专题02垂径定理及其应用(原卷版+解析)

专题02垂径定理及其应用圆的对称性圆的轴对称性：过圆心的任一条直线（直径所在的直线）都是它的对称轴。垂径定理垂径定理包含两个条件和三个结论，即条件结论符号语言：推论1：在（1）、（2）、（3）、（4）、（5）中，任意两个成立，都可以推出另外三个都成立。推论2：平行的两弦之间所夹的两弧相等。相关概念：弦心距：圆心到弦的距离（垂线段OE）。应用链接：垂径定理常和勾股定理联系在一起综合应用解题（利用弦心距、半径、半弦构造Rt△OAE）。圆的对称性以及垂径定理例题讲解概念考察【例1】下面四个命题中正确的一个是（）A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心【例2】下列命题中，正确的是（）．A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B．过弦的中点的直线必过圆心C．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D．弦的垂线平分弦所对的弧【例3】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，那么以下结论正确的选项是〔〕A、AE=BEB、=C、△BOC是等边三角形D、四边形ODBC是菱形【例4】如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（）AD＝BD B．OC＝2CD C．∠CAD＝∠CBD D．∠OCA＝∠OCB【例5】下列命题：（1）垂直于弦的直线平分弦；（2）平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦的直线必过圆心；（4）弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦。其中正确的命题有（

)A.

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B.

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C.

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D.

4个求弦长【例1】．如图，AB是⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AE＝2，⊙O的直径为10，则AC长为（）A．5 B．6 C．7 D．8【例2】如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，那么AB的长为〔〕A、2B、4C、6D、8【例3】把半径长为2.5的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知CD＝4，则EF＝（）A．2 B．2.5 C．4 D．5【例4】如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝15，P，Q分别是AB，AD边上的动点，PQ＝16，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为．【例5】如图，点E在y轴上，⊙E与x轴交于点A、B，与y轴交于点C、D，若C（0，9），D（0，﹣1），则线段AB的长度为（）A．3 B．4 C．6 D．8【例6】在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线与O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为______．【例7】如图，AB为⊙O的直径，弦AB与CD交于点P，且∠BPD=30°，AP=3，BP=7，求CD的长．求半径（直径）【例1】如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC=13，BC=24，求⊙O的半径．【例2】如图，一条公路的转弯处是一段圆弧〔图中的弧AB〕，点O是这段弧的圆心，点C是弧AB上的一点，OC⊥AB，垂足为D，如AB=60m，CD=10m，求这段弯路的半径．【例3】如图，AB为⊙O的直径，AE为⊙O的弦，C为优弧ABE的中点，CD⊥AB，垂足为D．若AE＝8，DB＝2，则⊙O的半径为（）A．6 B．5 C．4 D．4【例4】如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为cm．【例5】用工件槽（如图1）可以检测一种铁球的大小是否符合要求，已知工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图（单位：cm）．将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图2是过球心O及A、B、E三点的截面示意图，求这种铁球的直径．求弦心距【例1】如图，⊙O的半径为13，弦AB长为24，那么点O到AB的距离是〔〕A、6B、5C、4D、3【例2】如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，点C是AB的中点，连接OC，则OC的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【例3】在直径为10cm的圆中，弦的长为8cm，则它的弦心距为cm【例4】如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，P是弦AB上的一个动点（不与A、B重合），下列符合条件的OP的值是（）A．5.8 B．3.8 C．1.3 D．2.5求拱高【例1】一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水〔如图〕，此时的水面宽AB为0.6米．〔1〕求此时的水深〔即阴影局部的弓形高〕；〔2〕当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度．【例2】如图是一个装有水的水管的截面，已知水管的直径是100cm，装有水的液面宽度为AB＝60cm，CD为过圆心且CD⊥AB，则水管中水的最大深度为多少？