二项式定理（5类）-2022-2023学年高二数学分类集训系列（北师大版2019选择性必修第一册）（解析版）

专题5.4二项式定理

【考点1：二项展开式与通项】......................................................................1

【考点2：二项式系数与项系数】....................................................................5

【考点3：二项展开式中的系数和】.................................................................8

【考点4：二项式系数或展开式系数的最值问题】....................................................14

【考点5：二项式定理的应用】.....................................................................17

【考点1：二项展开式与通项】

【知识点：二项展开式与通项】

二项公式3+b)"=C如"+CQ”-ib+……+CM"(/iWN")叫

展开式做二项式定理

二项式

元+尸为展开式的第土+1项

的通项

［方法技巧］

二项展开式问题的常见类型及解法

(1)求展开式中的特定项或其系数.可依据条件写出第A+1项，再由特定项的特点求出A值即可.

(2)巳知展开式的某项或其系数求参数.可由某项得出参数项，再由通项公式写出第九+1项，由特定项

得出A值，最后求出其参数.

求解形如(a+〃)〃(c+d产的展开式问题的思路

(1)若w,m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a+b)2(c+J)/M=(a2+2/必+b2)(c+dy”，然后

展开分别求解.

(2)观察(a+〃)(c+d)是否可以合并，如(l+x)5。-4)7=［(1+工)(1一切5(1-X)2=(1一/)5(1一2)2；

(3)分别得到(。+力〃，(c+d产的通项公式，综合考虑.

求形如(〃+〃+c)"展开式中特定项的步骤

第二艺]一；我三流而而二不%率【着彷石；而演而君

根据二项式定理求出[(a+b)+c丁的展开式的

第二步一

通项

对特定项的次数进行分析，弄清特定项是由(。+

第三步

ml的展开式中的哪些项和/相乘得到的

第四步|一；把相乘后的项相加减即可得到特定项

1.(2007•全国•高考真题(文))二项式(或+V5x)5。的展开式中系数为有理数的项共有()

A.6项B.7项C.8项D.9项

【答窠】D

【分析】由二项式的通项公式结合有理项的性质即可求解.，

5rr25r

【详解】二项式的通项4+1=C£0(V2)°-(V3x)=2-h^0x,

若要系数为有理数，则256Z,^eZ,0WrW50,且rWZ,

即:WZ,；EZ,易知满足条件的re{0,6,12,18,24,30,36,42,48},

故系数为有理数的项共有9项.

故选：D

2.(2022•江苏•南京田家炳高级中学高二期中)化简(％+I)4-4(%+I)3+6(%+一4(X4-1)+1的结果

为()

A.x4B.(%-1)4C.(x+l)4D.%4-1

【答案】A

【分析】逆用二项展开式定理即可得答案.

【详解】(X+I)4-4a+I)3+6a+l)2-4(x4-1)+1

=(x+I)4+Cj(x+I)3x(-1)+Ci(x+l)2x(-1)2+C|(x+l)x(-1)3+(-1)4

=[(%+1)-l]4=x4

故选：A.

3.(2007・四川•高考真题(文))(1一2%)1。展开式中的％3的系数为.(用数字作答)

【答案】-960

【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令》的指数为3求出展开式中炉的系数即可.

r

【详解】解:设求的项为。+1=C［0(-2x),

令r=3.北=一/023.丫3=一960'3....(1一2幻1。展开式中的炉的系数为一960.

故答案为：一960

4.(2007•四川•高考真题(文))1一3”的展开式中的第5项为常数项，那么正整数〃的值是.

【答案】8

【分析】根据二项式展开式的通项公式可得第5项为7；+i=(-l)4C"n-8,垢合题意即可求解.

【详解】由题意知，八展开式的通项公式为

Tr+i==(-1)并2，

所以第5项为北+1=(-1)4心肝-8,

由第5项为常数项，得九一8=0,解得九=8.

故答案为：8.

5.(2007•安徽•高考真题(理))若卜+：-2)”的展开式中常数项为一20,则自然数〃=.

【答案】3

【分析】先凑二项式，再利用二项式展开式的通项公式求出第r+1项，令文的指数是0得常数项，列出方程

即可求解.

