形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形．故选：C．【点评】本题考查了中心对称，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，根据PQ与AC的位置关系即可求解．16．（2022•徐州一模）已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点A、B、C、D按逆时针依次排列，若A点的坐标为（3，5），则点B与点C的坐标分别为（）A．（﹣3，5），（﹣3，﹣5） B．（﹣5，3），（5，﹣3） C．（﹣5，3），（3，﹣5） D．（﹣5，3），（﹣3，﹣5）【分析】根据中心对称的性质及点的位置判断各点坐标即可．【解答】解：∵正方形的对称中心在坐标原点，顶点A、B、C、D按逆时针依次排列，且A点的坐标为（3，5），∴C点的坐标为（﹣3，﹣5），B点的坐标为（﹣5，3），故选：D．【点评】本题主要考查中心对称的知识，熟练掌握中心对称图形坐标点的特点是解题的关键．17．（2022•青龙县一模）如图，已知点A与点C关于点O对称，点B与点D也关于点O对称，若BC＝3，OD＝4．则AB的长可能是（）A．3 B．4 C．7 D．11【分析】根据对称求出OB＝OD＝4，AD＝BC＝3，再根据三角形的三边关系得出AB的取值范围即可．【解答】C解析：∵点A与点C关于点O对称，点B与点D也关于点O对称，∴OB＝OD＝4，AD＝BC＝3，∵BD﹣AD＜AB＜BD+AD，∴5＜AB＜11，故选：C．【点评】本题主要考查中心对称的知识，熟练掌握中心对称的性质及三角形的三边关系是解题的关键．18．（2022•碑林区校级四模）如图，在菱形ABCD中，AB＝8，∠A＝120°，过菱形ABCD的对称中心O作EG⊥CD于点G，交AB于点E，作HF⊥BC于点F，交AD干点H，连接EH，则EH的长度为（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】连接AC，BD，则AC⊥BD．则OA＝4，OB＝4，BD＝8，推出∠AOE＝∠AOH＝30°，所以AE＝AH＝OA＝2，根据AB＝AD，推出EH∥BD，＝，即求出EH＝2．【解答】解：连接AC，BD，则AC⊥BD，AC、BD必过对称中心O．∵菱形ABCD中，AB＝8，∠A＝120°，∴∠BAC＝∠BCA＝60°，∴AC＝AB＝BC＝8，∴OA＝4，OB＝4，BD＝8，∵EG⊥CD，HF⊥BC，∴EG⊥ABHF⊥AD，∴∠AOE＝∠AOH＝30°，∴AE＝AH＝OA＝2，∵AB＝AD，∴EH∥BD，∴＝，∴＝，∴EH＝2．故选：D．【点评】本题考查了直角三角形的性质，熟练运用菱形的性质是解题的关键．六．中心对称图形（共3小题）19．（2022春•府谷县期末）围棋起源于中国，古代称之为“恋”，至今已有4000多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与原图形重合，则这个图形为中心对称图形判断即可．【解答】解：∵在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与原图形重合，则这个图形为中心对称图形，∴C选项中的图形为中心对称图形，故选：C．【点评】本题主要考查中心对称图形的知识，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键．20．（2022•泰安三模）下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；D．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．21．（2022•东莞市校级二模）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：A．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；B．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：B．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．期．关于原点对称的点的坐标（共4小题）22．（2022•钦州一模）在平面直角坐标系中，若点（3，2）与点（m，﹣2）关于原点对称，则m的值是（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3【分析】直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y），进而得出答案．【解答】解：∵点（3，2）与点（m，﹣2）关于原点对称，∴m＝﹣3，故选：D．【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．23．（2022春•青羊区校级期中）已知点P（m﹣3，m﹣1）关于原点的对称点P′在第四象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据点所在象限确定范围．【解答】解：∵点P（m﹣3，m﹣1）关于原点的对称点P′在第四象限，∴点P在第二象限，∴，解得：1＜m＜3，故选D．【点评】本题考查点的坐标的符号，利用对称性确定P点所在象限是求解本题的关键．24．（2022•安顺模拟）已知点M（a，2）在第二象限，且|a|＝1，则点M关于原点对称的点的坐标是（）A．（﹣2，1） B．（﹣1，2） C．