专题0622.1二次函数的图像和性质(知识点考点一站到底)-2022-2023学年九年级数学上册知识点考点一站到底(人教版)(原卷版+解析)

专题0622.1二次函数的图像和性质（知识点考点一站到底）知识点☀笔记1.二次函数的概念：一般地，表达式形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的函数叫做x的二次函数，其中x是自变量，ax2称为二次项，bx称为一次项，c叫做常数项．[注意]二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a，b，c是常数，a必须不为0，而b，c可以为任意实数．用二次函数表示变量之间的关系列函数表达式的步骤：①审清题意，找出实际问题中的已知量、未知量，将文字、图形语言转化为数学符号语言；②找出等量关系；③设出表示变量的字母，列出函数表达式．在一般情况下，二次函数自变量的取值范围是全体实数，但是在实际问题中，自变量的取值范围要使实际问题有意义．2.二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图象二次函数y＝a(x＋h)2＋k图象的形状图象的特点a>0a<0向x轴左右方向无限延伸是轴对称图形，对称轴为直线x＝－h在直线x＝－h的左侧是下降的，在直线x＝－h的右侧是上升的在直线x＝－h的左侧是上升的，在直线x＝－h的右侧是下降的顶点坐标是(－h，k)，顶点是图象的最低点，开口向上，图象向上无限延伸顶点坐标是(－h，k)，顶点是图象的最高点，开口向下，图象向下无限延伸[点拨](1)抛物线y＝a(x＋h)2＋k的形状由a决定，位置由h，k决定；(2)已知抛物线的顶点坐标时，可用顶点式求函数表达式．3.二次函数y＝a(x＋h)2＋k的性质二次函数y＝a(x＋h)2＋k图象的形状性质a>0a<0自变量x的取值范围是全体实数点(x1，y)与点(x2，y)关于直线x＝－h对称当x<－h时，函数y随x的增大而减小，当x>－h时，函数y随x的增大而增大当x<－h时，函数y随x的增大而增大，当x>－h时，函数y随x的增大而减小当x＝－h时，函数取得最小值，y最小值＝k，且没有最大值，即y≥k当x＝－h时，函数取得最大值，y最大值＝k，且没有最小值，即y≤k4.二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图象的平移(1)平移时与上、下、左、右平移的先后顺序无关；(2)抛物线的平移主要看顶点的移动，即在平移时抓住顶点坐标的平移规律即可；(3)抛物线y＝a(x＋h)2＋k经过反向平移也可以得到抛物线y＝ax2.5.二次函数表达式的三种形式1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)．3．交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．[点拨]三种形式之间的关系：↓因式分解eq\x(交点式：y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）)6.用待定系数法求二次函数的表达式求二次函数y＝ax2＋bx＋c的表达式，关键是求出待定系数a，b，c的值．由已知条件列出关于a，b，c的方程组，求出a，b，c的值，即可得出二次函数的表达式．考点☀梳理考点1：二次函数的定义必备知识点：1.二次函数的概念：一般地，表达式形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的函数叫做x的二次函数，其中x是自变量，ax2称为二次项，bx称为一次项，c叫做常数项．题型1列二次函数解析式解题指导：列函数表达式的步骤：①审清题意，找出实际问题中的已知量、未知量，将文字、图形语言转化为数学符号语言；②找出等量关系；③设出表示变量的字母，列出函数表达式．在一般情况下，二次函数自变量的取值范围是全体实数，但是在实际问题中，自变量的取值范围要使实际问题有意义．例1．（2022·全国·九年级课时练习）一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x的函数关系式为（

）A．y＝100（1﹣x） B．y＝100﹣x2 C．y＝100（1+x）2 D．y＝100（1﹣x）2例2．（2022·全国·九年级课时练习）如图所示，在中，，且，设直线截此三角形所得的阴影部分的面积为，则与之间的函数关系式为（）A． B． C． D．例3．（2022·全国·九年级课时练习）图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，则第n个叠放的图形中，小正方体木块总数m与n的解析式是______．练习1．（2022·广东惠州·一模）正方形的面积y与它的周长x满足的函数关系是（

）A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．反比例函数练习2．（2022·全国·九年级课时练习）在一个边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为，那么关于的函数解析式为（

）A． B．C． D．练习3．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在中，，，，现有一个动点P从点A出发，以4cm/s的速度沿AC向终点C运动，动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度沿CB向终点B运动，当有一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为ts，的面积为S，求：（1）S与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）当时，求线段PQ的长；（3）当t为何值时，？练习4．（2021·全国·九年级课时练习）（1）你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗？第5个图形中应该有多少个小圆圈？为什么？（2）完成下表：边上的小圆圈数12345每个图中小圆圈的总数（3）如果用n表示六边形边上的小圆圈数，m表示这个六边形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么？题型2判断二次函数解析式解题指导：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式例1．（2022·福建·莆田擢英中学九年级期末）下列各式中，y是关于x的二次函数的是（）A．y＝4x+2 B． C． D．y＝例2．（2021·重庆·垫江第八中学校九年级阶段练习）下列函数不是二次函数的是（

）A．y＝（x﹣1）2 B．y＝1﹣x2C．y＝﹣（x＋1）（x﹣1） D．y＝2（x＋3）2﹣2x2练习1．（2022·全国·九年级单元测试）下列函数中，是二次函数的是（

）A． B．C． D．练习2．（2022·浙江丽水·九年级期中）下列函数中，是二次函数的是（

）A．y＝＋x＋1 B．y＝x2－(x＋1)2 C．y＝－x2＋3x＋1 D．y＝3x＋1练习3．（2021·河南·油田十中九年级阶段练习）若函数是二次函数，则的值为（

）A．－3 B．3或－3 C．3 D．2或－2练习4．（2022·全国·九年级专题练习）下列函数中，哪些是二次函数？（1）y＝3x—1；（2）；（3）

；（4）；（5）；（6）题型3根据定义求参数解题指导：二次函数的二次项系数不为0，未知数的最高次数为2例1．（2022·全国·九年级单元测试）若是关于的二次函数，则的值为____．例2．（2022·全国·九年级课时练习）已知函数y=（m﹣2）x2+mx﹣3（m为常数）．（1）当m_______时，该函数为二次函数；（2）当m_______时，该函数为一次函数．练习1．（2022·全国·九年级专题练习）已知函数是关于x的二次函数，求满足条件的m的值．练习2．（2022·全国·九年级课时练习）已知函数y=（a+1）+（a﹣2）x（a为常数），求a的值：(1)函数为二次函数；(2)函数为一次函数．练习3．（2022·全国·九年级课时练习）已知函数．（1）若这个函数是一次函数，求的值（2）若这个函数是二次函数，求的取值范围．考点2：二次函数的图像及性质必备知识点：题型1化一般式为顶点式解题指导：利用配方法化一般式为顶点式例1．（2022·浙江金华·八年级期末）已知抛物线的最低点的纵坐标为，则抛物线的表达式是（

