考点01一元二次方程相关概念的6种常见考法归类-原卷版+解析

考点01一元二次方程相关概念的6种常见考法归类1，一元二次方程的判断方法等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。一个方程是一元二次方程需具备三个条件：(1)是整式方程；只含有一个未知数；(3)未知数的最高次数是2.2，一元二次方程的核心要点一元二次方程中的二次项、一次项、常数项和各项系数是针对一元二次方程的一般形式而言的，确定项的系数时要注意它们的符号。一元二次方程的根的应用一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解。解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解.单循环和双循环类列方程的方法递名片、发信息属于双循环问题，此类问题一般设有x人，则递名片或发信息x(x-1)次；比赛、握手属于单循环问题，此类问题一般设有x组（或人），则比赛12x(x-1)场或握手1考点1一元二次方程的概念和一般形式考点2利用概念求参数的值或取值范围考点3利用方程的解求代数式的值考点4列方程-图形面积类考点5列方程-单循环和双循环类考点6列方程-数字问题考点1一元二次方程的概念和一般形式1．（2023春·安徽淮北·八年级统考期末）若关于x的一元二次方程的常数项是6，则一次项是（

）A． B． C．x D．12．（2022秋·河北沧州·九年级校考阶段练习）把一元二次方程化成一般形式，结果正确的是（）A． B． C． D．3．（2020秋·广东惠州·九年级校考期中）方程化为一般形式后一次项系数和常数项分别是（

）A．， B．， C．， D．，4．（2023·江苏·九年级假期作业）将方程化成一般形式（二次项系数为正）后，它的一次项系数与常数项分别是（）A．3， B．， C．，5 D．3，5考点2利用概念求参数的值或取值范围5．（2023秋·全国·九年级专题练习）若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（

）A． B． C． D．或6．（2023秋·全国·九年级专题练习）关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（

）A．1 B．2 C．0或2 D．07．（2023春·山东泰安·八年级校考阶段练习）若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m＝（

）A．1 B．2 C．1或2 D．08．（2022秋·山东菏泽·九年级统考期中）若关于x的一元二次方程的常数项为0，则a的值等于（

）A．1 B．2 C．1或2 D．0考点3利用方程的解求代数式的值9．（2022秋·江苏淮安·九年级校考阶段练习）若a为方程的解，则的值为（

）A．12 B．4 C．9 D．1610．（2023秋·全国·九年级专题练习）若关于x的一元二次方程的解是，则的值是（）A．2022 B．2012 C．2019 D．202311．（2023秋·全国·九年级专题练习）在关于x的方程（）中，a，b，c满足和，则方程的根是（）A．1，0 B．1， C．1， D．无法确定12．（2023秋·全国·九年级专题练习）若关于x的一元二次方程的一个根是，则的值是（）A． B． C． D．考点4列方程-图形面积类13．（2023春·安徽滁州·八年级校考期中）如图，把一块长为，宽为的长方形硬纸板的四个角减去四个相同的小正方形，然后把硬纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒.若该无盖纸盒的底面积为，设剪去的小正方形的边长为，则可列方程为．

14．（2022秋·湖南永州·九年级统考期中）疫情期间，学校利用一段已有的围墙（可利用的围墙长度仅有5米）搭建一个矩形临时隔离点，如图所示，它的另外三边所围的总长度是10米，矩形隔离点的面积为12平方米，则的长度是米．

15．（2023春·山东济南·八年级统考期末）如图，将一块正方形空地划出部分区域阴影部分进行绿化，绿化后一边减少了，另一边减少了，剩余面积为的矩形空地，则原正方形空地的边长为．16．（2023秋·湖南湘西·九年级统考期末）自从“双减”政策实施以来，各中小学开展了丰富多彩的活动．某校拟举办一次书法作品展览，要在每张长和宽分别为和的矩形相片周围镶上一圈等宽的彩纸．根据美学观点，彩纸面积为相片面积的时较美观．若所镶彩纸的宽为，根据题意，列方程为．考点5列方程-单循环和双循环类17．（2023·全国·九年级专题练习）某学习小组的成员互赠新年贺卡，共用去90张贺卡，则该学习小组成员的人数是．18．（2020秋·广东广州·九年级广州市第十三中学校考期中）某学校组织篮球比赛，实行单循环制，共有36场比赛，则参加的队数为．19．（2023秋·广东肇庆·九年级统考期末）在元旦庆祝活动中，每个参加活动的同学都给其余参加活动的同学各送1张贺卡，共送贺卡42张，设参加活动的同学有人，根据题意，可列方程是20．（2022秋·河南开封·七年级开封市第二十七中学校考开学考试）某次聚会，每两个人握手一次，总共握手次，那么有人参加聚会．考点6列方程-数字问题类21．（2023春·上海浦东新·八年级统考期末）有一个两位数，如果个位上的数比十位上的数大1，并其十位上的数的平方比个位上的数也大1，那么这个两位数是．22．（2023·全国·九年级专题练习）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少9．如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，则原来的两位数是23．（2022秋·广西钦州·九年级统考期中）两个相邻偶数，的积是，这两个偶数的和为．24．（2023·全国·九年级假期作业）一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，则这个两位数是．

