第08讲中考热点01二次函数与方程、不等式求参数范围(原卷版+解析)

第08讲中考热点01二次函数与方程、不等式，求参数范围一、解答题1．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）在二次函数中，(1)若它的图象过点，则t的值为多少？(2)当时，y的最小值为，求出t的值：(3)如果都在这个二次函数的图象上，且，求m的取值范围．2．（2023·浙江·统考中考真题）已知点和在二次函数是常数，的图像上．(1)当时，求和的值；(2)若二次函数的图像经过点且点A不在坐标轴上，当时，求的取值范围；(3)求证：．3．（2023·浙江杭州·统考二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数（b，c是常数）．(1)当，时，求该函数图象的顶点坐标．(2)设该二次函数图象的顶点坐标是，当该函数图象经过点时，求n关于m的函数解析式．(3)已知，当时，该函数有最大值8，求c的值．4．（2023·浙江宁波·校考三模）如图，已知二次函数的图像经过点，点．

(1)求该二次函数的表达式及顶点坐标；(2)点在该二次函数图像上，当时，n的最大值为，最小值为1，请根据图像直接写出m的取值范围．5．（2023·浙江舟山·统考三模）在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）经过点，点B．点P在此抛物线上，其横坐标为m．(1)求此抛物线的解析式．(2)若时，，则d的取值范围是______．(3)点P和点A之间（包括端点）的函数图象称为图象G，当图象G的最大值和最小值差是5时，求m的值．6．（2023·浙江杭州·统考二模）在平面直角坐标系中，设二次函数(a是常数)．(1)当时，求函数图象的顶点坐标和对称轴．(2)若函数图象经过点，，求证：．(3)已知函数图象经过点，，点，若对于任意的都满足，求a的取值范围．7．（2023·浙江杭州·统考二模）已知函数（m，n，k为常数且）．(1)若的图象经过点，求该函数的表达式．(2)若函数的图象始终经过同一定点M．①求点M的坐标和k的值．②若，当时，总有，求的取值范围．8．（2023·浙江杭州·统考二模）已知二次函数和一次函数．(1)二次函数的图象过点，求二次函数的表达式；(2)若一次函数与二次函数的图象交于x轴上同一点，且这个点不是原点．①求证：；②若两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点，求m的值．9．（2023·浙江杭州·杭州市公益中学校考二模）在平面直角坐标系中，当和时，二次函数（，是常数，）的函数值相等．(1)若该函数的最大值为，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；(2)若该函数的图象与轴有且只有一个交点，求，的值．(3)记（2）中的抛物线为，将抛物线向上平移个单位得到抛物线，当时，抛物线的最大值与最小值之差为，求的值．10．（2023·浙江丽水·统考二模）二次函数的图象与轴交于点且．(1)当，且时，①求，的值②当时，二次函数的最小值为，求的值；(2)若，求证：．11．（2023·浙江杭州·统考二模）二次函数（a，b为常数，）的图像经过点．(1)求该二次函数图像的对称轴（结果用含a的代数式示）(2)若该函数图像经过点；①求函数的表达式，并求该函数的最值．②设是该二次函数图像上两点，其中是实数．若，求证：12．（2023·浙江杭州·统考一模）二次函数与x轴交于两点．(1)当时，求m的值．(2)当时，①求证：．②点在该抛物线上，且，试比较与的大小．13．（2023·浙江绍兴·统考一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．(1)求该抛物线的对称轴（用含t的式子表示）；(2)若点，在抛物线上，试比较m，n的大小；(3)，是抛物线上的任意两点，若对于且，都有，求t的取值范围；(4)，是抛物线上的两点，且均满足，求t的最大值．14．（2023·浙江杭州·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线存在两点，．(1)求抛物线的对称轴；（用含的式子表示）(2)记抛物线在，之间的部分为图象（包括，两点），轴上一动点，过点作垂直于轴的直线与有且仅有一个交点，求的取值范围；(3)若点也是抛物线上的点，记抛物线在，之间的部分为图象（包括，两点），记图形上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为，若，求的取值范围．二、填空题(共0分15．（2022春·九年级课时练习）抛物线与x轴有交点，则k的取值范围是___________________．16．（2020秋·九年级课时练习）抛物线y＝x2+8x﹣4与直线x＝﹣4的交点坐标是______．17．（2023·安徽淮北·校考一模）若对称轴为直线的抛物线经过点，则一元二次方程的根是_________．18．（2021春·九年级课时练习）抛物线（为常数）与坐标轴交点的个数是______．19．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②当时，；③若点，点，点均在该图象上，则；④若关于的方程的两根都是整数，则这样的值有3个．其中正确的结论有________（填序号）．三、单选题(共0分20．（2023·浙江·校联考三模）已知点为二次函数图象上的两点（不为顶点），则以下判断正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若：，则 D．若，则21．（2023·浙江杭州·统考二模）已知二次函数，，（a，b为常数，且），则下列判断正确的是（