［详解］由题意得(％+=(依—白「(依―专)如的展开式为7r+1=③(⑨2…(_白了=

rnr

(-l)CJnx-,令九一r=0得到n=r

•••展开式中的常数项为(一l)nC%,(-1)”C%=-20,解得几=3

故答案为：3

6.(2022・全国•高三专题练习)展开式卜z+q+r+yio中，常数项为.

【答案】12600

【分析】要使展开式中出现常数项，则二项展开式中4+1="03+J中+J-与

(y3+ym的二项展开式均为常数，结合二项展开式理解运算.

［详解］(/+1+/+=［(/+m+(y3+的二项展开式4+］=c；o8+(y3+；)「，r=

0,1,…,10,

22ior_/c2Q2r3k

x+3的二项展开式为TZ+1=Cfo-r(^)-G)=C^-rx--,k=0,1,...,10-r,

（y3+]"’的二项展开式为T〃m+i=C^（y3）r-mQ）m=C^y3r-4m,m=0,1,

20—2r—3k=0（r=4

若展开式中的常数项满足，则可得3r-4m=0，解得m=3,

r,k,mEN（k=4

故常数项为：Cfo-Cj-C?=12600.

故答案为：12600.

7.（2022・全国•高三专题练习）（1-3（工-y）8的展开式中，含％5y3项的系数为

【答案】-84

【分析】将多项式按第一项展开，再将各项通过二项式定理拼成%5y3的形式，计算出结果.

【详解】解：由题知（l-9a—y）8=Q—y）8—（Q—y）8,

将含炉y3项记为M,则M=Clx5（-y）3-^Cix6（-y）2=一56%5y3_28%5y3=一84%5y3,

故含%5y3项的系数为-84.

故答案为：-84

8.（2022・全国•高三专题练习）（5・3x+2y）n展开式中不含y的项的系数和为64,则展开式中的常数项为

【答案】15625

【分析】根据题意，令y的指数为0,得（5-3%产，再令%=1,得（5-3%+2y产的展开式中不含y的项的系数和

为（5-3尸，解得〃，再求展开式中的常数项.

【详解】（5-3%+2y）n展开式中不含），的项，即展开式中），的指数为0,即（5-3》尸的展开式，

再令》=1,得（5-3%+2y）n展开式中不含y的项的系数和为（5-3尸=64,酊1=6,

求（5-3x+2y）6展开式中的常数项，由（5-3丫+2y）6=[5-（3x-2y）]6,

所以展开式中的常数项为叱x56=15625.

故答案为：15625

9.（2022•全国•高三专题练习）求展开式（京f一高）—5）中的常数项.

【答案】-15

【分析】原式可化为（依-[）6-3广3（石一36,然后写出（«一》6的通项，结合常数项指数为零，求

出结果.

【详解】由题知:原式=2一（《一》6一3尸3（疝一》6,

（《一》6的通项为Tk+1=C，（a）6-k.=（-1/C^X3-~2,k=0,1,…,6

令3—半=',得k=1；令3—学=3,得k=0.

即原式展开式中的常数项为：-2c-3玛=-15.

10.（2022•黑龙江•大庆市东风中学高二期中）记（24+》"展开式中第m项的系数为瓦

⑴求姐的表达式；

⑵若n二6,求展开式中的常数项；

⑶若%=2b4,求儿

nm+11

【答案】（l）bm=2-C^-

（2）160

（3）5

【分析】（1）利用二项式定理写出（2'+》一展开式的第m项即可求解；（2）结合二项式定理，写出（2%+》”展

开式中的通项，然后令自变量的幕数为。即可求解；（3）结合⑴中结论，利用组合数性质即可求解.

（1）

由题意，（2%+>”=（2%+%T）n展开式中第m项为优一】（2乃时6-1）（%-1）时1=2n-m+lcm-lxn-2m+21

故6帆=2n-m+1C^-1.

（2）

当71=6时，（2%+»=（2x+XT）6展开式通项为CK2%）6-r（%T）「=26-rC^X6-2r,

令6-2r=0,即r=3,此时展开式中的常数项26-3《=160,

即展开式中的常数项为160.

（3）

因为63=2%,由⑴中知，

2n-2鬃=2-2”-3%,即鬣=髭，

由组合数性质可知，n=5.