【例3】如图，在一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为60m，拱高PM为18m，当洪水泛滥到跨度只有30m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有64m，即PN=4m时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施。求两平行线之间的距离【例1】已知圆心到圆的两条平行弦的距离分别是2和3，则两条平行弦之间的距离为．．【例2】已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8，AB＝10，则CD与AB之间的距离是________.【例3】如图，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA＋PC的最小值为_____．【例4】在直径为10厘米的圆中,两条分别为6厘米和8厘米的平行弦之间的距离是厘米综合简答题【例1】如图，⊙O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．（1）OM⊥CD于点M，CD＝24，⊙O的半径长为4，求OM的长．（2）点G在BD上，且AG⊥BD交CD于点F，求证：CE＝EF．（【例2】如图，AB为圆O直径，F点在圆上，E点为AF中点，连接EO，作CO⊥EO交圆O于点C，作CD⊥AB于点D，已知直径为10，OE＝4，求OD的长度．【例3】如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连接AD．（1）求证：AD＝AN；（2）若AB＝8，ON＝1，求⊙O的半径．课后练习题：1．在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是．2、 如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为cm．3．下列语句中不正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；④长度相等的两条弧是等弧．A．3个 B．2个 C．1个 D．4个4、如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB于点E，若∠BAD＝30°，且BE＝2．（1）求⊙O半径；（2）求弦CD的长．4．5.如图，在⊙O内有折线OABC，点B、C在圆上，点A在⊙O内，其中OA＝4cm，BC＝10cm，∠A＝∠B＝60°，则AB的长为（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm6、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝8，EB＝2，则⊙O的半径为．7、如图，已知AB，CG是⊙O的两条直径，AB⊥CD于点E，CG⊥AD于点F．（1）求∠AOG的度数；（2）若AB＝2，求CD的长． 8、如图，圆内接四边形ABDC，AB是⊙O的直径，OD⊥BC于E．（1）请你写出四个不同类型的正确结论；（2）若BE＝4，AC＝6，求DE．9、如图，在残破的圆形工件上量得一条弦BC＝16，的中点D到BC的距离ED＝4，则这个圆形工件的半径是．10、一座桥如图，桥下水面宽度AB是20米，高CD是4米．要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米．（1）如图1，若把桥看作是抛物线的一部分，建立如图坐标系．要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？（2）如图2，若把桥看作是圆的一部分．要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？专题02垂径定理及其应用圆的对称性圆的轴对称性：过圆心的任一条直线（直径所在的直线）都是它的对称轴。垂径定理垂径定理包含两个条件和三个结论，即条件结论符号语言：推论1：在（1）、（2）、（3）、（4）、（5）中，任意两个成立，都可以推出另外三个都成立。推论2：平行的两弦之间所夹的两弧相等。相关概念：弦心距：圆心到弦的距离（垂线段OE）。应用链接：垂径定理常和勾股定理联系在一起综合应用解题（利用弦心距、半径、半弦构造Rt△OAE）。圆的对称性以及垂径定理例题讲解概念考察【例1】下面四个命题中正确的一个是（）A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心【答案】D【解析】平分弦（不是直径）的直径，垂直于弦，A说法错误过圆心且平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦，B错误弦的垂直平分线必经过这条弦所在圆的圆心，C错误【例2】下列命题中，正确的是（）．A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B．过弦的中点的直线必过圆心C．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D．弦的垂线平分弦所对的弧【答案】C【解析】A、B都未指出这条直线应该为垂线，所以AB都错误D未说明过弦的中点，所以错误【例3】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，那么以下结论正确的选项是〔〕A、AE=BEB、=C、△BOC是等边三角形D、四边形ODBC是菱形【答案】B【解析】∵AB⊥CD，AB过O，∴DE=CE，=，(垂径定理）不能推出DE=BE，△BOC是等边三角形，四边形ODBC是菱形．【例4】如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（）AD＝BD B．OC＝2CD C．∠CAD＝∠CBD D．∠OCA＝∠OCB【答案】B【解析】OC＝2CD．理由如下：∵在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，∴AD＝DB，∵OC＝2CD，∴AD＝BD，DO＝CD，AB⊥CO，∴四边形OACB为菱形．【例5】下列命题：（1）垂直于弦的直线平分弦；（2）平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦的直线必过圆心；（4）弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦。其中正确的命题有（

)A.

