专题07一元二次方程的定义及方程的解之六大考点(原卷版+解析)

专题07一元二次方程的定义及方程的解之六大考点【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一一元二次方程的判别】 1【考点二利用一元二次方程的定义求参数的值】 3【考点三一元二次方程的一般形式、各项系数】 4【考点四已知一元二次方程的解求参数的值】 5【考点五已知一元二次方程的解求式子的值】 6【考点六一元二次方程的解的估算】 7【过关检测】 9【典型例题】【考点一一元二次方程的判别】例题：（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）下列方程中属于一元二次方程的是（）A． B． C． D．【变式训练】1.（2023·全国·九年级假期作业）下列方程中是一元二次方程的是（

）①；②；③；④；⑤；⑥．A．①②④⑥ B．② C．①②③④⑤⑥ D．②③2.（2023春·安徽淮北·八年级淮北一中校联考阶段练习）下列方程：①；②；③；④；⑤中，属于一元二次方程的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点二利用一元二次方程的定义求参数的值】例题：（2023·山东青岛·统考二模）关于x的方程是一元二次方程，则a的值为________．【变式训练】1.（2023春·山东烟台·八年级统考期中）若方程是关于x的一元二次方程，则m等于_______．2.（2022秋·四川乐山·九年级统考期末）若关于x的一元二次方程，则__________．【考点三一元二次方程的一般形式、各项系数】例题：（2023·全国·九年级假期作业）若方程的二次项系数是4，则方程的一次项系数是______，常数项是_______．【变式训练】1.（2022秋·海南省直辖县级单位·九年级校考阶段练习）将方程化为一般形式为__________，其中________，________，________．2.（2022秋·云南昭通·九年级统考期中）方程的二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是______．【考点四已知一元二次方程的解求参数的值】例题：（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为______．【变式训练】1．（2023秋·湖南株洲·九年级统考期末）已知方程的一个根是，则值是________．2．（2023春·湖北武汉·八年级统考期末）是一元二次方程的一个根，则m的值是__________．【考点五已知一元二次方程的解求式子的值】例题：（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）若关于的一元二次方程有一个根为，则______．【变式训练】1．（2023·山东枣庄·统考中考真题）若是关x的方程的解，则的值为___________．2.（2023·甘肃平凉·统考二模）若m是方程的一个根，则的值为______．【考点六一元二次方程的解的估算】例题：（2023春·全国·八年级专题练习）根据表格对应值：0120.842.293.76判断关于x的方程的一个解x的范围是_____．【变式训练】1．（2022秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是______．x1.31.41.51.61.71.81.90.090.340.612．（2023·山东枣庄·统考二模）探索一元二次方程的一个正数解的过程如表：x0123451323可以看出方程的一个正数解应界于整数a和整数b之间，的值为________．【过关检测】一、选择题1．（2023春·广西南宁·八年级南宁市天桃实验学校校考期末）一元二次方程的一次项系数是(

)A．2 B． C． D．－32．（2023春·山东济南·八年级统考期末）已知是关于的一元二次方程的一个根，则k的值为（

）A． B． C． D．3．（2023春·黑龙江大庆·八年级校联考期中）下列方程中一元二次方程的个数为（

）①；②；③；④；⑤．A．0 B．1 C．2 D．34．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期末）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则的值为（）A．1 B．3 C．5 D．75．（2022秋·广东佛山·九年级校联考阶段练习）根据下表确定方程的解的取值范围是（）…456135…513A．或 B．或C．或 D．或二、填空题6．（2023春·山东济南·八年级统考期末）关于x的一元二次方程，化为一般形式是________．7．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）已知是方程的一个根，则的值为__________．8．（2023春·全国·八年级专题练习）根据表格对应值：判断关于x的方程的一个解x的范围是_____．9．（2023·广东广州·校考二模）若a是方程的解，则式子的值为____________．10．（2023秋·云南保山·九年级统考期末）如果关于x的方程是一元二次方程，则m的值是_____________．三、解答题11．（2023春·黑龙江大庆·八年级校联考期中）方程是关于x的一元二次方程，则m的值是多少？12．（2023秋·山东济宁·九年级统考期末）已知m是方程的解，求式子的值．13．（2023·全国·九年级假期作业）填表：方程一般形式二次项系数一次项系数常数项14．（2023春·八年级课时练习）方程（m﹣3）＋（m﹣2）x＋5＝0(1)m为何值时，方程是一元二次方程；(2)m为何值时，方程是一元一次方程．15．（2022秋·河北唐山·九年级统考期末）我们定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．(1)请判断方程是不是倍根方程，并说明理由；(2)若是倍根方程，则___________．