【考点2：二项式系数与项的系数】

【知识点：二项式系数与项的系数】

二项式二项展开式中各项的系数C〃r£{0,1,…，〃}）叫做第r+1项的二项式系

系数数

项的项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不

系数同的概念.如3+云)”的展开式中，第r+1项的系数是0；/一力「

1.(2022•全国•高三专题练习)若(24-2)n的展开式中第2项与第6项的二项式系数相等，则该展开式

中的常数项为()

A.-160B.160C.-1120D.1120

【答窠】A

【分析】根据第2项和第6项的二项式系数相等可构造方程求得n,由此可得展开式通项，令r=3即可求得

常数项

【详解】因为(2代-2丫展开式中的第2项和第6项的二项式系数相等，

•0•Cj=C„,解得：n=6,

6r

6Tr6-r3r

(24-弓)展开式通项公式为:Tr+1=CJ(2Vx)(-^)=CJ-(-l)-2-x~,

令3-丁=0,解得：r=3,・•.该展开式中的常数项为底・(-1)3X23=-160,

故选：A

2.(2022•浙江省杭州学军中学高三期中)已知(：+my)(2x—y)s的展开式中％2y4的系数为40,则m的值

为()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【分析】首先变形得G+my)(2%—y)5=[(2x-y)5+my(2*-y)5,然后利用二项式展开式的通项公式

Tl+1=好d-7「求出/y4的系数即可

【详解】由题意可得&+my)(2x一yT=1(2x-y)5+my(2x-y)5,

在-y)s的展开式中，由％-1仁(2%)5-「(一,)「=(-l)r•25~rC^x^~ryr,

令｛4；1；2无解，gyl(2x_y)5的展开式没有%2y4项；

在my[2为—y)5的展开式中，^myC^2x)5~r(-y)r=(-l)r-25-rmCjx5-ryrM»

令｛:；；二；解得r=3,即my(2x-y7的展开式中/y，的项的系数为(_劫3.25-3mC5=-40m,又/y，的

系数为40,所以—40m=40,解得m=-1.

故选：B

3.(2007•全国•高考真题(理))(ax+1)7的展开式中，炉的系数是％2的系数与一的系数的等差中项若实

数a>1.那么a=.

【答案】1+噂

【分析】利用二项展开式通项公式求得所需系数，再利用等差中项公式得到关于a的方程，求解即可得到a的

值.

7kk

【详解】因为(ar+I)=(1+ax)7的二项展开式通项公式为北+1=C打】一"(ax)"=aCyXf

故%3的系数为Q3G=35Q3,/的系数为a2G=21Q2,义4的系数为04G=35Q4,

3

所以由题意可得21a2+35a4=2x35a,整理得Q2(5Q2_ioa+3)=0,

解得Q=0或a=l±¥，

因为a>l,所以

故答案为：l+日.

4.(2023•全国•高三专题练习)(%代+盘)”的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大44,

则展开式中的常数项是第一项.

【答案】4

【分析】根据题中条件求出九的值，写出二项展开式通项，令》的指数为零，求出参数值，即可得解.

【详解】由题意可得鬣一聒=若也-71=学=44,即n2-3n-88=0,

vneN",解得？i=11,

(xVx+1的展开式通项为7〃+i=Cjj-(X2)x~4k=C%•J2■岁，

由亚产=0,可得k=3,因此，展开式中的常数项是第4项.

故答案为：4.

5.(2022•全国•高三专题练习)已知(％+m)(2x-1］的展开式中小的系数是20,则实数m=.

【答案】卷

【分析】根据多项式中前一项进行展开，然后用二项式定理将两个项中关于/的找出相加等于20即可求出？n.

(详解］解:由题知,(％+m)(2x-I)6=x(2x-l)6+m(2x-I)6,

所以展开式中/系数是a•2•(一1)5+髭•2?.(-1)4•m=20,

解得：m=*

故答案为：1

6.（2022•云南•昆明一中高三阶段练习）若（3%+4）7*的展开式的所有项的系数和与二项式系数和的比值

是32,则展开式中二项的系数是.

【答案】15

【分析】先赋值求出所有项的系数，进而计算出n,再根据二项式定理计算展开式中/项的系数.

