专题20圆的基本性质(真题4个考点模拟7个考点)(原卷版+解析)

专题20圆的基本性质（真题4个考点模拟7个考点）一．垂径定理（共1小题）1．（2022•安徽）已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（）A． B．4 C． D．5二．圆周角定理（共1小题）2．（2021•安徽）如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．（1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长；（2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：AF⊥BD．三．切线的性质（共2小题）3．（2022•安徽）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA的延长线上一点，连接CD．（1）如图1，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD的长；（2）如图2，若DC与⊙O相切，E为OA上一点，且∠ACD＝∠ACE．求证：CE⊥AB．4．（2020•安徽）如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．（1）求证：△CBA≌△DAB；（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．四．命题与定理（共1小题）5．（2020•安徽）已知点A，B，C在⊙O上，则下列命题为真命题的是（）A．若半径OB平分弦AC，则四边形OABC是平行四边形 B．若四边形OABC是平行四边形，则∠ABC＝120° C．若∠ABC＝120°，则弦AC平分半径OB D．若弦AC平分半径OB，则半径OB平分弦AC一．圆的认识（共2小题）1．（2023•全椒县模拟）已知A，B，C，D四点均在⊙O上，∠AOB+∠COD＝90°，分别记△AOB，△COD的面积为S1，S2，若OA＝5，S1＝10，则S2＝（）A． B． C． D．2．（2023•怀宁县一模）如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝87°，则∠E等于（）A．42° B．29° C．21° D．20°二．垂径定理（共10小题）3．（2023•和县二模）如图，点C是⊙O的弦AB上一点．若AC＝6，BC＝2，AB的弦心距为3，则OC的长为（）A．3 B．4 C． D．4．（2023•烈山区一模）如图，M是CD的中点，EM⊥CD，若CD＝4，EM＝6，则弧CED所在圆的半径为（）A． B．4 C．5 D．5．（2023•砀山县一模）如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P为半径OB的中点，若CD＝6，则⊙O的半径长为（）A． B．3 C． D．6．（2023•瑶海区三模）如图，点A、B是⊙O上两点，AB＝10，点P是⊙O上的动点（P与A、B不重合），连接AP、PB，过点O分别作OE⊥AP交AP于点E，OF⊥PB交PB于点F，则EF等于（）A．2 B．3 C．5 D．67．（2023•金寨县校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD＝6，AB＝10，则AE的长为（）A．1 B．2 C．3 D．48．（2023•龙子湖区二模）如图，在半径为4.5的⊙O内有两条互相垂直的弦AB和CD，AB＝8，CD＝6，垂足为E，则tan∠OEA的值是（）A． B． C． D．9．（2023•蚌山区二模）如图，在⊙O中，AC为直径，点B，D在⊙O上，且AD＝DC，作DE⊥AB于点E，DE＝3．（1）求点D到直线BC的距离；（2）求四边形ABCD的面积．10．（2023•庐江县模拟）在⊙O中，P为其内一点，过点P的最长的弦为8cm，最短的弦长为4cm，则OP为（）A．2cm B．cm C．3cm D．2cm11．（2023•亳州三模）如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点H．若AB＝10，CD＝8，则BH的长为（）A．5 B．4 C．3 D．212．（2023•怀远县校级二模）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为E，，（1）求AB的长；（2）求⊙O的半径．三．垂径定理的应用（共4小题）13．（2023•池州三模）如图1，圆形拱门是中国古代建筑喜欢采用的样式，美观且实用，图2是拱门的示意图，拱门底端宽2米，拱门高3米，拱门所在圆的半径为米．14．（2023•龙子湖区二模）如图是美妆小镇某品牌的香水瓶．从正面看上去它可以近似看作⊙O割去两个弓形后余下的部分与矩形ABCD组合而成的图形（点B、C在⊙O上），其中BC∥EF；已知⊙O的半径为2.5cm，BC＝1.4cm，AB＝2.6cm，EF＝4.8cm，则香水瓶的高度h是（）A．5.6cm B．5.7cm C．5.8cm D．5.9cm15．（2023•蜀山区一模）《梦溪笔谈》是北宋的沈括所著的笔记体综合性科学著作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，弧AB是以点O为圆心，OA为半径的圆弧，C是弦AB的中点，D在弧AB上，且CD⊥AB．“会圆术”给出弧AB的弧长的近似值s的计算公式：s＝AB+．当OA＝2，∠AOB＝90°时，s＝．16．（2023•蚌山区模拟）如图，是一架无人机俯视简化图，MN与PQ表示旋翼，旋翼长为24cm，A，B为旋翼的支点，各支点平分旋翼，飞行控制中心O到各旋翼支点的距离均为30cm，相邻两个支架的夹角均相等，当无人机静止且支架与旋翼垂直时，M与P之间的距离为（）A．30﹣12 B．30﹣12 C．15﹣3 D．15﹣24四．圆周角定理（共16小题）17．（2023•镜湖区校级二模）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠CDB＝35°，则∠CBA的度数为（）A．25° B．35° C．45° D．55°18．（2023•安徽模拟）如图，△ABC中，以AB为直径作⊙O交AC，CB于点D，E．若∠DOE＝40°，则∠C的度数为（）A．55° B．60° C．65° D．70°19．（2023•舒城县模拟）如图，点A、B、C在⊙O上，＝2，若∠A＝70°，则∠B的度数是（）A．50° B．60° C．70° D．110°20．（2023•濉溪县模拟）如图，⊙O中，OC⊥AB，∠CDB＝25°，则∠OAB的度数为（）A．30° B．40° C．45° D．50°21．（2023•无为市四模）如图，CD是⊙O的直径，BE是弦，延长BE交CD的延长线于点A，连接CE，若∠A＝22°，∠ACE＝16°，则∠BCE的度数是（）A．34° B．36° C．38° D．42°22．（2023•庐阳区校级模拟）如图，点P为矩形ABCD的外接圆上的动点，连接PB、PD、PO，AB＝1，，当PO平分∠BPD时，∠PBA的度数为（）A．15° B．30° C．15°或105° D．30°或105°23．（2023•全椒县一模）已知点A，B，C是⊙O上的点，且三点互不重合，下列结论错误的是（）A．若点B是的中点，则∠BAC＝∠ACB B．若∠AOB＝110°，则∠ACB＝55°或125° C．若AB∥OC，OA⊥OB，则∠AOC＝135° D．若四边形OABC是平行四边形，则四边形OABC一定是菱形24．（2023•太和县二模）如图，以△ABC的边AB为直径作半圆O交AC于点D，且OD∥BC，半圆O交BC于点E．（1）求证：∠C＝∠CED．（2）若，AD＝4，求半圆O的半径r．25．（2023•庐阳区二模）如图，在⊙O中，AB是直径，点C在圆上，AD、BD分别平分∠BAC和∠ABC，AD的延长线交⊙O于点E，连接BE．（1）求证：BE＝DE；（2）若AB＝10，BC＝6，求BE的长．26．（2023•合肥二模）如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD．（1）判断△BDE的形状，并证明你的结论；（2）若AB＝10，，求BC的长．27．（2023•芜湖模拟）如图1，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CE⊥AB于E，D为弧BC的中点，连接AD，分别交CE、CB于点F和点G．（1）求证：CF＝CG；（2）如图2，若AF＝DG，连接OG，求证：OG⊥AB．28．（2023•太湖县一模）阿基米德（公元前287年﹣公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，阿基米德流传于世的著作有10余种，多为希腊文手稿．