第10讲二次函数中菱形的存在性问题专题探究(原卷版+解析)

第10讲二次函数中菱形的存在性问题专题探究【知识总结】方法策略：抓菱形两大性质邻边相等→转化为等腰△存在性问题对角线垂直→转化为直角△存在性问题，或“k型相似”问题【类题训练】1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝ax2+bx+3与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（﹣1，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线L的函数表达式；（2）将抛物线L向右平移3个单位长度得到新的抛物线L′，点Q为坐标平面内一点，试判断在抛物线L′的对称轴上是否存在点P，使得以点B、C、P、Q为顶点的四边形是以BC为边的菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C（0，3），A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方．（1）求这个二次函数的表达式．（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP'C，那么是否存在点P，使四边形POP'C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，使△BPC的面积最大，求出点P的坐标和△BPC的面积最大值．3．如图，已知二次函数y＝x2﹣3x﹣4的图象与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D，点A为抛物线的顶点，连接CD．（1）求S△COD；（2）如图1，点P在直线CD下方抛物线上的一个动点，过点P作PQ⊥CD交于点Q，过点P作PE∥x轴交CD于点E，求PE+PQ的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿着射线DC方向平移个单位长度得到新抛物线y1，点M在新抛物线对称轴上运动，点N是平面内一点，若以B、P、M、N为顶点的四边形是以BM为边的菱形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并选择其中一个点的坐标写出求解过程．​4．如图，已知经过A（1，0），B（4，0）两点的抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C．（1）求此抛物线的解析式及点C的坐标；（2）若线段BC上有一动点M（不与B、C重合），过点M作MN⊥x轴交抛物线于点N．①求当线段MN的长度最大时点M的坐标；②是否存在一点M，使得四边形OCMN为菱形？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的图象与x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）当动点P运动到什么位置时，使四边形ACPB的面积最大，求出此时四边形ACPB的面积最大值和P的坐标；（3）如图2，点M在抛物线对称轴上，点N是平面内一点，是否存在这样的点M、N，使得以点M、N、A、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有M点的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（0，1），B（4，﹣1）．直线AB交x轴于点C，P是直线AB上方且在对称轴右侧的一个动点，过P作PD⊥AB，垂足为D，E为点P关于抛物线的对称轴的对应点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）将抛物线y关于直线x＝3作对称后得新抛物线y'，新抛物线与原抛物线相交于点F，M是新抛物线对称轴上一点，N是平面中任意一点，是否存在点N，使得以C，F，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．

第10讲二次函数中菱形的存在性问题专题探究【知识总结】方法策略：抓菱形两大性质邻边相等→转化为等腰△存在性问题对角线垂直→转化为直角△存在性问题，或“k型相似”问题【类题训练】1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝ax2+bx+3与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（﹣1，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线L的函数表达式；（2）将抛物线L向右平移3个单位长度得到新的抛物线L′，点Q为坐标平面内一点，试判断在抛物线L′的对称轴上是否存在点P，使得以点B、C、P、Q为顶点的四边形是以BC为边的菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）设P（1，t），Q（x，y），根据题意分两种情况讨论：当BP为菱形的对角线时，BC＝CP，P（1，0）或（1，6）；当BQ为菱形的对角线时，BC＝BP，P（1，）或（1，﹣）．