【详解】令x=1,得所有项的系数和为铲,二项式系数和为”,所以营=2n=32,即n=5,（3x+4产的第r+

1项为备•（3x）5一.（xl）r=C-35T.%5-g

令5=3,得r=4

所以炉项的系数是Cgx3=15

故答案为：15

7.（2022・全国•高三专题练习）（％+枭下的展开式中％2y2的系数为（用数字作答）.

【答案】7

【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.

8rr83rrr

【详解】二项式（％+者）8的通项公式为：Tr+1=C5-x--（^）=CJ-x-y-Q）,

令r=2,所以/y2的系数为CQG）2=7,

故答案为：7

【考点3：二项展开式中的系数和】

【知识点：赋值法在求各项系数和中的应用】

（1）形如3工+6）",（如2+加；+<0叫。，b,c£R）的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令

x=l即可.

（2）对形如（〃上+加）"（°,bWR）的式子求其展开式各项系数之和，只需令x=y=l即可.

（3）若人x）=ao+“ix+a2x2+…则人幻展开式中各项系数之和为41）.

①奇数项系数之和为ao+〃2+“4+~='"+^~2

②偶数项系数之和为田+内+匹+…美整2^.

［易错提醒］

⑴利用赋值法求解时，注意各项的系数是指某一项的字母前面的数值（包括符号）;

(2)在求各项的系数的绝对值的和时，首先要判断各项系数的符号，然后将绝对值去掉，再进行赋值.

•广西•梧州市黄埔双语实验学校高三期中(理))4234则

1.CO"(1+r)=a0++n2r+a3r+n4r.

a0—+a2—a3+a4=()

A.1B.3C.0D.-3

【答案】C

【分析】根据展开式，利用赋值法取%=-1即得.

4234

【详解】因为(14-%)=的+atx+a2x+a3x+a4x,

令#=-1,可得—%+。2—+。4=(1-1)4=0.

故选：C.

nax2n

2.(2022•全国•高三专题练习)已知髭=盘，设(2%-3)=a0+i(-D+。2(%-I)+,•,+%1(%-l)»

则为+。2+…+%1=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】D

【分析】利用组合数的性质可求得九的值，再利用赋值法可求得的和的+%+。2+-+即的值，作差可得出

所求代数式的值.

【详解】因为以=C＞所以由组合数的性质得n=3+6=9,

所以(2%—3)9=a。+Qi(X-1)+0,2(X—1尸+…+Qg(x—1)。,

令%=2,得(2X2—3)9=QQ+%+。2+…+的，即。0+%+。2+…+。9=1,

9

令％=1,得(2x1—3)=a0=—1,

所以4+a2+…+。9=(。0+%+。2+…+。9)一。0=1—(-1)=2,

故选：D.

3.(2023•全国•高三专题练习)已知(2+3)(1—2%)5=40+。八+。2/+。3/+出/+念/+。川，则()

A.的值为2

B.45的值为16

C.to+az+as+oz+as+w的值为-5

D.。/+田+的的值为120

【答案】ABC

【分析】对于A,利用赋值法，令％=0即可求解；

对于B,利用二项式展开式的通项进行求解；

对于C,利用赋值法，令％=1得到ao+aj+az+as+w+as+as，再减去即可；

对于D,利用赋值法，分别令、=1与工=-1.得到两个式子联立即可求解.

【详解】对于A,令x=0,得知=2x1=2,故A正确；

对于乱(1一〃)5的展开式的通项为。+1=CJ-(-2x)r=仁(一2)3「,所以的=2x(-2)5熊+1x(一2>谶=

—64+80=16>故B正确；

对于C,令x=l,得(2+l)(l—2X1)5=40+°/+〃2+。3+。4+。5+。6①，即a/+a2+a3+〃4+a5+a6=-3—

4o=-3—2=-5,故C正确；

对于D,令X=-1,得(2—1)[1—2x(—1)]5=的-4/+。2—编+3一“5+的②，由①②解得。/+〃3+。5=一

123,故D不正确.

故选：ABC

4.(2023・全国•高三专题练习)已知一项式(g-壶广则下列说法正确的是()

A.若。=1,则展开式中的常数项为15

B.若a=2,则展开式中各项系数之和为1

C.若展开式中的常数项为60,则a=2

D.若展开式中各项系数之和为64,则〃=2

【答案】AB

【分析】根据二项式定理的展开式通项，代入或求解验证，即可得到答案.