下面是《阿基米德全集》中记载的一个命题：如图1，AB是⊙O的弦，点C在⊙O上，且CD⊥AB于点D，在弦AB上取点E，使AD＝DE，点F是上的一点，且，连接BF，求证：BF＝BE．学习小组中的一位同学进行了如下证明：如图2，连接AC，CE，BC∵CD⊥AB，AD＝DE．∴∠CAE＝∠CEA∵∠CAE+∠F＝180°，∠CEA+∠CEB＝180°∴∠F＝∠CEB……请完成下列的任务：（1）完成上面的证明：（2）如图3，将上述问题中弦AB改为直径AB，若CF∥AB，求证点E是AB的中点．29．（2023•蜀山区校级三模）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，点O在BD上，以O为圆心恰好经过A、B、C三点，⊙O交BD于E，交AD于F，且＝，连接OA、OF．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠AOF＝3∠FOE，求∠ABC的度数．30．（2023•蚌埠二模）如图，⊙O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点P，AB经过点O，E是AC的中点，连接OE，EP，延长EP交BD于点F．（1）若AB＝10，，求AC的长；（2）求证：EF⊥BD．31．（2023•蒙城县模拟）如图，以BC为直径的⊙O经过△ABC的顶点A，弦BD平分∠ABC，E是弦BD上一点，且∠ACE＝∠BCE．（1）求证：CD＝DE；（2）若AC＝8，，求⊙O的半径．32．（2023•安徽二模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AD，BD，（1）求证：∠ADC＝∠ABD．（2）作OF⊥AD于点F，若⊙O的半径为5，OE＝3，求OF的长．五．切线的性质（共9小题）33．（2023•合肥三模）如图，点C是半⊙O直径AB延长线上一点，CD与⊙O相切于点D，E为AB上一点，EF∥CD交AD于G，若∠AGF＝70°，⊙O的半径为2，则的长为（）A． B． C． D．34．（2023•凤台县校级二模）如图，矩形ABCD中，AB＝6，点E在AD边上，以E为圆心EA长为半径的⊙E与BC相切，交CD于点F，连接EF．若扇形EAF的面积为12π，则BC的长是（）A．4 B．4 C．8 D．935．（2023•东至县一模）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠CDB＝20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（）A．70° B．50° C．40° D．20°36．（2023•瑶海区校级一模）如图，直线AB与⊙O相切于点A，CD是⊙O的一条弦，且CD∥AB，连接AC．若⊙O的半径为2，，则阴影部分的面积为（）A． B．4π C． D．37．（2023•安徽二模）已知，AB、AC是⊙O的切线，B、C为切点，OD∥AC交劣弧BC于点D．∠A＝40°，则∠BOD的度数是（）A．40° B．50° C．55° D．60°38．（2023•庐阳区校级三模）如图，AB是⊙O的直径，点C是BD的中点，过点C的切线与AD的延长线交于E，连接CD，AC．（1）求证：CE⊥AE；（2）若CD∥AB，DE＝1，求⊙O的面积．39．（2023•金安区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．⊙O分别与边AC，BC相切于点D和点E，连接CO．（1）求证：CO为∠ACB的平分线．（2）连接AE与CO交于点F，且满足2AF＝3FE，若BE＝8，求⊙O的半径．40．（2023•明光市二模）如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一动点（不与点A，C重合），过点P作PE⊥AB，垂足为点E，射线EP交弧AC于点F，交过点C的切线于点D．​（1）求证：DC＝DP；（2）若∠CAB＝30°，AB＝4，F是弧AC的中点，求CP的长．41．（2023•雨山区校级一模）如图，已知AB为⊙O的直径，过⊙O上点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC于点D．且交⊙O于点F，连接BC，CF，AC．（1）求证：BC＝CF；（2）若AD＝3，DE＝4，求BE的长．六．切线的判定（共2小题）42．（2023•定远县二模）已知，如图，△ABC的顶点A，C在⊙O上，⊙O与AB相交于点D，连接CD，∠A＝30°．（1）若⊙O半径为3，求弦CD的长；（2）若∠ACB+∠ADC＝180°，求证：BC是⊙O的切线．43．（2023•宿州模拟）如图，点C是⊙O直径AB延长线上一点，BC＝OB，点P是⊙O上一个动点（不与点A，B重合），点E为半径OB的中点．（1）如图1，若，求PC的长；（2）如图2，当PE⊥OB时，求证：CP是⊙O的切线．七．切线的判定与性质（共17小题）44．（2023•花山区二模）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AC＝CD，AD与BC相交于点E，点F在BC的延长线上，且AF＝AE．（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）若AC＝4，，求cos∠BAD的值．45．（2023•泗县二模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，D是圆外一点，连接DA，∠DAC＝∠ABC，连接DC交⊙O于点E．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AD＝4，E是CD的中点，求CE的长度．46．（2023•庐阳区校级三模）如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，连结AC，点D为中点，过D作DE∥AC，交OC的延长线于点E．（1）求证：DE是半圆O的切线．（2）若OC＝15，CE＝10，求AC的长．47．（2023•蒙城县三模）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝60°，以点D为圆心的⊙D与AB相切于点E，与DC相交于点F．（1）求证：⊙D与BC也相切；（2）求劣弧的长（结果保留π）．48．（2023•霍邱县二模）如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED＝45°．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AE＝5，，求线段BC的长．​49．（2023•泗县校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB为直径作⊙O，在⊙O上取一点D，使＝，过点C作EF⊥AD，交AD的延长线于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：直线EF是⊙O的切线；（2）若AB＝10，AD＝6，求AC的长．50．（2023•庐阳区校级一模）如图，AB是⊙O的直径，C，D都是⊙O上的点，AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AB＝10，AC＝6，求CE的值．51．（2023•繁昌县校级模拟）如图，四边形ABDC是⊙O的内接四边形，连接BC，AD，且BC经过点O，∠DCB＝45°，过点D的直线与AC的延长线交于点P，且∠CDP＝∠CAD．（1）求证：PD是⊙O的切线．（2）若AC＝12，，求CP的长．52．（2023•安徽模拟）如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D在AD左侧作∠ADP＝∠BCD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E．（1）求证：DP∥AB；（2）求证：PD是⊙O的切线；（3）若AC＝6，BC＝8，求线段PD的长．53．（2023•全椒县三模）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC，BC，点D在BA的延长线上，∠DCA＝∠ABC，BE⊥DC，交DC的延长线于点E．​（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若，BE＝4，求△BDE的面积．54．（2023•舒城县模拟）如图，以等腰△ABC的腰AB为直径作⊙O，交底边BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）若DE＝4，DC＝6，求⊙O的半径．55．