专题07一元二次方程的定义及方程的解之六大考点【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一一元二次方程的判别】 1【考点二利用一元二次方程的定义求参数的值】 3【考点三一元二次方程的一般形式、各项系数】 4【考点四已知一元二次方程的解求参数的值】 5【考点五已知一元二次方程的解求式子的值】 6【考点六一元二次方程的解的估算】 7【过关检测】 9【典型例题】【考点一一元二次方程的判别】例题：（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）下列方程中属于一元二次方程的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论．【详解】解：A．方程是二元二次方程，故不符合题意；B．方程是分式方程，故不符合题意；C．方程是一元二次方程，故符合题意；D．当时，方程是一元一次方程，故不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．【变式训练】1.（2023·全国·九年级假期作业）下列方程中是一元二次方程的是（

）①；②；③；④；⑤；⑥．A．①②④⑥ B．② C．①②③④⑤⑥ D．②③【答案】D【分析】根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行判断即可．【详解】解：①当时，不是一元二次方程；②是一元二次方程；③是一元二次方程；④是分式方程；⑤不是一元二次方程；⑥，化简得：，不是一元二次方程．∴是一元二次方程的是②③．故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题时，要注意两个方面：1、一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；2、一元二次方程的一般形式是．2.（2023春·安徽淮北·八年级淮北一中校联考阶段练习）下列方程：①；②；③；④；⑤中，属于一元二次方程的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据一元二次方程的定义即可得答案．【详解】解：①不是整式方程，不是一元二次方程；②，含有两个未知数，不是一元二次方程；③，符合一元二次方程定义，是一元二次方程；④化简为，x的最高次数是1，不是一元二次方程；⑤，当时，不是一元二次方程．故答案为：A【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为的形式，则这个方程就为一元二次方程．【考点二利用一元二次方程的定义求参数的值】例题：（2023·山东青岛·统考二模）关于x的方程是一元二次方程，则a的值为________．【答案】【分析】根据一元二次方程的定义得出，再求出即可．【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，∴，解得：．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，是一元二次方程必须同时满足三个条件：①时整式方程，即等号两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．【变式训练】1.（2023春·山东烟台·八年级统考期中）若方程是关于x的一元二次方程，则m等于_______．【答案】【分析】根据一元二次方程的定义进行求解即可．【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程，∴，解得，故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟知定义是解题的关键：一般地，形如（a、b、c是常数，）的方程叫做一元二次方程．2.（2022秋·四川乐山·九年级统考期末）若关于x的一元二次方程，则__________．【答案】【分析】根据一元二次方程的定义进行求解即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地，形如（a、b、c是常数，且）的方程叫做一元二次方程．【考点三一元二次方程的一般形式、各项系数】例题：（2023·全国·九年级假期作业）若方程的二次项系数是4，则方程的一次项系数是______，常数项是_______．【答案】0【分析】先将方程化为一般形式，然后得出答案即可．【详解】解：方程化为一般形式为：，∴方程的二次项系数是4，方程的一次项系数是，常数项是0．故答案为：；0．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是理解题意，将方程化为二次项系数是4的一般形式．【变式训练】1.（2022秋·海南省直辖县级单位·九年级校考阶段练习）将方程化为一般形式为__________，其中________，________，________．【答案】11【分析】根据等式性质将方程化为一般形式，得出a、b、c的值即可．【详解】解：方程化为一般形式为，∴，，．故答案为：；1；；．【点睛】本题主要考出了一元二次方程的一般形式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的一般形式．