九年级数学上学期开学摸底考试卷(人教版)(原卷版+解析)2

九年级数学上学期开学摸底考试卷（人教版）（满分100分，完卷时间90分钟）测试范围：八下全部内容考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．一．选择题（共10小题）1．如图，一根木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m处，木杆折断之前的高度是（）A．5m B．6m C．7m D．8m2．某次文艺演中若干名评委对九（1）班节目给出评分．在计算中去掉一个最高分和最低分．这种操作，对数据的下列统计一定不会影响的是（）A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差3．使有意义的x的取值可以是（）A．2.1 B．0 C．﹣1 D．﹣24．下列根式中，最简二次根式是（）A． B． C． D．5．在平面直角坐标系xOy中，函数y＝﹣2x﹣1的图象经过（）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限6．小玲从山脚沿某上山步道“踏青”，匀速行走一段时间后到达山腰平台停下来休息一会儿，休息结束后她加快了速度，匀速直至到达山顶．设从她出发开始所经过的时间为t，她行走的路程为s，下面能反映s与t的函数关系的大致图象是（）A． B． C． D．7．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，由下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．∠A＝2∠B＝3∠C B．∠A＝∠C﹣∠B C．a：b：c＝3：4：5 D．a2＝（b+c）（b﹣c）8．下列命题错误的是（）A．矩形的对角线相等且互相平分 B．正方形的四条边相等，四个角相等，且有四条对称轴 C．菱形的对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形9．如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝16，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F是线段DE上的一点，连接AF、BF，若∠AFB＝90°，则线段EF的长为（）A．2 B．3 C．4 D．510．如图，正方形ABCD中．AB＝12，点E在边CD上，且BG＝CG，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EP交边BC于点G，连接AG、CF，下列结论：①∠EAG＝45°；②CE＝3DE；③AG∥CF；④S△FGC＝．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．填空题（共8小题）11．在本学期的五次数学检测中，甲同学的成绩如下：92，89，88，87，94，乙同学的成绩如下：78，88，98，94，98，两名同学成绩比较稳定的是（“甲”或“乙”）．12．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD＝2∠ACB，若DC＝5，则AF的长为．13．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是．14．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB＝2，BC＝3，则图中阴影部分的面积为．15．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝16，BC＝20，AD⊥BC，垂足为D，则AD的长为．16．如图，在菱形ABCD中，点E为AB上一点，DE＝AD，连接EC．若∠ADE＝36°，则∠BCE的度数为．17．在一次函数y＝x+2的图象上有一点P，已知点P到y轴的距离为10，则点P的坐标为．18．仔细观察下列式子：，，，…，则第5个同类型的式子为．三．解答题（共7小题）19．计算（1）；（2）．20．在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，AB边上的点，连接AE，过点F作FG⊥AE交AE于点G，交DC于点H，试猜想FH与AE的数量关系，并证明你的结论．21．如图，一次函数y＝x+2与x轴，y轴分别交于点A，B，点M（1，m）是直线AB上一点，直线MC交x轴于点C（，0）；（1）求直线MC的函数解析式；（2）若点P是线段AC上一动点，连接BP，MP，若△ABP的面积是△MPC面积的2倍，求P点坐标．22．某工厂新开发一种电子产品，市场统一销售价20元/件．产品上市两周迎来热销，从第3周开始价格开始上涨，预计每周将上涨5元，若物价局规定其销售价不能超过50元．（1）请求出销售价y（元）与时间第x（周）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）某公司在产品上市后第5周时到商场进行采购，采购时恰好赶上购物节促销活动，甲商场对该电子产品打八折，乙商场规定：超过20件以后该产品打七折，若该采购员需要购买50件这种电子产品，选择哪个商场比较合算．23．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3，BC＝5，点P从点A出发，沿AD以每秒1个单位的速度向终点D运动．