（2023•雨山区校级二模）如图，AB为圆O的直径，C，E为圆O上的两点，AC平分∠EAB，CF⊥AB于F，CD⊥AE于D．（1）求证：CD为圆O的切线；（2）若AD﹣OA＝1.5，AC＝3，求图中阴影部分的面积．​56．（2023•芜湖三模）如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦．过O点作OF⊥AB交⊙O于点D，交AC于点E，交BC的延长线于点F，点G是EF的中点，连接CG．（1）证明：CG是⊙O的切线；（2）连接CD，当∠DCA＝2∠F，CE＝3时，求CF的长．57．（2023•迎江区校级二模）如图，在△ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D，且∠AOD＝∠BAD．（1）若∠AOD＝60°，则∠CBD＝°；（2）求证：AB为⊙O的切线；（3）若AC＝8，tan∠BAC＝，求OD的长．58．（2023•怀远县校级模拟）AB是△ABC的外接圆⊙O的直径，P是半径OB上一点，PE⊥AB交BC于F，交AC的延长线于E，D是EF的中点，连接CD；（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）连OD交BC于G，若G为OD的中点，AC＝6，求CE的长．59．（2023•郊区校级模拟）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，BD⊥AB，交AC的延长线于点D．（1）E为BD的中点，连接CE，求证：CE是⊙O的切线；（2）若AC＝3CD，求∠A的大小．60．（2023•金安区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接OE，若AB＝4，AD＝3，求OE的长．

专题20圆的基本性质（真题4个考点模拟7个考点）一．垂径定理（共1小题）1．（2022•安徽）已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（）A． B．4 C． D．5【分析】过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，根据垂径定理可得AC＝BC＝5，所以PC＝PB﹣BC＝1，根据勾股定理即可解决问题．【解答】解：如图，过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，则OB＝7，∵PA＝4，PB＝6，∴AB＝PA+PB＝10，∵OC⊥AB，∴AC＝BC＝5，∴PC＝PB﹣BC＝1，在Rt△OBC中，根据勾股定理得：OC2＝OB2﹣BC2＝72﹣52＝24，在Rt△OPC中，根据勾股定理得：OP＝＝＝5，故选：D．【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握垂径定理．二．圆周角定理（共1小题）2．（2021•安徽）如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．（1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长；（2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：AF⊥BD．【分析】（1）连接OD，由垂径定理推论可得∠OMD＝90°，在Rt△OMD中用勾股定理即可得半径；（2）连接AC，延长AF交BD于G，由已知可证△ACF是等腰三角形，∠FAE＝∠CAE，又弧BC＝弧BC，有∠CAE＝∠CDB，故∠FAE＝∠CDB，即可由∠CDB+∠B＝90°，得∠AGB＝90°，从而得证AF⊥BD．【解答】解：（1）连接OD，如图：∵M是CD的中点，CD＝12，∴DM＝CD＝6，OM⊥CD，∠OMD＝90°，Rt△OMD中，OD＝，且OM＝3，∴OD＝＝3，即圆O的半径长为3；（2）连接AC，延长AF交BD于G，如图：∵AB⊥CD，CE＝EF，∴AB是CF的垂直平分线，∴AF＝AC，即△ACF是等腰三角形，∵CE＝EF，∴∠FAE＝∠CAE，∵＝，∴∠CAE＝∠CDB，∴∠FAE＝∠CDB，Rt△BDE中，∠CDB+∠B＝90°，∴∠FAE+∠B＝90°，∴∠AGB＝90°，∴AG⊥BD，即AF⊥BD．【点评】本题考查垂径定理及推论，涉及勾股定理、等腰三角形的性质及判定，解题的关键是证明∠FAE＝∠CDB．三．切线的性质（共2小题）3．（2022•安徽）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA的延长线上一点，连接CD．（1）如图1，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD的长；（2）如图2，若DC与⊙O相切，E为OA上一点，且∠ACD＝∠ACE．求证：CE⊥AB．【分析】（1）根据直角三角形的边角关系可求出OD，进而求出AD；（2）根据切线的性质可得OC⊥CD，再根据等腰三角形的性质可得∠OCA＝∠OAC，由各个角之间的关系以及等量代换可得答案．【解答】解：（1）∵OA＝1＝OC，CO⊥AB，∠D＝30°，∴OD＝•OC＝，∴AD＝OD﹣OA＝﹣1；（2）∵DC与⊙O相切，∴OC⊥CD，即∠ACD+∠OCA＝90°，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∵∠ACD＝∠ACE，∴∠OAC+∠ACE＝90°，∴∠AEC＝90°，即CE⊥AB．【点评】本题考查切线的性质，直角三角形的边角关系以及等腰三角形的性质，掌握直角三角形的边角关系、等腰三角形的性质是解决问题的前提．4．（2020•安徽）如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．（1）求证：△CBA≌△DAB；（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ACB＝∠ADB＝90°，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据等腰三角形的性质得到∠E＝∠BFE，根据切线的性质得到∠ABE＝90°，根据三角形的内角和以及角平分线的定义即可得到结论．【解答】（1）证明：∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，在Rt△CBA与Rt△DAB中，，∴Rt△CBA≌Rt△DAB（HL）；（2）解：∵BE＝BF，由（1）知BC⊥EF，∴∠E＝∠BFE，∵BE是半圆O所在圆的切线，∴∠ABE＝90°，∴∠E+∠BAE＝90°，由（1）知∠D＝90°，∴∠DAF+∠AFD＝90°，∵∠AFD＝∠BFE，∴∠AFD＝∠E，∵∠DAF＝90°﹣∠AFD，∠BAF＝90°﹣∠E，∴∠DAF＝∠BAF，∴AC平分∠DAB．【点评】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键．四．命题与定理（共1小题）5．（2020•安徽）已知点A，B，C在⊙O上，则下列命题为真命题的是（）A．若半径OB平分弦AC，则四边形OABC是平行四边形 B．若四边形OABC是平行四边形，则∠ABC＝120° C．若∠ABC＝120°，则弦AC平分半径OB D．若弦AC平分半径OB，则半径OB平分弦AC【分析】根据垂径定理，平行四边形的性质判断即可．【解答】解：A、如图，若半径OB平分弦AC，则四边形OABC不一定是平行四边形；原命题是假命题；B、若四边形OABC是平行四边形，则AB＝OC，OA＝BC，∵OA＝OB＝OC，∴AB＝OA＝OB＝BC＝OC，∴∠ABO＝∠OBC＝60°，∴∠ABC＝120°，是真命题；C、如图，过O作OQ⊥AC于Q，交⊙O于P，连接PA，PC，∵∠ABC＝120°，∴∠APC＝120°，∠AOC＝360°﹣2×120°＝120°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，在Rt△OQA中，OQ＝OA，∴OQ＝OP，∴AC平分OP，∴只有当OB⊥AC时，弦AC平分半径OB，∴弦AC不一定平分半径OB，故C项是假命题；若∠ABC＝120°，则弦AC不平分半径OB，原命题是假命题；D、如图，若弦AC平分半径OB，则半径OB不一定平分弦AC，原命题是假命题；故选：B．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．一．圆的认识（共2小题）1．（2023•全椒县模拟）已知A，B，C，D四点均在⊙O上，∠AOB+∠COD＝90°，分别记△AOB，△COD的面积为S1，S2，若OA＝5，S1＝10，则S2＝（）A． B． C． D．【分析】如图，作AE⊥OB于E，DF⊥OC于F点，先利用三角形面积公式可计算出AE＝4，则利用勾股定理可计算出OE＝3，再证明△OAE≌△DOF得到DF＝OE＝3，然后利用三角形面积公式计算S2．