【解答】解：（1）∵抛物线L：y＝ax2+bx+3与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（﹣1，0），∴，解得，∴抛物线L的函数表达式为y＝x2+4x+3；（2）存在点P，使得以点B、C、P、Q为顶点的四边形是以BC为边的菱形，理由如下：∵y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，将抛物线L向右平移3个单位长度得到新的抛物线L′，∴抛物线L′的解析式为y＝（x+2﹣3）2﹣1，即抛物线L′的解析式为y＝x2﹣2x，对称轴为直线x＝1，∵抛物线L：y＝ax2+bx+3与y轴相交于点C，∴C（0，3），∴BC＝＝，设P（1，t），Q（x，y），当BP为菱形的对角线时，BC＝CP，∴，解得或，∴P（1，0）或（1，6）；当BQ为菱形的对角线时，BC＝BP，∴，解得或，∴P（1，）或（1，﹣）；综上所述：P点坐标为（1，0）或（1，6）或（1，）或（1，﹣）．2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C（0，3），A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方．（1）求这个二次函数的表达式．（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP'C，那么是否存在点P，使四边形POP'C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，使△BPC的面积最大，求出点P的坐标和△BPC的面积最大值．【分析】（1）利用待定系数法可直接求出二次函数的解析式；（2）先设出点P的坐标，再求出P'的坐标，利用菱形的对角线互相垂直且邻边相等即可求出点P的坐标；（3）先设出点P的坐标，然后作PQ平行y轴交BC与点Q，将三角形PCQ和三角形PBQ的面积表示出来，再求出最大值的条件和最大值．【解答】解：（1）把点B，点C的坐标代入解析式，得：，解得：，∴二次函数得表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）存在点P，使四边形POP'C为菱形，设P（x，﹣x2+2x+3），PP'交CO于点E，若四边形POP'C是菱形，则PC＝PO，连接PP'，则PE⊥CO，OE＝CE＝，∴，解得，（不合题意，舍去），∴点P的坐标为（，）；（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，设P（x，﹣x2+2x+3），易得直线BC的解析式为y＝﹣x+3，则Q（x，﹣x+3），∴S△CPB＝S△BPQ+S△CPQ＝QP•BO＝，当x＝时，△CPB的面积最大，此时，点P的坐标为（，），△CPB的面积的最大值为．3．如图，已知二次函数y＝x2﹣3x﹣4的图象与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D，点A为抛物线的顶点，连接CD．（1）求S△COD；（2）如图1，点P在直线CD下方抛物线上的一个动点，过点P作PQ⊥CD交于点Q，过点P作PE∥x轴交CD于点E，求PE+PQ的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿着射线DC方向平移个单位长度得到新抛物线y1，点M在新抛物线对称轴上运动，点N是平面内一点，若以B、P、M、N为顶点的四边形是以BM为边的菱形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并选择其中一个点的坐标写出求解过程．​【分析】（1）已知函数解析式，分别令x＝0、y＝0，解方程即可求得B、C、D的坐标，再运用三角形面积公式即可求得答案．（2）利用待定系数法可得直线CD的解析式为y＝x﹣4，设P（t，t2﹣3t﹣4），可表示出PE，利用等腰直角三角形性质可将PE表示PQ的长，进而用点P坐标将PE+PQ表示成函数，借助二次函数求最值的方法即可求得PE+PQ的最大值．（3）菱形的存在性问题先转化为求以AC为边的等腰三角形的存在性问题，然后根据平行四边形存在性问题的处理方法写出第四点N即可．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣4，∴D（0，﹣4），∴OD＝4，当y＝0时，x2﹣3x﹣4＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝4，∴B（﹣1，0），C（4，0），∴OC＝4，∴S△COD＝OC•OD＝×4×4＝8；（2）设直线CD的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线CD的解析式为y＝x﹣4，设P（t，t2﹣3t﹣4），∵OC＝OD＝4，∠COD＝90°，∴△COD是等腰直角三角形，∴∠DCO＝45°，∵PE∥x轴，∴∠PEQ＝∠DCO＝45°，点E的纵坐标与点P的纵坐标相同，∴t2﹣3t﹣4＝x﹣4，∴x＝t2﹣3t，∴E（t2﹣3t，t2﹣3t﹣4），∴PE＝t﹣（t2﹣3t）＝﹣t2+4t，∵PQ⊥CD，∴△PEQ是等腰直角三角形，∴PQ＝PE＝（﹣t2+4t），∴PE+PQ＝﹣t2+4t+（﹣t2+4t）＝﹣（t﹣2）2+2+4，∵﹣＜0，∴当t＝2时，PE+PQ取得最大值，最大值为2+4，此时点P的坐标为（2，﹣6）；（3）依题意，抛物线沿射线DC平移2个单位即抛物线向右平移2个单位，向上平移2个单位．平移后抛物线解析式为：y1＝（x﹣）2﹣，对称轴为直线x＝．