2.（2022秋·云南昭通·九年级统考期中）方程的二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是______．【答案】3【分析】将原方程转化为一般形式，进而可找出二次项系数、一次项系数以及常数项．【详解】解：将原方程转化为一般形式得，∴二次项系数是3，一次项系数是，常数项是．故答案为：3；；．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，牢记“一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫一元二次方程的一般形式”是解题的关键．【考点四已知一元二次方程的解求参数的值】例题：（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为______．【答案】1【分析】根据关于的一元二次方程的一个根是0，将代入方程即可解出答案．【详解】解：关于的一元二次方程的一个根是0，当时，，解得．故答案为1．【点睛】本题主要考查的是一元二次方程解的应用，其中理解一元二次方程解的概念是解题的关键．【变式训练】1．（2023秋·湖南株洲·九年级统考期末）已知方程的一个根是，则值是________．【答案】【分析】把代入方程，求解即可．【详解】解：把代入方程，得，解得：；故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程的解的概念、正确计算是解题关键．2．（2023春·湖北武汉·八年级统考期末）是一元二次方程的一个根，则m的值是__________．【答案】【分析】根据题意将代入一元二次方程求解即可．【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，∴，解得：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握使方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的根是解题的关键．【考点五已知一元二次方程的解求式子的值】例题：（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）若关于的一元二次方程有一个根为，则______．【答案】/【分析】根据一元二次方程根的定义得到，即可得到的值．【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为，∴，∴，∴，故答案为：【点睛】此题考查了一元二次方程根的定义和代数式的值，熟练掌握一元二次方程根的定义是解题的关键．【变式训练】1．（2023·山东枣庄·统考中考真题）若是关x的方程的解，则的值为___________．【答案】2019【分析】将代入方程，得到，利用整体思想代入求值即可．【详解】解：∵是关x的方程的解，∴，即：，∴；故答案为：2019．【点睛】本题考查方程的解，代数式求值．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键．2.（2023·甘肃平凉·统考二模）若m是方程的一个根，则的值为______．【答案】【分析】先根据一元二次方程解的定义得到，再把整体代入所求式子中求解即可．【详解】解：∵m是方程的一个根，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．【考点六一元二次方程的解的估算】例题：（2023春·全国·八年级专题练习）根据表格对应值：0120.842.293.76判断关于x的方程的一个解x的范围是_____．【答案】【分析】结合表格可知：当时，；当时，；所以方程的一个解x的范围为：．【详解】解：由表格可知：当时，；当时，；∴方程的一个解x的范围为：．故答案为：．【点睛】本题考查一元二次方程的根，解题的关键是理解方程根的定义，找出当时，；当时，．【变式训练】1．（2022秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是______．x1.31.41.51.61.71.81.90.090.340.61【答案】【分析】观察表格可得当时，，当时，，可得到一元二次方程的解介于1.6与1.7之间，即可求解．【详解】解∶根据题意得∶当时，，当时，，∴一元二次方程的解介于1.6与1.7之间，即．故答案为：【点睛】本题考查估算一元二次方程的近似解问题，解题的关键是从表格中找出两个x的值使得比较接近0，本题属于基础题型．2．（2023·山东枣庄·统考二模）探索一元二次方程的一个正数解的过程如表：x0123451323可以看出方程的一个正数解应界于整数a和整数b之间，的值为________．【答案】3【分析】观察图表，确定的值为0时的范围，然后确定对应的的范围，进而可得结果．【详解】解：由图表可知，，∴对应的的范围为，∴，，∴，故答案为：3．【点睛】本题考查了一元二次方程的解．解题的关键在于理解一元二次方程的解的含义．【过关检测】一、选择题1．（2023春·广西南宁·八年级南宁市天桃实验学校校考期末）一元二次方程的一次项系数是(