（2，﹣1） D．（1，﹣2）【分析】先确定点M的坐标，再根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，进而得出答案．【解答】解：∵点M（a，2）在第二象限，且|a|＝1，∴点M（﹣1，2），∴点M关于原点对称的点的坐标是（1，﹣2）．故选：D．【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．25．（2022•花都区一模）（﹣1，2）关于原点对称的点的坐标为（）A．（﹣1，﹣2） B．（1，2） C．（﹣1，2） D．（1，﹣2）【分析】根据关于原点对称的两个点的坐标特征判断即可．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．【解答】解：点A（﹣1，2）关于原点对称的点的坐标是（1，﹣2），故选：D．【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的两个点的坐标特征是解题的关键．八．利用轴对称设计图案（共3小题）26．（2022•威县校级模拟）如图，在由小正方形组成的网格图中再涂黑一个小正方形，使它与原来涂黑的小正方形组成的新图案为轴对称图形，则涂法有（）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种【分析】直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案．【解答】解：如图所示：将①②③位置涂成黑色，能使整个阴影部分成为轴对称图形，故选：C．【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．27．（2020•高阳县模拟）如图所示，淇淇用一个正方形田字格设计了一个图案，其中部分小三角形已经涂上了灰色，她想再将图案中的①②③④中的一个小三角形涂灰，使得整个图案构成轴对称图形，则应该涂灰的小三角形是（）A．① B．② C．③ D．④【分析】根据轴对称的性质使整个图案构成轴对称图形，可得涂灰的小三角形．【解答】解：要使整个图案构成轴对称图形，应该涂灰的小三角形是④．故选：D．【点评】本题考查了利用轴对称设计图案，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．28．（2021•奉化区校级模拟）如图，在2×2的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中△ABC是一个格点三角形．请在下面每一个图中，作出一个与△ABC成轴对称的格点三角形．（画三个，不能重复）【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出成轴对称的三角形即可得解．【解答】解：与△ABC成轴对称的格点三角形如图所示（答案不唯一）：【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴．九．利用平移设计图案（共3小题）29．（2022春•满洲里市校级期末）观察下面图案，在A、B、C，D四幅图案中，能通过如图图案的平移得到的是（）A． B． C． D．【分析】根据图形平移的特征，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫作图形的平移．平移不改变图形的形状、大小和方向，进而判断即可．【解答】解：A．图A与原图上下方向相反，不是原图平移后的图形,不合题意；B．图B与原图左右方向相反，不是原图平移后的图形，不合题意；C．图C与原图方向相同，是原图平移后的图形，符合题意；D．图D与原图上、下方向，左、右方向都相反，是原图旋转后的图形，不合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了利用平移设计图案，正确掌握平移的性质是解题关键．30．（2020秋•白云区校级期中）关于这一图案，下列说法正确的是（）A．图案乙是由甲绕BC的中点旋转180°得到的 B．图案乙是由甲绕点C旋转108°得到的 C．图案乙是由甲沿AB方向平移3个边长的距离得到的 D．图案乙是由甲沿直线BC翻转180°得到的【分析】直接利用旋转的性质得出旋转中心进而得出答案．【解答】解：如图所示：可得图案乙是由甲绕BC的中点旋转180°得到的．故选：A．【点评】此题主要考查了旋转变换，正确得出旋转中心是解题关键．31．（2020春•渌口区期末）如图，在5×5方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么正确的平移方法是向右平移2个格，再向下平移3个格（或先向下平移3个格，再向右平移2个格）．【分析】根据图形，对比图①与图②中位置关系，进行分析即可．【解答】解：观察图形可知：正确的平移方法是向右平移2个格，再向下平移3个格（或先向下平移3个格，再向右平移2个格）．故答案为：向右平移2个格，再向下平移3个格（或先向下平移3个格，再向右平移2个格）．【点评】此题主要考查了图形平移，关键是找出对应点的平移方法．十．作图-旋转变换（共3小题）32．（2021秋•南沙区期末）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转α，得到△ADE，若点D恰好在CB的延长线上，则∠CDE等于（）A．α B．90°+ C．90°﹣ D．180°﹣2α【分析】证明∠ABE+∠ADE＝180°，推出∠BAD+∠BED＝180°即可解决问题．