）A． B． C． D．例2．（2021·天津市晟楷中学九年级阶段练习）把二次函数用配方法化成的形式是________．练习1．（2022·新疆·和硕县第二中学九年级期末）抛物线的顶点坐标为_________．练习2．（2021·辽宁大连·九年级期末）将二次函数化为的形式为________．练习3．（2022·陕西安康·九年级期末）已知抛物线，求其对称轴和顶点坐标．练习4．（2022·全国·九年级课时练习）已知函数是二次函数．(1)求m的值；(2)用配方法确定该函数的顶点坐标和对称轴．题型2二次函数的平移规律应用解题指导：只要两个函数的a相同，就可以通过平移重合。将二次函数一般式化为顶点式y=a(x－h)2+k，平移规律：左加右减，对x；上加下减，直接加减例1．（2021·黑龙江·兰西县第三中学九年级期中）将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是（

）A． B． C． D．例2．（2022·甘肃·民勤县第六中学九年级期末）在同一平面直角坐标系内，将函数的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到图象的顶点坐标是（）A． B． C．(3，-2) D．(3，2)练习1．（2022·新疆·乌鲁木齐市第七十四中学九年级期末）在同一平面直角坐标系内，将函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到的图象的顶点坐标是()A．(2，－4) B．(4，－2) C．(2，－1) D．(－2，－1)练习2．（2021·湖北·襄阳市樊城区青泥湾中学九年级阶段练习）要得到抛物线，可以将抛物线（

）A．向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度 B．向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度C．向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度 D．向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度练习3．（2021·河南·油田十中九年级阶段练习）把二次函数的图像向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的解析式为，则______．练习4．（2021·浙江·温州外国语学校九年级期中）将过点（2，2）的抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，得到，则________．题型3二次函数图像与系数关系解题指导：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与系数的关系判定结论：a：根据开口方向：开口向上a＞0，开口向下a＜0b：结合开口方向和对称轴：左同右异：对称轴在Y轴左侧时，a、b符号相同，对称轴在Y轴右侧时，a、b符号相反c：根据图像与Y轴交点的纵坐标：交点纵坐标为负数时，c＜0，交点纵坐标为正数时，c＞0b：根据对称轴方程：，带入化简变形即可c：联立对称轴方程：和一个特殊值带入，替换掉b然后化简变形即可c：联立对称轴方程：和一个特殊值带入，替换掉a然后化简变形即可b、c：①：遇到b²-4ac时，运用函数与X轴交点个数判断：当有两个交点时：b²-4ac＞0，当有一个交点时：b²-4ac=0，当没有交点时：b²-4ac＜0②：遇到a+b+c、4a+2b+c、9a+3b+c.....等时，代入特殊值x=±1、±2、±3....即可③：遇到abc时，运用上面单独a、b、c的正负判断即可。例1．（2021·甘肃·庄浪县阳川中学九年级期中）如图是二次函数的图像一部分，其对称轴是x=-1，且过点（-3，0），说法：①abc<0；②2a-b=0；③4a+2b+c<0；④若、是抛物线上两点，则；其中正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4例2．（2022·甘肃·张掖市第一中学九年级期末）如图所示的二次函数的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）；（2）c＞1；（3）；（4）．你认为其中错误的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．1个练习1．（2022·江苏南通·八年级期末）已知二次函数的图象如图所示，有以下4个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个练习2．（2022·四川资阳·中考真题）如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点．有以下四个结论：①，②，③，④若顶点坐标为，当时，y有最大值为2、最小值为，此时m的取值范围是．其中正确结论的个数是(

)A．4个 B．3个 C．2个 D．1个练习3．（2022·广东·湛江一中九年级课时练习）已知二次函数的图像如图所示，有下列四个结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个练习4．（2022·新疆·乌鲁木齐市第七十四中学九年级期末）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示：①a＞b＞c，②一次函数y＝ax＋c的图象不经过第四象限，③m(am＋b)＋b＜a(m是任意实数)，④3b＋2c＞0，⑤a+b+c＞0其中正确的结论有___(填序号)．题型4函数图像共存问题解题指导：利用函数图像与系数关系，判断共存函数图像的对应系数的正负，若一致则共存，不一致则不共存例1．（2022·甘肃·民勤县第六中学九年级期末）在同一直角坐标系中，函数和函数(a是常数，且a≠0)的图象可能是（）A． B．C． D．例2．（2022·重庆实验外国语学校八年级期末）已知a是不为0的常数，函数y＝ax和函数y＝﹣ax2+a在同一平面直角坐标系内的图象可以是（

）A． B．C． D．练习1．（2022·湖北湖北·九年级专题练习）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（

）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限练习2．（2022·全国·九年级阶段练习）已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象可能正确的是（

） B． C．D．练习3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，一次函数与二次函数的图像相交于、两点，则函数的图像可能是（

）A．B．C． D．练习4．（2022·全国·九年级课时练习）已知，在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（

）A．B．C．D．题型5二次函数对称性的运用例1．（2022·甘肃·张掖育才中学九年级期末）二次函数（a≠0）中x，y的部分对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…0﹣4﹣6﹣6﹣4…则该二次函数图象的对称轴为（）A．y轴 B．直线x＝ C．直线x＝1 D．直线x＝练习1．（2022·江苏南通·八年级期末）若，是抛物线上的两个点，则它的对称轴是（

）A．直线 B．直线 C．直线 D．直线练习2．（2022·甘肃·张掖市第一中学九年级期末）二次函数的对称轴是直线________；函数的图象的对称轴是直线________．题型6二次函数增减性运用例1．（2021·安徽省六安皋城中学九年级阶段练习）已知抛物线过A（－2，），B（－3，），C（2，）三点，则y1、y2、y3大小关系是（

）A． B． C． D．例2．（2022·浙江温州·九年级阶段练习）已知二次函数，，则下列结论一定正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则练习1．（2022·甘肃·甘州中学九年级期末）点（-1，），（3，），（5，）均在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（