)A．2 B． C． D．－3【答案】C【分析】根据一元二次方程的一般形式，即可解答．【详解】解：一元二次方程的一次项系数是，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式及其概念，熟练掌握和运用一元二次方程的一般形式及其概念是解决本题的关键．2．（2023春·山东济南·八年级统考期末）已知是关于的一元二次方程的一个根，则k的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】把代入方程计算即可求出k的值．【详解】解：把代入方程得：，解得：，故选：B．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．3．（2023春·黑龙江大庆·八年级校联考期中）下列方程中一元二次方程的个数为（

）①；②；③；④；⑤．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．【详解】解：①，是一元二次方程，故符合题意；②，化简得，是一元二次方程，故符合题意；③不是整式方程，即不是一元二次方程，故不符合题意；④，当时，不是一元二次方程，故不符合题意；⑤是一元二次方程，故符合题意；所以一元二次方程的个数为3个．故选：D．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为的形式，则这个方程就为一元二次方程．4．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期末）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则的值为（）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】C【分析】将方程的解代入原方程，然后利用整体思想分析计算．【详解】解：将代入方程，可得，解得，∴，故选：C．【点睛】本题考查一元二次方程的解，理解方程的解的概念，利用整体思想解题是关键．5．（2022秋·广东佛山·九年级校联考阶段练习）根据下表确定方程的解的取值范围是（）…456135…513A．或 B．或C．或 D．或【答案】A【分析】根据表格数据的变化规律，利用“夹逼法”得到一元二次方程的解的取值范围．【详解】解：根据表格，当和时，，当和时，，∴该方程的解的取值范围为或，故选：A．【点睛】本题考查估算一元二次方程的近似解，弄清表格中数据变化规律，掌握利用“夹逼法”探究一元二次方程的近似解是解答的关键．二、填空题6．（2023春·山东济南·八年级统考期末）关于x的一元二次方程，化为一般形式是________．【答案】【分析】根据等式的基本性质和一元二次方程的一般式进行求解即可．【详解】由原式得，．故答案为：．【点睛】本题考查等式的性质，一元二次方程的基本形式，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键．7．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）已知是方程的一个根，则的值为__________．【答案】8【分析】将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得．【详解】解：由题意，将代入方程得：，解得，故答案为：8．【点睛】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根的定义（使方程左、右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根）是解题关键．8．（2023春·全国·八年级专题练习）根据表格对应值：判断关于x的方程的一个解x的范围是_____．【答案】【分析】结合表格可知：当时，；当时，；所以方程的一个解x的范围为：．【详解】解：由表格可知：当时，；当时，；∴方程的一个解x的范围为：．故答案为：【点睛】本题考查一元二次方程的根，解题的关键是理解方程根的定义，找出当时，；当时，．9．（2023·广东广州·校考二模）若a是方程的解，则式子的值为____________．【答案】2023【分析】把代入已知方程，求得的值，然后将其代入所求的代数式求值即可．【详解】解：把代入方程，得，即，则．故答案是：2023．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，方程的根即方程的解，就是能使方程左右两边相等的未知数的值．10．（2023秋·云南保山·九年级统考期末）如果关于x的方程是一元二次方程，则m的值是_____________．【答案】1【分析】根据一元二次方程的定义，得到，，求解即可得出m的值．【详解】解：是关于x的一元二次方程，，或，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题关键是理解一元二次方程的定义：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是，特别要注意的条件．三、解答题11．（2023春·黑龙江大庆·八年级校联考期中）方程是关于x的一元二次方程，则m的值是多少？【答案】2【分析】一元二次方程两个条件：①二次项系数不为0；②未知数的最高次数为2，由题意可以得到关于的方程和不等式，求解即可．【详解】解：由题意可得：且，解得：．即的值是2．【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．12．（2023秋·山东济宁·九年级统考期末）已知m是方程的解，求式子的值．【答案】【分析】根据