【详解】二项式触一专)6,

对于A,若4=1,则卜一白)6展开式的通项7；+1=/(-1)"6一久

令6-扛=0,得r=4,故所求常数项为第=15,故A正确；

对于B,若。=2,令41,则卜工一表)6展开式中各项系数之和为(2一1)6,故B正确；

对于C,由通项7；+]=CJ•(ax)6-r.(一+丫=CJ-(-l)r-.--久

令6—|r=0,得r=4,

故所求常数项为C-a2=i5a2=60,解得a=±2,故C错误；

对于D,令x=l,则展开式中各项系数之和为(a-1)6,

由已知得，(。-1)6=64,解得。=・1或。=3,故D错误.

故选：AB.

5.(2022・广东佛山•高三期中)设(2%-1户=%+%%+…+”5妙，则下列说法正确的是()

A.a0=1B.Q]+。2+。3++。5=1

C.aQ+a2+a4=-121D.+a3+a5=122

【答案】CD

【分析】赋值令％=0,x=lfx=一1,代入整理运算，逐项判断.

【详解】令X=0，则(一1)5=Qo，即％=—1,A错误；

令％=1,则Is=。0+%+。2+。3+即。0+Q1+。2+。3+a4+Q5=1①，

则%+。2+。3+。4+。5=2，B错误；

令％=~1»则(-3)5=劭一a1+心一。3+。4一。5，即。0—+。2—。3+一。5=-243②，

由①②可得：劭+a2+*=-121，%+。3+。5=122，C、D正确；

故选：CD.

6.(2022•江苏•南京田家炳高级中学高二期中)若(2人-1)10=。0+。/+。2%2+・+01。­°，XER,则

()

A.%+。2+…+Qio=1B.|Q()|+|%|+|劭1+…+Miol=31°

C.a=160D.?+黑+号+.•.+黑=一1

2(22^2^21。

【答案】BD

【分析】利用赋值法和二项式项的系数性质依次判断选项即可.

10210

[详解]对选项A,(2x-I)=4)+arx+a2x+…+a10x,

令％=0,得。0=1,令％=1,得。0+%+02+…+。10=1，

所以Qi+。2+…+Qio=0，故A错误.

10210

对选B,因为(2%-I)=a04-arx4-a2x+…+a10x,

所以Mol+M+&l+…+%ol表示(2%+1)1°的各项系数之和，

令x=l,则El+|aj+|a2H----卜Miol=31°,故B正确.

2282

对选项Ca2x=C?0(2x)-(-1)=180x,所以a?=180,故C错误.

10

对选项D,因为(2%-l)i°=a。+a/+七/H------1-a10x»a0=1,

令#=；，则(2.»1户=]+年+黄+墨+…+瑞=0，

则费+%+*+•••+瑞=-1，故D正确.

故选：BD

3234

7.(2023,全国•高三专题练习)设(％-1)(2+%)=劭+arx+a2x+a3x+a4xt则出=,2a2+

3a3+4a4=.

【答窠】-431

【分析】的即为(％—1)(2+x)3中％系数，

3

又(x-1)(2+幻3=%(2+X)3-(2+X),分别求武2+幻3与(2+%)3一次项即可.注意到-1)(2+

323

X)]'=(a04-axx+a2x+a3x4-a*)'

32

=Qi+2a2%+3a3/+4a4x=(x+2)(4x-1),令x=1,结合/可得答案.

【详解】因(％—1)(2+x)3=x(2+x)3-(2+幻3,

则%=Cf-23-Cf-22=-4.

3234

注意到K%-1)(2+x)]'=(a0+arx+a2x+a3x4-a4x),

232

=%+2a2%+3a3x+4a4x=(x+2)(4x—1),令x=1,

得a1+2a2+3a3+4a4=27,又加=-4,得2a2+3a3+4a4=31.

故答案为：-4；31.

8.(2022・贵州・贵阳一中高三阶段练习(理))已知(1+3伽一的展开式中各项系数的和为2,则该

展开式中一次项系数为.

【答案】80

【分析】先运用赋值法求出a的值，然后运用二项式定理的展开式求一次项系数.

