专题07与线段有关的计算(原卷版+解析)

07与线段有关的计算1．如图所示，点M、N分别是线段AC、BD的中点．求证MN=（AB-CD）．2．如图，已知点D是线段上一点，点C是线段的中点，且，若，求线段的长．3．已知线段，直线上有一点C，，点D是线段的中点，求线段的长．4．如图，点是线段上一点，点、、分别是线段，，的中点．(1)若，则；若，则．(2)若，，求线段的长．5．如图，延长线段到，使，点是线段的中点，如果，(1)求的长度；(2)若点是线段的中点，求的长度．6．如图，点是线段的中点，点在线段上，且，，求线段和线段的长．7．如图，，C是AB的中点，D是CB上一点，E为DB中点，．求CD的长．8．已知点在直线上，点，分别为，的中点．(1)如图所示，若在线段上，厘米，厘米，求线段，的长；(2)若点在线段的延长线上，且满足厘米，请根据题意画图，并求的长度（结果用含的式子表示）．9．已知：如图，线段AC上依次有D，B，E三点，其中点B为线段AC的中点，，若，求线段AC的长．10．已知，点在直线上，点、分别是线段、的中点．(1)如图1，点在线段上一点，，求的长；(2)如图2，点在线段的延长线上，，点为直线上一点，，求长．11．如图，已知点C是线段上的点，D是延长线线上的点，且，，，求的长.12．已知，如图，点为线段上一点，，，且，分别为，的中点，求和的长．13．已知，点在线段上，(1)试说明和有怎样的关系？(2)若，求的长14．已知，线段，在直线上画线段，使，点D是中点，点E是的中点，求的长．15．已知点B是直线AC上一点，，分别是线段的中点，求线段的长（画出图形并解答）16．点为数轴的原点，点在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为，线段的长为线段长的倍，点C在数轴上．(1)点B表示的数为(2)若线段，求线段的长；(3)在（2）的条件下，若点M为线段的中点，求出线段的长；17．回答下列问题：(1)如图，已知线段，点线段上，、分别是线段与线段的中点，求线段的长；(2)已知线段，点在线段的延长线上，、分别是线段与线段的中点，则线段的长为多少？(3)已知线段，点在线段的反向延长线上，、分别是线段与线段的中点，则线段的长为多少？18．如图所示，点C为线段上一点，点M、N分别是、的中点．求证：MN=AB19．如图，点C为线段AB上一点，AC＝12cm，，D、E分别为AC、AB的中点，求DE的长．20．已知A，B，C，D四点在同一条直线上，点C是线段AB的中点．(1)点D在线段AB上，且AB=6，，求线段CD的长度；(2)若点E是线段AB上一点，且AE=2BE，当时，线段CD与CE具有怎样的数量关系，请说明理由．21．如图，已知，C为线段上一点，D为的中点，E为的中点，F为的中点(1)如图1，若，，求的长；(2)若，求的值；(3)若，，取的中点G，的中点H，的中点P，求的长(用含a的式子表示)．22．A、B、C、D四个车站的位置如图所示，A、B两点之间的距离表示为，，，．(1)求A、C两站的距离；(2)求C、D两站的距离；(3)探究：与之间的数量关系．23．已知点、、在同一条直线上，点、分别是、的中点，且，．(1)如图①，若点在线段上，，，求线段的长；(2)若点为线段上任一点，其它条件不变，请直接写出你的猜想结果，的长度为（用含有，的代数式表示），不必说明理由；(3)若点在线段的延长线上，其它条件不变，请在图②中画出图形，试猜想的长度为（用含有，的代数式表示，，并说明理由．24．已知：点C在直线上，点D、E分别是的中点．(1)当点C在线段上时，如图（1），①若，则；②若，你能猜想出的长度吗？写出你的猜想并说明理由；(2)当点C在线段的延长线上，且时，你能猜想出的长度吗？请在图（2）上画出图形，并直接写出你的猜想结果．25．如图，点在线段上，，，点、分别为、的中点．(1)求线段、的长；(2)若在线段的延长线上，且满足，、分别是线段、的中点，求的长度．26．如图，点在线段上，点、分别是、的中点，若，，求线段的长．27．如图，已知点C为线段上一点，，，分别是、的中点．求：(1)求的长度；(2)求的长度；(3)若M在直线上，且，求的长度．28．已知点在直线上，点，分别为，的中点．(1)如图所示，若在线段上，厘米，厘米，求线段，的长；(2)若点在线段的延长线上，且满足厘米，请根据题意画图，并求的长度（结果用含的式子表示）．29．如图，线段，请用尺规按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹），再完成作答．(1)延长线段到点C，使，并直接取、的中点分别为点D、点E；(2)若，求的长．30．如图，点C在线段AB上，，点M、N分别是的中点．(1)求线段的长；(2)若C为线段上任一点，满足，点M、N分别是的中点，猜想：．