）A．若，当时，则 B．若，当时，则C．若，当时，则 D．若，当时，则22．（2023·浙江杭州·统考二模）点在二次函数的图象上，针对n的不同取值，存在点P的个数不同，甲乙两位同学分别得到如下结论：甲：若P的个数为1，则；乙：若P的个数为2，则则下列判断中正确的是（）A．甲正确，乙正确 B．甲正确，乙错误C．甲错误，乙正确 D．甲错误，乙错误23．（2023·浙江宁波·校考二模）已知点，在抛物线（m是常数）上．若，，则下列大小比较正确的是（

）A． B． C． D．24．（2023·统考二模）已知二次函数过点，，三点．记，，下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则25．（2023·浙江杭州·统考二模）已知y关于x的二次函数，下列结论中正确的序号是（

）①当时，函数图象的顶点坐标为；②当m≠0时，函数图象总过定点：③当时，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于；④若函数图象上任取不同的两点、，则当时，函数在时一定能使成立．A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④26．（2023·浙江·模拟预测）点，在抛物线上，存在正数，使得且时，都有，则的取值范围是（

）A． B．C．或 D．或27．（2023·浙江·模拟预测）点，在抛物线上，存在正数m，使得且时，都有，则m的取值范围是（

）A． B． C．或 D．或28．（2023·浙江宁波·校考一模）已知二次函数的图象经过点，，，，若，则下列表达式正确的是（

）A． B． C． D．29．（2022·浙江宁波·校考三模）如图，二次函数与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线，则下列说法中正确的有（

）①；②；③；④；⑤方程其中一个解的取值范围为．A．1个 B．3个 C．4个 D．5个

第08讲中考热点01二次函数与方程、不等式，求参数范围一、解答题1．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）在二次函数中，(1)若它的图象过点，则t的值为多少？(2)当时，y的最小值为，求出t的值：(3)如果都在这个二次函数的图象上，且，求m的取值范围．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）将坐标代入解析式，求解待定参数值；（2）确定抛物线的对称轴，对待定参数分类讨论，若，当时，函数值最小，求得，若，当时，函数值最小，解得（不合题意，舍去）；（3）由关于对称轴对称得，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧；确定抛物线与y轴交点，此交点关于对称轴的对称点为；由且解得；分类讨论：当A，B都在对称轴左边时，，解得，当A，B分别在对称轴两侧时，，解得．【解析】（1）将代入中，得，解得，；（2）抛物线对称轴为．若，当时，函数值最小，，解得．，若，当时，函数值最小，，解得（不合题意，舍去）综上所述．（3）关于对称轴对称，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧抛物线与y轴交点为，抛物线对称轴为直线，此交点关于对称轴的对称点为且，解得．当A，B都在对称轴左边时，，解得，当A，B分别在对称轴两侧时到对称轴的距离大于A到对称轴的距离，解得综上所述或．【点睛】本题考查二次函数图象的性质、极值问题；存在待定参数的情况下，对可能情况作完备的分类讨论是解题的关键．2．（2023·浙江·统考中考真题）已知点和在二次函数是常数，的图像上．(1)当时，求和的值；(2)若二次函数的图像经过点且点A不在坐标轴上，当时，求的取值范围；(3)求证：．【答案】(1)(2)(3)见解析【分析】（1）由可得图像过点和，然后代入解析式解方程组即可解答；（2）先确定函数图像的对称轴为直线，则抛物线过点，即，然后再结合即可解答；（3）根据图像的对称性得，即，顶点坐标为；将点和分别代入表达式并进行运算可得；则，进而得到，然后化简变形即可证明结论．【解析】（1）解：当时，图像过点和，∴，解得，∴，∴．（2）解：∵函数图像过点和，∴函数图像的对称轴为直线．∵图像过点，∴根据图像的对称性得．∵，∴．（3）解：∵图像过点和，∴根据图像的对称性得．∴，顶点坐标为．将点和分别代人表达式可得①②得，∴．∴．∴．∴．∴．【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的对称性、解不等式等知识点，掌握二次函数的对称性是解答本题的关键．3．（2023·浙江杭州·统考二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数（b，c是常数）．(1)当，时，求该函数图象的顶点坐标．(2)设该二次函数图象的顶点坐标是，当该函数图象经过点时，求n关于m的函数解析式．(3)已知，当时，该函数有最大值8，求c的值．【答案】(1)(2)(3)2【分析】（1）将二次函数化为顶点式求解即可；（2）根据二次函数的性质和已知条件得到，，，，进而求解即可；（3）当时，二次函数的对称轴为直线，开口向下，分、、三种情况，利用二次函数的性质求解即可．【解析】（1）解：当，时，，∴当，时，该函数图象的顶点坐标为；（2）解：∵该函数图象经过点，∴，则，∵该二次函数图象的顶点坐标是，∴，，∴，，∴，即；（3）解：当时，二次函数的对称轴为直线，开口向下，∵，∴当即时，该函数的最大值为，即，解得，，不合题意，舍去；当即时，时，y随x的增大而减小，∴当时，y有最大值为，不合题意，舍去；当即时，时，y随x的增大而增大，∴当时，y有最大值为，解得，符合题意，综上，满足条件的c的值为2．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，利用分类讨论思想求解第（3）问是解答的关键．4．（2023·浙江宁波·校考三模）如图，已知二次函数的图像经过点，点．