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D.

4个【答案】A【解析】（1）垂直于弦的直径平分弦，错误；（2）平分弦（不是直径）的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，错误；（3）垂直于弦且平分弦的直线必过圆心，错误；（4）弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦．正确；其中正确的命题有1个.故答案为：A．求弦长【例1】．如图，AB是⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AE＝2，⊙O的直径为10，则AC长为（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】解：连接OF，如图：∵DE⊥AB，AB过圆心O，∴DE＝EF，＝，∵D为弧AC的中点，∴＝，∴＝，∴AC＝DF，∵⊙O的直径为10，∴OF＝OA＝5，∵AE＝2，∴OE＝OA﹣AE＝5﹣2＝3，在Rt△OEF中，由勾股定理得：EF＝＝＝4，∴DE＝EF＝4，∴AC＝DF＝DE+EF＝4+4＝8，故选：D．【例2】如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，那么AB的长为〔〕A、2B、4C、6D、8【答案】D【解析】解：∵CE=2，DE=8，∴OB=5，∴OE=3，∵AB⊥CD，∴在△OBE中，得BE=4，∴AB=2BE=8【例3】把半径长为2.5的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知CD＝4，则EF＝（）A．2 B．2.5 C．4 D．5【答案】C【解析】设球的平面投影圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，延长NO交BC于点M，连接OF，如图所示：则NF＝EN＝EF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，∴四边形CDNM是矩形，∴MN＝CD＝4，ON＝MN﹣OM＝4﹣2.5＝1.5，在Rt△ONF中，由勾股定理得：ON2+NF2＝OF2，∴NF＝＝2，EF＝2NF＝4，【例4】如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝15，P，Q分别是AB，AD边上的动点，PQ＝16，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为．【答案】8【解析】过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，在Rt△ABD中，BD＝＝＝25，∵×AH×BD＝×AD×AB，∴AH＝＝12，∵⊙O的直径为16，∴⊙O的半径为8，∴点O在AH上时，OH最短，∵HM＝，∴此时HM有最大值，OH＝AH﹣OA＝4，则最大值为＝4，∵OH⊥MN，∴MN＝2MH，∴MN的最大值为2×4＝8．故答案为：8．【例5】如图，点E在y轴上，⊙E与x轴交于点A、B，与y轴交于点C、D，若C（0，9），D（0，﹣1），则线段AB的长度为（）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】连接EB，如图所示：∵C（0，9），D（0，﹣1），∴OD＝1，OC＝9，∴CD＝10，∴EB＝ED＝CD＝5，OE＝5﹣1＝4，∵AB⊥CD，∴AO＝BO＝AB，OB＝＝＝3，∴AB＝2OB＝6；故选：C．【例6】在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线与O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为______．【答案】24【解析】解：∵直线y＝kx﹣3k+4＝k（x﹣3）+4，∴k（x﹣3）＝y﹣4，∵k有无数个值，∴x﹣3＝0，y﹣4＝0，解得x＝3，y＝4，∴直线必过点D（3，4），∴最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，∵点D的坐标是（3，4），∴OD＝5，∵以原点O为圆心的圆过点A（13，0），∴圆的半径为13，∴OB＝13，∴BD＝12，∴BC的长的最小值为24；故答案为：24．