）A．>> B．>= C．>> D．=>练习2．（2021·湖北咸宁·九年级阶段练习）若点A（﹣3，），B（1，），C（m，）在抛物线y＝ax2+4ax+c上，且＜＜，则m的取值范围是（）A．﹣3＜m＜1 B．﹣5＜m＜﹣1或﹣3＜m＜1C．m＜﹣3或m＞1 D．﹣5＜m＜﹣3或﹣1＜m＜1练习3．（2021·云南·富源县第七中学九年级期中）若点A（－4，y1），B（－1，y2），C（1，y3）都是二次函数的图象上的点，则（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y2练习4．（2022·江苏南通·八年级期末）二次函数的图象过点，，若当时．随着的增大而减小，则实数的取值范围是______．题型7二次函数最值问题例1．（2022·甘肃·凉州区中佳育才学校九年级期末）已知二次函数y=x2－4x－m的最小值是1，则m=_______．例2．（2022·安徽宿州·九年级期末）已知y关于x的函数，点P为抛物线顶点．（1）当P点最高时，______．（2）在（1）的条件下，当时，函数有最小值8，则_____．练习1．（2022·全国·九年级期中）已知二次函数，当时，函数的最大值为8，则的值是____．练习2．（2019·河南洛阳·九年级期末）求二次函数的最值．练习3．（2022·全国·九年级期中）在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+px+q的图象过点（－2，4），（1，－2）．(1)求该二次函数的解析式；(2)当－1≤x≤3时，求y的最大值与最小值的差；练习4．（2022·河南洛阳·九年级期末）已知抛物线．(1)写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)当为何值时，函数取得最大值，请求出这个最大值．题型8二次函数解析式求法解题指导：二次函数表达式的类型及适用情况表达式类型表达式适用情况一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)已知图象上三个任意点的坐标y＝ax2＋bx(a≠0)图象经过原点，又知另两个任意点的坐标顶点式y＝ax2(a≠0)已知顶点坐标为(0，0)，又知另一个任意点的坐标y＝ax2＋k(a≠0)已知顶点坐标为(0，k)，又知另一个任意点的坐标y＝a(x＋h)2(a≠0)已知顶点坐标为(－h，0)，又知另一个任意点的坐标y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)已知顶点坐标为(－h，k)，又知另一个任意点的坐标交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)已知图象与x轴的两个交点坐标(x1，0)，(x2，0)，又知另一个任意点的坐标例1．（2021·安徽·霍邱县第三中学九年级阶段练习）在直角坐标系中，抛物线经过点A(0，4)、B(1，0)、C(5，0)，求抛物线的解析式和顶点E坐标．例2．（2022·浙江金华·八年级期末）求分别满足下列条件的二次函数解析式：(1)二次函数图像经过三点．(2)二次函数图像的顶点坐标是，并经过点．练习1．（2022·江苏·扬州中学教育集团树人学校九年级期末）已知二次函数的图象以A（1，－4）为顶点，且过点B（3，0）(1)求该函数的关系式；(2)求该函数图象与两坐标轴的交点坐标；练习2．（2022·全国·九年级专题练习）根据下列已知条件，求二次函数的解析式．(1)已知二次函数的顶点在原点，且过另一点(2，－4)，则二次函数的解析式为；(2)已知二次函数的顶点在y轴上，且纵坐标为2，过另一点(1，4)，则二次函数的解析式为；(3)已知二次函数的顶点在x轴上，且横坐标为2，过另一点(1，－4)，则二次函数的解析式为；(4)已知二次函数的图象经过点(－3，0)，(1，0)，(0，3)，则二次函数的解析式为；(5)已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)，则二次函数的解析式为；(6)已知二次函数图象经过点A(3，0)，对称轴为直线x＝1，与y轴正半轴交于点C，且OC＝2，则二次函数的解析式为；(7)将抛物线y＝4x2向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为．专题0622.1二次函数的图像和性质（知识点考点一站到底）知识点☀笔记1.二次函数的概念：一般地，表达式形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的函数叫做x的二次函数，其中x是自变量，ax2称为二次项，bx称为一次项，c叫做常数项．[注意]二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a，b，c是常数，a必须不为0，而b，c可以为任意实数．用二次函数表示变量之间的关系列函数表达式的步骤：①审清题意，找出实际问题中的已知量、未知量，将文字、图形语言转化为数学符号语言；②找出等量关系；③设出表示变量的字母，列出函数表达式．在一般情况下，二次函数自变量的取值范围是全体实数，但是在实际问题中，自变量的取值范围要使实际问题有意义．2.二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图象二次函数y＝a(x＋h)2＋k图象的形状图象的特点a>0a<0向x轴左右方向无限延伸是轴对称图形，对称轴为直线x＝－h在直线x＝－h的左侧是下降的，在直线x＝－h的右侧是上升的在直线x＝－h的左侧是上升的，在直线x＝－h的右侧是下降的顶点坐标是(－h，k)，顶点是图象的最低点，开口向上，图象向上无限延伸顶点坐标是(－h，k)，顶点是图象的最高点，开口向下，图象向下无限延伸[点拨](1)抛物线y＝a(x＋h)2＋k的形状由a决定，位置由h，k决定；(2)已知抛物线的顶点坐标时，可用顶点式求函数表达式．3.二次函数y＝a(x＋h)2＋k的性质二次函数y＝a(x＋h)2＋k图象的形状性质a>0a<0自变量x的取值范围是全体实数点(x1，y)与点(x2，y)关于直线x＝－h对称当x<－h时，函数y随x的增大而减小，当x>－h时，函数y随x的增大而增大当x<－h时，函数y随x的增大而增大，当x>－h时，函数y随x的增大而减小当x＝－h时，函数取得最小值，y最小值＝k，且没有最大值，即y≥k当x＝－h时，函数取得最大值，y最大值＝k，且没有最小值，即y≤k4.二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图象的平移(1)平移时与上、下、左、右平移的先后顺序无关；(2)抛物线的平移主要看顶点的移动，即在平移时抓住顶点坐标的平移规律即可；(3)抛物线y＝a(x＋h)2＋k经过反向平移也可以得到抛物线y＝ax2.5.二次函数表达式的三种形式1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)．3．交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．[点拨]三种形式之间的关系：↓因式分解eq\x(交点式：y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）)6.用待定系数法求二次函数的表达式求二次函数y＝ax2＋bx＋c的表达式，关键是求出待定系数a，b，c的值．由已知条件列出关于a，b，c的方程组，求出a，b，c的值，即可得出二次函数的表达式．考点☀梳理考点1：二次函数的定义必备知识点：1.二次函数的概念：一般地，表达式形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的函数叫做x的二次函数，其中x是自变量，ax2称为二次项，bx称为一次项，c叫做常数项．题型1列二次函数解析式解题指导：列函数表达式的步骤：①审清题意，找出实际问题中的已知量、未知量，将文字、图形语言转化为数学符号语言；②找出等量关系；③设出表示变量的字母，列出函数表达式．在一般情况下，二次函数自变量的取值范围是全体实数，但是在实际问题中，自变量的取值范围要使实际问题有意义．例1．（2022·全国·九年级课时练习）一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x的函数关系式为（