(3)若C在线段AB的延长线上，且满足，点M、N分别为的中点，猜想：．07与线段有关的计算1．如图所示，点M、N分别是线段AC、BD的中点．求证MN=（AB-CD）．【答案】证明见解析【详解】证明：∵点M、N分别是线段AC、BD的中点，∴AM=AC，BN=BD，∴MN=AB-AM-BN=AB-AC-BD=AB-（AC+BD）=AB-（AB+CD）=（AB-CD）．2．如图，已知点D是线段上一点，点C是线段的中点，且，若，求线段的长．【答案】线段的长为【详解】解：∵，，∴，∴，∵点C是线段的中点，∴，答：线段的长为．3．已知线段，直线上有一点C，，点D是线段的中点，求线段的长．【答案】线段的长是20或40．【详解】解：分两种情况：①如图1，当点C在线段上时，，，∵点D是线段的中点，∴．②如图2，当点C在线段的延长线上时，，，∵点D是线段的中点，综上可知，线段的长是20或40．4．如图，点是线段上一点，点、、分别是线段，，的中点．(1)若，则；若，则．(2)若，，求线段的长．【答案】(1)5，12；(2)2.5【详解】（1）∵、分别是、的中点，∴，，∴；若，∴，；故答案为：5，12；（2）∵，，∴，∵是线段的中点，∴，∴，∵是线段的中点，，∴．5．如图，延长线段到，使，点是线段的中点，如果，(1)求的长度；(2)若点是线段的中点，求的长度．【答案】(1)；(2)【详解】（1）解：设，∴，∵点是线段的中点，∴，则，解得：，，∴．（2）解：∵点是线段的中点，∴，∵，∴，∴．6．如图，点是线段的中点，点在线段上，且，，求线段和线段的长．【答案】，【详解】解：∵，，∴，∴，∵点是线段的中点，∴，∴．7．如图，，C是AB的中点，D是CB上一点，E为DB中点，．求CD的长．【答案】9【详解】解：∵点C是AB的中点，∴，又∵点E是DB的中点，∴，∴．8．已知点在直线上，点，分别为，的中点．(1)如图所示，若在线段上，厘米，厘米，求线段，的长；(2)若点在线段的延长线上，且满足厘米，请根据题意画图，并求的长度（结果用含的式子表示）．【答案】(1)；；(2)作图见解析，【详解】（1）解：是的中点，，，又为的中点，，；（2）解：根据题意，点的位置分两种情况：①点的位置在点左侧，如图所示：是的中点，，∵N是的中点，，；②点的位置在点右侧，如图所示：是的中点，，∵N是的中点，，．9．已知：如图，线段AC上依次有D，B，E三点，其中点B为线段AC的中点，，若，求线段AC的长．【答案】8【详解】解：∵D，B，E三点依次在线段AC上，∴DE=DB+BE．∵AD=BE，∴DE=DB+AD=AB．∵DE=4，∴AB=4．∵点B为线段AC的中点，∴AC=2AB=8．10．已知，点在直线上，点、分别是线段、的中点．(1)如图1，点在线段上一点，，求的长；(2)如图2，点在线段的延长线上，，点为直线上一点，，求长．【答案】(1)；(2)3或10【详解】（1）解：∵是中点，是中点，∴，，∴，∵，∴．（2）解：∵是中点，是中点，∴，∴∴当点在点的右侧时，，即，解得；当点在点的左侧时，，即，解得，∴．综上所述，的长为3或10．11．如图，已知点C是线段上的点，D是延长线线上的点，且，，，求的长.【答案】【详解】解：∵，，∴，∴，∵，∴，∴．12．已知，如图，点为线段上一点，，，且，分别为，的中点，求和的长．【答案】，【详解】解：∵，，∴，∴，∵，分别为，的中点，∴，，∴．13．已知，点在线段上，(1)试说明和有怎样的关系？(2)若，求的长【答案】(1)；(2)【详解】（1）解：∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵．14．已知，线段，在直线上画线段，使，点D是中点，点E是的中点，求的长．【答案】图见解析；20或40【详解】解：（1）当点C在线段上时，如下图，()；（2）当点C在线段的延长线上时，如下图，()；∴的长为20或40．15．已知点B是直线AC上一点，，分别是线段的中点，求线段的长（画出图形并解答）【答案】线段PQ的长为或．【详解】解：∵分别是中点，∴，，当点在线段上时，，当点在的延长线上时，，∴线段PQ的长为或．16．点为数轴的原点，点在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为，线段的长为线段长的倍，点C在数轴上．(1)点B表示的数为(2)若线段，求线段的长；(3)在（2）的条件下，若点M为线段的中点，求出线段的长；【答案】(1)；(2)或；(3)或【详解】（1）解：因为点A表示的数为；所以因为线段的长为线段长的倍；所以所以所以点B表示的数为（2）解：当点C在点B的左侧时，如图：因为，；所以；当点C在点B的右侧时，如图：因为，；所以综上所述：线段的长为或；（3）解：当点C在点B的左侧时，如图：因为点M为线段的中点，；所以所以；当点C在点B的右侧，如图：因为点M为线段的中点，；所以所以综上所述：线段的长为或．