连接PO并延长交BC于点Q．设点P的运动时间为t秒．（1）求BQ的长，（用含t的代数式表示）（2）当四边形ABQP是平行四边形时，求t的值（3）当点O在线段AP的垂直平分线上时，直接写出t的值．24．某学校开展“读书节”活动，为了解学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，对被抽查学生每周的课外阅读时间x（单位：时）进行分组整理，并绘制了如图所示不完整的频数分布表和频数分布直方图．阅读时间/时组中值频数百分比0≤x＜211010%2≤x＜432121%4≤x＜654040%6≤x＜878≤x≤10944%根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次共随机调查了名学生；（2）请补全频数分布直方图；（3）估计该学校学生每周平均课外阅读时间；（4）请估计该校1000名学生中每周的课外阅读时间不小于6时的人数．25．如图①，已知菱形ABCD的边长为2cm，∠ABC＝60°，点M从点D开始向点C以1cm/s的速度运动，同时点N从点C开始以相同的速度向点B运动，连接AM，AN，MN，设运动时间为xs；（1）试判断△AMN的形状，请说明理由；（2）当x为多少时，点A到MN的距离h最小？请直接写出满足条件的x和h的值；（3）在（2）的条件下，连接对角线AC，BD交于点O，在图②画出图形并判断以O，N，M，D为顶点的四边形的形状，请说明理由．

九年级数学上学期开学摸底考试卷（人教版）（满分100分，完卷时间90分钟）测试范围：八下全部内容考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．一．选择题（共10小题）1．如图，一根木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m处，木杆折断之前的高度是（）A．5m B．6m C．7m D．8m【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．【解答】解：∵一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，∴折断的部分长为＝5，∴折断前高度为5+3＝8（米）．故选：D．【点评】此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．2．某次文艺演中若干名评委对九（1）班节目给出评分．在计算中去掉一个最高分和最低分．这种操作，对数据的下列统计一定不会影响的是（）A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差【分析】根据平均数、中位数、方差及众数的意义分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：去掉一个最高分和一个最低分一定会影响到平均数、方差，可能会影响到众数，一定不会影响到中位数，故选：B．【点评】本题考查了统计量的选择，解题的关键是了解平均数、中位数、方差及众数的意义，难度不大．3．使有意义的x的取值可以是（）A．2.1 B．0 C．﹣1 D．﹣2【分析】根据二次根式的被开方数是非负数解答即可．【解答】解：由题意可知：≥0，解得：x≥2，故选：A．【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解答本题的关键．4．下列根式中，最简二次根式是（）A． B． C． D．【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．【解答】解：A．的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；B．的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；C．的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；D．是最简二次根式，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足以下两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．5．在平面直角坐标系xOy中，函数y＝﹣2x﹣1的图象经过（）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以得到该函数的图象经过哪几个象限，从而可以解答本题．【解答】解：∵y＝﹣2x﹣1，k＝﹣2，b＝﹣1，∴该函数的图象经过第二、三、四象限，故选：D．【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确一次函数的性质，根据k、b的正负情况，可以写出函数图象所经过的象限．6．小玲从山脚沿某上山步道“踏青”，匀速行走一段时间后到达山腰平台停下来休息一会儿，休息结束后她加快了速度，匀速直至到达山顶．设从她出发开始所经过的时间为t，她行走的路程为s，下面能反映s与t的函数关系的大致图象是（）A． B． C． D．【分析】她行走的路程随着时间的增大而不断增大，由于速度的变化形式为小，0，大，所以随着时间的变化，路程的函数图象也将表现为：缓，平，陡．【解答】解：根据题意，小玲步道“踏青”分为三个阶段，步行﹣停止﹣快行，反映到图象上是：三条线段为缓，平，陡．所以能反映s与t的函数关系的大致图象是选项A．故选：A．