）A．y＝100（1﹣x） B．y＝100﹣x2 C．y＝100（1+x）2 D．y＝100（1﹣x）2【答案】D【分析】根据两年后机器价值＝机器原价值×（1﹣折旧百分比）2可得函数解析式．【详解】解：根据题意知y＝100（1﹣x）2，故选：D．【点睛】本题主要考查根据实际问题列二次函数关系式，根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图像要根据自变量的取值范围来确定．例2．（2022·全国·九年级课时练习）如图所示，在中，，且，设直线截此三角形所得的阴影部分的面积为，则与之间的函数关系式为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】中，，且，可得；再由平行线的性质得出，即，进而证明，最后根据三角形的面积公式，求出与之间的函数关系式．【详解】解：如图所示，∵中，，且，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，即：．故选：B．【点睛】本题主要考查的是二次函数解析式的求法，考查了等腰直角三角形的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形的面积等知识点．解题的关键是能够找到题目中的有关面积的等量关系．例3．（2022·全国·九年级课时练习）图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，则第n个叠放的图形中，小正方体木块总数m与n的解析式是______．【答案】m=2n2−n【分析】图（1）中只有一层，有（4×0＋1）一个正方形，图（2）中有两层，在图（1）的基础上增加了一层，第二层有（4×1＋1）个．图（3）中有三层，在图（2）的基础长增加了一层，第三层有（4×2＋1），依此类推出第n层正方形的个数，即可推出当有n层时总的正方形个数．【详解】解：经分析，可知：第一层的正方形个数为（4×0＋1），第二层的正方形个数为（4×1＋1），第三层的正方形个数为（4×2＋1），……第n层的个数为：[4×（n−1）＋1]，第n个叠放的图形中，小正方体木块总数m为：1＋（4×1＋1）＋（4×2＋1）＋…＋[4×（n−2）＋1]＋[4×（n−1）＋1]＝1＋4×1＋1＋4×2＋1＋…＋4×（n−2）＋1＋4×（n−1）＋1＝n＋4（1＋2＋3＋…＋n−2＋n−1）＝n＋4＝n＋2n（n−1）＝2n2−n．即：m=2n2−n．故答案为：m=2n2−n【点睛】本题解题关键是根据图形的变换总结规律，由图形变换得规律：每次都比上一次增加一层，增加第n层时小正方形共增加了4（n−1）＋1个，将n层的小正方形个数相加即可得到总的小正方形个数．练习1．（2022·广东惠州·一模）正方形的面积y与它的周长x满足的函数关系是（

）A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．反比例函数【答案】C【分析】由周长，先求出正方形的边长，然后结合面积公式，即可得到答案．【详解】解：∵正方形的周长为x，∴正方形的边长为，∴正方形的面积；故选：C．【点睛】本题考查了函数表达式，解题的关键是掌握正方形的面积和周长公式．练习2．（2022·全国·九年级课时练习）在一个边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为，那么关于的函数解析式为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积得出y与x的函数关系式即可．【详解】解：设剩下部分的面积为y，则：y=-x2+4（0＜x＜2），故选：C．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积得出是解题关键．练习3．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在中，，，，现有一个动点P从点A出发，以4cm/s的速度沿AC向终点C运动，动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度沿CB向终点B运动，当有一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为ts，的面积为S，求：（1）S与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）当时，求线段PQ的长；（3）当t为何值时，？【答案】（1）；（2）；（3）当t为2或3时，．【分析】（1）由点P点Q的运动速度和运动时间，又知AC，BC的长，可将CP、CQ用含t的表达式求出，代入直角三角形面积公式求解即可；（2）当时，代入（1）中公式可得PC，CQ的长，再由勾股定理即可求出PQ；（3）结合（1）得到的关系式，代入条件，列出方程求解即可．【详解】解：（1）由条件可得：，，∴，∴，；（2）当时，，，∴；（3）由题意可得：，整理得：，解得：，，∴当t为2或3时，．【点睛】本题主要考查了勾股定理的运用，方程思想是解决本题的关键．练习4．（2021·全国·九年级课时练习）（1）你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗？第5个图形中应该有多少个小圆圈？为什么？（2）完成下表：边上的小圆圈数12345每个图中小圆圈的总数（3）如果用n表示六边形边上的小圆圈数，m表示这个六边形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么？【答案】（1）第1个图形：1个；第2个图形：7个；第3个图形：19个；第4个图形：37个；第5个图形：61个，理由见解析；（2）1，7，19，37，61；（3）【分析】（1）首先，观察每个图形的特点，算出每一个图形中的小圆圈数，据此推过推算即可得到第5个图中小圆圈的个数；（2）直接将（1）算出的结果填入下列表格即可；（3）接下来通过对表格进行分析，即可得到每一个图形的小圆圈数与该图形一条边上的小圆圈数之间的关系．【详解】（1）观察每个图形的特点，就可以算出第1个图形的小圆圈有1个，第2个图形的小圆圈有2+3+2=7个，第3个图形的小圆圈有3+4+5+4+3=19个，第4个图形的小圆圈有4+5+6+7+6+5+4=37个，由此可推知第5个图形的小圆圈有5+6+7+8+9+8+7+6+5=61个；（2）将（1）算出的结果填入下列表格，如下表所示，边上的小圆圈数12345每个图中小圆圈的总数17193761（3）结合（1）（2）可知，与之间的函数关系为：首尾相加得．【点睛】本题主要考察根据图形和数字寻找规律的知识.解决此类找规律的题目一般从特殊的数据入手，根据前后式子之间的异同推断出规律，再利用发现的规律解决相关问题．题型2判断二次函数解析式解题指导：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式例1．（2022·福建·莆田擢英中学九年级期末）下列各式中，y是关于x的二次函数的是（）A．y＝4x+2 B． C． D．y＝【答案】C【分析】根据形如（a，b，c为常数，a≠0）的函数是二次函数，判断即可．【详解】解：A．y=4x+2，是一次函数，故A不符合题意；B．，当a≠0时，才是二次函数，故B不符合题意；C．，是二次函数，故C符合题意；D．y＝，等号右边是分式，不是二次函数，故D不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的一般形式是解题的关键．例2．（2021·重庆·垫江第八中学校九年级阶段练习）下列函数不是二次函数的是（

）A．y＝（x﹣1）2 B．y＝1﹣x2C．y＝﹣（x＋1）（x﹣1） D．y＝2（x＋3）2﹣2x2【答案】D【分析】根据二次函数的定义判断即可．【详解】A．y＝（x﹣1）2是二次函数；B．y＝1﹣x2是二次函数C．y＝﹣（x＋1）（x﹣1）=，是二次函数；D．y＝2（x＋3）2﹣2x2，不是二次函数，故选：D．【点睛】本题考查二次函数的定义，解题关键是理解二次函数的定义．练习1．（2022·全国·九年级单元测试）下列函数中，是二次函数的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据二次函数的定义，一般地，形如的函数叫做二次函数，逐一分析判断即可得出正确选项．【详解】A、是二次函数，符合题意；B、是一次函数，不合题意；C、是反比例函数，不合题意；D、不是二次函数，不合题意；故选A．【点睛】本题考查的是二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是本题的关键．练习2．（2022·浙江丽水·九年级期中）下列函数中，是二次函数的是（

）A．y＝＋x＋1 B．y＝x2－(x＋1)2 C．y＝－x2＋3x＋1 D．y＝3x＋1【答案】C【分析】根据二次函数的定义逐项分析即可，二次函数的定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数．【详解】A.y＝＋x＋1，不是二次函数，故该选项不正确，不符合题意；

B.y＝x2－(x＋1)2，不是二次函数，故该选项不正确，不符合题意；

C.y＝－x2＋3x＋1，是二次函数，故该选项正确，符合题意；D.y＝3x＋1，不是二次函数，故该选项不正确，不符合题意；故选C【点睛】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．练习3．（2021·河南·油田十中九年级阶段练习）若函数是二次函数，则的值为（

）A．－3 B．3或－3 C．3 D．2或－2【答案】C【分析】根据二次函数的定义和已知条件得出且m＋3≠0，再求出答案即可．【详解】解：∵函数是二次函数，∴且m＋3≠0，解得：m=3，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的定义，注意：形如（a、b、c为常数，a≠0）的函数，叫二次函数．练习4．（2022·全国·九年级专题练习）下列函数中，哪些是二次函数？（1）y＝3x—1；（2）；（3）