【详解】令％=1,可得(1+号(2%-1》的展开式中各项系数的和为(i+0).(2一1)5=2,.•“=1.

(1+凯2%一，==(1+(32xs-80x3+80x-40•^+10•妥―丧)，故该展开式

中一次项为80%,故答案为80.

故答案为：80.

9.(2023•江西景德镇•模拟预测(理))已知(ax+l)s的展开式中，所有项的系数的和为243,则其展开

式中项的系数为.

【答案】40

【分析】根据题意，令％=1,求出a,再利用公式求出/项的系数.

【详解】令％=1,贝I](Q+1)5=243,得a=2,

对于(2x+l)s,其展开式中/项的系数为：4Cj=40.

故答案为：40

10.(2022•上海市向明中学高一期末)已知对任意给定的实数%,都有(1一2%)1°°=为+%(X+1)+

2

a2(x+I)+…+a100(x+1)1。。.求值：

⑴劭+%+。2++。100；

(2)。]+。3+。5+…+。99.

【答案】(1)1

⑵『

【分析】(1)利用赋值法求解，令％=0可得结果；

(2)利用赋值法求解，令％=-2可得结果；

【详解】(1)因为(1一2%)1°°=劭+%(%+1)+。2(%+1)2+…+。100(%+1)10°，

令％=0,则劭+Q1+。2+…+a100=1；

(2)令x——2,则%—%+。2—…+aioo=5100,

由(1)知的+%+做+…+a1oo=1»

「51°°

两式相减可得%+a3+a5+•••+a99=―--.

11.(2022•上海市嘉定区第一中学高二期末)已知(3—2x)ii=的+a6+a?/+…+求：

⑴％+做---1■%1；

(2)%|+\a2\H----FIflnl；

(3)4+2a2+…+

【答案】⑴1一311

(2曲一311

⑶一22

【分析】(1)利用赋值法即可得解；

(2)先由二项式定理判断系数的正负情况，再由赋值法求得奇数项与偶数项系数之差，从而得解；

(3)利用导数及赋值法即可得解.

【详解】(1)因为(3-2x)11=%)+。逐+取％2+…+

所以令％=0,得(3—2x0)11=劭+%x0+a2x。2+...+a1]xOU,即a。=3”，

令％=1»得。0+Q1+a2+…+an=(3—2xI)11=1,

所以+。2+…+=1-311.

(2)因为(3-2%产的二项式展开通项为7小1=呜3”(-=(一2)iif3*呜-17,

所以小,。2,…，。10>°，…，<。，

故1。11+lflzl+…+1«111=(。2++…+flio)—(fll+。3+…+。】1).

令4=-1,得%-为+&+---An=(3+2)11=511,即(。0+。2+04+…+。10)-(。】++…+

。11)=5”,

又因为的=311,

所以Mil+1^21+…+10111=(。2+a4T---卜。10)—31+。3T----卜『11)=511—311.

2

(3)令/(%)=(3-2x)ii=a。+axx+a2x+…+%逐”，

1010210

则((力=11(3-2x)X(-2)=-22(3-2%),且((%)=%+2a2x+3a2x+…+llanx,

令％=1,则f(1)=-22(3-2XI)'=-22,且尸(1)=%+2a2+302+“+11%1，

所以对+2a2+…+11%1=-22.

【考点4：二项式系数或展开式系数的最值问题】

【知识点：求解二项式系数或展开式系数的最值问题的一般步骤】

第一步，要弄清所求问题是“展开式系数最大”、“二项式系数最大”两者中的哪一个.

第二步，若是求二项式系数的最大值，则依据(。十方尸中〃的奇偶及二次项系数的性质求解.若是求展

开式系数的最大值，有两个思路，如下：思路一：由于二项展开式中的系数是关于正整数〃的式子，可以

看作关于n的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的

最值.

思路二：由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提二，求最大值只需解不等式组

ak^ak-if.―一

、即可求得答案.

1.(2022•河南安阳•高三阶段练习(理))己知(依的展开式中只有第5项是二项式系数最大，则该展

开式中各项系数的最小值为()

A.-448B.-1024C.-1792D.-5376

【答案】C

【分析】先根据二项式系数的性质可得n二8,再结合二项展开式的通项求各项系数册=(-2)「篇，分析列式求

系数最小项时r的值，代入求系数的最小值.