(1)求该二次函数的表达式及顶点坐标；(2)点在该二次函数图像上，当时，n的最大值为，最小值为1，请根据图像直接写出m的取值范围．【答案】(1)该二次函数表达式；顶点坐标：(2)【分析】（1）根据待定系数法即可求得；（2）把代入抛物线解析式求得对应的x的值，再根据函数最大值和最小值，即可得答案．【解析】（1）解：二次函数的图像经过点，点，，解得，该二次函数为，，顶点为；（2）让，则，解得：，当时，，当时，n的最大值为，最小值为，．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．5．（2023·浙江舟山·统考三模）在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）经过点，点B．点P在此抛物线上，其横坐标为m．(1)求此抛物线的解析式．(2)若时，，则d的取值范围是______．(3)点P和点A之间（包括端点）的函数图象称为图象G，当图象G的最大值和最小值差是5时，求m的值．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；（2）先求出抛物线的顶点坐标，得出函数的最小值为，把代入求出，，根据时，，得出时，函数能够取到最小值，从而得出d的取值范围；（3）分情况讨论，当点P在顶点的右侧，即时，当点P在顶点与点A之间，即时，当点P在点A的左侧，即时，分别求出m的值即可．【解析】（1）解：把点，点B，代入抛物线得：，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）解：∵，∴抛物线的顶点坐标为，∴的最小值为，把代入得，解得：，，∵时，，∴时，函数能够取到最小值，∴；故答案为：．（3）解：当点P在顶点的右侧，即时，

此时函数能够取到最小值，∵图象G的最大值和最小值差是5，∴此时点P的纵坐标，即点P的坐标为，把代入得，，解得：或（舍去）；当点P在顶点与点A之间时，即，图象G的最大值和最小值差不可能是5；当点P在点A的左侧，即时，

此时函数的最小值为0，∵图象G的最大值和最小值差是5，∴此时点P的纵坐标，即点P的坐标为，把代入得，，解得：或（舍去）；综上分析可知，或．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求抛物线的解析式，抛物线的图象和性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．6．（2023·浙江杭州·统考二模）在平面直角坐标系中，设二次函数(a是常数)．(1)当时，求函数图象的顶点坐标和对称轴．(2)若函数图象经过点，，求证：．(3)已知函数图象经过点，，点，若对于任意的都满足，求a的取值范围．【答案】(1)顶点坐标，对称轴为直线(2)见解析(3)或【分析】（1）当时，，进而可求顶点坐标与对称轴；（2）将，，代入得，，，则，进而结论得证；（3）由题意知，二次函数图象开口向上，对称轴为直线，则在对称轴右侧，由对于任意的都满足，则点A，B，C存在如下情况：情况1，如图1，根据二次函数的图象与性质，以及，列不等式，，求解集即可；情况2，如图2，由二次函数的图象与性质可得，；，分别求解满足要求的解集即可．【解析】（1）解：当时，，∴顶点坐标，对称轴为直线；（2）证明：将，，代入得，，，∴，∴；（3）解：由题意知，二次函数图象开口向上，对称轴为直线，则在对称轴右侧，∵对于任意的都满足，∴点A，B，C存在如下情况：情况1，如图1，