；（4）；（5）；（6）【答案】（2）（4）是二次函数【分析】根据二次函数的定义，即可求解．【详解】解∶（1）不是二次函数，因为自变量的最高次数是1．（2）是二次函数，因为符合二次函数的概念．（3）不是二次函数，因为自变量的最高次数是3．（4）是二次函数，因为符合二次函数的概念．（5）不是二次函数，因为原式整理后为y=－x．（6）不是二次函数，因为x－2为分式，不是整式．故（2）（4）是二次函数．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如（其中a、b、c均为常数，且）的函数关系称为二次函数是解题的关键．题型3根据定义求参数解题指导：二次函数的二次项系数不为0，未知数的最高次数为2例1．（2022·全国·九年级单元测试）若是关于的二次函数，则的值为____．【答案】2【分析】利用二次函数定义进行解答即可．【详解】解：由题意可知

m2-2=2，m+2≠0，解得：m=2．故答案为：2．【点睛】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握二次函数定义，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．例2．（2022·全国·九年级课时练习）已知函数y=（m﹣2）x2+mx﹣3（m为常数）．（1）当m_______时，该函数为二次函数；（2）当m_______时，该函数为一次函数．【答案】

≠2

=2【分析】（1）根据二次函数的定义，二次项的系数不能为0，列出不等式，求解得出m的取值范围；（2）根据一次函数的定义，一次项的系数不能为零，且二次项的系数应该为0，据此求解得出m的值；【详解】解：（1）∵函数y=（m﹣2）x2+mx﹣3为二次函数，∴m﹣2≠0，∴m≠2．（2）∵函数y=（m﹣2）x2+mx﹣3为一次函数，∴m﹣2=0，m≠0，∴m=2．故答案为：（1）≠2；（2）=2【点睛】本题考查的是二次函数的定义，一次函数的定义，利用函数的定义建立方程或不等式是解本题的关键．练习1．（2022·全国·九年级专题练习）已知函数是关于x的二次函数，求满足条件的m的值．【答案】5【分析】根据二次函数的定义，即可求解．【详解】解∶根据题意得∶，且，解得m=5，即满足条件的m的值为5．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如（其中a、b、c均为常数，且）的函数关系称为二次函数是解题的关键．练习2．（2022·全国·九年级课时练习）已知函数y=（a+1）+（a﹣2）x（a为常数），求a的值：(1)函数为二次函数；(2)函数为一次函数．【答案】(1)a=1(2)a=0或﹣1【分析】（1）直接利用二次函数的定义得出a2+1=2，a+1≠0得出即可；（2）利用一次函数的定义分别求出即可．(1)当时，函数为二次函数，解得：a=±1，a≠-1，∴a=1；(2)当时，函数为一次函数，解得：a=0，当a+1=0，即a=﹣1时，函数为一次函数，所以，当函数为二次函数时，a=1，当函数为一次函数时，a=0或﹣1．【点睛】此题主要考查了二次函数与一次函数的定义，正确把握相关定义是解题关键．练习3．（2022·全国·九年级课时练习）已知函数．（1）若这个函数是一次函数，求的值（2）若这个函数是二次函数，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据一次函数的定义即可解决问题；（2）根据二次函数的定义即可解决问题；【详解】解：（1）由题意得，解得；（2）由题意得，，解得且．【点睛】本题考查一次函数的定义、二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本概念，（1）根据二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零；（2）根据二次项的系数不等于零，可得方程，根据解方程，可得答案．考点2：二次函数的图像及性质必备知识点：题型1化一般式为顶点式解题指导：利用配方法化一般式为顶点式例1．（2022·浙江金华·八年级期末）已知抛物线的最低点的纵坐标为，则抛物线的表达式是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据顶点的纵坐标求出m的值，再代入计算即可．【详解】解：∵抛物线的最低点的纵坐标为，∴，即∴，当m=1时，抛物线为．故选：B．【点睛】本题考查抛物线的顶点坐标，解题关键是掌握抛物线的顶点坐标为．例2．（2021·天津市晟楷中学九年级阶段练习）把二次函数用配方法化成的形式是________．【答案】【分析】利用完全平方公式进行配方即可得．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查了将二次函数的解析式化成顶点式，熟练掌握配方法是解题关键．练习1．（2022·新疆·和硕县第二中学九年级期末）抛物线的顶点坐标为_________．【答案】【分析】先将二次函数化为顶点式，再根据二次函数顶点式直接可得答案．【详解】解：∵，∴抛物线的顶点坐标是，故答案为：．【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．练习2．（2021·辽宁大连·九年级期末）将二次函数化为的形式为________．【答案】【分析】运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可．【详解】＝故答案为【点睛】本题考查二次函数的三种形式，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．练习3．（2022·陕西安康·九年级期末）已知抛物线，求其对称轴和顶点坐标．【答案】抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为【分析】把函数解析式整理成顶点形式，然后写出对称轴和顶点坐标即可．【详解】解：∵，∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为．【点睛】本题考查了抛物线的对称轴和顶点坐标，熟知二次函数的性质是解题的关键．练习4．（2022·全国·九年级课时练习）已知函数是二次函数．(1)求m的值；(2)用配方法确定该函数的顶点坐标和对称轴．【答案】(1)m＝－1(2)顶点为，对称轴为直线x＝1【分析】（1）根据二次函数表达式的性质：最高次为2次，且二次项系数不等于0即可求出m的值；（2）用配方法将二次函数表达式改写成顶点式即可确定函数的顶点坐标和对称轴．（1）由题意可知：，解得：m＝－1（2）∴顶点为，对称轴为：直线x＝1【点睛】本题主要考查了二次函数表达式的性质和用配方法将二次函数表达式改写成顶点式，熟练地根据顶点式写出二次函数的顶点坐标和对称轴是解题的关键．题型2二次函数的平移规律应用解题指导：只要两个函数的a相同，就可以通过平移重合。将二次函数一般式化为顶点式y=a(x－h)2+k，平移规律：左加右减，对x；上加下减，直接加减例1．（2021·黑龙江·兰西县第三中学九年级期中）将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先确定出原抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加，求出新图象的顶点坐标，然后顶点式写出新抛物线解析式即可得答案．【详解】∵抛物线的顶点坐标为（0，0），∴向右平移2个单位，再向上平移1个单位后的图象的顶点坐标为（2，1），∴得到新抛物线的解析式是，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．例2．（2022·甘肃·民勤县第六中学九年级期末）在同一平面直角坐标系内，将函数的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到图象的顶点坐标是（）A． B． C．(3，-2) D．(3，2)【答案】C【分析】根据二次函数图象平移的方法即可得出结论．【详解】解：抛物线向右平移3个单位，然后向下平移2个单位，则平移后抛物线的解析式为：，顶点坐标为：(3，-2)．故选：C．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，解题的关键是熟知“上加下减，左加右减”的法则．练习1．（2022·新疆·乌鲁木齐市第七十四中学九年级期末）在同一平面直角坐标系内，将函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到的图象的顶点坐标是()A．(2，－4) B．(4，－2) C．(2，－1) D．(－2，－1)【答案】C【分析】利用二次函数的性质，先确定抛物线的顶点坐标为（0，0），再利用点的平移规律得到顶点平移后对应点的坐标，从而得到平移后抛物线的顶点坐标．【详解】解：函数的顶点坐标为（0，0），点（0，0）向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位是点（2，−1），即平移后抛物线的顶点坐标是（2，−1）．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．练习2．（2021·湖北·襄阳市樊城区青泥湾中学九年级阶段练习）要得到抛物线，可以将抛物线（

