专题08与角有关的计算(原卷版+解析)

08与角有关的计算1．请把下列解题过程补充完整：如图，点O为直线AB上一点，将一直角三角板OMN的直角顶点放在点O处，射线OC平分．若，求的度数；解：∵，（已知）∴______=_______°．∵平分（已知）∴______=_______°（角平分线定义）∵（已知）∴______=______°．2．已知，如图，从点引出，，，四条射线，，分别是，的角平分线．(1)如图1，若，，，求的度数．①依题意补全图1；②完成下面解答过程．解：如图1，平分，平分，，．，，，，，，．．(2)如图2，若，，，则的度数是．(3)如图2，若，，则的度数是．（用含，的式子表示）3．如图，是的平分线，是的平分线．如果，，那么是多少度？4．如图，已知∠AOD＝80°，∠AOB＝30°，OB是∠AOC的平分线，求∠AOC和∠COD的度数．5．如图，∠AOD＝70°，∠COD＝20°，OB是∠AOC的平分线，求∠AOB的度数．6．如图所示，已知，从点出发的一条射线满足，是的平分线，是的平分线，请补全图形（画出符合题意的草图即可），并求出的大小．7．如图，是的平分线，是的平分线．(1)如果，，则的度数为；(2)如果，求的度数．8．己知，(1)如图1，平分，平分，若，则是__________°；(2)如图2，、分别平分和，若，求的度数．(3)若、分别平分和，，则的度数是__________（直接填空）．9．如图，已知点A、O、B在一条直线上，∠COD＝90°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，求∠EOF的度数．10．如图，已知，平分，且，求的度数．11．如图，BD是∠ABC的平分线，∠ABE+∠BCF＝180°(1)若∠ABC＝80°，求∠BCF的度数：(2)若CB是∠ACF的平分线，∠ADB＝k∠ABD，求k的值．12．如图，直线，相交于点，平分，平分，．(1)求的度数；(2)求的度数．13．如图，О为直线AB上一点，∠AOC＝70°，OD是∠AOC的平分线．∠DOE＝90°．(1)图中小于平角的角的个数是个；(2)求∠BOD的度数；(3)猜想OE是否平分∠BOC，并说明理由．14．如图，点O是直线上的一点，是直角，平分．(1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，若，求的度数．15．已知OC是∠AOB内部的一条射线，∠AOC＝30°，OE是∠COB的平分线．（注：本题中所说的角都是指小于平角的角）(1)如图1，当∠COE＝40°时，求∠AOB的度数；(2)当∠AOE＝90°时，请在图2中画出射线OE，OB，并直接写出∠AOB的度数．16．已知直线AB和CD相交于点O，，OF平分，，求的度数．17．如图，∠AOC＝∠BOC＝50°，OD平分∠AOB，求∠AOB和∠COD的度数．18．如图，已知，平分，平分．(1)若，求的度数；(2)若是内任意一条射线，求的度数．19．已知、分别平分、，若，，求的度数．20．如图，是内的一条射线，、分别平分、．(1)若，，求的度数；(2)若，，试猜想与、的数量关系并说明理由．21．如图所示，将两块三角板的直角顶点重合．(1)写出以为顶点的相等的角；(2)若，求度数；(3)写出与之间所具有的数量关系；(4)当三角板绕点旋转时，你所写出的（3）中的关系是否变化？请说明理由．22．如图，OB，OD分别平分∠AOC，∠COE．∠AOE＝160°，∠AOB＝36°．求∠AOD的度数．23．如图，OE为∠AOD的平分线，∠COD＝∠EOC，∠COD＝15°，求：(1)∠EOC的大小；(2)∠AOC的大小．24．如图，，，平分，平分，(1)求的度数=___________．(2)如果将题目条件中“”改为“”，其他条件不变，求的度数=___________．(3)如果将题目条件中“”改为“（为锐角）”，其他条件不变，求的度数=___________．(4)从（1）（2）（3）所求的结果中你能看出与的关系___________．25．