考点01一元二次方程相关概念的6种常见考法归类1，一元二次方程的判断方法等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。一个方程是一元二次方程需具备三个条件：(1)是整式方程；只含有一个未知数；(3)未知数的最高次数是2.2，一元二次方程的核心要点一元二次方程中的二次项、一次项、常数项和各项系数是针对一元二次方程的一般形式而言的，确定项的系数时要注意它们的符号。一元二次方程的根的应用一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解。解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解.单循环和双循环类列方程的方法递名片、发信息属于双循环问题，此类问题一般设有x人，则递名片或发信息x(x-1)次；比赛、握手属于单循环问题，此类问题一般设有x组（或人），则比赛12x(x-1)场或握手1考点1一元二次方程的概念和一般形式考点2利用概念求参数的值或取值范围考点3利用方程的解求代数式的值考点4列方程-图形面积类考点5列方程-单循环和双循环类考点6列方程-数字问题考点1一元二次方程的概念和一般形式1．（2023春·安徽淮北·八年级统考期末）若关于x的一元二次方程的常数项是6，则一次项是（

）A． B． C．x D．1【答案】A【分析】根据可得，由此即可得．【详解】解：由题意得：，解得，则一次项是，故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般形式是，其中，是二次项，是一次项，是常数项．2．（2022秋·河北沧州·九年级校考阶段练习）把一元二次方程化成一般形式，结果正确的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据一元二次方程的一般性质（a，b，c为常数）解答即可．【详解】解：，，故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．3．（2020秋·广东惠州·九年级校考期中）方程化为一般形式后一次项系数和常数项分别是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】B【分析】根据题意，将方程化为一般形式即可求解．一元二次方程的一般形式是：（是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【详解】解：化为一般形式：，∴一次项系数和常数项分别是，故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．4．（2023·江苏·九年级假期作业）将方程化成一般形式（二次项系数为正）后，它的一次项系数与常数项分别是（）A．3， B．， C．，5 D．3，5【答案】C【分析】一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）．在一般形式中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【详解】解：将方程化成一般形式（二次项系数为正）后为，∴它的二次项系数是2，一次项系数是，常数项是5．故选：C．【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式．考点2利用概念求参数的值或取值范围5．（2023秋·全国·九年级专题练习）若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】利用一元二次方程根的定义，确定出的值即可．【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为，∴且，解得：．故选：．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式为为常数且，理解一元二次方程的定义是解题的关键．6．（2023秋·全国·九年级专题练习）关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（

）A．1 B．2 C．0或2 D．0【答案】B【分析】根据题意，得且，计算判断即可．【详解】因为关于的一元二次方程的常数项为0，所以且，解得．故选B．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式即形如，其中c叫做常数项，正确理解定义是解题的关键．7．（2023春·山东泰安·八年级校考阶段练习）若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m＝（

）A．1 B．2 C．1或2 D．0【答案】B【分析】根据一元二次方程成立的条件和常数项为0列出方程组，解方程组即可求解．【详解】若关于x的一元二次方程的常数项为0，则，解得，故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式和一元二次方程的含义，熟练掌握知识点是解题的关键．8．（2022秋·山东菏泽·九年级统考期中）若关于x的一元二次方程的常数项为0，则a的值等于（

）A．1 B．2 C．1或2 D．0【答案】B【分析】根据一元二次方程的定义及常数项为0列出不等式和方程，求出a的值即可．【详解】解：∵是关于x的一元二次方程，∴，解得：，又∵关于x的一元二次方程的常数项为0，∴，解得：，，综上可得：．故选：B【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（是常数且），特别要注意的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．考点3利用方程的解求代数式的值9．（2022秋·江苏淮安·九年级校考阶段练习）若a为方程的解，则的值为（

）A．12 B．4 C．9 D．16【答案】B【分析】直接把代入方程中得到，由此代入中进行求解即可．【详解】解：∵a为方程的解，∴，∴，∴，故选B．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．10．（2023秋·全国·九年级专题练习）若关于x的一元二次方程的解是，则的值是（）A．2022 B．2012 C．2019 D．2023【答案】D【分析】根据已知及一元二次方程解的概念可得，整体代入计算即可．【详解】解：的一元二次方程的解是，，，．故选：D．【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是学会利用整体代入的思想解决问题，属于中考常考题型．11．（2023秋·全国·九年级专题练习）在关于x的方程（）中，a，b，c满足和，则方程的根是（）A．1，0 B．1， C．1， D．无法确定【答案】B【分析】能使方程等号成立的未知数的值叫做方程的解，据此分别令，，可求此一元二次方程的根，即可求解．【详解】解：当时，，当时，，所以方程的根分别为1或．故选：B．【点睛】本题主要考查了方程的解的定义，一元二次方程的根，理解定义，找出满足等式的未知数的值是解题的关键．12．（2023秋·全国·九年级专题练习）若关于x的一元二次方程的一个根是，则的值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据一元二次方程解的定义，得出，然后再把转化为，再把代入计算即可．【详解】解：把代入方程，可得：，∴，∴．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的解、求代数式的值，利用整体代入法求解是解本题的关键．一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．考点4列方程-图形面积类13．（2023春·安徽滁州·八年级校考期中）如图，把一块长为，宽为的长方形硬纸板的四个角减去四个相同的小正方形，然后把硬纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒.若该无盖纸盒的底面积为，设剪去的小正方形的边长为，则可列方程为．