）A．向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度 B．向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度C．向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度 D．向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度【答案】C【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．【详解】解：∵y=2(x-4)2+1的顶点坐标为（4，1），y=2x2的顶点坐标为（0，0），∴将抛物线y=2x2向右平移4个单位，再向上平移1个单位，可得到抛物线y=2(x-4)2+1．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解答时注意抓住点的平移规律和求出关键点顶点坐标．练习3．（2021·河南·油田十中九年级阶段练习）把二次函数的图像向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的解析式为，则______．【答案】7【分析】将平移后的函数解析式化为顶点式，根据平移方式倒推出平移前的函数解析式，得出相应的系数，即可求解．【详解】解：平移后的函数解析式为：，根据平移方式可知，平移后的图像向上平移2个单位，向左平移3个单位可得原图像，∴原函数解析式为：，∴，，∴，故答案为：7．【点睛】此题主要考查根据抛物线的平移规律求参数，解题的关键是熟练掌握抛物线的平移规律：左加右减，上加下减．练习4．（2021·浙江·温州外国语学校九年级期中）将过点（2，2）的抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，得到，则________．【答案】－3【分析】由题意可知，抛物线y＝＋bx＋c过点（0，－3），代入y＝＋bx＋c即可求得c．【详解】解：点（2，2）向左平移2个单位，再向下平移5个单位得到（0，－3）可知，抛物线y＝＋bx＋c过点（0，－3）代入可得c＝－3故答案为：－3【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化，平移，二次函数图像上点的坐标特征，能够理解题意，明确抛物线y＝＋bx＋c过点（0，－3）是解题的关键．题型3二次函数图像与系数关系解题指导：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与系数的关系判定结论：a：根据开口方向：开口向上a＞0，开口向下a＜0b：结合开口方向和对称轴：左同右异：对称轴在Y轴左侧时，a、b符号相同，对称轴在Y轴右侧时，a、b符号相反c：根据图像与Y轴交点的纵坐标：交点纵坐标为负数时，c＜0，交点纵坐标为正数时，c＞0b：根据对称轴方程：，带入化简变形即可c：联立对称轴方程：和一个特殊值带入，替换掉b然后化简变形即可c：联立对称轴方程：和一个特殊值带入，替换掉a然后化简变形即可b、c：①：遇到b²-4ac时，运用函数与X轴交点个数判断：当有两个交点时：b²-4ac＞0，当有一个交点时：b²-4ac=0，当没有交点时：b²-4ac＜0②：遇到a+b+c、4a+2b+c、9a+3b+c.....等时，代入特殊值x=±1、±2、±3....即可③：遇到abc时，运用上面单独a、b、c的正负判断即可。例1．（2021·甘肃·庄浪县阳川中学九年级期中）如图是二次函数的图像一部分，其对称轴是x=-1，且过点（-3，0），说法：①abc<0；②2a-b=0；③4a+2b+c<0；④若、是抛物线上两点，则；其中正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由开口方向确定a的符号；由抛物线与y轴的交点确定c的符号；由对称轴确定b的符号，判断①③；利用图像得出与x轴的另一交点，进而得出a+b+c=0，即可判断②，x=2时，y＞0，判断④；根据函数增减性，判断⑤．【详解】∵二次函数的图像开口向上，∴a＞0，∵二次函数的图像交y轴的负半轴于一点，∴c＜0，∵对称轴是直线x=-1，∴-=-1，∴b=2a＞0，∴abc＜0，2a-b=0，故①②正确；∵抛物线的对称轴为x=-1，且过点（-3，0），∴抛物线与x轴另一交点为（1，0）．∵当x＞-1时，y随x的增大而增大，∴当x=2时y＞0，即4a+2b+c＞0，故③错误；∵关于直线x=-1的对称点的坐标是，又∵当x＞-1时，y随x的增大而增大，3＞，∴，故④正确．综合上述可得：①②④正确，共计3个．故选：C．【点睛】考查了二次函数图像与系数的关系，解题关键是理解：二次函数（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）．抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点．例2．（2022·甘肃·张掖市第一中学九年级期末）如图所示的二次函数的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）；（2）c＞1；（3）；（4）．你认为其中错误的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．1个【答案】D【分析】由抛物线与x轴交点情况判断与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与1的关系，然后根据对称轴及a的范围推理的符号，根据当x＝1的函数值判断的符号．【详解】解：（1）根据图示知，该函数图象与x轴有两个交点，∴；故本选项正确；（2）由图象知，该函数图象与y轴的交点在点（0，1）以下，∴；故本选项错误；（3）由图示，知对称轴；又函数图象的开口方向向下，∴，∴，即，故本选项正确；（4）根据图示可知，当x＝1，即，∴；故本选项正确；综上所述，其中错误的是（2），共有1个；故选：D．【点睛】此题主要考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用是解题的关键．练习1．（2022·江苏南通·八年级期末）已知二次函数的图象如图所示，有以下4个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置，与轴的交点即可判断①；当时，，即可判断②；当时，，即可判断③；根据抛物线与轴有2个交点，即可判断④．【详解】解：①抛物线开口向下，，∵，∴，，抛物线与轴的交点在轴的正半轴，，，故错误；②观察函数图象，可知：当时，，，故错误．③抛物线的对称轴为，抛物线与轴的交点在轴的正半轴，当时，，，故正确；④抛物线与轴有2个交点，△，故正确．故选：B．【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；②一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右；③常数项决定抛物线与轴交点．抛物线与轴交于．练习2．（2022·四川资阳·中考真题）如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点．有以下四个结论：①，②，③，④若顶点坐标为，当时，y有最大值为2、最小值为，此时m的取值范围是．其中正确结论的个数是(