如图，直线相交于点O。已知，在内部引一条射线，且，请解答下列问题：(1)度数是___________；度数是___________；(2)将射线绕点O逆时针旋转到①如图2，当平分时，说明平分；②当时，请求出α的度数26．已知O是直线AB上的一点，，OE平分．(1)如图①，若，则___________．(2)如图①，若，求的度数（用含的代数式表示）．(3)将图①中的绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，其他条件不变，那么（2）中所求出的结论是否还成立？请说明理由．27．(1)如图1所示，已知∠AOC＝90°，∠AOB＝38°，OD平分∠BOC，请判断∠AOD和∠BOD之间的数量关系，并说明理由；(2)已知：如图2，点O在直线AD上，射线OC平分∠BOD．求证：∠AOC与∠BOC互补；(3)已知∠EPQ和∠FPQ互余，射线PM平分∠EPQ，射线PN平分∠FPQ．若∠EPQ＝β（0°＜β＜90°），直接写出锐角∠MPN的度数是．28．点为直线上一点，在直线同侧任作射线，，使得．(1)如图1，过点作射线，使为的角平分线，当时，的度数为；(2)如图2，过点作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，求的度数；(3)过点作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，当时，求的度数．29．如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于(1)如图2，当绕点逆时针旋转到与重合时，则；(2)如图3，当从图2中的位置绕点逆时针旋转（即时，求的度数；(3)当从图2中的位置绕点逆时针旋转（即，且，其中为正整数）时，则．30．已知：点O为直线上一点，，射线平分．(1)如图1所示，若，则(2)若将绕点O旋转至图2的位置，试判断和的数量关系，说明理由；(3)若将绕点O旋转至图3的位置，和的数量关系是否发生变化？并请说明理由．(4)若将绕点O旋转至图4的位置，继续探究和的数量关系，请直接写出和之间的数量关系：．08与角有关的计算1．请把下列解题过程补充完整：如图，点O为直线AB上一点，将一直角三角板OMN的直角顶点放在点O处，射线OC平分．若，求的度数；解：∵，（已知）∴______=_______°．∵平分（已知）∴______=_______°（角平分线定义）∵（已知）∴______=______°．【答案】，，，，，【详解】解：∵，（已知）∴．∵平分（已知）∴（角平分线定义）∵（已知）∴．故答案为：，，，，，．2．已知，如图，从点引出，，，四条射线，，分别是，的角平分线．(1)如图1，若，，，求的度数．①依题意补全图1；②完成下面解答过程．解：如图1，平分，平分，，．，，，，，，．．(2)如图2，若，，，则的度数是．(3)如图2，若，，则的度数是．（用含，的式子表示）【答案】(1)①见解析；②角平分线的定义；；；(2)；(3)【详解】（1）①补全图形如图1，②如图1，平分，平分，，．（角平分线的定义），，，，，，．．故答案为：角平分线的定义；；；（2）平分，平分，，．（角平分线的定义），，，，，，．．故答案为：；（3）平分，平分，，．（角平分线的定义），，，，，．．3．如图，是的平分线，是的平分线．如果，，那么是多少度？【答案】【详解】解：是的平分线，是的平分线，，，，，．4．如图，已知∠AOD＝80°，∠AOB＝30°，OB是∠AOC的平分线，求∠AOC和∠COD的度数．【答案】∠AOC＝60°，∠COD＝20°【详解】解：∵OB是∠AOC的平分线，∠AOB＝30°，∴∠AOC＝2∠AOB＝60°，∵∠AOD＝80°，∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝20°．5．如图，∠AOD＝70°，∠COD＝20°，OB是∠AOC的平分线，求∠AOB的度数．【答案】25°【详解】∵∴∵OB是∠AOC的平分线∴6．