故设点M（，m），又B（﹣1，0），P（2，﹣6）．∴BP＝＝3，BM＝＝，PM＝＝．由题意知，以BM为腰的等腰三角形△BPM有两种情况：①如图1，当BP＝BM时，则3＝，解得：m1＝，m2＝﹣．M1（，），M2（，﹣）．由平行四边形对角线互相平分可知：，∴N1（，﹣6+），N2（，﹣6﹣）；②如图2，当PM＝BM时，则＝，解得：m＝﹣，∴M3（，﹣），∴N3（﹣，﹣），综上：使以BM为边的菱形的N点有：N1（，﹣6+），N2（，﹣6﹣），N3（﹣，﹣）．4．如图，已知经过A（1，0），B（4，0）两点的抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C．（1）求此抛物线的解析式及点C的坐标；（2）若线段BC上有一动点M（不与B、C重合），过点M作MN⊥x轴交抛物线于点N．①求当线段MN的长度最大时点M的坐标；②是否存在一点M，使得四边形OCMN为菱形？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A（1，0），B（4，0）代入y＝x2+bx+c，待定系数法求解析式即可求解；（2）①先待定系数法求得直线BC的解析式为y＝﹣x+4，设M的坐标为（m，﹣m+4），则N（m，m2﹣5m+4），进而得出MN关于m的函数关系式，根据二次函数的性质得出线段MN的长度最大时，求得m点的值，即可点M的坐标；②当根据菱形的性质得出MN＝CO＝CM＝4，求得M（2，2），进而计算MC，得出MC≠CO进行判断，即可得出结论．【解答】解：（1）将A（1，0），B（4，0）代入y＝x2+bx+c，得，解得：，∴抛物线解析式为：y＝x2﹣5x+4，当x＝0时，y＝4，即C（0，4）；（2）①设直线BC的解析式为y＝kx+4，将点B（4，0）代入得，4k+4＝0，解得：k＝﹣1，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，设M的坐标为（m，﹣m+4），则N（m，m2﹣5m+4），∴MN＝﹣m+4﹣（m2﹣5m+4）＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，∵﹣1＜0，∴当m＝2时，MN取得最大值，∴M（2，2）；②不存在，理由：∵四边形OCMN是菱形，则MN＝CO＝CM＝4，∴﹣（m﹣2）2+4＝4，∴m＝2，此时M（2，2），C（0，4），∴≠CO，∴不存在点M使得四边形OCMN为菱形．5．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的图象与x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）当动点P运动到什么位置时，使四边形ACPB的面积最大，求出此时四边形ACPB的面积最大值和P的坐标；（3）如图2，点M在抛物线对称轴上，点N是平面内一点，是否存在这样的点M、N，使得以点M、N、A、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有M点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，直接利用待定系数法，即可求得这个二次函数的表达式；（2）设点P的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），即可由S四边形ACPB＝S△AOC+S△COP+S△BOP求得答案；（3）分别从当AM＝AC，CM＝CA，AC为对角线，结合菱形的性质去分析求解即可求得答案．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴，解得：，∴这个二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）设点P的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），S四边形ACPB＝S△AOC+S△COP+S△BOP，＝＝＝，∵，∴当时，四边形ABCP的最大值是，此时点P的坐标为，（3）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，当x＝0时，y＝﹣3，∴C（0，﹣3），设点M的坐标为（1，t），则：AM2＝（﹣1﹣1）2+（0﹣t）2，AC2＝（﹣1﹣0）2+[0﹣（﹣3）]2，CM2＝（0﹣1）2+（﹣3﹣t）2，设AC的中点为Q，则点Q的坐标为，即，∴，，当AM＝AC时，则AM2＝AC2，∴（﹣1﹣1）2+（0﹣t）2＝（﹣1﹣0）2+[0﹣（﹣3）]2，解得，，∴、，；当CM＝CA时，则CM2＝CA2，∴（0﹣1）2+（﹣3﹣t）2＝（﹣1﹣0）2+[0﹣（﹣3）]2，解得，t1＝0，t2＝﹣6，∴M3（1，0）、M4（1，﹣6）（舍去，此时M、A、C三点共线，无法构成菱形）；当AC为对角线时则有：AQ2+QM2＝AM2，∴＝（﹣1﹣1）2+（0﹣t）2，解得，t＝﹣1，∴M5（1，﹣1），∴存在这样的点M、N能够使得以点M、N、A、C为顶点的四边形是菱形，此时点M的坐标为：、、M3（1，0）、M5（1，﹣1）．6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（0，1），B（4，﹣1）．直线AB交x轴于点C，P是直线AB上方且在对称轴右侧的一个动点，过P作PD⊥AB，垂足为D，E为点P关于抛物线的对称轴的对应点．（1）求抛物线的函数