)A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】A【分析】①：根据二次函数的对称轴，，即可判断出；②：结合图象发现，当时，函数值大于1，代入即可判断；③：结合图象发现，当时，函数值小于0，代入即可判断；④：运用待定系数法求出二次函数解析式，再利用二次函数的对称性即可判断．【详解】解：∵二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点，∴，，∴，∴，故①正确；从图中可以看出，当时，函数值大于1，因此将代入得，，即，故②正确；∵，∴，从图中可以看出，当时，函数值小于0，∴，∴，故③正确；∵二次函数的顶点坐标为，∴设二次函数的解析式为，将代入得，，解得，∴二次函数的解析式为，∴当时，；∴根据二次函数的对称性，得到，故④正确；综上所述，①②③④均正确，故有4个正确结论，故选A．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式等，熟练掌握二次函数的图象和性质是本题的关键．练习3．（2022·广东·湛江一中九年级课时练习）已知二次函数的图像如图所示，有下列四个结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵与y轴的交点为在y轴的正半轴上，∴c＞0，∵对称轴为，得2a=-b，∴a、b异号，即b＞0，又∵c＞0，∴abc＜0，故①错误；∵抛物线与x轴的交点可以看出，当x=-1时，y＜0，∴a-b+c＜0，即b＞a+c，故②错误；∵对称轴，得2a=-b，∴4a+2b+c=-2b+2b+c=c，又∵c＞0，∴4a+2b+c＞0，故③正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，故④正确．故选B．【点睛】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．练习4．（2022·新疆·乌鲁木齐市第七十四中学九年级期末）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示：①a＞b＞c，②一次函数y＝ax＋c的图象不经过第四象限，③m(am＋b)＋b＜a(m是任意实数)，④3b＋2c＞0，⑤a+b+c＞0其中正确的结论有___(填序号)．【答案】④⑤##⑤④【分析】①根据抛物线开口向上，且与y轴的交点再y轴负半轴，即可判定a＞0，c＜0，再结合抛物线的对称轴可得b=2a，即可判断；②根据以得出的a＞0，c＜0，即可判断；③令m=-1即可判断；⑤根据图象可知，当x=1时，抛物线的函数值大于0，可得当x=1时，有，即可判断；④结合b=2a，可得，即可判断．【详解】∵抛物线开口向上，且与y轴的交点再y轴负半轴，∴a＞0，c＜0，∵抛物线的对称轴为x=-1，∴，∴即b=2a，且b＞0，即有b＞a＞c，故①错误；∵a＞0，c＜0，∴可知一次函数经过一、三、四象限，故②错误；∵m为任意数，∴当m=-1时，有，故③错误；∵根据图象可知，当x=1时，抛物线的函数值大于0，∴当x=1时，有，故⑤正确∵b=2a，∴，故④正确，故答案为：④⑤．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线的对称轴，一次函数的图象与性质等知识，掌握二次函数的图象与系数之间的关系是解答本题的关键．解答此题时要注意数形结合的思想．题型4函数图像共存问题解题指导：利用函数图像与系数关系，判断共存函数图像的对应系数的正负，若一致则共存，不一致则不共存例1．（2022·甘肃·民勤县第六中学九年级期末）在同一直角坐标系中，函数和函数(a是常数，且a≠0)的图象可能是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据和的一次函数图象与二次函数图象的特征分析即可．【详解】解：当时，函数的图象经过一、二、三象限；函数的开口向上，对称轴在y轴的左侧；当时，函数的图象经过二、三、四象限；函数的开口向下，对称轴在y轴的右侧，故D正确．故选：D．【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的图象综合，根据图象判断函数解析式中字母的取值，正确理解函数图象是解题的关键．例2．（2022·重庆实验外国语学校八年级期末）已知a是不为0的常数，函数y＝ax和函数y＝﹣ax2+a在同一平面直角坐标系内的图象可以是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意分两种情况讨论，结合函数图象即可求解．【详解】解：A.正比例函数中，二次函数开口向上，，与轴的交点在轴正半轴，则，矛盾，故A不正确；B.正比例函数中，二次函数开口向上，，与轴的交点在轴正半轴，则，矛盾，故B不正确；C.正比例函数中，二次函数开口向下，，与轴的交点在轴正半轴，则，故C正确；D..正比例函数中，二次函数开口向下，，与轴的交点在轴正半轴，则，矛盾，故D不正确；故选C【点睛】本题考查了正比例函数与二次函数的图象的性质，掌握正比例函数与二次函数的图象的性质是解题的关键．练习1．（2022·湖北湖北·九年级专题练习）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（

）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限【答案】D【分析】根据抛物线的顶点在第四象限，得出m＜0，n＜0，即可得出一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限．【详解】解：∵抛物线的顶点（-m，n）在第四象限，∴-m＞0，n＜0，∴m＜0，∴一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限，故选：D．【点睛】此题考查了二次函数的图象，用到的知识点是二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，关键是根据抛物线的顶点在第四象限，得出n、m的符号．练习2．（2022·全国·九年级阶段练习）已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象可能正确的是（

） B． C．D．【答案】D【分析】根据题意可得二次函数与x轴的交点为（m，0），（n，0），从而得到，进而得到函数经过第一三四象限，且与y轴的交点位于点（0，-1）的下方，即可求解．【详解】解：令y=0，则，解得：，∴二次函数与x轴的交点为（m，0），（n，0），∵，∴，∴函数经过第一、三、四象限，且与y轴的交点位于点（0，-1）的下方．故选：D【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质是解题的关键．练习3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，一次函数与二次函数的图像相交于、两点，则函数的图像可能是（

）A．B．C． D．【答案】A【分析】根据函数图象和二次函数的性质判断即可．【详解】解：由=x2+bx+c图象可知，对称轴x=＞0，，，抛物线与y轴的交点在x轴下方，故选项B，C错误，抛物线的对称轴为，∴，∴抛物线y=x2+（b-1）x+c的对称轴在y轴的右侧，故选项D错误，故选：A．【点睛】本题考查二次函数图像和性质，明确二次函数中各项系数的意义及利用数形结合的思想是解答本题的关键．练习4．（2022·全国·九年级课时练习）已知，在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】题干中二次函数的图象开口向下，可以判断出a的符号为负，一次函数的图象与x轴正方向夹角小于90°，且与y轴交点在y轴的正半轴，可以据此判断出b、c的符号皆为正，再去判断各选项哪个符合二次函数的图象．【详解】∵二次函数的图象开口向下，∴a<0，又∵一次函数的图象与x轴正方向夹角小于90°，且与y轴交点在y轴的正半轴，∴b>0，c>0，则>0，可知二次函数开口方向向下，对称轴在y轴右侧，且与y轴交点在y的正半轴，选项B图象符合，故选：B．【点睛】本题考查了一次函数、二次函数图象与系数的关系，题目比较简单，解决题目需要熟练掌握图象与系数的关系．题型5二次函数对称性的运用例1．（2022·甘肃·张掖育才中学九年级期末）二次函数（a≠0）中x，y的部分对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…0﹣4﹣6﹣6﹣4…则该二次函数图象的对称轴为（）A．y轴 B．直线x＝ C．直线x＝1 D．直线x＝【答案】B【分析】根据图表找出函数值相等时对应的自变量即可求出对称轴．【详解】解：由图表可知：x=0时，y=-6，x=1时，y=-6，∴二次函数的对称轴为：，故选：B．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的性质，本题属于基础题型．练习1．（2022·江苏南通·八年级期末）若，是抛物线上的两个点，则它的对称轴是（

）A．直线 B．直线 C．直线 D．直线【答案】C【分析】由已知，点、是该抛物线上关于对称轴对称的两点，所以只需求两对称点横坐标的平均数．【详解】解：因为点、在抛物线上，根据抛物线上纵坐标相等的两点，其横坐标的平均数就是对称轴，所以，对称轴；故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的对称性．解题的关键是掌握二次函数关于对称轴成轴对称．练习2．（2022·甘肃·张掖市第一中学九年级期末）二次函数的对称轴是直线________；函数的图象的对称轴是直线________．【答案】