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，主要考查了根据实际问题作出函数图象的能力．解题的关键是要知道本题是分段函数，分情况讨论y与x之间的函数关系．7．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，由下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．∠A＝2∠B＝3∠C B．∠A＝∠C﹣∠B C．a：b：c＝3：4：5 D．a2＝（b+c）（b﹣c）【分析】根据三角形的内角和定理求出∠A的度数，即可判断选项A；根据三角形内角和定理求出∠C的度数，即可判断选项B；根据勾股定理的逆定理判定选项C和选项D即可．【解答】解：设△ABC中，∠A的对边是a，∠B的对边是b，∠C的对边是c，A．∵∠A＝2∠B＝3∠C，∴∠B＝∠A，∠C＝∠A，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A+∠A+∠A＝180°，解得：∠A＝（）°，∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；B．∵∠A＝∠C﹣∠B，∴∠A+∠B＝∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；C．∵a：b：c＝3：4：5，∴a2+b2＝c2，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；D∵a2＝（b+c）（b﹣c），∴a2＝b2﹣c2，即a2+c2＝b2，∴∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，能熟记勾股定理的逆定理和三角形内角和定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形，三角形的内角和等于180°．8．下列命题错误的是（）A．矩形的对角线相等且互相平分 B．正方形的四条边相等，四个角相等，且有四条对称轴 C．菱形的对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形【分析】利用矩形的对角线的性质、正方形的性质、菱形的性质及平行四边形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、矩形的对角线相等且互相平分，正确，不符合题意；B、正方形的四条边相等，四个角相等，且有四条对称轴，正确，不符合题意；C、菱形的对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角，正确，不符合题意；D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故原命题错误，符合题意；故选：D．【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解矩形的对角线的性质、正方形的性质、菱形的性质及平行四边形的判定方法等知识，难度不大．9．如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝16，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F是线段DE上的一点，连接AF、BF，若∠AFB＝90°，则线段EF的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】利用三角形中位线定理得到DE＝BC．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DF＝AB．所以由图中线段间的和差关系来求线段EF的长度即可．【解答】解：∵点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∵BC＝16，∴DE＝BC＝8．∵∠AFB＝90°，D是AB的中点，AB＝10，∴DF＝AB＝5，∴EF＝DE﹣DF＝8﹣5＝3．故选：B．【点评】本题考查了三角形的中位线定理的应用，解题的关键是了解三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，题目比较好，难度适中．10．如图，正方形ABCD中．AB＝12，点E在边CD上，且BG＝CG，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EP交边BC于点G，连接AG、CF，下列结论：①∠EAG＝45°；②CE＝3DE；③AG∥CF；④S△FGC＝．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】①由正方形的性质和翻折的性质可证明Rt△ABG≌Rt△AFG，得∠BAG＝∠FAG，∠DAE＝∠FAE，则∠EAF＝∠BAD＝45°；②由题意得EF＝DE，GB＝CG＝GF＝6，设DE＝EF＝x，则CE＝12﹣x，在Rt△ECG中，（12﹣x）2+36＝（x+6）2，求出x，则可得到CE＝2DE；③由CG＝BG，BG＝GF，可得CG＝GF，则∠GFC＝∠GCF，因为∠AGB+∠AGF＝2∠AGB＝∠GFC+∠GCF＝2∠GCF，可推到出∠AGB＝∠GCF，则AG∥CF；④由S△GCE＝×GC×CE，又因为△GFC和△FCE等高，所以S△GFC：S△FEC＝3：2，S△GFC＝×24＝．