由二次函数的图象与性质可得，解得，，解得，∴；情况2，如图2，

由二次函数的图象与性质可得，解得，又∵，，解得或，∴；综上所述，a的取值范围为或．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于数形结合．7．（2023·浙江杭州·统考二模）已知函数（m，n，k为常数且）．(1)若的图象经过点，求该函数的表达式．(2)若函数的图象始终经过同一定点M．①求点M的坐标和k的值．②若，当时，总有，求的取值范围．【答案】(1)(2)①，；②【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）①先求出函数经过定点，则，且在函数的图象上，由此把代入解析式中求出k的值即可；②先求出抛物线的对称轴在定点的左侧，再结合函数图象可知当时，一次函数的函数值要大于等于二次函数的函数值，由此建立不等式求解即可．【解析】（1）解：把代入中得：，解得，∴；（2）解：①在中，当时，，∴函数经过定点，∵函数的图象始终经过同一定点M，∴，且在函数的图象上，∴，∴；②∵，抛物线的对称轴为直线，∴抛物线的对称轴在定点的左侧，由①得，∵，当时，总有，∴如图所示，当时，一次函数的函数值要大于等于二次函数的函数值∴

∴，∴．【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与不等式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．8．（2023·浙江杭州·统考二模）已知二次函数和一次函数．(1)二次函数的图象过点，求二次函数的表达式；(2)若一次函数与二次函数的图象交于x轴上同一点，且这个点不是原点．①求证：；②若两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点，求m的值．【答案】(1)二次函数的表达式为；(2)①证明见解析，②【分析】（1）待定系数法，求出函数解析式即可．（2）①先求出二次函数与轴的交点坐标，进而得到一次函数与二次函数的图象的交点坐标，代入一次函数，即可得出结论；②求出二次函数的顶点坐标，代入一次函数即可得出结果．【解析】（1）解：∵二次函数过，∴，∴二次函数的表达式为，将点代入，得，∴；∴二次函数的表达式为．（2）①∵当时，解得：，∴二次函数与x轴交于和点，又一次函数与二次函数的图象交于x轴上同一点，且这个点不是原点，∴一次函数过点，∴，∴；②∵，∴，∵两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点，∵二次函数的顶点为，∴过，∴∵，∴，∴．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合应用．熟练掌握二次函数与一次函数的图象和性质，是解题的关键．9．（2023·浙江杭州·杭州市公益中学校考二模）在平面直角坐标系中，当和时，二次函数（，是常数，）的函数值相等．(1)若该函数的最大值为，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；(2)若该函数的图象与轴有且只有一个交点，求，的值．(3)记（2）中的抛物线为，将抛物线向上平移个单位得到抛物线，当时，抛物线的最大值与最小值之差为，求的值．【答案】(1)，；(2)，；(3)．【分析】（1）根据二次函数的性质及对称轴即可解答；（2）根据二次函数与轴的交点个数及二次函数的性质即可解答；（3）根据二次函数的平移规律及二次函数的性质即可解答．【解析】（1）解：∵当和时，二次函数（，是常数，）的函数值相等，∴二次函数的对称轴为，，∵该函数的最大值为，∴该函数的顶点坐标为，∴，∴由①②可得：，∴函数表达式为：；（2）解：∵该函数的图象与轴有且只有一个交点，∴一元二次方程，该函数的顶点坐标为，∴，，∴由①②可得（舍去），，∴，；（3）解：由（2）可得的解析式为：，∵将抛物线向上平移个单位得到抛物线，∴，∴当时，，∵的顶点坐标为，且当时，抛物线的最大值与最小值之差为，∴，随的增大而增大，∴，∴，∴，∴，∵，∴．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标，二次函数的最值，二次函数与轴的交点坐标，掌握二次函数的性质是解题的关键．10．（2023·浙江丽水·统考二模）二次函数的图象与轴交于点且．(1)当，且时，①求，的值②当时，二次函数的最小值为，求的值；(2)若，求证：．【答案】(1)①，；②或(2)见解析【分析】（1）①依题意，，解方程组即可求解；②根据①得出解析式，对称轴为直线，进而分，，，三种情况求得最小值，根据题意建立方程，解方程即可求解；（2）由题意得：，，将代入，得出