如图所示，已知，从点出发的一条射线满足，是的平分线，是的平分线，请补全图形（画出符合题意的草图即可），并求出的大小．【答案】图见解析，或【详解】解：如图1所示．，是的平分线，．，是的平分线，．；如图2所示．，是的平分线，．，是的平分线，．．等于或．7．如图，是的平分线，是的平分线．(1)如果，，则的度数为；(2)如果，求的度数．【答案】(1)；(2)【详解】（1）解：，，，是的平分线，，，是平分线，，故答案为：；（2）平分，平分，，，，，．8．己知，(1)如图1，平分，平分，若，则是__________°；(2)如图2，、分别平分和，若，求的度数．(3)若、分别平分和，，则的度数是__________（直接填空）．【答案】(1)11；(2)；(3)【详解】（1）∵平分，平分，∴，∴∵，∴，∵平分，∴；（2）∵平分，，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴；（3）①若或至少有一个在内部时，如下图，则；②若和都在外部时，如下图，则，综上的度数为或．故答案为：或．9．如图，已知点A、O、B在一条直线上，∠COD＝90°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，求∠EOF的度数．【答案】135°【详解】解：∵点A、O、B在一条直线上，∠COD＝90°，∴∠AOC＋∠BOD＝90°，∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠AOE＝∠COE＝∠AOC，∠DOF＝∠BOF＝∠DOB，∴∠COE＋∠DOF＝×90°＝45°，∴∠EOF的度数为：90°＋45°＝135°．10．如图，已知，平分，且，求的度数．【答案】108°【详解】解：设，则，∵平分，∴，又∵，∴，解得，，∴．11．如图，BD是∠ABC的平分线，∠ABE+∠BCF＝180°(1)若∠ABC＝80°，求∠BCF的度数：(2)若CB是∠ACF的平分线，∠ADB＝k∠ABD，求k的值．【答案】(1)40°；(2)k=2【详解】（1）解：∵∠ABE+∠BCF＝180°，∠ABE+∠ABD＝180°，∴∠ABD＝∠BCF，∵BD是∠ABC的平分线，∠ABC＝80°，∴∠ABD＝∠CBD＝40°，∴∠BCF＝40°．（2）解：∵∠ABE+∠BCF＝180°，∠ABE+∠ABD＝180°，∴∠ABD＝∠BCF，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD＝∠BCF，∵CB是∠ACF的平分线，∴∠ABD＝∠CBD＝∠BCF＝∠BCD，∵∠ADB＝∠CBD+∠BCD，∴∠ADB＝2∠ABD，∴k=2．12．如图，直线，相交于点，平分，平分，．(1)求的度数；(2)求的度数．【答案】(1)30°.(2)45°．【详解】（1）∵∠AOD=2∠BOD，∠AOD+∠BOD＝180°.∴∠BOD＝×180°＝60°.∵OE平分∠BOD.∴∠DOE＝∠BOE=∠BOD＝×60°＝30°.（2）∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝180°﹣30°＝150°.∵OF平分∠COE.∴∠EOF＝∠COE＝×150°＝75°.由（1）得，∠BOE＝30°，∴∠BOF＝∠EOF-∠BOE＝75°-30°＝45°．13．如图，О为直线AB上一点，∠AOC＝70°，OD是∠AOC的平分线．∠DOE＝90°．(1)图中小于平角的角的个数是个；(2)求∠BOD的度数；(3)猜想OE是否平分∠BOC，并说明理由．【答案】(1)9；(2)145°；(3)OE平分，理由见解析．【详解】（1）解：小于平角的角有∠AOD，∠DOC，∠COE，∠EOB，∠AOC，∠AOE，∠DOE，∠DOB，∠COB共9个，故答案为：9；（2）∵，OD是的平分线，∴，∴；答：的度数为145°；（3）OE平分，理由如下：∵，∴，∴∴OE平分．14．如图，点O是直线上的一点，是直角，平分．