【解答】解：由旋转可知：AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAD＝α，∵∠ABC+∠ABD＝180°，∴∠ABD+∠ADE＝180°，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∴∠ADB+∠ADE＝2∠ADB+∠BED＝180°，∵∠BAD＝α，∴2∠ABD＝180°﹣α，∴∠BED＝180°﹣（180°﹣α）＝α．故选：A．【点评】本题考查旋转的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．33．（2022•桥西区校级模拟）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，底边上的高AD＝1，E是AB中点．P是DC上一点，连接PE，将PE绕点E逆时针旋转60°交DA的延长线于点F．（1）若∠AFE＝40°，则∠PED＝20°；（2）若P为DC的中点，则AP′＝．【分析】（1）根据已知条件证明△ADE是等边三角形，然后根据三角形内角和定理即可解决问题；（2）证明△AEP′≌△DEP（SAS），可得AP′＝DP，然后根据勾股定理即可解决问题．【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD是高，∴ADB＝90°，BD＝CD，∵∠B＝30°，∴∠EAD＝60°，∵E是AB的中点，∴AE＝BE＝DE，∴ADE是等边三角形，∴∠AED＝∠ADE＝60°，根据旋转的性质，可知EF＝EP，∠PEF＝60°，设AD与PE交于点M，∵AME＝180°﹣∠PEF﹣∠AFE＝180°﹣60°﹣40°＝80°，∵∠AME＝∠PED+∠ADE，∴∠PED＝∠AME﹣∠ADE＝80°﹣60°＝20°；故答案为：20；（2）由（1）可知：∠PEP′＝∠AED＝60°，PE＝EF，AE＝ED，∴∠AEP′＝∠PED，在△AEP′和△DEP中，，∴△AEP′≌△DEP（SAS），∴AP′＝DP，∵AB＝AC，∠B＝30°，∴∠C＝∠B＝30°，在Rt△ADC中，AD＝1，∠C＝30°，∴AC＝2，CD＝＝，.P是CD的中点，∴DP＝CD＝，∴AP′＝PD＝．故答案为：．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，解决本题的关键是掌握旋转的性质．34．（2022春•泾阳县期末）如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点A的坐标为（﹣4，1），点B的坐标为（﹣1，1）．（1）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A1BC1，并写出点A的对应点A1的坐标；（2）画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2．【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，C的对应点A1，C1即可；（2）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．【解答】解：（1）如图，△A1BC1即为所求，A1的坐标（﹣1，﹣2）；（2）如图，△A2B2C2．即为所求．【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型．十一．利用旋转设计图案（共3小题）35．（2022•海淀区一模）北京2022年冬奥会的开幕式上，各个国家和地区代表团入场所持的引导牌是中国结和雪花融合的造型，如图1是中国体育代表团的引导牌．观察发现，图2中的图案可以由图3中的图案经过对称、旋转等变换得到．下列关于图2和图3的说法中，不正确的是（）A．图2中的图案是轴对称图形 B．图2中的图案是中心对称图形 C．图2中的图案绕某个固定点旋转60°，可以与自身重合 D．将图3中的图案绕某个固定点连续旋转若干次，每次旋转120°，可以设计出图2中的图案【分析】根据中心对称图形，轴对称图形的定义一一判断即可．【解答】解：图2是中心对称图形，原式轴对称图形，图2绕对称中心性质60°可以与自身重合，故选项A，B，C正确，将图3中的图案绕某个固定点连续旋转若干次，每次旋转60°，可以设计出图2中的图案，故D错误，故选D．【点评】本题考查作图利用旋转设计图案，中心对称图形，轴对称图形的定义等知识，解题的关键是理解题意中心对称图形，轴对称图形的定义，属于中考常考题型．36．（2022•深圳三模）如图，将一个正方形纸片沿图中虚线剪开，能拼成下列四个图形，其中是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据中心对称图形的概念求解．【解答】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．是中心对称图形，故此选项符合题意；C．不是中心对称图形，故此选项不合题意；D．不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了利用旋转设计图案，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．37．（2022春•岳麓区校级期末）在平面直角坐标系中，将坐标为（0，0），（1，3），（2，0），（3，3）的点用线段依次连接起来得到一个图案N．（1）在图（1）中，分别画出图案N关于x轴和y轴对称的图案；（2）在图（2）中，将图案N先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，画出第二次平移后的图案；（3）在图（3）中，以原点为对称中心，画出与图案N成中心对称的图案．