，得出，代入得，进而，即可得证．【解析】（1）解：①依题意，解得，②若，即，当时，，解得：（舍去）或；若，即，当时，，解得：（舍去）；若，当时，，解得：（舍去）或；综上所述：或．（2）∵，

∴

∴由题意得：，，∴，∴

∴∵∴即∴把，代入得；∴．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键．11．（2023·浙江杭州·统考二模）二次函数（a，b为常数，）的图像经过点．(1)求该二次函数图像的对称轴（结果用含a的代数式示）(2)若该函数图像经过点；①求函数的表达式，并求该函数的最值．②设是该二次函数图像上两点，其中是实数．若，求证：【答案】(1)(2)①，最大值为3；②见解析【分析】（1）首先将点代入表达式，然后利用对称轴公式求解即可；（2）①将点代入求出函数的表达式，然后转化成顶点式即可求出该函数的最值；②首先根据得到，然后表示出利用二次函数的性质求解即可．【解析】（1）将点代入得，，∴，∴二次函数，∴对称轴为；（2）①将代入得，，∴解得，∴二次函数，∴，∵，∴抛物线开口向下，∴该函数的最大值为3；②∵∴，∴∵，∴的最大值为，∴．【点睛】本题考查了根据对称性求对称轴，待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．12．（2023·浙江杭州·统考一模）二次函数与x轴交于两点．(1)当时，求m的值．(2)当时，①求证：．②点在该抛物线上，且，试比较与的大小．【答案】(1)；(2)①见解析；（2）【分析】（1）当时，，把代入求得，得到，把代入得，，解方程即可得到答案；（2）①把代入得，，由得到，进一步得，则，由解方程求出m，即可判断．②由①得，，则，把代入得，，则，由，得到,，进一步即可得到答案．【解析】（1）解：当时，，把代入得，，解得，∴，把代入得，，解得或；∵二次函数与x轴交于两点，∴；（2）①把代入得，，，∵，∴，，由得到，则，∴，∴（舍去），，∵∴．②由①得，，∴，把代入得，，，∴，∵，∴,∵∴，∴，∴，∴．【点睛】此题考查了二次函数的性质、解一元二次方程、比较函数值大小等知识，读懂题意并准确计算是解题的关键．13．（2023·浙江绍兴·统考一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．(1)求该抛物线的对称轴（用含t的式子表示）；(2)若点，在抛物线上，试比较m，n的大小；(3)，是抛物线上的任意两点，若对于且，都有，求t的取值范围；(4)，是抛物线上的两点，且均满足，求t的最大值．【答案】(1)抛物线的对称轴为直线；(2)；(3)；(4)t的最大值为5．【分析】（1）把解析式化成顶点式即可求得；（2）根据二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征即可判断；（3）分3种情况求解即可；（4）分两种情况讨论，根据题意列出关于t的不等式，解不等式即可解决问题．【解析】（1）解：∵，∴抛物线的对称轴为直线；（2）解：∵点，在抛物线上，∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，又∵，，，∴点离抛物线的对称轴距离较大，∴；（3）解：∵抛物线的开口向上，∴离抛物线的对称轴距离较大，函数值越大．当时，点P离对称轴远，不符合题意；当时，由题意得，，解得，∴时，都有；当时，点Q离对称轴远，都有．综上，当时，都有．（4）解：∵抛物线的开口向上，对称轴为直线，∴点P在抛物线对称轴的右侧，∵，①当点Q在对称轴的右侧或在对称轴上，且在点P的左侧或与点P重合时满足条件，∴且，解得；②当点Q在对称轴的左侧，且点Q到抛物线对称轴的距离小于或等于点P到对称轴的距离时满足条件，∴，，解得，综上所述：当时，满足题意．∴t的最大值为5．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，掌握性质是解题的关键．14．（2023·浙江杭州·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线存在两点，．(1)求抛物线的对称轴；（用含的式子表示）(2)记抛物线在，之间的部分为图象（包括，两点），轴上一动点，过点作垂直于轴的直线与有且仅有一个交点，求的取值范围；(3)若点也是抛物线上的点，记抛物线在，之间的部分为图象（包括，两点），记图形上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为，若，求的取值范围．【答案】(1)(2)或(3)或【分析】（1）将一般式转化为顶点式即可得解；（2）将，代入解析式，求出，画出函数图象，利用数形结合的方法求解即可；（3）分点在点的左侧；点的右侧，对称轴的左侧；以及对称轴的右侧，结合图象进行分类讨论求解即可．