(1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，若，求的度数．【答案】(1)20°；(2)144°【详解】（1）解：，．平分，．，．（2）解：，．平分，．，．．．．15．已知OC是∠AOB内部的一条射线，∠AOC＝30°，OE是∠COB的平分线．（注：本题中所说的角都是指小于平角的角）(1)如图1，当∠COE＝40°时，求∠AOB的度数；(2)当∠AOE＝90°时，请在图2中画出射线OE，OB，并直接写出∠AOB的度数．【答案】(1)110°；(2)150°【详解】（1）解：∵OE是∠COB的平分线（已知），∴∠COB＝2∠COE（角平分线定义）．∵∠COE＝40°，∴∠COB＝80°，∵∠AOC＝30°，∴∠AOB＝∠AOC+∠COB＝110°．（2）解：射线OE，OB为所求作的射线，如图所示：∵∠AOC＝30°，∠AOE＝90°，∴∠COE＝90°-30°=60°，∵OE是∠COB的平分线，∴∠COB＝2∠COE＝120°，∵∠AOC＝30°，∴∠AOB＝∠AOC+∠COB＝150°．16．已知直线AB和CD相交于点O，，OF平分，，求的度数．【答案】22°【详解】解：∵，，∴，又∵平分，∴，，∵，∴，∵，，∴，．17．如图，∠AOC＝∠BOC＝50°，OD平分∠AOB，求∠AOB和∠COD的度数．【答案】∠AOB＝150°，∠COD＝25°【详解】解：∵∠AOC＝∠BOC＝50°，∴∠BOC＝100°，∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝150°，∵OD平分∠AOB，∴∠AOD＝∠AOB＝75°，∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝75°﹣50°＝25°．18．如图，已知，平分，平分．(1)若，求的度数；(2)若是内任意一条射线，求的度数．【答案】(1)；(2)【详解】（1）解：因为平分，平分，所以，．因为，所以．所以．所以．（2）解：因为平分，平分，所以，．因为，所以．因为，所以．19．已知、分别平分、，若，，求的度数．【答案】【详解】∵、分别平分、，且，∴，∴∴20．如图，是内的一条射线，、分别平分、．(1)若，，求的度数；(2)若，，试猜想与、的数量关系并说明理由．【答案】(1)；(2)，理由见解析【详解】（1）解：，，，、分别平分、，，，，；（2），，，、分别平分、，，，．21．如图所示，将两块三角板的直角顶点重合．(1)写出以为顶点的相等的角；(2)若，求度数；(3)写出与之间所具有的数量关系；(4)当三角板绕点旋转时，你所写出的（3）中的关系是否变化？请说明理由．【答案】(1)，；(2)；(3)与互补；(4)不变，见解析【详解】（1）解：根据同角的余角相等可得：∠ACE＝∠BCD，∠ACD＝∠ECB．（2）解：∵∠ACB＝150°，∠BCE＝90°，∴∠ACE＝150°−90°＝60°，∴∠DCE＝90°−∠ACE＝90°−60°＝30°．（3）解：∵∠ACB＋∠DCE＝∠BCE＋∠ACE＋∠DCE＝90°＋90°＝180°，∴∠ACB与∠DCE互补．（4）解：不变化．∵∠ACB＋∠DCE＝∠BCE＋∠ACE＋∠DCE＝90°＋90°＝180°，∴无论如何旋转，∠ACB与∠DCE互补．22．如图，OB，OD分别平分∠AOC，∠COE．∠AOE＝160°，∠AOB＝36°．求∠AOD的度数．【答案】116°【详解】解：∵OB是∠AOC的平分线，∴∠AOB=∠COB=∠AOC，∵OD是∠COE的平分线，∴∠DOE=∠DOC=∠COE，∴∠DOB=∠COB+∠DOC=（∠AOC+∠EOC）=×160°=80°，∵∠AOB=36°，∴∠AOD=∠BOD+∠AOB=80°+36°=116°．23．如图，OE为∠AOD的平分线，∠COD＝∠EOC，∠COD＝15°，求：(1)∠EOC的大小；(2)∠AOC的大小．【答案】(1)60°；(2)105°．