17．回答下列问题：(1)如图，已知线段，点线段上，、分别是线段与线段的中点，求线段的长；(2)已知线段，点在线段的延长线上，、分别是线段与线段的中点，则线段的长为多少？(3)已知线段，点在线段的反向延长线上，、分别是线段与线段的中点，则线段的长为多少？【答案】(1)；(2)；(3)【详解】（1）解：点是中点，，点是中点，，；（2）解：如图1所示：点是中点，，点是中点，，；（3）解：如图2所示：为的中点，为的中点，，，．18．如图所示，点C为线段上一点，点M、N分别是、的中点．求证：MN=AB【答案】证明见解析【详解】证明：∵M、N分别是线段AC、BC的中点，∴MC=AC，CN=BC，∴MN=MC+CN=（AC+BC）=AB19．如图，点C为线段AB上一点，AC＝12cm，，D、E分别为AC、AB的中点，求DE的长．【答案】【详解】解：∵，，∴，∴，∵分别为的中点，，∴，∴．20．已知A，B，C，D四点在同一条直线上，点C是线段AB的中点．(1)点D在线段AB上，且AB=6，，求线段CD的长度；(2)若点E是线段AB上一点，且AE=2BE，当时，线段CD与CE具有怎样的数量关系，请说明理由．【答案】(1)线段CD的长度为2；(2)5CD=3CE或CD=15CE．理由见解析【详解】（1）解：如图1，∵点C是线段AB的中点，AB=6，∴BC=AB=3，∵BD=BC，∴BD=1，∴CD=BC-BD=2；（2）解：5CD=3CE或CD=15CE．理由如下：当点D在线段AB上，如图2，设AD=2x，则BD=3x，∴AB=AD+BD=5x，∵点C是线段AB的中点，∴AC=AB=，∴CD=AC-AD=x，∵AE=2BE，∴AE=AB=x，CE=AE-AC=x，∴=，即5CD=3CE；当点D在BA延长线上时，如图3，设AD=2a，则BD=3a，∴AB=BD-AD=a，∵点C是线段AB的中点，∴AC=AB=，∴CD=AC+AD=a，∵AE=2BE，∴AE=AB=a，CE=AE-AC=a，∴=，即CD=15CE．综上，5CD=3CE或CD=15CE．21．如图，已知，C为线段上一点，D为的中点，E为的中点，F为的中点(1)如图1，若，，求的长；(2)若，求的值；(3)若，，取的中点G，的中点H，的中点P，求的长(用含a的式子表示)．【答案】(1)；(2)；(3)【详解】（1）解：为的中点，E为的中点，，，，为的中点，∴，；（2）解：设，，则，，，为的中点，，∴；，，，，即的值为；（3）解：如图，设，，即，则，，的中点为G，的中点为H，，，，的中点为P，，，∵x-y=a，．22．A、B、C、D四个车站的位置如图所示，A、B两点之间的距离表示为，，，．(1)求A、C两站的距离；(2)求C、D两站的距离；(3)探究：与之间的数量关系．【答案】(1);(2);(3)【详解】（1）解：由图可知；（2）解：由图可知；（3）解：由（2）可知，∴．∵，∴．23．已知点、、在同一条直线上，点、分别是、的中点，且，．(1)如图①，若点在线段上，，，求线段的长；(2)若点为线段上任一点，其它条件不变，请直接写出你的猜想结果，的长度为（用含有，的代数式表示），不必说明理由；(3)若点在线段的延长线上，其它条件不变，请在图②中画出图形，试猜想的长度为（用含有，的代数式表示，，并说明理由．【答案】(1);(2);(3)，理由见解析【详解】（1）（1）点、分别是、的中点，，，；（2））猜想：，理由如下：点、分别是、的中点，，，．故答案为：；（3）猜想：，理由如下：如图，点、分别是、的中点，，，．故答案为：．24．已知：点C在直线上，点D、E分别是的中点．(1)当点C在线段上时，如图（1），①若，则；②若，你能猜想出的长度吗？写出你的猜想并说明理由；(2)当点C在线段的延长线上，且时，你能猜想出的长度吗？请在图（2）上画出图形，并直接写出你的猜想结果．【答案】(1)①4；②a;(2)（n﹣m）【详解】（1）解：（1）①∵点D、E分别是的中点，∴，∵，∴．故答案为：4．②∵点D、E分别是的中点，∴，∵，∴．（2）解：画图如图2所示，DE（n﹣m），理由如下：∴，∵，∴．25．如图，点在线段上，，，点、分别为、的中点．(1)求线段、的长；(2)若在线段的延长线上，且满足，、分别是线段、的中点，求的长度．【答案】(1)，;(2)【详解】（1）解：，是的中点，，，，为的中点，，，故答案为：，．（2）如下图所示，是中点，是中点，，，，．故答案为：．26．如图，点在线段上，点、分别是、的中点，若，，求线段的长．【答案】【详解】解：由、分别是、的中点，得，．由线段的和差，得．27．如图，已知点C为线段上一点，，，分别是、的中点．求：(1)求的长度；(2)求的长度；(3)若M在直线上，且，求的长度．【答案】(1);(2);(3)或【详解】（1）解：由线段中点的性质，；（2）由线段的和差，得，由线段中点的性质，