【解析】（1）解：，∴对称轴为：；（2）解：由可知：抛物线的顶点坐标为：，当时：，当时：，∴，∵，∴过点垂直于轴的直线：，如图：由图象可知：当或时，直线与有且仅有一个交点，∴的取值范围为：或；（3）解：∵，∴，当时，，∴①当在点的左侧，即：，时：在对称轴的左侧，随的增大而减小，∴点的纵坐标最大，点的纵坐标最小，∴，解得：或（舍掉）；②当在点的右侧，对称轴的左侧时，此时，不符合题意；③当对称轴的右侧，即时，当时，此时点的纵坐标最大，抛物线的顶点处的纵坐标最小：不符合题意；③当对称轴的右侧，即时，当时，此时点的纵坐标最大，抛物线的顶点处的纵坐标最小，∴，解得：（舍），或；∴；综上：或．【点睛】本题考查二次函数的综合应用．熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．二、填空题(共0分15．（2022春·九年级课时练习）抛物线与x轴有交点，则k的取值范围是___________________．【答案】且【分析】直接利用根的判别式进行计算，再结合，即可得到答案．【解析】解：∵抛物线与x轴有交点，∴，∴，又∵，∴，∴k的取值范围是且；故答案为：且．【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴有交点的问题，解题的关键是掌握根的判别式求参数的取值范围．16．（2020秋·九年级课时练习）抛物线y＝x2+8x﹣4与直线x＝﹣4的交点坐标是______．【答案】（﹣4，﹣20）【解析】解：∵当x=-4时，y=（-4）2+8×（-4）-4=-20，∴抛物线y=x2+8x-4与直线x=-4的交点坐标是（-4，-20）．故答案为（-4，-20）．17．（2023·安徽淮北·校考一模）若对称轴为直线的抛物线经过点，则一元二次方程的根是_________．【答案】，【分析】根据二次函数的对称性求出的对称点，即可得到答案；【解析】解：∵对称轴为直线的抛物线经过点，∴点的对称点是：，即，∴方程的根是，，故答案为：，；【点睛】本题考查抛物线的性质及二次函数与一元二次方程关系，解题的关键是根据对称性求出对称点．18．（2021春·九年级课时练习）抛物线（为常数）与坐标轴交点的个数是______．【答案】3个【分析】先令y=0，得出关于x的一元二次方程，由△＞0得方程有两个不相等的实数根，即抛物线与x轴有两个不同的交点，与y轴有一个交点．【解析】解：∵抛物线y=2x2+2（k-1）x-k（k为常数），∴当y=0时，0=2x2+2（k-1）x-k，∴△=[2（k-1）]2-4×2×（-k）=4k2+4＞0，∴0=2x2+2（k-1）x-k有两个不相等的实数根，∴抛物线y=2x2+2（k-1）x-k（k为常数）与x轴有两个交点，∴抛物线y=2x2+2（k-1）x-k（k为常数）与y轴有一个交点，所以，抛物线（为常数）与坐标轴交点有3个，故答案为：3个．【点睛】本题考查抛物线与x、y轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．19．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②当时，；③若点，点，点均在该图象上，则；④若关于的方程的两根都是整数，则这样的值有3个．其中正确的结论有________（填序号）．【答案】①②③【分析】根据图象对称轴为直线，可得；可判断①；设，可得，再由，可得当时，w取得最大值，最大值为a，可判断②；根据，可得，可判断③；根据题意可得关于的方程的根即为抛物线与直线的交点的横坐标，可判断④，即可．【解析】解：①∵图象对称轴为直线，∴，∴即，故①正确；②设，∴，∵二次函数的图象开口向下，∴，∴当时，w取得最大值，最大值为a，∴当时，，故②正确；③∵点，点，点均在该图象上，且，∴，故③正确；④∵图象过点，对称轴为直线，∴抛物线与x轴的另一个交点为，∴抛物线的解析式为，∴关于的方程的根即为抛物线与直线的交点的横坐标，∴当且抛物线与直线的有两个交点，且交点的横坐标为整数时，这样的点P有1个，∴关于的方程的两根都是整数，则这样的值有1个，故④错误．故答案为：①②③【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．三、单选题(共0分20．（2023·浙江·校联考三模）已知点为二次函数图象上的两点（不为顶点），则以下判断正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若：，则 D．若，则【答案】D【分析】根据二次函数的性质，逐一进行判断即可．【解析】解：∵，，对称轴为轴，∴在轴左侧，随的增大而增大，在轴右侧，随的增大而减小，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小；A、，不一定大于，例如时，，时，，此时，但是；故选项A错误；B、，不一定小于，例如时，，时，，此时，但是；故选项B错误；C、当，不一定大于，例如时，，时，，此时，但是；故选项C错误；D、当，即：，∴或，当时，，当时，，∴当时，；故选项D正确；故选D．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．本题可以利用特殊值法进行排除，进行判断．21．（2023·浙江杭州·统考二模）已知二次函数，，（a，b为常数，且），则下列判断正确的是（