【例7】如图，AB为⊙O的直径，弦AB与CD交于点P，且∠BPD=30°，AP=3，BP=7，求CD的长．【答案】【解析】解：作OH⊥CD于H，连结OC，如图，∵OH⊥CD，∴HC＝HD，∵AP＝3，BP＝7，∴AB＝10，∴OA＝5，∴OP＝OA﹣AP＝2，在Rt△OPH中，∵∠OPH＝30°，∴∠POH＝60°，∴OH＝OP＝1，在Rt△OHC中，∵OC＝5，OH＝1，∴，∴CD＝2CH＝求半径（直径）【例1】如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC=13，BC=24，求⊙O的半径．【答案】16.9【解析】解：连接OA交BC于点D，连接OC，OB，∵AB=AC=13，∴=，∴∠AOB=∠AOC，∵OB=OC，∴AO⊥BC，CD=BC=12在Rt△ACD中，AC=13，CD=12所以AD=设⊙O的半径为r那么在Rt△OCD中，OD=r﹣5，CD=12，OC=r所以〔r﹣5〕2+122=r2解得r=16.9．答：⊙O的半径为16.9．【例2】如图，一条公路的转弯处是一段圆弧〔图中的弧AB〕，点O是这段弧的圆心，点C是弧AB上的一点，OC⊥AB，垂足为D，如AB=60m，CD=10m，求这段弯路的半径．【答案】50【解析】解：∵OC⊥AB，∴AD=DB，在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，设半径为r得：r2=〔r﹣10〕2+302，解得：r=50，∴这段弯路的半径为50m．【例3】如图，AB为⊙O的直径，AE为⊙O的弦，C为优弧ABE的中点，CD⊥AB，垂足为D．若AE＝8，DB＝2，则⊙O的半径为（）A．6 B．5 C．4 D．4【答案】B【解析】解：如图，连接CO，延长CO交AE于点T．设⊙O的半径为r．∵＝，∴CT⊥AE，∴AT＝TE＝AE＝4，在△AOT和△COD中，，∴△AOT≌△COD（AAS），∴CD＝AT＝4，在Rt△COD中，OC2＝CD2+OD2，∴r2＝42+（r﹣2）2，∴r＝5，【例4】如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为cm．【答案】5【解析】如图所示：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，∵OD⊥AB，∴AD＝AB＝×8＝4cm，设OA＝r，则OD＝r﹣2，在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，即r2＝（r﹣2）2+42，解得r＝5cm．∴该输水管的半径为5cm；【例5】用工件槽（如图1）可以检测一种铁球的大小是否符合要求，已知工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图（单位：cm）．将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图2是过球心O及A、B、E三点的截面示意图，求这种铁球的直径．【答案】20【解析】解：连接OA、OE，设OE与AB交于点P，如图∵AC＝BD，AC⊥CD，BD⊥CD∴四边形ACDB是矩形∵CD＝16cm，PE＝4cm∴PA＝8cm，BP＝8cm，在Rt△OAP中，由勾股定理得OA2＝PA2+OP2即OA2＝82+（OA﹣4）2解得：OA＝10．答：这种铁球的直径为20cm．求弦心距【例1】如图，⊙O的半径为13，弦AB长为24，那么点O到AB的距离是〔〕A、6B、5C、4D、3【答案】B【解析】解：过O作OC⊥AB于C，∵OC过O，∴AC=BC=AB=12，在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC==5．应选：B．【例2】如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，点C是AB的中点，连接OC，则OC的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】解：∵⊙O的半径为5，弦AB＝8，点C是AB的中点，∴OC⊥AB，AC＝BC＝4，OA＝5，∴OC＝＝＝3，【例3】在直径为10cm的圆中，弦的长为8cm，则它的弦心距为cm【答案】3【解析】先画出图形，如图，然后连接AO，作OC垂直于AB，根据垂径定理得到AC=4，由题目得半径为5，根据勾股定理算出弦心距为3.