【分析】（1）利用轴对称变换的性质作出图形即可；（2）利用平移变换的性质作出图形即可；（3）利用中心对称变换的性质作出图形即可．【解答】解：（1）图形如图所示：（2）图形如图所示：（3）图形如图所示．【点评】本题考查利用旋转设计图案，利用平移设计图案，利用轴对称设计图案，解题的关键是掌握轴对称变换，旋转变换，平移变换的性质．十二．几何变换的类型（共6小题）38．（2022•内江）如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E在y轴上，点C的坐标为（0，1），AC＝2，Rt△ODE是Rt△ABC经过某些变换得到的，则正确的变换是（）A．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1个单位 B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1个单位 C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3个单位 D．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位【分析】观察图形可以看出，Rt△ABC通过变换得到Rt△ODE，应先旋转然后平移即可．【解答】解：根据图形可以看出，△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位可以得到△ODE．故选：D．【点评】本题考查的是坐标与图形变化，旋转和平移的知识，掌握旋转和平移的概念和性质是解题的关键．39．（2021秋•介休市期中）如图是世界休闲博览会吉祥物“晶晶”．右边的“晶晶”是由左边的“晶晶”经下列哪个变换得到的（）A．平移变换 B．旋转变换 C．轴对称变换 D．相似变换【分析】根据相似变换的概念判断即可．【解答】解：∵右边的“晶晶”和左边的“晶晶”只有形状相同，∴两个图形相似，∴右边的“晶晶”是由左边的“晶晶”通过相似变换得到的，故选：D．【点评】本题考查的是几何变换的类型，熟记各种变换的概念的解题的关键．40．（2021秋•洪洞县期中）如图，在测量某物体的长度时，若看不清标尺上的刻度，可利用放大镜将标尺上的数码放大，这种图形变换是（）A．平移变换 B．旋转变换 C．轴对称变换 D．相似变换【分析】根据相似图形的定义即可得到结论．【解答】解：∵利用放大镜将标尺上的数码放大，放大后的数码与标尺上的数码形状相同，∴放大后的数码与标尺上的数码是相似图形，∴这种图形变换是相似变换，故选：D．【点评】本题主要考查了几何变换的类型，熟练掌握相似图形的定义是解决问题的关键．41．（2021•兰陵县一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB经过两次图形的变换（平移、轴对称、旋转）得到△OCD，这个变化过程不可能是（）A．先平移，再轴对称 B．先轴对称，再平移 C．先轴对称，再旋转 D．先旋转，再平移【分析】利用轴对称．平移，旋转的性质一一判断即可．【解答】解：A、向下平移3个单位，再沿y轴翻折，可得△COD，正确，本选项不符合题意．B、沿y轴翻折，再向下平移3个单位，可得△COD，正确，本选项不符合题意．C、沿x轴翻折，再绕（0，﹣1.5）旋转180°，可得△COD，正确，本选项不符合题意．D、先旋转，再平移，不可能得到△COD，本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查几何变换类型，轴对称，平移，旋转等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．42．（2021•抚顺模拟）如图，平面内某正方形内有一长为10宽为5的矩形，它可以在该正方形的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放，则该正方形边长的最小整数n为（）A．10 B．11 C．12 D．13【分析】根据矩形长为10宽为5，可得矩形的对角线长为：＝＝5，由矩形在该正方形的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放，可得该正方形的边长不小于5，进而可得正方形边长的最小整数n的值．【解答】解：∵矩形长为10宽为5，∴矩形的对角线长为：＝＝5，∵矩形在该正方形的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放，∴该正方形的边长不小于5，∵11＜5＜12，∴该正方形边长的最小正数n为12．故选：C．【点评】本题考查了几何变换的类型，解决本题的关键是掌握旋转的性质．43．（2021•成都模拟）在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应的线段的比值为k；再将所得多边形以点O为旋转中心，逆时针旋转一个角度θ，这种经过相似和旋转变化的图形变换叫做旋转相似变换，记为O（k，θ），O为旋转相似中心，k为相似比，θ为旋转角．如图，△ABC是边长为1cm的等边三角形，将它作旋转相似变化A（，90°）得到△ADE，则BD长2cm．【分析】已知2中△ABC旋转相似变换A（，90°），得到△ADE，可推出∠BAD＝90°，利用勾股定理可求出BD的值．【解答】解：△ABC旋转相似变换A（，90°），得到△ADE以及AD＝cm，可推出∠BAD＝90°，利用勾股定理得到：BD＝＝2（cm）．