【解答】解：如图，作AE⊥OB于E，DF⊥OC于F点，∵S1＝10，OA＝5，∴OB•AE＝10，∴AE＝＝4，∴OE＝＝3．∵∠AOB+∠COD＝90°，∠AOB+∠OAE＝90°，∴∠COD＝∠OAE，在△OAE和△DOF中，，∴△OAE≌△DOF（AAS），∴DF＝OE＝3，∴S2＝×3×5＝．故选：A．【点评】本题考查了圆的认识：常常利用半径相等解决问题．2．（2023•怀宁县一模）如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝87°，则∠E等于（）A．42° B．29° C．21° D．20°【分析】利用半径相等得到DO＝DE，则∠E＝∠DOE，根据三角形外角性质得∠1＝∠DOE+∠E，所以∠1＝2∠E，同理得到∠AOC＝∠C+∠E＝3∠E，然后利用∠E＝∠AOC进行计算即可．【解答】解：连接OD，如图，∵OB＝DE，OB＝OD，∴DO＝DE，∴∠E＝∠DOE，∵∠1＝∠DOE+∠E，∴∠1＝2∠E，而OC＝OD，∴∠C＝∠1，∴∠C＝2∠E，∴∠AOC＝∠C+∠E＝3∠E，∴∠E＝∠AOC＝×87°＝29°．故选：B．【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等腰三角形的性质．二．垂径定理（共10小题）3．（2023•和县二模）如图，点C是⊙O的弦AB上一点．若AC＝6，BC＝2，AB的弦心距为3，则OC的长为（）A．3 B．4 C． D．【分析】根据垂径定理可以得到CD的长，根据题意可知OD＝3，然后根据勾股定理可以求得OC的长．【解答】解：作OD⊥AB于点D，如图所示，由题意可知：AC＝6，BC＝2，OD＝3，∴AB＝8，∴AD＝BD＝4，∴CD＝2，∴OC＝＝＝，故选：D．【点评】本题考查垂径定理、勾股定理，解答本题的关键是求出CD的长．4．（2023•烈山区一模）如图，M是CD的中点，EM⊥CD，若CD＝4，EM＝6，则弧CED所在圆的半径为（）A． B．4 C．5 D．【分析】连接OC，设弧CED所在圆的半径为R，则OC＝R，OM＝6﹣R，根据垂径定理求出CM＝2，再在Rt△OMC中，根据勾股定理得出方程，求出即可．【解答】解：如图，连接OC，设弧CED所在圆的半径为R，则OC＝R，OM＝6﹣R，∵EM经过圆心O，EM⊥CD于M，CD＝4，∴CM＝DM＝CD＝2，在Rt△OMC中，由勾股定理得：OC2＝OM2+CM2，即R2＝（6﹣R）2+22，解得：R＝，∴弧CED所在圆的半径为．故选：A．【点评】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．5．（2023•砀山县一模）如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P为半径OB的中点，若CD＝6，则⊙O的半径长为（）A． B．3 C． D．【分析】连接OD，设圆的半径是r，由勾股定理，垂径定理得到r2＝+32，求出r的值即可．【解答】解：连接OD，设圆的半径是r，∵P是OB中点，∴OP＝r，∵AB⊥CD，∴PD＝CD＝×6＝3，∵OD2＝OP2+PD2，∴r2＝+32，∴r＝2．∴⊙O的半径长是2．故选：A．【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是连接OD构造直角三角形，应用勾股定理，垂径定理列出关于半径的方程．6．（2023•瑶海区三模）如图，点A、B是⊙O上两点，AB＝10，点P是⊙O上的动点（P与A、B不重合），连接AP、PB，过点O分别作OE⊥AP交AP于点E，OF⊥PB交PB于点F，则EF等于（）A．2 B．3 C．5 D．6【分析】先根据垂径定理得出AE＝PE，PF＝BF，故可得出EF是△APB的中位线，再根据中位线定理即可得出结论．【解答】解：∵OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，AB＝10，∴AE＝PE，PF＝BF，∴EF是△APB的中位线，∴．故选：C．【点评】本题考查的是垂径定理，中位线定理，熟知垂直于弦的直径平分弦是解答此题的关键．7．（2023•金寨县校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD＝6，AB＝10，则AE的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】连接OC，由垂径定理求出EC的长，由勾股定理求出OE的长，即可得到AE的长．【解答】解：连接OC，∵直径AB⊥CD，∴EC＝CD＝×6＝3，∵AB＝10，∴OC＝OA＝5，∴OE＝＝4，∴AE＝OA﹣OE＝1．故选：A．【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是通过作辅助线构造直角三角形，应用垂径定理求出CE的长，由勾股定理求出OE的长．8．（2023•龙子湖区二模）如图，在半径为4.5的⊙O内有两条互相垂直的弦AB和CD，AB＝8，CD＝6，垂足为E，则tan∠OEA的值是（）A． B． C． D．【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，根据垂径定理得出BM＝AM＝4，DN＝CN＝CD＝3，根据勾股定理求出OM和ON，求出ME，解直角三角形求出即可．【解答】解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，由垂径定理得：BM＝AM＝AB＝4，DN＝CN＝CD＝3，由勾股定理得：OM＝＝＝，同理：ON＝＝＝，∵弦AB、CD互相垂直，OM⊥AB，ON⊥CD，∴∠MEN＝∠OME＝∠ONE＝90°，∴四边形MONE是矩形，∴ME＝ON＝，∴tan∠OEA＝＝．故选：D．【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理和解直角三角形等知识点，能灵活运用垂径定理进行推理是解此题的关键．9．（2023•蚌山区二模）如图，在⊙O中，AC为直径，点B，D在⊙O上，且AD＝DC，作DE⊥AB于点E，DE＝3．（1）求点D到直线BC的距离；（2）求四边形ABCD的面积．【分析】（1）把△ADE绕D点旋转到△CDF处，使AD与DC重合，可得DF＝AE，∠DCF＝∠DAE，∠AED＝∠CFD，DE＝DF＝3，得到∠DCF+∠DCB＝180°，即F、C、B三点共线，由DE⊥AB，可知∠AED＝∠CFD＝90°，可知点D到直线BC的距离为DF的长度，即可求解；（2）由（1）可知，S四边形ABCD＝S四边形DEBF，而四边形DEBF是正方形，即可得．【解答】解：（1）∵在⊙O中，AC为直径，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∴∠A+∠DCB＝180°，∴∠DCF+∠DCB＝180°，∴F、C、B三点共线，∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠CFD＝90°，∴点D到直线BC的距离为DF的长度，即：点D到直线BC的距离为3；（2）由（1）知，∠AED＝∠DEB＝∠CFD＝90°，∠ABC＝90°，F、C、B三点共线，DE＝DF＝3，S△ADE＝S△CDF，∴四边形DEBF是正方形，又∵S四边形ABCD＝S四边形DEBC+S△ADE，S△ADE＝S△CDF，S四边形DEBF＝S四边形DEBC+S△CDF，∴．【点评】本题考查了内接四边形的性质及圆周角定理，旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了正方形的判定及性质．10．（2023•庐江县模拟）在⊙O中，P为其内一点，过点P的最长的弦为8cm，最短的弦长为4cm，则OP为（）A．2cm B．cm C．3cm D．2cm【分析】由垂径定理求出CP的长，由勾股定理即可求出OP的长．【解答】解：如图：AB是过P的最长的弦是圆的直径，CD是过P点的最短的弦，CD⊥AB，∴AB＝8cm，CD＝4cm，∴OC＝4cm，CP＝CD＝2cm，∴OP＝＝＝2（cm），故选：A．【点评】本题考查垂径定理和勾股定理，关键是明白过P的最长的弦是圆的直径，过P的最短的弦垂直于PO．11．（2023•亳州三模）如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点H．若AB＝10，CD＝8，则BH的长为（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】根据垂径定理得到CH＝4，再根据勾股定理计算出OH＝3，进而得出答案．【解答】解：连接OC，∵AB⊥CD，CD＝8，∴，∠OHC＝90°，∵AB＝10，∴OB＝OC＝5，∴，∴BH＝OB﹣OH＝2，故选：D．