【例4】如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，P是弦AB上的一个动点（不与A、B重合），下列符合条件的OP的值是（）A．5.8 B．3.8 C．1.3 D．2.5【答案】B【解析】当OP垂直于AB时，此时最短。此时根据勾股定理可得OP=3；当P点与A、B重合时此时最长为5，所以，3≤OP＜5，由此可得只有B选项满足答案。求拱高【例1】一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水〔如图〕，此时的水面宽AB为0.6米．〔1〕求此时的水深〔即阴影局部的弓形高〕；〔2〕当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度．【答案】（1）0.4（2）当MN及AB在圆心同侧时，水面上升的高度为0.1米；当MN及AB在圆心异侧时，水面上升的高度为0.7米．【解析】解：〔1〕作半径OC⊥AB，垂足为点D，连接OA，那么CD即为弓形高∵OC⊥AB，∴∵AO=0.5，AB=0.6，∴AD=AB=×0.6=0.3，∴OD===0.4，〔2〕当水位上升到水面宽MN为0.8米时，直线OC及MN相交于点P同理可得OP=0.3，当MN及AB在圆心同侧时，水面上升的高度为0.1米；当MN及AB在圆心异侧时，水面上升的高度为0.7米．【例2】如图是一个装有水的水管的截面，已知水管的直径是100cm，装有水的液面宽度为AB＝60cm，CD为过圆心且CD⊥AB，则水管中水的最大深度为多少？【答案】90【解析】解：连接OA，根据题意得：CD⊥AB，∴AD＝AB＝×60＝30（cm），∵水管的直径是100cm，∴OA＝50cm，在Rt△AOD中，OD＝＝40（cm），∴CD＝OC+OD＝90（cm）．∴水管中水的最大深度为90cm．【例3】如图，在一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为60m，拱高PM为18m，当洪水泛滥到跨度只有30m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有64m，即PN=4m时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施。【答案】不需要【解析】解：设圆弧所在圆的圆心为O，连结OA，OA'，如图所示设半径为x(m)则OA=OA’=OP=x(m)由垂径定理可知AM=BM

A’N=B’N∵AB=60m，∴AM=30m，且OM=OP-PM=(x-18)m在Rt△AOM中，由勾股定理可得AO2=OM2+AM2即x2=(x-18)2+302，解得x=34∴ON=OP-PN=34-4=30（m)在△A'ON中，由勾股定理可得A'N===16(m)A'B'=32m>30m∴不需要采取紧急措施。求两平行线之间的距离【例1】已知圆心到圆的两条平行弦的距离分别是2和3，则两条平行弦之间的距离为．【答案】1或5【解析】两条平行弦在圆心的同侧时，则两条平行弦间的距离＝3﹣2＝1；当两条平行弦在圆心的两侧时，则两条平行弦间的距离＝3+2＝5．【例2】已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8，AB＝10，则CD与AB之间的距离是________.【答案】3【解析】解：过点作于，连接，如图，则，在中，，所以与之间的距离是3.故答案为3.【例3】如图，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA＋PC的最小值为_____．【答案】【解析】解：连结BC，BC与EF的交点为P时，PA﹢PC最短连结OA，OC，由勾股定理得OE=3，OF=4∴EF=7∵AB∥CD∴∴EP﹢PF=7∴EP=4，PF=3∴BP=，PC=∴PA＋PC的最短距离=BC=【例4】在直径为10厘米的圆中,两条分别为6厘米和8厘米的平行弦之间的距离是厘米【答案】1或7【解析】当两条平行弦在圆心同侧，根据勾股定理，最后得到平行弦之间距离为4-3=1当两条平行弦在圆心异侧，根据勾股定理，最后得到平行弦之间距离为4+3=7综合简答题【例1】如图，⊙O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．（1）OM⊥CD于点M，CD＝24，⊙O的半径长为4，求OM的长．（2）点G在BD上，且AG⊥BD交CD于点F，求证：CE＝EF．