【答案】（方程形式不唯一）【分析】设剪去小正方形的边长是，则纸盒底面的长为，宽为，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设剪去小正方形的边长是，则纸盒底面的长为，宽为，根据题意得：．故答案为：（方程形式不唯一）．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．14．（2022秋·湖南永州·九年级统考期中）疫情期间，学校利用一段已有的围墙（可利用的围墙长度仅有5米）搭建一个矩形临时隔离点，如图所示，它的另外三边所围的总长度是10米，矩形隔离点的面积为12平方米，则的长度是米．

【答案】【分析】设米（），根据面积公式构建方程，求解即可．【详解】解：设米（），根据题意，，解得（舍去）或．∴米．故答案为：4．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，利用几何图形包含的等量关系构建方程是解题的关键．15．（2023春·山东济南·八年级统考期末）如图，将一块正方形空地划出部分区域阴影部分进行绿化，绿化后一边减少了，另一边减少了，剩余面积为的矩形空地，则原正方形空地的边长为．【答案】【分析】本题可设原正方形的边长为，则剩余的空地长为，宽为，根据长方形的面积公式可列出方程，进而可求出原正方形的边长．【详解】解：设原正方形的边长为，依题意有：，解得：，（不合题意，舍去），即：原正方形的边长．故答案是：．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．学生应熟记长方形的面积公式．另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键．16．（2023秋·湖南湘西·九年级统考期末）自从“双减”政策实施以来，各中小学开展了丰富多彩的活动．某校拟举办一次书法作品展览，要在每张长和宽分别为和的矩形相片周围镶上一圈等宽的彩纸．根据美学观点，彩纸面积为相片面积的时较美观．若所镶彩纸的宽为，根据题意，列方程为．【答案】（答案不唯一）【分析】设所镶彩纸的宽为，则大长方形的长和宽分别为、，再根据彩纸面积为相片面积的列出方程即可．【详解】解：设所镶彩纸的宽为，则大长方形的长和宽分别为、，由题意得，故答案为：．【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意是解题的关键．考点5列方程-单循环和双循环类17．（2023·全国·九年级专题练习）某学习小组的成员互赠新年贺卡，共用去90张贺卡，则该学习小组成员的人数是．【答案】10【分析】设该学习小组有x名成员，则小组内每名成员需送出张贺卡，由该小组互赠新年贺卡共90张，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设该学习小组有x名成员，则小组内每名成员需送出张贺卡，根据题意得：，解得：（不合题意，舍去），即该学习小组有10名成员．故答案为：10．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．18．（2020秋·广东广州·九年级广州市第十三中学校考期中）某学校组织篮球比赛，实行单循环制，共有36场比赛，则参加的队数为．【答案】9【分析】设有个球队参加比赛，那么第一个队和其他队打场球，第二个队和其他队打场，以此类推可以知道共打场，然后列出方程求解．【详解】解：设邀请个球队参加比赛，依题意得，即，，或（不合题意，舍去）．故答案为：9．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，该题和实际生活结合比较紧密，准确找到关键描述语，从而根据等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．此题还要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．19．（2023秋·广东肇庆·九年级统考期末）在元旦庆祝活动中，每个参加活动的同学都给其余参加活动的同学各送1张贺卡，共送贺卡42张，设参加活动的同学有人，根据题意，可列方程是【答案】【分析】设参加活动的同学有人，从而可得每位同学赠送的贺卡张数为张，再根据“共送贺卡张”建立方程，然后解方程即可得．【详解】设参加活动的同学有人，由题意得：．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，依据题意，正确建立方程是解题关键．20．（2022秋·河南开封·七年级开封市第二十七中学校考开学考试）某次聚会，每两个人握手一次，总共握手次，那么有人参加聚会．【答案】【分析】设有x个人参加聚会，根据握手次数列方程求解即可得到答案．【详解】解：设有x个人参加聚会，由题意可得，，解得：，（不符合题意舍去），故答案为：．【点睛】本题考查一元二次方程解决实际应用问题，解题的关键是找到等量关系式．考点6列方程-数字问题类21．（2023春·上海浦东新·八年级统考期末）有一个两位数，如果个位上的数比十位上的数大1，并其十位上的数的平方比个位上的数也大1，那么这个两位数是．【答案】23【分析】设十位上的数