【点评】本题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出OH的长是解题的关键．12．（2023•怀远县校级二模）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为E，，（1）求AB的长；（2）求⊙O的半径．【分析】（1）先根据CD为⊙O的直径，CD⊥AB得出＝，故可得出∠C＝∠AOD，由对顶角相等得出∠AOD＝∠COE，故可得出∠C＝∠COE，再根据AO⊥BC可知∠AEC＝90°，故∠C＝30°，再由直角三角形的性质可得出BF的长，进而得出结论；（2）在Rt△OCE中根据∠C＝30°即可得出OC的长．【解答】解：（1）∵CD为⊙O的直径，CD⊥AB，∴＝，AF＝BF，∴∠C＝∠AOD，∵∠AOD＝∠COE，∴∠C＝∠COE，∵AO⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴∠C＝30°，∵BC＝2，∴BF＝BC＝，∴AB＝2BF＝2；（2）∵AO⊥BC，BC＝2，∴CE＝BE＝BC＝，∵∠C＝30°，∴OC＝＝＝2，即⊙O的半径是2．【点评】本题考查的是垂径定理，熟知“平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”是解答此题的关键．三．垂径定理的应用（共4小题）13．（2023•池州三模）如图1，圆形拱门是中国古代建筑喜欢采用的样式，美观且实用，图2是拱门的示意图，拱门底端宽2米，拱门高3米，拱门所在圆的半径为米．【分析】先连接OA，由垂径定理易得出AD的长，在Rt△OAD中，可用半径表示出OD的长，根据勾股定理即可求出半径的长度．【解答】解：如图，取圆心为O，连接OA，设OA＝x米，则OC＝x米，∵CD＝3米，∴OD＝（3﹣x）米，∵CD⊥AB，∴AD＝AB＝×2＝1m，OA2＝OD2+AD2，∴x2＝（3﹣x）2+12，解得：x＝，故答案为：．【点评】此题考查了垂径定理的应用，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质，关键是根据题意作出辅助线，构造直角三角形，列出方程．14．（2023•龙子湖区二模）如图是美妆小镇某品牌的香水瓶．从正面看上去它可以近似看作⊙O割去两个弓形后余下的部分与矩形ABCD组合而成的图形（点B、C在⊙O上），其中BC∥EF；已知⊙O的半径为2.5cm，BC＝1.4cm，AB＝2.6cm，EF＝4.8cm，则香水瓶的高度h是（）A．5.6cm B．5.7cm C．5.8cm D．5.9cm【分析】作OG⊥BC于G，延长GO交EF于H，连接BO、EO．根据垂径定理求出BG、EH，解直角三角形求出OG，OH，根据h＝OH+OG+AB即可解决问题．【解答】解：如图，作OG⊥BC于G，延长GO交EF于H，连接BO、EO．∵EF∥BC，∴OH⊥EF，∴，，∴；，∴h＝OH+OG+AB＝0.7+2.4+2.6＝5.7cm．即香水瓶的高度h为5.7cm，故选：B．【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．15．（2023•蜀山区一模）《梦溪笔谈》是北宋的沈括所著的笔记体综合性科学著作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，弧AB是以点O为圆心，OA为半径的圆弧，C是弦AB的中点，D在弧AB上，且CD⊥AB．“会圆术”给出弧AB的弧长的近似值s的计算公式：s＝AB+．当OA＝2，∠AOB＝90°时，s＝3．【分析】根据垂径定理，勾股定理以及直角三角形的边角关系求出AB，CD，再代入计算即可．【解答】解：如图，连接OC，由题意可知点O、C、D在同一条直线上，∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝2，∴AB＝OA＝2，∵OC⊥AB，OA＝OB＝2，∴OC＝AC＝OA＝，∴s＝AB+＝2+＝3．故答案为：3．【点评】本题考查垂径定理、勾股定理以及直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系以及垂径定理是正确解答的关键．16．（2023•蚌山区模拟）如图，是一架无人机俯视简化图，MN与PQ表示旋翼，旋翼长为24cm，A，B为旋翼的支点，各支点平分旋翼，飞行控制中心O到各旋翼支点的距离均为30cm，相邻两个支架的夹角均相等，当无人机静止且支架与旋翼垂直时，M与P之间的距离为（）A．30﹣12 B．30﹣12 C．15﹣3 D．15﹣24【分析】如图，延长BP交AM的延长线于点J，连接OP，OM，OJ，OJ交PM于点K．首先求出PJ＝MJ＝10﹣12，再求出PK，可得结论．【解答】解：如图，延长BP交AM的延长线于点J，连接OP，OM，OJ，OJ交PM于点K．∵OJ＝OJ，OA＝OB，∠OAJ＝∠OBJ，∴Rt△OAJ≌Rt△OBJ（HL），∴JB＝JA，∠JOA＝∠JOB＝∠AOB＝30°，∵OA＝30cm，∴AJ＝BJ＝OB•tan30°＝10（cm），∵PB＝AM＝12cm，∴PJ＝JM＝（10﹣12）cm，∵OJ⊥PM，∴PK＝KM＝PJ•cos30°＝（10﹣12）×＝（15﹣6）cm，∴PM＝2PK＝（30﹣12）cm．故选：A．【点评】本题考查垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．四．圆周角定理（共16小题）17．（2023•镜湖区校级二模）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠CDB＝35°，则∠CBA的度数为（）A．25° B．35° C．45° D．55°【分析】由于AB是⊙O的直径，由圆周角定理可知∠ACB＝90°，则∠A和∠ABC互余，欲求∠ABC需先求出∠A的度数，已知了同弧所对的圆周角∠CDB的度数，则∠A＝∠CDB，由此得解．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，即∠A+∠ABC＝90°；又∵∠A＝∠CDB＝35°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝55°．故选：D．【点评】此题主要考查的是圆周角定理及其推论；半圆（弧）和直径所对的圆周角是直角；同弧所对的圆周角相等．18．（2023•安徽模拟）如图，△ABC中，以AB为直径作⊙O交AC，CB于点D，E．若∠DOE＝40°，则∠C的度数为（）A．55° B．60° C．65° D．70°【分析】连接AE，根据圆周角定理可得∠AEC＝∠AEB＝90°，∠EAC＝20°，再根据三角形内角和定理求出∠C即可．【解答】解：连接AE，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠AEC＝90°，∵∠DOE＝40°，∴∠EAC＝20°，∴∠C＝180°﹣90°﹣20°＝70°．故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理以及圆心角、弧、弦之间的关系定理，熟知半圆（或直径）所对的圆周角是直角，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键．19．（2023•舒城县模拟）如图，点A、B、C在⊙O上，＝2，若∠A＝70°，则∠B的度数是（）A．50° B．60° C．70° D．110°【分析】取的中点D，连接OD，结合已知条件，利用圆心角、弧、弦的关系求得∠AOC＝∠BOD＝∠COD，然后利用等边对等角及三角形内角和定理先求得∠AOC的度数，从而求得∠BOC的度数，再利用等边对等角及三角形内角和定理即可求得答案．【解答】解：如图，取的中点D，连接OD，∴＝2＝2，∵＝2，∴∠AOC＝∠BOD＝∠COD，∵∠A＝70°，OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝70°，∴∠AOC＝180°﹣2×70°＝40°，∴∠BOC＝40°+40°＝80°，∵OB＝OC，∴∠B＝＝50°，故选：A．【点评】本题考查圆与等腰三角形性质的综合运用，取的中点D，连接OD求得∠AOC＝∠BOD＝∠COD是解题的关键．20．（2023•濉溪县模拟）如图，⊙O中，OC⊥AB，∠CDB＝25°，则∠OAB的度数为（）A．30° B．40° C．45° D．50°【分析】连接OB，根据圆周角定理得出∠BOC的度数，由直角三角形两锐角互余及等腰三角形的性质即可得到答案．【解答】解：∵OC⊥AB，∴∠OEB＝90°，∵∠CDB＝25°，∴∠BOE＝50°，∴∠OBE＝90°﹣50°＝40°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBE＝40°．故选：B．