【详解】团展开式中只有第5项是二项式系数最大，则n=8

团展开式的通项为Tr+1=CK《)=(-2)「篇》亍/=0,1,...,8

则该展开式中各项系数Qr=(-2)rCS，r=0,l,“.,8

若求系数的最小值，则r为奇数且忆尸黑，即修y2蓼）；*，解得丁=5

rr22

（ar-ar.2<0（（-2）Cj-（-2）CS<0

团系数的最小值为。5=（-2）5喘=-1792

故选：C.

2.（2022•黑龙江•哈尔滨七十三中高三阶段练习）已知（«+真）”的展开式中，第3项的系数与倒数第3项

的系数之比为白，则展开式中二项式系数最大的项为第（）项.

16

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】先求出二项式展开的通项公式，分别求出第3项的系数与倒数第3项的系数，由题意得到关于"的

方程，即可确定其展开式二项式系数最大项.

【详解】（F+昼旷的展开式通项公式为*i=以“琛-「（专了=CS-2「r等.

则第3项的系数为鬣-22,倒数第3项的系数为Ch?,2n-2,

因为第3项的系数与倒数第3项的系数之比为白，

16

所以碧奈7=白=2-4,所以鬣・22=cr2.2-6,解得n=8,

所以展开式中二项式系数最大的项为第5项，

故选：C

3.（2022・全国•高二课时练习）已知m为正整数，（%+y）2m展开式的二项式系数的最大值为弧（x+y）2m+i

展开式的二项式系数的最大值为b,且13a=7b,则m的值为（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【分析】根据二项式系数的性质确定a,b,由关系13a=7b列方程求m的值.

【详解】由题意可知C%=a,C%+】=b,'：13a=lb,

13C吼=7C%+i，即13生竺=_（2m+i）!

zm+1m!m!7m!（m+l）!

/.13=7X^-,解得m=6.

m+1

故选：c.

102

4.（2022•全国•高三专题练习）设（1+2x）=a0+a6+a2x+…+—贝U下列说法正确的是（）

10

A.a0=1B.at+a2H----Fa10=3

C.勾=9%D.展开式中二项式系数最大的项是第5项

【答案】AC

【分析】利用赋值法判断A、B：写出展尸式的通项，即可求出修、。2,进而判断C；根据二项式系数的性

质判断D.

【详解】因为(1+2%)】°=---令X=0得Qo=(1+2x0)1°=1,故A正确；

令X=1得%+Qi+&+…+Qio=(1+2xI)10=310,所以的+。2■1------bQio=310-1»故B错误；

rr

二项式(1+2x)1°展开式的通项为4+1=C[0(2x)=Cfo♦2-

2

所以为=C；o♦21=20,a2=Cio-2=180,所以&=9%,故C正确；

因为二项式(1+2乃1。展开式共11项，则展开式中二项式系数最大的项是第6项，为C",故D错误；

故选：AC.

5.(2022•上海市洋泾中学高三阶段练习)已知二项式(43-2尸，在其展开式中二项式系数最大的项的系数

为.

【答案】-160

【分析】根据二项式系数的性质，可知第4项二项式系数最大，写出展开式的第4项即可得到.

【详解】由题意知，九=6.根据二项式系数的性质可得，第4项二项式系数最大.

〃=筮・(炉)6-3x(—2)3=一160/,所以展开式中二项式系数最大的项的系数为口60.

故答案为：・160.

6.(2023・全国•高三专题练习)已知(X+a)/kWN",awR)的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且炉

项的系数为-160,则a/=.

【答案】-12

【分析】根据二项式系数的性质求出土的值，再利用二项展开式的通项，结合已知条件求出Q的值，即可得

出答案.

【详解】0(x+a)”的展开式中只有第4项的二项式系数最大，.•・北=6

13二项展开式的通项4+1=C2,-—•a「，令6-丁=3,得r=3

取3项的系数为Q3瑶=20a3=-160,Sa=-2

则Q/=-12.

故答案为：-12.

7.(2022•江苏•南通市通州区石港中学高二阶段练习)在的二项展开式中，二项式系数之和为64.

⑴求正整数n的值;

⑵求（，+茅

的二项展开式中二项式系数最大的项.