【解答】解：①∵正方形ABCD，∴AB＝BC＝CD＝AD＝12，∠B＝∠GCE＝∠D＝90°，由折叠的性质可得，AF＝AD，∠AFE＝∠D＝90°，∴∠AFG＝90°＝∠B，AB＝AF，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴∵∠BAG＝∠FAG，∵∠DAE＝∠FAE，∴∠EAF＝∠BAD＝45°，故①正确；②由题意得EF＝DE，GB＝CG＝GF＝6，设DE＝EF＝x，则CE＝12﹣x，在Rt△ECG中，（12﹣x）2+36＝（x+6）2，∴x＝4，∴DE＝4，CE＝8，∴CE＝2DE，故②正确；③∵CG＝BG，BG＝GF，∴CG＝GF，∴∠GFC＝∠GCF，∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴∠AGB＝∠AGF，∵∠AGB+∠AGF＝2∠AGB＝∠GFC+∠GCF＝2∠GCF，∴∠AGB＝∠GCF，∴AG∥CF，故③正确；④∵S△GCE＝×GC×CE＝×6×8＝24，∵GF＝6，EF＝4，△GFC和△FCE等高，∴S△GFC：S△FEC＝3：2，∴S△GFC＝×24＝，故④正确；故选：D．【点评】本题考查翻折变换的性质、正方形的性质，本题综合性很强，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积的计算方法是解题的关键．二．填空题（共8小题）11．在本学期的五次数学检测中，甲同学的成绩如下：92，89，88，87，94，乙同学的成绩如下：78，88，98，94，98，两名同学成绩比较稳定的是甲（“甲”或“乙”）．【分析】根据方差的定义列式计算，再由方差的意义即可判断．【解答】解：甲同学成绩的平均数为＝90，则甲同学成绩的方差为×[（92﹣90）2+（89﹣90）2+（88﹣90）2+（87﹣90）2+（94﹣90）2]＝6.8，乙同学成绩的平均数为＝91.2，则乙同学成绩的方差为×[（78﹣91.2）2+（88﹣91.2）2+2×（98﹣91.2）2+（94﹣91.2）2]＝56.96，∵甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差，∴甲同学成绩比较稳定，故答案为：甲．【点评】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．12．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD＝2∠ACB，若DC＝5，则AF的长为10．【分析】根据平行线的性质得到∠ADF＝90°，根据直角三角形的性质得到DG＝AF＝GA，根据三角形的外角性质得到∠DGC＝∠GAD+∠GDA＝2∠GAD，得到DG＝DC，得到答案．【解答】解：∵AD∥BC，DE⊥BC，∴AD⊥DE，∠GAD＝∠ACB，∴∠ADF＝90°，∵点G为AF的中点，∴DG＝AF＝GA，∴∠GAD＝∠GDA，∴∠DGC＝∠GAD+∠GDA＝2∠GAD，∵AD∥BC，∴∠GAD＝∠ACB，∵∠ACD＝2∠ACB，∴∠DGC＝∠ACD，∴DG＝DC＝5，∴AF＝10，故答案为：10．【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．13．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是．【分析】根据正方形的性质求出AB＝BC＝1，CE＝EF＝3，∠E＝90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，求出AM＝4，FM＝2，∠AMF＝90°，根据正方形性质求出∠ACF＝90°，根据直角三角形斜边上的中线性质求出CH＝AF，根据勾股定理求出AF即可．【解答】解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，∴AB＝BC＝1，CE＝EF＝3，∠E＝90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，则AM＝BC+CE＝1+3＝4，FM＝EF﹣AB＝3﹣1＝2，∠AMF＝90°，∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，∴∠ACD＝∠GCF＝45°，∴∠ACF＝90°，∵H为AF的中点，∴CH＝AF，在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF＝＝＝2，∴CH＝，故答案为：．【点评】本题考查了勾股定理，正方形的性质，直角三角形斜边上的中线的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线，并求出AF的长和得出CH＝AF，有一定的难度．14．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB＝2，BC＝3，则图中阴影部分的面积为3．【分析】根据矩形是中心对称图形寻找思路：△AOE≌△COF，图中阴影部分的面积就是△BCD的面积．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，∠AEO＝∠CFO；又∵∠AOE＝∠COF，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF，∴S△AOE＝S△COF，∴图中阴影部分的面积就是△BCD的面积．