【点评】本题考查垂径定理及圆周角定理，直角三角形两锐角互余，解题的关键是根据垂径定理及圆周角定理得到∠AOC＝2∠CDB＝50°．21．（2023•无为市四模）如图，CD是⊙O的直径，BE是弦，延长BE交CD的延长线于点A，连接CE，若∠A＝22°，∠ACE＝16°，则∠BCE的度数是（）A．34° B．36° C．38° D．42°【分析】连接BD，根据圆周角定理可求得∠BDC＝∠BEC，∠CBD＝90°，再结合已知条件，利用三角形外角性质求得∠BEC的度数，继而求得∠BCD的度数，最后利用角的和差即可求得答案．【解答】解：如题，连接BD，∵CD是⊙O的直径，∴∠CBD＝90°，∠BDC＝∠BEC，∵∠BEC＝∠A+∠ACE＝22°+16°＝38°，∴∠BDC＝38°，∴∠BCD＝90°﹣∠BDC＝90°﹣38°＝52°，∴∠BCE＝∠BCD﹣∠ACE＝52°﹣16°＝36°，故选：B．【点评】本题考查圆周角定理及三角形外角性质，结合已知条件求得∠BDC的度数是解题的关键．22．（2023•庐阳区校级模拟）如图，点P为矩形ABCD的外接圆上的动点，连接PB、PD、PO，AB＝1，，当PO平分∠BPD时，∠PBA的度数为（）A．15° B．30° C．15°或105° D．30°或105°【分析】连接BD，推出BD是⊙O的直径，利用三角函数的定义求得∠ABD＝60°，再分类讨论，当点P在BD上方和点P在BD下方时，据此求解即可．【解答】解：∵点P为矩形ABCD的外接圆上的动点，∴∠A＝∠C＝90°，∴BD是⊙O的直径，∴∠BPD＝90°，∵AB＝1，，∴，∴∠ABD＝60°，当点P在BD上方时，∵PO平分∠BPD，∴，∵OP＝OB，∴∠BPO＝∠PBO＝45°，∴∠PBA＝∠ABD﹣∠PBD＝15°；当点P在BD下方时，同理可得∠BPO＝∠PBO＝45°，∴∠PBA＝∠ABD+∠PBD＝105°；综上，∠PBA的度数为15°或105°，故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理，锐角三角函数，根据矩形的性质证明BD是⊙O的直径是解题的关键．23．（2023•全椒县一模）已知点A，B，C是⊙O上的点，且三点互不重合，下列结论错误的是（）A．若点B是的中点，则∠BAC＝∠ACB B．若∠AOB＝110°，则∠ACB＝55°或125° C．若AB∥OC，OA⊥OB，则∠AOC＝135° D．若四边形OABC是平行四边形，则四边形OABC一定是菱形【分析】根据等弧对等角可判断A正确；依据圆周角定理可判断B正确；依据垂直及平行线的性质可判断C错误；依据圆的基本性质及菱形的判定方法可判断D正确．【解答】解：如答图1，∵点B是的中点，∴，∴∠BAC＝∠ACB，选项A正确；当∠AOB＝110°时，分两种情况，如答图5，当点C位于优弧AB上时，由圆周角定理，得，如答图6，当点C位于劣弧AB上时，在优弧AB上任选一点C'，连接AC'，BC'，∵∠AOB＝110°，∴，∴∠ACB＝180°﹣∠C'＝180°﹣55°＝125°，∴∠ACB＝55°或125°，选项B正确；当AB∥OC时，分两种情况．如答图3，∵OA⊥OB，OA＝OB，∴∠AOB＝90°，∠OAB＝45°，∵AB∥OC，∴∠AOC+∠OAB＝180°，∴∠AOC＝180°﹣∠OAB＝180°﹣45°＝135°，如答图4，∵AB∥OC，∴∠AOC＝∠OAB＝45°，∴∠AOC的度数为135°或45°，选项C错误；如答图2，∵四边形OABC是平行四边形，∴OA＝BC，OC＝AB，又OA＝OC，∴OA＝AB＝BC＝OC，∴四边形OABC是菱形，选项D正确；综上所述，故选：C．【点评】本题考查了等弧对等角、圆周角定理、垂直及平行线的性质、基本性质及菱形的判定；熟练掌握相关性质是解题的关键．24．（2023•太和县二模）如图，以△ABC的边AB为直径作半圆O交AC于点D，且OD∥BC，半圆O交BC于点E．（1）求证：∠C＝∠CED．（2）若，AD＝4，求半圆O的半径r．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质证明即可；（2）根据平行线分线段成比例定理，三角形相似的判定和性质计算即可．【解答】（1）证明：∵△ABC的边AB为直径作半圆O交AC于点D，且OD∥BC，∴∠C＝∠ADO，∠CED＝∠A，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠A，∴∠C＝∠CED．（2）解：△ABC的边AB为直径作半圆O交AC于点D，且OD∥BC，根据解析（1）可知，∠C＝∠CED，∴DC＝DE，∵OD∥BC，OA＝OB，∴，∴AD＝DC，∴AD＝DC＝DE＝4，∴AC＝8，∴∠C＝∠C，∠CED＝∠A，∴△CED∽△CAB，∴，∴，解得：AB＝12，故圆的半径为6．【点评】本题考查了圆的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．25．（2023•庐阳区二模）如图，在⊙O中，AB是直径，点C在圆上，AD、BD分别平分∠BAC和∠ABC，AD的延长线交⊙O于点E，连接BE．（1）求证：BE＝DE；（2）若AB＝10，BC＝6，求BE的长．​【分析】（1）先根据角平分线的定义得到∠CAE＝∠BAD，∠CBD＝∠DBA，再根据圆周角定理得到∠CBE＝∠CAE，然后证明∠EBD＝∠EDB，从而得到BE＝DE；（2）AE与BC相交于点F，如图，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用勾股定理计算出AC＝8，再根据角平分线性质和三角形面积公式可得到＝，则可计算出CF＝，BF＝，接着利用勾股定理计算出AF＝，然后证明△ACF∽△BEF，于是利用相似比可计算出BE的长．【解答】（1）证明：∵AD、BD分别平分∠BAC和∠ABC，∴∠CAE＝∠BAD，∠CBD＝∠DBA，∵∠CBE＝∠CAE，∴∠EBD＝∠CBE+∠DBC＝∠CAE+∠CBD＝∠BAD+∠DBA，∵∠EDB＝∠BAD+∠DBA，∴∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE；（2）解：AE与BC相交于点F，如图，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，AC＝＝＝8，∵AF平分∠BAC，∴点F到AC和AB的距离相等，∴S△ACF：S△ABF＝AC：AB，∵S△ACF：S△ABF＝CF：BF，∴＝＝＝，∴CF＝BC＝，BF＝BC＝，在Rt△ACF中，AF＝＝＝，∵∠CAF＝∠EBF，∠C＝∠E，∴△ACF∽△BEF，∴AC：BE＝AF：BF，即8：BE＝：，解得BE＝，即BE的长为．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了角平分线的性质和相似三角形的判定与性质．26．（2023•合肥二模）如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD．（1）判断△BDE的形状，并证明你的结论；（2）若AB＝10，，求BC的长．【分析】（1）由角平分线的定义、结合等量代换可得∠BED＝∠DBE，即BD＝ED；然后再根据直径所对的圆周角为90°即可解答；（2）如图：连接OC，CD，OD，OD交BC于点F．先说明OD垂直平分BC．进而求得BD、OD、OB的长，设OF＝t，则DF＝5﹣t．然后根据勾股定理列出关于t的方程求解即可．【解答】解：（1）△BDE为等腰直角三角形，理由如下：∵AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC．∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠DBE＝∠DBC+∠CBE，∴∠BED＝∠DBE，∴BD＝ED，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°．∴△BDE为等腰直角三角形；（2）如图：连接OC，CD，OD，OD交BC于点F．∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD，∴BD＝DC．∵OB＝OC，∴OD垂直平分BC．∵△BDE是等腰直角三角形，，∴．∵AB＝10，∴OB＝OD＝5．设OF＝t，则DF＝5﹣t．在Rt△BOF和Rt△BDF中，，解得t＝3，∴BF＝4，∴BC＝8．【点评】本题主要考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、勾股定理的应用、垂直平分线的判定与性质、圆的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．27．（2023•芜湖模拟）如图1，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CE⊥AB于E，D为弧BC的中点，连接AD，分别交CE、CB于点F和点G．