2

-1【分析】根据二次函数和的对称轴的求解方法即可写出它们的对称轴，本题得以解决．【详解】解：∵二次函数中，，b＝2，∴其对称轴为；∵与x轴的两交点为（1，0），，∴其对称轴．故答案为：2；．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的两种形式，解答本题的关键是根据不同形式的函数解析式的特点确定求解方法．题型6二次函数增减性运用例1．（2021·安徽省六安皋城中学九年级阶段练习）已知抛物线过A（－2，），B（－3，），C（2，）三点，则y1、y2、y3大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出抛物线对称轴为直线x=－1，抛物线开口向下，再根据离抛物对称轴越远函数值越小求解即可．【详解】解：∵抛物线解析式为，∴抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下，∵抛物线过A（－2，），B（－3，），C（2，），点C离对称轴最远，点A离对称轴最近，∴，故选：A．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，正确求出抛物线对称轴和判断出开口方向是解题的关键．例2．（2022·浙江温州·九年级阶段练习）已知二次函数，，则下列结论一定正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】B【分析】根据所给函数解析式，得到一个新的二次函数，若，则新的二次函数二次项系数要大于0，并且，据此求解即可．【详解】解：，选项A：若，则，，无法判断的符号，故此选项不符合题意；选项B：若，则，，则故此选项符合题意；选项C：若，则，则这个二次函数开口向下，不可能对于任意的x，都有，故此选项不符合题意；同理选项D也不符合题意；故选B．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的性质是解题的关键．练习1．（2022·甘肃·甘州中学九年级期末）点（-1，），（3，），（5，）均在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（

）A．>> B．>= C．>> D．=>【答案】D【分析】求出抛物线的对称轴为x＝1，抛物线开口向下，然后根据抛物线的增减性和对称性判断即可．【详解】解：∵，a＝－1＜0，∴对称轴为x＝1，抛物线开口向下，∴（3，），（5，）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，∵3<5，∴>，根据二次函数图象的对称性可知，（-1，）与（3，）关于对称轴对称，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系．练习2．（2021·湖北咸宁·九年级阶段练习）若点A（﹣3，），B（1，），C（m，）在抛物线y＝ax2+4ax+c上，且＜＜，则m的取值范围是（）A．﹣3＜m＜1 B．﹣5＜m＜﹣1或﹣3＜m＜1C．m＜﹣3或m＞1 D．﹣5＜m＜﹣3或﹣1＜m＜1【答案】D【分析】根据二次函数的解析式可得出二次函数的对称轴为x＝﹣2，分a＜0和a＞0两种情况讨论，分别根据图像上点的坐标特征得到关于m的不等式，然后解不等式即可解答．【详解】解：抛物线y＝ax2+4ax+c的对称轴为x＝﹣＝﹣2，∵点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（m，y3）在抛物线y＝ax2+4ax+c上，且y1＜y3＜y2，∴当a＜0，则|m+2|＜1且|m+2|＞3，（不存在）；当a＞0，则1＜|m+2|＜3，解得﹣5＜m＜﹣3或﹣1＜m＜1．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质、解一元一次不等式组，解题的关键是根据二次函数的性质找出关于m的一元一次不等式．练习3．（2021·云南·富源县第七中学九年级期中）若点A（－4，y1），B（－1，y2），C（1，y3）都是二次函数的图象上的点，则（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y2【答案】B【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的对称性和增减性判断即可．【详解】解：二次函数，抛物线开口向上，对称轴是直线，当时，随的增大而增大，点，，都是二次函数的图象上的点，点关于对称轴的对称点是，，，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，解题的关键是能熟记二次函数的性质．练习4．（2022·江苏南通·八年级期末）二次函数的图象过点，，若当时．随着的增大而减小，则实数的取值范围是______．【答案】且【分析】将已知点代入解析式，用含的代数式表示，再表示出对称轴，根据二次函数的性质解答即可．【详解】解：将代入得①，将代入得②，由②①得，，，抛物线的对称轴为直线，当时．随着的增大而减小，时，，解得，时，，解得，故答案为：且．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，通过分类讨论求解．题型7二次函数最值问题例1．（2022·甘肃·凉州区中佳育才学校九年级期末）已知二次函数y=x2－4x－m的最小值是1，则m=_______．【答案】-5【分析】将二次函数的解析式化为顶点式，利用二次函数求最值方法求解即可．【详解】解：由知，当x=2时，y有最小值为-4-m，∵该函数的最小值为1，∴-4-m=1，解得：m=-5，故答案为：-5．【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握求二次函数的最值方法是解答的关键．例2．（2022·安徽宿州·九年级期末）已知y关于x的函数，点P为抛物线顶点．（1）当P点最高时，______．（2）在（1）的条件下，当时，函数有最小值8，则_____．【答案】

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【分析】（1）将抛物线一般式化为顶点式，即可得到顶点，纵坐标化为的形式，即可得出结果；（2）将代入得，，这时当时，函数有最小值5，且函数图象开口向上，由于，函数有最小值8，故只有当时，函数取得最小值8，代入即可求出答案．【详解】（1）∵，∴顶点，∵，∴当时，取得最大值5，∴当P点最高时，；故答案为：1；（2）当时，，∵当时，函数有最小值5，且函数图象开口向上，又∵，函数有最小值8，∴当时，函数取得最小值8，∴∴，（不合题意，舍去）∴当时，函数有最小值8，则，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的性质和最值的求法，求最值除了考虑开口方向还要考虑自变量的取值范围和对称轴的关系，这是解决本题的关键．练习1．（2022·全国·九年级期中）已知二次函数，当时，函数的最大值为8，则的值是____．【答案】无解【分析】先求出二次函数的对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性并结合，分类讨论解答即可．【详解】解：∵二次函数，∴二次函数的对称轴为直线，①当，即时，此时二次函数在上y随x的增大而减小，在取最大值，即，解得，与不符；②当即时，此时离二次函数对称轴更远，∴二次函数在取最大值，即，解得，与不符；③当即时，此时离二次函数对称轴更远，∴二次函数在取最大值，即，解得与不符；④当即时，此时二次函数在上y随x的增大而增大，在取最大值，，解得与不符．综上不存在符合题意的的值．故答案：无解．【点睛】此题考查了二次函数的最值问题，解题关键是根据二次函数的性质，分类讨论．练习2．（2019·河南洛阳·九年级期末）求二次函数的最值．【答案】当，二次函数的最小值为【分析】把二次函数解析式化为顶点式即可得到答案．【详解】解：∵，∴∴∴，∵，∴当，二次函数的最小值为．【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，正确把二次函数解析式化为顶点式是解题的关键．练习3．（2022·全国·九年级期中）在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+px+q的图象过点（－2，4），（1，－2）．(1)求该二次函数的解析式；(2)当－1≤x≤3时，求y的最大值与最小值的差；【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据点，利用待定系数法即可得；（2）将二次函数的解析式化成顶点式为，再利用二次函数的增减