S△BCD＝BC×CD＝×2×3＝3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，能够根据三角形全等，从而将阴影部分的面积转化为矩形面积的一半，是解决问题的关键．15．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝16，BC＝20，AD⊥BC，垂足为D，则AD的长为．【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再利用三角形面积公式得出AB•AC＝BC•AD，即可求出AD．【解答】解：∵∠BAC＝90°，AC＝16，BC＝20，∴AB＝＝12，∵S△ABC＝AB•AC＝BC•AD，∴×12×16＝×20AD，∴AD＝．故答案为：．【点评】此题主要考查学生对勾股定理和三角形面积的灵活运用，解答此题的关键是三角形ABC的面积可以用AB•AC表示，也可以用BC•AD表示，这是此题的突破点．16．如图，在菱形ABCD中，点E为AB上一点，DE＝AD，连接EC．若∠ADE＝36°，则∠BCE的度数为18°．【分析】由菱形的性质可得AD＝CD，∠A＝∠BCD，CD∥AB，由等腰三角形的性质可得∠DAE＝∠DEA＝72°，∠DCE＝54°，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形∴AD＝CD，∠A＝∠BCD，CD∥AB∵DE＝AD，∠ADE＝36°，∴∠DAE＝∠DEA＝72°∵CD∥AB∴∠CDE＝∠DEA＝72°，且DE＝DC＝DA∴∠DCE＝54°∵∠DCB＝∠DAE＝72°∴∠BCE＝∠DCB﹣∠DCE＝18°故答案为：18°【点评】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，熟练运用菱形的性质是本题的关键．17．在一次函数y＝x+2的图象上有一点P，已知点P到y轴的距离为10，则点P的坐标为（10，7）或（﹣10，﹣3）．【分析】由题意得x＝10或﹣10，分别代入解析式，可算出y的值．【解答】解：∵P到y轴的距离为10，∴x＝10或﹣10．当x＝10时，y＝×10+2＝7，当x＝﹣10时，y＝×（﹣10）+2＝﹣3，∴P的坐标为（10，7）或（﹣10，﹣3），故答案为（10，7）或（﹣10，﹣3）．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是关键．18．仔细观察下列式子：，，，…，则第5个同类型的式子为．【分析】根据所给的式子进行解答即可．【解答】解：∵，，，…，∴第n个式子为：，∴第5个式子为：．故答案为：．【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简，规律型，数字的变化类，解答的关键是分析清楚等式左右两边的规律．三．解答题（共7小题）19．计算（1）；（2）．【分析】（1）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答；（2）根据二次根式的除法运算法则，进行计算即可解答．【解答】解：（1）＝3+3﹣4+10＝13﹣；（2）＝2÷﹣3÷＝2﹣3＝4﹣＝﹣．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．20．在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，AB边上的点，连接AE，过点F作FG⊥AE交AE于点G，交DC于点H，试猜想FH与AE的数量关系，并证明你的结论．【分析】过点B作BM∥FH交DC于M，由正方形的性质得出AB＝BC，AB∥DC，∠ABC＝∠BCD＝90°，证明△ABE≌△BCM（ASA），由全等三角形的性质得出AE＝BM，证明四边形FHMB是平行四边形，由平行四边形的性质得出BM＝FH，则可得出结论．【解答】解：FH＝AE．证明：过点B作BM∥FH交DC于M，∵FH⊥AE，∴BM⊥AE，∴∠MBC+∠AEB＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，AB∥DC，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠MBC，在△ABE和△BCM中，，∴△ABE≌△BCM（ASA），∴AE＝BM，∵BM∥FH，AB∥DC，∴四边形FHMB是平行四边形，∴BM＝FH，∴FH＝AE．【点评】本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定与性质，证明△ABE≌△BCM是解题的关键．21．如图，一次函数y＝x+2与x轴，y轴分别交于点A，B，点M（1，m）是直线AB上一点，直线MC交x轴于点C（，0）；（1）求直线MC的函数解析式；（2）若点P是线段AC上一动点，连接BP，MP，若△ABP的面积是△MPC面积的2倍，求P点坐标．【分析】（1）求出M点的坐标，由待定系数法可求出答案；（2）设P（a，0），得出AP＝a+2，PC＝﹣a，根据面积关系列出方程可得出答案．【解答】解：（1）∵点M（1，m）是直线AB上一点，∴1+2＝m，∴m＝3，∴M（1，3），设直线MC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线MC的函数解析式为y＝﹣2x+5；（2）设P（a，0），∵一次函数y＝x+2与x轴，y轴分别交于点A，B，∴当x＝0时，y＝2，当y＝0时，x＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（0，2），∴AP＝a+2，PC＝﹣a，∴S△ABP＝AP•OB＝×（a+2）×2＝a+2，S△MPC＝PC×3＝a，∵△ABP的面积是△MPC面积的2倍，∴a+2＝2×（a），解得a＝，∴P（，0）．