【详解】（1）解：∵∠COD＝∠EOC，∠COD＝15°，∴∠EOC=4∠COD=4×15°=60°；（2）解：∵∠EOC=60°，∠COD＝15°，∴∠EOD=∠EOC-∠COD=60°-15°=45°．∵OE为∠AOD的平分线，∴∠AOD=2∠EOD=2×45°=90°，∴∠AOC=∠AOD+∠COD=90°+15°=105°．24．如图，，，平分，平分，(1)求的度数=___________．(2)如果将题目条件中“”改为“”，其他条件不变，求的度数=___________．(3)如果将题目条件中“”改为“（为锐角）”，其他条件不变，求的度数=___________．(4)从（1）（2）（3）所求的结果中你能看出与的关系___________．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)【详解】（1）解：∵，，∴，∵平分，平分，∴，，∴；故答案为：．（2）解：∵，，∴，∵平分，平分，∴，，∴；故答案为：．（3）解：∵，，∴，∵平分，平分，∴，，∴；故答案为：．（4）解：设，（为锐角），∴，∵平分，平分，∴，，∴；故答案为：．25．如图，直线相交于点O。已知，在内部引一条射线，且，请解答下列问题：(1)度数是___________；度数是___________；(2)将射线绕点O逆时针旋转到①如图2，当平分时，说明平分；②当时，请求出α的度数【答案】(1)；；(2)①见解析；②当时，α的度数为或者【详解】（1）解：∵，，∴；∵，∴；故答案为：；；（2）解：①当平分时，∵，又∵∴，∴平分．∴当平分时是平分．②当时，且OF在下方时，∵，∴，当时，且在上方时，相当于比在下方时多旋转了，∴．综上所述：当时，α的度数为或者．26．已知O是直线AB上的一点，，OE平分．(1)如图①，若，则___________．(2)如图①，若，求的度数（用含的代数式表示）．(3)将图①中的绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，其他条件不变，那么（2）中所求出的结论是否还成立？请说明理由．【答案】(1)；(2)；(3)成立，理由见解析【详解】（1）∵，∴，∵OE平分，∴，∴，故答案为：；（2），∴，∴，∵OE平分，∴；∴．（3）成立，理由如下：设，∴，∵OE平分，∴；∴．∴（2）中所求出的结论还成立．27．(1)如图1所示，已知∠AOC＝90°，∠AOB＝38°，OD平分∠BOC，请判断∠AOD和∠BOD之间的数量关系，并说明理由；(2)已知：如图2，点O在直线AD上，射线OC平分∠BOD．求证：∠AOC与∠BOC互补；(3)已知∠EPQ和∠FPQ互余，射线PM平分∠EPQ，射线PN平分∠FPQ．若∠EPQ＝β（0°＜β＜90°），直接写出锐角∠MPN的度数是．【答案】(1)∠AOD+∠BOD＝90°，理由见解析；(2)见解析；(3)45°或|β﹣45°|【详解】（1）解：（1）∠AOD+∠BOD＝90°，理由如下：∵∠AOC＝90°，∠AOB＝38°，∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝90°﹣38°＝52°，∵OD平分∠BOC，∴∠BOD＝∠BOC＝26°，∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝38°+26°＝64°，∴∠AOD+∠BOD＝64°+26°＝90°．（2）（2）∵OC平分∠BOD，∴∠BOC＝∠COD，∵∠AOC+∠COD＝180°，∴∠AOC+∠BOC＝180°，即∠AOC与∠BOC互补；（3）（3）如图，∵PM平分∠EPQ，PN平分∠FPQ，∴∠MPQ＝∠EPQ，∠NPQ＝∠FPQ，∵∠MPN＝∠MPQ+∠NPQ＝∠EPQ+∠FPQ＝∠EPF，∵∠EPQ和∠FPQ互余，∴∠EPQ+∠FPQ＝90°，即∠EPF＝90°，∴∠MPN＝45°；如图：∵PM平分∠EPQ，PN平分∠FPQ，∴∠MPQ＝∠EPQ，∠NPQ＝∠FPQ，∵∠MPN＝|∠MPQ﹣∠NP