故答案为：2．【点评】本题主要考查了几何变换综合题．解答该题的关键是弄清楚O（k，θ）所表达的含义，其中点0叫做旋转相似中心，k叫做相似比，θ叫做旋转角．巩固提升巩固提升一、单选题1．（2021·福建省福州第十九中学九年级开学考试）下列几何图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A．矩形 B．菱形 C．正五边形 D．正八边形【答案】C【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】A、矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不合题意；B、菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不合题意；C、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；D、正八边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：C．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后可与原图重合．2．（2021·广州市黄埔华南师范大学附属初级中学九年级期中）已知点坐标为（－3，1），则点关于原点中心对称的点坐标为（）．A．（－3，－1） B．（3，1） C．（3，－1） D．（1，－3）【答案】C【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（－x，－y），由此即可求解．【详解】解：点（－3，1）关于原点成中心对称的点的坐标是（3，－1），故选：C．【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．3．（2021·广州市第五中学）如图，是等边三角形，为边上的点，绕点沿逆时针方向旋转后到达的位置，那么旋转了（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由△ABD经旋转后到达△ACE的位置，而AB＝AC，根据旋转的性质得到∠BAC等于旋转角，即旋转角等于60°．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵△ABD经旋转后到达△ACE的位置，∴∠BAC等于旋转角，即旋转角等于60°．故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的性质．4．（2021·江西九年级期末）如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°，得△A′B′O，则点A′的坐标为（）A．（3，1） B．（3，2） C．（2，3） D．（1，3）【答案】D【分析】画出旋转后的图形即可求解．【详解】解：如图，点A′的坐标为(1，3)．故选D．【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，熟练掌握网格结构作出旋转后的三角形，利用数形结合的思想求解更简便．5．（2021·长沙市雅礼实验中学九年级月考）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°得到△AB′C′，若点B′恰好落到边BC上，则∠CB′C′的度数为（）A．50° B．60° C．70° D．80°【答案】D【分析】依据旋转的性质可求得AB＝AB’，∠AB’C’的度数，依据等边对等角的性质可得到∠B＝∠BB’A，于是可得到∠CB’C’的度数．【详解】解：由旋转的性质可知：AB＝AB’，∠BAB’＝80°，∴∠B＝∠AB’C’，∵AB＝AB’，∴∠B＝∠BB’A＝50°．∴∠BB’C’＝50°＋50°＝100°．∴∠CB’C’＝180°−100°＝80°，故选：D．【点睛】本题主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质，求得∠AB’C’和∠BB’A的度数是解题的关键．6．（2021·西宁市教育科学研究院中考真题）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．三角形 B．等边三角形C．平行四边形 D．菱形【答案】D【分析】一个图形沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合的图形称为轴对称图形，这条直线称为对称轴；如果一个图形绕某一点旋转180゜后能够与原来图形重合，则称这个图形为中心对称图形，这个点称为对称中心；根据轴对称图形和中心对称图形的概念完成即可．【详解】A、三角形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；B、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；C、平行四边形是中心对答图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；D、菱形既是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线，也是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点，故符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，关键是理解概念，并知道一