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法，三角形面积，坐标与图形的面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．22．某工厂新开发一种电子产品，市场统一销售价20元/件．产品上市两周迎来热销，从第3周开始价格开始上涨，预计每周将上涨5元，若物价局规定其销售价不能超过50元．（1）请求出销售价y（元）与时间第x（周）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）某公司在产品上市后第5周时到商场进行采购，采购时恰好赶上购物节促销活动，甲商场对该电子产品打八折，乙商场规定：超过20件以后该产品打七折，若该采购员需要购买50件这种电子产品，选择哪个商场比较合算．【分析】（1）根据题意得y＝20+5（x﹣2）＝5x+10，且5x+10≤50，即得销售价y（元）与时间第x（周）之间的函数关系式是y＝5x+10（3≤x≤8）；（2）求出到两个商场采购所需费用，比较即可得到答案．【解答】解：（1）根据题意得：y＝20+5（x﹣2）＝5x+10，∵物价局规定其销售价不能超过50元，∴5x+10≤50，解得x≤8，∴销售价y（元）与时间第x（周）之间的函数关系式是y＝5x+10（3≤x≤8）；（2）当x＝5时，y＝5×5+10＝35，到甲商场采购所需费用是35×0.8×50＝1400（元），到乙商场采购所需费用是35×20+（50﹣20）×35×0.7＝1435（元），∵1400＜1435，∴到甲商场采购比较合算．【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能列出函数关系式．23．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3，BC＝5，点P从点A出发，沿AD以每秒1个单位的速度向终点D运动．连接PO并延长交BC于点Q．设点P的运动时间为t秒．（1）求BQ的长，（用含t的代数式表示）（2）当四边形ABQP是平行四边形时，求t的值（3）当点O在线段AP的垂直平分线上时，直接写出t的值．【分析】（1）先证明△APO≌△CQO，可得出AP＝CQ＝t，则BQ即可用t表示；（2）由题意知AP∥BQ，根据AP＝BQ，列出方程即可得解；（3）方法一：如图，先求出OA和OE的长，若O在线段AP的垂直平分线上，则AE＝，在Rt△AEO中，根据勾股定理得：AE2+OE2＝AO2，列方程可得t的值．方法二：如图，连接AQ，CP，证明四边形AQCP为平行四边形，由面积法求出AQ，由勾股定理求出BQ的长，则可得出CQ的长，则可求出答案．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AD∥BC，∴∠PAO＝∠QCO，∵∠AOP＝∠COQ，∴△APO≌△CQO（ASA），∴AP＝CQ＝t，∵BC＝5，∴BQ＝5﹣t；（2）∵AP∥BQ，当AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形，即t＝5﹣t，t＝，∴当t为秒时，四边形ABQP是平行四边形；（3）t＝，方法一：如图，Rt△ABC中，∵AB＝3，BC＝5，∴AC＝＝＝4，∴AO＝CO＝AC＝2，∵，∴AB•AC＝BC•EF，∴3×4＝5×EF，∴，∴，∵OE是AP的垂直平分线，∴AE＝AP＝t，∠AEO＝90°，由勾股定理得：AE2+OE2＝AO2，∴，∴t＝或﹣（舍），∴当t＝秒时，点O在线段AP的垂直平分线上．方法二：如图，连接AQ，CP，∵AP＝CQ，AP∥CQ，∴四边形AQCP为平行四边形，∵O在线段AP的垂直平分线上，∴OA＝OP，∴AC＝PQ，∴四边形AQCP为矩形，∴∠AQC＝90°，同方法一求出EF＝AQ＝，∴BQ＝＝＝，∴QC＝BC﹣BQ＝5﹣＝，∴，∴当t＝秒时，点O在线段AP的垂直平分线上．【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题．24．某学校开展“读书节”活动，为了解学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，对被抽查学生每周的课外阅读时间x（单位：时）进行分组整理，并绘制了如图所示不完整的频数分布表和频数分布直方图．阅读时间/时组中值频数百分比0≤x＜211010%2≤x＜432121%4≤x＜654040%6≤x＜878≤x≤10944%根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次共随机调查了100名学生；（2）请补全频数分布直方图；（3）估计该学校学生每周平均课外阅读时间；（4）请估计该校1000名学生中每周的课外阅读时间不小于6时的人数．【分析】（1）根据A组的频数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数；（2）根据D组所占的百分比和（1）中的结果，可以计算出阅读时间为“6≤x＜8”的频数，从而可以将频数分布直方图补充完整；（3）根据加权平均数的计算公式解答即可；（4）根据直方图中的数据，可以计算出该校1000名学生中每周的课外阅读时间不小于6小时的