【答案】（1）3；（2）540

【分析】（1）由题意利用二项式系数的性质，求得n的值.

⑵由题意利用二项式系数的性质、二项展开式的通项公式，求得二项式系数最大的项.

（1）

•••在（x+习2n的二项展开式中，二项式系数之和为22n=64,，2n=6,n=3.

（2）

由⑴小问可知n=3,（%+]”=的二项展开式中，第4项的二项式系数最大，此时r=3,

故二项式系数最大的项为7；=底•33=540.

«.（2022・全国•高二课时练习）已知（打+完的展开式中，前二项的系数成等差数列.

⑴求展开式中二项式系数最大的项；

⑵求展开式中系数最大的项.

【答案】畤⑵7■

【分析】（1）利用二项式展开式的通项和等差中项解出n.当n是偶数时，中间项的二项式系数金最大，当n为

奇数时，中间两项的二项式系数c；y,相等且最大.

（2）求系数最大的项，则只需比较相邻两项系数的大小即可.

（1）（版+定）:'的展开式的通项小1=&（夜）—（赤丫=耳（）/芳.因为展开式中前三项的系数成

等差数列，所以2all=喘+髭即九=1+若乜，整理得n2—9n+8=0,解得n=8或九=1.又因

为nN2,所以n=8,所以第5项的二项式系数最大，所以二项式系数最大的项为羽=禺（）/？=字

2

（2）由⑴得展开式中系数为喘针由m二得:依犷整理得产9t182二，

解得2<r<3所以当r=2或3时项的系数最大.因此，展开式中系数最大的项为T3=C|=74和尼=

Ci（丁蓝=7x1.

【考点5：二项式定理的应用】

【知识点：二项式定理的应用】

1.（2022•全国•高二单元测试）0.997的计算结果精确到o.ooi的近似值是（）

A.0.930B.0.931C.0.932D.0.933

【答案】C

【分析】由二项式定理求解

【详解】0.997=（1-ooi）7=cox1-C；x0.01+C；x0.012-…=1-0.07+0.0021—•«0.932.

故选：C

2.（2022・全国•高二单元测试）关于（石-I）?。?】及其二项展开式，下列说法正确的是（）

A.该二项展开式中偶数项的二项式系数之和为22。21

B.该二项展开式中第8项为一以。21­007

C.当工=100时，（返一1）2021除以100的余数是9

D.该二项展开式中不含有理项

【答案】BC

【分析】对于A,由二项式系数的性质，由公式可得答案；

对于B,根据二项式定理的通项公式，令r=7时，可得答案；

对于C,根据二项式定理，结合带余除法的变换等式，可得答案；

对于D,利用二项式定理通项，使％的指数为整数，可得答案.

【详解】偶数项的二项式系数之和为22。2。，故A错误；

20147loO7

展开式中第8项为写+1=Cj02i（V^）（-1）=-Clo2iX>故B正确；

20212021

当%=100时，（4-1）=（10-1）2021=c%21-1O-©021・102021+_C2019.1Q2+嚼翁•

10】一辎

1

=100（C%21-1（）2019_C1O21.102018+・••一c嬲-10°）+CfJi?10-1,

tacfgf?•IO1-1=20209=20200+9,除以100的余数是9,

团当笈二100时，（①一1）2021除以100的余数是9,故C正确；

2021-rr

（石一1）2°21的展开式的通项为7；+1=CJC21•（V?）（-l）=（一1）气21K华，

当型罗为整数，即r=1,3,5,…,2021时，7；+i为有理项，故D错误.

故选：BC.

26

3.（2022•全国•高三专题练习）已知函数/'（%）=（1-2x）6=a0+atx4-a2x+•••4-a6x（afER,i=0,1,2,3,-

••,6)的定义域为R.()

A.CIQ+Q]+Q2+。6=-1

B.a1+。3+。5=-364

C.m+2a2+3a3---F6a6=12

D.f(5)被8整除余数为7

【答案】BC

【分析】利用赋值x=l或％=-1，判断AB；对函数两边求导，再赋值x=l,判断C；*5)=96=(8+1》,

展开后可判断余数，判断D.

6

【详解】A.当％=1时，a0++a2+...-ka6=(1-2)=1,①故A错误；

B.当％=-1.时