（1）求证：CF＝CG；（2）如图2，若AF＝DG，连接OG，求证：OG⊥AB．【分析】（1）连接AC，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，从而可得∠CAG+∠AGC＝90°，根据垂直定义可得∠CEA＝90°，从而可得∠FAE+∠AFE＝90°，然后根据已知可得＝，从而可得∠CAG＝∠FAE，进而可得∠AGC＝∠AFE，最后根据对顶角相等可得∠AFE＝∠CFG，从而可得∠AGC＝∠CFG，进而根据等角对等边即可解答；（2）连接AC，CD，利用（1）的结论，再根据等角的补角相等可得∠AFC＝∠CGD，然后根据SAS证明△AFC≌△DGC，从而可得AC＝CD，进而可得＝＝，最后根据等弧所对的圆周角相等可得∠ABC＝∠DAB，从而可得GA＝GB，进而利用等腰三角形的三线合一性质即可解答，【解答】证明：（1）连接AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAG+∠AGC＝90°，∵CE⊥AB，∴∠CEA＝90°，∴∠FAE+∠AFE＝90°，∵D为弧BC的中点，∴＝，∴∠CAG＝∠FAE，∴∠AGC＝∠AFE，∵∠AFE＝∠CFG，∴∠AGC＝∠CFG，∴CF＝CG；（2）连接AC，CD，∵∠CFG＝∠CGF，∴180°﹣∠CFG＝180°﹣∠CGF，∴∠AFC＝∠CGD，∵CF＝CG，AF＝CD，∴△AFC≌△DGC（SAS），∴AC＝CD，∴＝，∵＝，∴＝，∴∠ABC＝∠DAB，∴GA＝GB，∵OA＝OB，∴GO⊥AB．【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．28．（2023•太湖县一模）阿基米德（公元前287年﹣公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，阿基米德流传于世的著作有10余种，多为希腊文手稿．下面是《阿基米德全集》中记载的一个命题：如图1，AB是⊙O的弦，点C在⊙O上，且CD⊥AB于点D，在弦AB上取点E，使AD＝DE，点F是上的一点，且，连接BF，求证：BF＝BE．学习小组中的一位同学进行了如下证明：如图2，连接AC，CE，BC∵CD⊥AB，AD＝DE．∴∠CAE＝∠CEA∵∠CAE+∠F＝180°，∠CEA+∠CEB＝180°∴∠F＝∠CEB……请完成下列的任务：（1）完成上面的证明：（2）如图3，将上述问题中弦AB改为直径AB，若CF∥AB，求证点E是AB的中点．【分析】（1）证明△BCF≌△BCEC（AAS），即可得出答案；（2）先证明，再证明△ACE为等边三角形，进而得出四边形BECF为菱形，推出AE＝BE，即可得出结论．【解答】解：（1），∴∠CBF＝∠CBE，又∵BC＝BC，∴△BCF≌△BCEC（AAS），∴BF＝BE；（2）证明：如图，连接AC，CE，BC．∵CF∥AB，∴∠BCF＝∠ABC，∵，∴∠CBF＝∠ABC，∴∠BCF＝∠CBF，∴，BF＝CF，∴，∵AB是⊙O的直径，∴∠CAE＝∠ABF＝60°，∵CD⊥AB，AD＝DE，∴∠CAE＝∠CEA＝60°，∴△ACE为等边三角形，∴AE＝CE，∵∠CEA＝∠ABF＝60°，∴CE∥BF，又∵CF∥AB，BF＝CF，∴四边形BECF为菱形，∴CE＝BE，∴AE＝BE，∴点E是AB的中点．【点评】本题考查菱形的判定与性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握这些知识点是解题的关键．29．（2023•蜀山区校级三模）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，点O在BD上，以O为圆心恰好经过A、B、C三点，⊙O交BD于E，交AD于F，且＝，连接OA、OF．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠AOF＝3∠FOE，求∠ABC的度数．【分析】（1）先根据圆的性质得：∠CBD＝∠ABD，由平行线的性质得：∠ABD＝∠CDB，根据直径和等式的性质得＝，则AB＝BC，即可得出结论；（2）设∠FOE＝x，则∠AOF＝3x，根据∠ABC+∠BAD＝180°，列方程求出x的值即可解决问题．【解答】（1）证明：∵＝，∴∠CBD＝∠ABD，∵CD∥AB，∴∠ABD＝∠CDB，∴∠CBD＝∠CDB，∴CB＝CD，∵BE是⊙O的直径，∴＝，∴AB＝BC＝CD，∵CD∥AB，∴四边形ABCD是菱形；．（2）∵∠AOF＝3∠FOE，设∠FOE＝x，则∠AOF＝3x，∠AOD＝∠FOE+∠AOF＝4x，∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OFA＝（180°﹣3x），∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝2x，∴∠ABC＝4x，∵BC∥AD，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∴4x+2x+（180°﹣3x）＝180°，解得：x＝20°，∴∠ABC＝4x＝80°．【点评】本题考查圆周角定理，菱形的判定、平行线的性质等知识，解题的关键是学会设未知数，列方程求角的度数，属于中考常考题型．30．（2023•蚌埠二模）如图，⊙O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点P，AB经过点O，E是AC的中点，连接OE，EP，延长EP交BD于点F．（1）若AB＝10，，求AC的长；（2）求证：EF⊥BD．【分析】（1）根据垂径定理可得OE垂直平分AC，从而可得OE⊥AC，AC＝2AE，然后在Rt△AOE中，利用勾股定理求出AE的长，进行计算即可解答；（2）根据垂直定义可得∠APC＝∠BPD＝90°，从而可得∠DPF+∠BPF＝90°，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得EP＝EC，从而可得∠EPC＝∠C，再利用对顶角相等，以及同弧所对的圆周角相等可得∠DPF＝∠B，最后利用等量代换可得∠B+∠BPF＝90°，从而利用三角形内角和定理进行计算可得∠BFP＝90°，即可解答．【解答】（1）解：∵E是AC的中点，∴OE垂直平分AC，∴OE⊥AC，AC＝2AE，∵AB＝10，∴OA＝AB＝5，在Rt△AOE中，OE＝，∴，∴，∴AC的长为2；（2）证明：∵AB⊥CD，∴∠APC＝∠BPD＝90°，∴∠DPF+∠BPF＝90°，∵E是AC的中点，∴EP＝EC＝AC，∴∠EPC＝∠C，∵∠EPC＝∠DPF，∠B＝∠C，∴∠DPF＝∠B，∴∠B+∠BPF＝90°，∴∠BFP＝180°﹣（∠B+∠BPF）＝90°，∴EF⊥BD．【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理，熟练掌握圆周角定理，以及垂径定理是解题的关键．31．（2023•蒙城县模拟）如图，以BC为直径的⊙O经过△ABC的顶点A，弦BD平分∠ABC，E是弦BD上一点，且∠ACE＝∠BCE．（1）求证：CD＝DE；（2）若AC＝8，，求⊙O的半径．【分析】（1）由角平分线的定义和圆周角定理可知，∠BCE＝∠ACE，∠ABE＝∠EBC＝∠ACD，可得∠CED＝∠DCE，即可证明；（2）连接OA、AD、OD，OD交AC于点F，由圆周角定理可得：∠BCA＝∠BDA，利用各角之间的关系及等角对等边得出AD＝DC，再由垂直平分线的判定定理得出OD垂直平分AC，利用圆周角定理及勾股定理得出，再由垂径定理及勾股定理求解即可．【解答】（1）证明：由圆周角定理可得：∠ACD＝∠ABD，∵BE平分∠ABC，∠BCE＝∠ACE，∴∠ABE＝∠EBC＝∠ACD，∵∠CED＝∠BCE+∠CBE，∠DCE＝∠DCA+∠ACE，∴∠CED＝∠DCE．∴CD＝DE；（2）解：连接OA、AD、OD，OD交AC于点F，由圆周角定理可得：∠BCA＝∠BDA，由（1）知∠CBD＝∠ABD＝∠CAD，∴∠ACD＝∠CAD＝∠ABD＝∠CBD，∴AD＝DC，∵OA＝OC，∴OD垂直平分AC．∵CB为直径，CD＝DE，∴∠CDB＝90°，则△CDE是等腰直角三角形．∵，CE2＝CD2+ED2＝2CD2，∴．∵AC＝8，∴AF＝FC＝4，∴，设⊙O的半径为r，∴OC＝OD＝r，OF＝r﹣2，在Rt△OCF中，OC2＝OF2+CF2，即r2＝（r﹣2）2+42，解得r＝5，∴⊙O的半径为5．【点评】此题考查了圆周角定理，垂径定理及等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，证明△CDE是等腰直角三角形是解题关键．32．（2023•安徽二模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AD，BD，（1）求证：∠ADC＝∠ABD．