江西省吉安一中北师大版高中数学选修2-1教案3.3双曲线的简单性质

3.3双曲线的简单性质1．结合双曲线的图形掌握双曲线的简单几何性质．(重点)2．感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，体会数形结合思想．(难点)知识点一双曲线的简单性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)图形几何性质范围对称性顶点实虚轴离心率渐近线中心对称轴a，b，c的关系考点一双曲线的简单性质的应用例1(1)(广东高考)若实数k满足0＜k＜9，则曲线eq\f(x2,25)－eq\f(y2,9－k)＝1与曲线eq\f(x2,25－k)－eq\f(y2,9)＝1的()A．焦距相等 B．实半轴长相等C．虚半轴长相等 D．离心率相等(2)已知双曲线C：eq\f(x2,4)－y2＝1，P为双曲线上任意一点，设点A的坐标为(3,0)，求|PA|的最小值为________．(3)双曲线4x2－y2＝4的顶点坐标为________，离心率为________，渐近线方程为________．【名师指津】1．由双曲线方程探究简单性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，这是依据方程求参数，a，b，c值的关键．2．写顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程时，需先由方程确定焦点所在的坐标轴，否则易出错，需注意双曲线方程与渐近线方程的对应关系．考点二利用双曲线的性质求双曲线的标准方程例2求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)顶点在x轴上，焦距为10，离心率是eq\f(5,4)；(2)焦点在y轴上，一条渐近线为y＝eq\f(3,4)x，实轴长为12；(3)离心率e＝eq\r(2)，且过点(－5,3)．【名师指津】1．求双曲线方程，关键是求a，b的值，在解题过程中应熟悉a，b，c，e等元素的几何意义及它们之间的联系，并注意方程思想的应用．2．若已知双曲线的渐近线方程ax±by＝0，可设双曲线方程为a2x2－b2y2＝λ.练习1．将本例(2)中“焦点在y轴上”去掉，其他不变．考点三双曲线的离心率例3(1)(全国卷Ⅰ)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,3)＝1(a＞0)的离心率为2，则a＝()A．2B．eq\f(\r(6),2)C.eq\f(\r(5),2)D．1(2)(重庆高考)设F1，F2分别为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得(|PF1|－|PF2|)2＝b2－3ab，则该双曲线的离心率为()A.eq\r(2)B．eq\r(15)C．4D．eq\r(17)【名师指津】1．解决本题的关键是探寻a与c的关系．2．求双曲线的离心率的常见方法：一是依据条件求出a，c，再计算e＝eq\f(c,a)；二是依据条件提供的信息建立关于参数a，b，c的等式，进而转化为关于离心率e的方程，再解出e的值．练习2．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝eq\f(4,3)x，则双曲线的离心率为()A.eq\f(5,3)B．eq\f(4,3)C.eq\f(5,4)D．eq\f(3,2)例4求适合下列条件的双曲线标准方程．(1)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±eq\f(3,2)x.(2)经过点M(－3,2eq\r(3))，且与双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1有共同的渐近线．【名师指津】求解双曲线标准方程的难点是设双曲线方程，常用的技巧如下：①与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)有相同渐近线的双曲线方程可设为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)，若λ＞0，则表示焦点在x轴上的双曲线，若λ＜0，则表示焦点在y轴上的双曲线．②与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)有相等离心率的双曲线方程可设为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ＞0)或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝λ(λ＞0)．③与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)有相同焦点的双曲线方程可设为eq\f(x2,a2＋λ)－eq\f(y2,b2－λ)＝1(－a2＜λ＜b2)．④已知渐近线方程y＝±eq\f(b,a)x，双曲线方程可设为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)，通过求λ确定双曲线方程，而无需考虑其实、虚轴的位置．练习3．双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(3,4)x，则离心率为()A.eq\f(5,4)B．eq\f(\r(5),2)C.eq\f(5,3)或eq\f(5,4)D．eq\f(\r(5),2)或eq\f(\r(15),3)思考问题1何为双曲线的“虚轴”？问题2如何确定双曲线的形状？问题3如何用几何图形解释c2＝a2＋b2？a，b，c在双曲线中分别表示哪些线段的长？问题4双曲线的渐近线具有什么特点？问题5双曲线的渐近线与双曲线的标准方程有什么关系？课堂练习1．双曲线eq\f(y2,4)－eq\f(x2,9)＝1的顶点坐标为()A．(0,2)(0，－2)B．(3,0)(－3,0)C．(0,2)(0，－2)(3,0)(－3,0) D．(0,2)(3,0)2．如图，双曲线C：eq\f(x2,9)－eq\f(y2,10)＝1的左焦点为F1，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，则|P2F1|－|P1F1|的值是()A．3B．6C．4D．83．(全国卷)已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝A.eq\f(1,4)B．eq\f(1,3)C.eq\