【答案】（1）4（2）见解析【解析】（1）解：如图，连接OD，∵OM⊥CD，OM过圆心，CD＝24，∴DM＝CM＝CD＝12，∠OMD＝90°，由勾股定理得，OM＝＝＝4，即OM的长为4；（2）证明：如图，连接AC，∵AG⊥BD，∴∠DGF＝90°，∴∠DFG+∠D＝90°，∵AB⊥CD，∴∠CEA＝90°，∴∠C+∠EAC＝90°，∵∠EAC＝∠D，∠DFG＝∠AFC，∴∠C＝∠AFC，∴AF＝AC，∵AB⊥CD，∴CE＝EF．【例2】如图，AB为圆O直径，F点在圆上，E点为AF中点，连接EO，作CO⊥EO交圆O于点C，作CD⊥AB于点D，已知直径为10，OE＝4，求OD的长度．【答案】3【解析】解：∵E点为AF中点，∴OE⊥AF，∵CO⊥EO，∴OC∥AF，∴∠OAE＝∠COD，∵CD⊥AB，∴∠AEO＝∠ODC，在△AEO和△ODC中，，∴△AEO≌△ODC（AAS），∴CD＝OE＝4，∵OC＝5，∴OD＝＝＝3【例3】如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连接AD．（1）求证：AD＝AN；（2）若AB＝8，ON＝1，求⊙O的半径．【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）证明：∵CD⊥AB∴∠CEB＝90°∴∠C+∠B＝90°，同理∠C+∠CNM＝90°∴∠CNM＝∠B∵∠CNM＝∠AND∴∠AND＝∠B，∵，∴∠D＝∠B，∴∠AND＝∠D，∴AN＝AD；（2）解：设OE的长为x，连接OA∵AN＝AD，CD⊥AB∴DE＝NE＝x+1，∴OD＝OE+ED＝x+x+1＝2x+1，∴OA＝OD＝2x+1，∴在Rt△OAE中OE2+AE2＝OA2，∴x2+42＝（2x+1）2．解得x＝或x＝﹣3（不合题意，舍去），∴OA＝2x+1＝2×+1＝，即⊙O的半径为．课后练习题：1．在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是．【答案】2+．【解析】解：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．∵AB＝2，∴AE＝，PA＝2，∴PE＝1．∵点D在直线y＝x上，∴∠AOC＝45°，∵∠DCO＝90°，∴∠ODC＝45°，∴∠PDE＝∠ODC＝45°，∴∠DPE＝∠PDE＝45°，∴DE＝PE＝1，∴PD＝．∵⊙P的圆心是（2，a），∴点D的横坐标为2，∴OC＝2，∴DC＝OC＝2，∴a＝PD+DC＝2+．2、 如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为cm．【答案】2【解析】解：过点O作OD⊥AB交AB于点D，连接OA，∵OA＝2OD＝2cm，∴AD＝＝＝cm，∵OD⊥AB，∴AB＝2AD＝cm．3．下列语句中不正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；④长度相等的两条弧是等弧．A．3个 B．2个 C．1个 D．4个【答案】D【解析】①和④、错误，应强调在同圆或等圆中；②、错误，应强调不是直径的弦；③、错误，应强调过直径所在的直线才是它的对称轴．4、如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB于点E，若∠BAD＝30°，且BE＝2．（1）求⊙O半径；（2）求弦CD的长．【答案】（1）4（2）4．【解析】解：（1）连接OD，设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣2，∵∠BAD＝30°，∴∠DOE＝60°，∵CD⊥AB，∴CD＝2DE，∠ODE＝30°，∴OD＝2OE，即r＝2（r﹣2），解得r＝4；（2）∵由（1）知r＝4，BE＝2，∴OE＝4﹣2＝2，∴DE＝＝＝2，∴CD＝2DE＝4．5.如图，在⊙O内有折线OABC，点B、C在圆上，点A在⊙O内，其中OA＝4cm，BC＝10cm，∠A＝∠B＝60°，则AB的长为（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm【答案】B【解析】解：延长AO交BC于D，作OE⊥BC于E，设AB的长为xcm，∵∠A＝∠B＝60°，∴∠ADB＝60°；∴△ADB为等边三角形；∴BD＝AD＝AB＝x；∵OA＝4cm，BC＝10cm，∴BE＝5cm，DE＝（x﹣5）cm，OD＝（x﹣4）cm，又∵∠ADB＝60°，∴DE＝OD，∴x﹣5＝（x﹣4），解得：x＝