）A．若，当时，则 B．若，当时，则C．若，当时，则 D．若，当时，则【答案】B【分析】先计算，再根据各选项给定的条件逐一分析即可得到答案．【解析】解：∵，，∴，，，∴，∴；∴；故A不符合题意；∵，，∴，，，∴；∴；故B符合题意；∵，，∴，，，∴；∴；故C不符合题意；∵，，∴，，，∴可以比0大，也可以比0小；∴，的大小不确定；故D不符合题意；故选B【点睛】本题考查的是二次函数的函数值的大小比较，因式分解的应用，熟练的利用作差的方法比较大小是解本题的关键．22．（2023·浙江杭州·统考二模）点在二次函数的图象上，针对n的不同取值，存在点P的个数不同，甲乙两位同学分别得到如下结论：甲：若P的个数为1，则；乙：若P的个数为2，则则下列判断中正确的是（）A．甲正确，乙正确 B．甲正确，乙错误C．甲错误，乙正确 D．甲错误，乙错误【答案】B【分析】根据抛物线的对称性可知，当是顶点的纵坐标时，P的个数为1，当不是顶点纵坐标时，P的个数为2，即可得出结论．【解析】解：∵，∴抛物线的顶点坐标为：，∵点在二次函数的图象上，∴当时，点为抛物线的顶点，只有1个，当时，根据抛物线的对称性，点P的个数为2；∴甲正确，乙错误；故选B．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握抛物线的对称性，是解题的关键．23．（2023·浙江宁波·校考二模）已知点，在抛物线（m是常数）上．若，，则下列大小比较正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二次函数的性质得到抛物线的开口向下，有最大值为，对称轴为直线，根据，，设的对称点为，得出，则在对称轴右侧，随的增大而减小，则当时，．【解析】解：∵，∴，∴当时，有最大值为，∴抛物线开口向下，∵抛物线对称轴为直线，设的对称点为，即，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数的图象为抛物线，则抛物线上的点的坐标满足其解析式；当，抛物线开口向下；对称轴为直线，在对称轴左侧，随的增大而增大，在对称轴右侧，随的增大而减小．24．（2023·统考二模）已知二次函数过点，，三点．记，，下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】根据题意求出m和n，再计算，再分别分析各选项即可得出真命题．【解析】解：由题意可得：∴，若，则，∴或，故A是假命题；若，则，∴，故B是假命题；若，则，故C为真命题；若，则，即，故D为假命题，故选C．【点睛】本题考查了二次函数图像上的点，最值，解题的关键是将对应点代入，计算并化简得到．25．（2023·浙江杭州·统考二模）已知y关于x的二次函数，下列结论中正确的序号是（

）①当时，函数图象的顶点坐标为；②当m≠0时，函数图象总过定点：③当时，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于；④若函数图象上任取不同的两点、，则当时，函数在时一定能使成立．A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④【答案】A【分析】求出当时，二次函数图象的顶点坐标即可判断①；当m≠0时，二次函数，当时，y的值与m无关，求出x的值，即可得到定点，即可判断②；求出，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于；即可判断③；当时，抛物线的对称轴为，则抛物线开口向下，当时，只有当对称轴在右侧时，y才随x的增大而减小，即成立，即可判断④．【解析】解：当时，二次函数，此时函数图象的顶点坐标为，故①正确；当m≠0时，二次函数，当时，y的