（2）作OF⊥AD于点F，若⊙O的半径为5，OE＝3，求OF的长．【分析】（1）利用等角的余角相等证明即可；（2）利用勾股定理求出DE，AD，再利用相似三角形的性质求解即可．【解答】（1）证明：∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵AB⊥CD，∴∠DEB＝90°，∴∠ADC+∠CDB＝90°，∠CDB+∠ABD＝90°，∴∠ADC＝∠ABD；解法二：∵AB⊥CD，AB是直径，∴＝，∴∠ADC＝∠ABD．（2）解：如图，连接OD．在Rt△OED中，DE＝＝＝4，在Rt△ADE中，AD＝＝＝4，∵sin∠A＝＝，∴＝，∴OF＝．【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．五．切线的性质（共9小题）33．（2023•合肥三模）如图，点C是半⊙O直径AB延长线上一点，CD与⊙O相切于点D，E为AB上一点，EF∥CD交AD于G，若∠AGF＝70°，⊙O的半径为2，则的长为（）A． B． C． D．【分析】连接OD，由切线的性质得出∠ODC＝90°，求出∠BOD＝40°，由弧长公式可得出答案．【解答】解：连接OD，∵CD与⊙O相切于点D，∴OD⊥DC，∴∠ODC＝90°，∵EF∥CD，∴∠EGD+∠GDC＝180°，∵∠AGF＝∠EGD＝70°，∴∠GDC＝180°﹣∠EGD＝110°，∴∠ADO＝110°﹣90°＝20°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA＝20°，∴∠BOD＝40°，∴的长为＝．故选：D．【点评】本题考查了切线的性质，平行线的性质，弧长公式，熟练掌握切线的性质是解题的关键．34．（2023•凤台县校级二模）如图，矩形ABCD中，AB＝6，点E在AD边上，以E为圆心EA长为半径的⊙E与BC相切，交CD于点F，连接EF．若扇形EAF的面积为12π，则BC的长是（）A．4 B．4 C．8 D．9【分析】设∠AEF＝n°，由题意得：＝12π，解得n＝120，推出∠AEF＝120°，在Rt△EFD中，求出DE即可解决问题．【解答】解：设∠AEF＝n°，∵以E为圆心EA长为半径的⊙E与BC相切，∴r＝6，由题意得：＝12π，解得n＝120，∴∠AEF＝120°，∴∠FED＝60°，∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD，∠D＝90°，∴∠EFD＝30°，∴DE＝EF＝3，∴BC＝AD＝6+3＝9．故选：D．【点评】本题考查切线的性质、矩形的性质、扇形的面积公式、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．35．（2023•东至县一模）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠CDB＝20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（）A．70° B．50° C．40° D．20°【分析】方法一：连接OC，由CE为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于CE，由OA＝OC，利用等边对等角得到一对角相等，再利用外角性质求出∠COE的度数，即可求出∠E的度数．方法二：连接OC，由CE为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于CE，再根据圆周角定理，即可得到∠COE的度数，再根据∠OCE＝90°，即可得到∠E的度数．【解答】解：方法一：连接OC，∵CE为圆O的切线，∴OC⊥CE，∴∠COE＝90°，∵∠CDB与∠BAC都对，且∠CDB＝20°，∴∠BAC＝∠CDB＝20°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝20°，∵∠COE为△AOC的外角，∴∠COE＝40°，则∠E＝50°．故选：B．方法二：连接OC，∵CE为圆O的切线，∴OC⊥CE，∴∠COE＝90°，∵∠CDB＝20°，∴∠CAB＝∠CDB＝20°，∴∠COE＝2∠CAB＝40°，∴∠E＝∠OCE﹣∠COE＝90°﹣40°＝50°．故选：B．【点评】此题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．36．（2023•瑶海区校级一模）如图，直线AB与⊙O相切于点A，CD是⊙O的一条弦，且CD∥AB，连接AC．若⊙O的半径为2，，则阴影部分的面积为（）A． B．4π C． D．【分析】如图所示，过点O作EF∥AB，作OH⊥CD于H，可得∠OCH＝30°，∠AOC＝120°，结合图形可求出扇形OAC的面积，△OAC的面积，由此即可求解．【解答】解：如图所示，过点O作EF∥AB，作OH⊥CD于H，则点H是CD的中点，∵直线AB与⊙O相切于点A，CD∥AB，∴A，O，H在同一条直线上，且AB∥EF∥CD，∴，在Rt△COH中，CO＝2，∴，∴∠OCH＝30°，∵AB∥EF∥CD，∴∠HCO＝∠COF＝30°，∠FOA＝∠OAB＝90°，∴∠AOC＝120°，∴，，，∴，∴阴影部分的面积为，故选：A．【点评】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握垂径定理，平行线的性质，特殊角的直角三角形，扇形面积的计算方法是解题的关键．37．（2023•安徽二模）已知，AB、AC是⊙O的切线，B、C为切点，OD∥AC交劣弧BC于点D．∠A＝40°，则∠BOD的度数是（）A．40° B．50° C．55° D．60°【分析】由切线的性质定理得到∠ACO＝90°，∠ABO＝90°，即可求出∠BOC＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，由平行线的性质得到∠DOC＝90°，即可求出∠BOD的度数．【解答】解：连接OC，∵AB，AC是⊙O的切线，∴半径OC⊥AC，OB⊥AB，∴∠ACO＝90°，∠ABO＝90°，∵∠A+∠BOC+∠ACO+∠ABO＝360°，∠A＝40°，∴∠BOC＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，∵OD∥AC，∴∠DOC+∠ACO＝180°，∴∠DOC＝90°，∴∠BOD＝∠BOC﹣∠DOC＝140°﹣90°＝50°．故选：B．【点评】本题考查切线的性质，平行线的性质，关键是掌握切线的性质定理．38．（2023•庐阳区校级三模）如图，AB是⊙O的直径，点C是BD的中点，过点C的切线与AD的延长线交于E，连接CD，AC．（1）求证：CE⊥AE；（2）若CD∥AB，DE＝1，求⊙O的面积．​【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质可得∠OAC＝∠OCA，再由等弧所对的圆周角相等可得∠OAC＝∠CAD，从而证明∠CAD＝∠OCA，可得OC∥AE，即可证明．（2）连接OD，由题意可证四边形AOCD是菱形，可得△AOD是等边三角形，从而可得∠DCE＝30°，根据直角三角形的性质可得DC＝2DE，即可求出结果．【解答】（1）证明：如图，连接OC，∵CE是⊙O的切线，∴OC⊥CE，∵点C是的中点，∴，∴∠CAB＝∠CAD，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠OCA＝∠CAD，∴OC∥AE，∴CE⊥AE；（2）解：如图，连接OD，∵CD∥AB，OC∥AE，∴四边形AOCE是平行四边形，又∵OA＝OC，∴四边形AOCD是菱形，∴AD＝CD＝OA，∴OA＝AD＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠OAD＝60°，∵CD∥AB，∴∠CDE＝∠OAD＝60°，∴∠DCE＝30°，∴CD＝2DE＝2，∴OA＝CD＝2，∴⊙O的面积＝2π×22＝8π．即⊙O的面积为8π．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、圆的切线的性质定理和圆周角定理、等边三角形的性质和菱形的判定和性质及平行线的性质，熟练综合运用这些知识点，并能准确作出辅助线是解决问题的关键．39．（2023•金安区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．⊙O分别与边AC，BC相切于点D和点E，连接CO．（1）求证：CO为∠ACB的平分线．（2）连接AE与CO交于点F，且满足2AF＝3FE，若BE＝8，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OD，OE，由切线的性质定理，得到OD⊥AC